数学代写|运筹学作业代写operational research代考|MATH3202

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数学代写|运筹学作业代写operational research代考|Summary and further tricks

Let us summarize what we have learned so far.

• Linear Program (LP) is an optimization problem where
$\rightarrow$ the goal is to maximize or minimize a linear objective function
$\rightarrow$ over a set of feasible solutions – i.e. solution of a set of linear inequalities (forming the feasible region).
• Standard form: all inequalities are $\leq$-inequalities (or all are $\geq$-inequalities) and all variables are non-negative
$\rightarrow$ to get a $\leq$-inequality from a $\geq$-inequality we multiply both sides by $-1$ and reverse the sign (this gives us an equivalent problem)
$$x_1-x_2 \leq 100 \quad \Longleftrightarrow \quad-x_1+x_2 \geq-100$$
$\rightarrow$ to get inequalities from an equation, we replace it by two identical inequalities, one with $\leq$ and one with $\geq$
\begin{aligned} & x_1-x_2=100 \quad \Longleftrightarrow \quad x_1-x_2 \leq 100 \ & x_1-x_2 \geq 100 \end{aligned}

$\rightarrow$ each unrestricted variable (urs) is replaced by the difference of two new non-negative variables
$$\begin{gathered} \ldots+x_1+\ldots \ x_1 \text { urs } \end{gathered} \quad \Longleftrightarrow \quad \begin{gathered} \ldots+\left(x_2-x_3\right)+\ldots \ x_2, x_3 \geq 0 \end{gathered}$$
$\rightarrow$ a non-positive variable $x_1 \leq 0$ is replaced by the negative of a new non-negative variable $x_2$
$$\begin{gathered} \ldots+x_1+\ldots \ x_1 \leq 0 \end{gathered} \quad \Longleftrightarrow \quad \begin{gathered} \ldots+\left(-x_2\right)+\ldots \ x_2 \geq 0 \end{gathered}$$
$\rightarrow$ absolute value: we can replace only in certain situations

• inequalities of type $|f| \leq g$ where $f$ and $g$ are arbitrary expressions:
replace by two inequalities $f \leq g$ and $-g \leq f$
• if $+|f|$ appears in the objective function and we are minimizing this function:
replace $+|f|$ in the objective function by a new variable $x_1$ and add a constraint $|f| \leq x_1$.
(likewise if $-|f|$ appears when maximizing)
$\rightarrow$ min of $\max :$ if $\max \left{f_1, f_2, \ldots, f_t\right}$ in the objective function and we are minimizing, then replace this expression with a new variable $x_1$ and add constraints $f_i \leq x_1$ for each $i=1, \ldots, t$ :
\begin{aligned} & f_1 \leq x_1 \ & \ldots+\max \left{f_1, \ldots, f_t\right}+\ldots \quad \Longleftrightarrow \quad \ldots+x_1+\ldots \quad f_2 \leq x_1 \ & x_1 \text { urs } \ & f_t \leq x_1 \ & \end{aligned}
$\rightarrow$ unrestricted expression $f$ can be written as a difference of two non-negative variables
$$\ldots+f+\ldots \quad \Longleftrightarrow \quad \ldots+\left(\begin{array}{c} \left.x_2-x_3\right)+\ldots \ x_2, x_3 \geq 0 \end{array} \quad \Longleftrightarrow \quad \begin{array}{c} \ldots \ \ldots \end{array} \quad \Longleftrightarrow x_3\left(x_3\right)\right.$$
Moreover, if we are minimizing, we can use $+x_2$ and $+x_3$ (positive multiples of $x_2, x_3$ ) in the objective function (if maximizing, we can use negative multiples).
In an optimal solution the meaning of these new variables will be as follows:
• if $f \geq 0$, then $x_2=f$ and $x_3=0$,
• if $f<0$, then $x_2=0$ and $x_3=-f$.
In other words, $x_2$ represents the positive part of $f$, and $x_3$ the negative part of $f$ (can you see why?). Note that this only guaranteed to hold for an optimal solution (but that will be enough for us).

数学代写|运筹学作业代写operational research代考|Fourier-Motzkin Elimination

A simple (but not yet most efficient) process to solve linear programs. Unlike the Graphical method, this process applies to arbitrary linear programs, but more efficient methods exist. The FME method
finds a solution to a system of linear inequalities
(much like Gaussian elimination from Linear algebra which finds a solution to a system of linear equations)
We shall discuss how this is done for $\geq$-inequalities and for minimization LPs. (Similarly it can be stated for $\leq$ inequalities and maximization LPs.) You can skip to the example below to get a better idea.

First, we need to adapt the method to solving linear programs. We need to incorporate the objective function as part of the inequalities. We replace the objective function by a new variable $z$ and look for a solution to the inequalities such that $z$ is smallest possible (explained how later).

1. Objective function $c_1 x_1+c_2 x_2+\ldots+c_n x_n$ : add a new constraint $z \geq c_1 x_1+c_2 x_2+\ldots+c_n x_n$
From this point, we assume that all we have is a system of $\geq$-inequalities with all variables on the left-hand side and a constant on the right-hand side. (We change $\leq$-inequalities to $\geq$-inequalities by multiplying by $-1$.) We proceed similarly as in Gaussian elimination. We try to eliminate variables one by one by pivotting a variable in all inequalities (not just one). Unlike Gaussian elimination, we are dealing with inequalities here and so we are not allowed to multiply by a negative constant when pivotting. This requires a more complex procedure to eliminate $x_1$.
2. Normalize $x_1$ : if $+c x_1$ or $-c x_1$ where $c>0$ appears in an inequality, divide the inequality by $c$.
After normalizing, this gives us three types of inequalities: those with $+x_1$ (call them positive inequalities), those with $-x_1$ (call them negative inequalities), and those without $x_1$.
3. Eliminate $x_1:$ consider each positive and each negative inequality and add them together to create a new inequality.

Note that we do this for every pair of such inequalities; each generates a new inequality without $x_1$. Taking all these generated inequalities and the inequalities that did not contain $x_1$ in the first place gives us new problem, one without $x_1$. This new problem is equivalent to the original one.

1. Repeat this process eliminating $x_2, x_3, \ldots$, in turn until only $z$ remains to be eliminated.
2. Solution: determine the smallest value of $z$ that satisfies the resulting inequalities.
3. Back-substitution: substitute the values in the reverse order of elimination to produce values of all eliminated variables.

运筹学代考

数学代写|运筹学作业代写operational research代考|Summary and further tricks

• 线性规划 (LP) 是一个优化问题，其中
$\rightarrow$ 目标是最大化或最小化线性目标函数
$\rightarrow$ 在一组可行解上一一即一组线性不等式的解 (形成可行域)。
• 标准形式: 所有不等式都是 $\leq-$ 不等式 (或全部是 $\geq-$ 不等式) 并且所有变量都是非负的 $\rightarrow$ 得到一个 $\leq-$ 来自a的不平等 $\geq$-我们将两边乘以不等式 $-1$ 并反转符号 (这给了我们一个等效的问 题)
$$x_1-x_2 \leq 100 \Longleftrightarrow-x_1+x_2 \geq-100$$
$\rightarrow$ 为了从方程中得到不等式，我们用两个相同的不等式代替它，一个是 $\leq$ 和一个 $\geq$
$$x_1-x_2=100 \quad \Longleftrightarrow \quad x_1-x_2 \leq 100 \quad x_1-x_2 \geq 100$$
$\rightarrow$ 每个不受限制的变量 (urs) 都被两个新的非负变量的差异所取代
$$\ldots+x_1+\ldots x_1 \text { urs } \Longleftrightarrow \ldots+\left(x_2-x_3\right)+\ldots x_2, x_3 \geq 0$$
$\rightarrow$ 个非正变量 $x_1 \leq 0$ 被一个新的非负变量的负值代替 $x_2$
$$\ldots+x_1+\ldots x_1 \leq 0 \quad \Longleftrightarrow \quad \ldots+\left(-x_2\right)+\ldots x_2 \geq 0$$
$\rightarrow$ 绝对值: 我们只能在某些情况下替换
• 类型不等式 $|f| \leq g$ 在哪里 $f$ 和 $g$ 是任意表达式:
用两个不等式代替 $f \leq g$ 和 $-g \leq f$
• 如果 $+|f|$ 出现在目标函数中，我们正在最小化这个函数：
替换 $+|f|$ 在目标函数中通过一个新变量 $x_1$ 并添加约束 $|f| \leq x_1$.
(同样如果 $-|f|$ 最大化时出现)
$\rightarrow$ 最小的max :如果 $\backslash$ max \left:f__1, f_2, \ddots, f_tlright } 在目标函数中，我们正在最小化，然后用一个 新变量替换这个表达式 $x_1$ 并添加约束 $f_i \leq x_1$ 每个 $i=1, \ldots, t$ :
$\rightarrow$ 不受限制的表达 $f$ 可以写成两个非负变量的差
$$\ldots+f+\ldots \quad \Longleftrightarrow \quad \ldots+\left(x_2-x_3\right)+\ldots x_2, x_3 \geq 0 \quad \Longleftrightarrow \ldots \ldots x_3\left(x_3\right)$$
此外，如果我们正在最小化，我们可以使用 $+x_2$ 和 $+x_3$ （正倍数 $x_2, x_3$ ) 在目标函数中（如果最大 化，我们可以使用负倍数）。
在最佳解决方案中，这些新变量的含义如下:
如果 $f \geq 0$ ，然后 $x_2=f$ 和 $x_3=0$ ，
如果 $f<0$ ，然后 $x_2=0$ 和 $x_3=-f$.
换句话说， $x_2$ 代表积极的部分 $f$ ，和 $x_3$ 的消极部分 $f$ (你能明白为什么吗? ) 。请注意，这只能保 证获得最佳解决方案（但这对我们来说已经足够了）。

数学代写|运筹学作业代写operational research代考|Fourier-Motzkin Elimination

（很像线性代数中的高斯消去法找到了线性方程组的解）

1. 目标函数C1X1+C2X2+…+CnXn: 添加新约束和≥C1X1+C2X2+…+CnXn
从这一点来看，我们假设我们所拥有的只是一个系统≥- 左侧所有变量和右侧常量的不等式。（我们改变≤-不等式≥-乘以不等式−1.) 我们的处理方式与高斯消元法类似。我们试图通过在所有不等式（不仅仅是一个）中旋转一个变量来一个一个地消除变量。与高斯消元法不同，我们在这里处理的是不等式，因此我们不允许在旋转时乘以负常数。这需要更复杂的程序来消除X1.
2. 归一化X1： 如果+CX1或者−CX1在哪里C>0出现在不等式中，将不等式除以C.
归一化后，这给了我们三种类型的不平等：+X1（称他们为正不平等），那些有−X1（称它们为负不平等），而那些没有X1.
3. 排除X1:考虑每一个正的和每一个负的不平等，并将它们加在一起创造一个新的不平等。

1. 重复这个过程消除X2,X3,…, 依次直到只有和仍有待淘汰。
2. 解决方案：确定最小值和满足由此产生的不平等。
3. 反向代入：以相反的消去顺序代入值，产生所有消去变量的值。

有限元方法代写

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MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。