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常微分方程是为一个或多个独立变量的函数及其导数定义的方程。y’=x+1是一个常微分方程的例子。
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数学代写|常微分方程代写ordinary differential equation代考|Geometric Interpretation of Autonomous Systems
In this section we will describe a very important geometric interpretation of the autonomous differential equation
$$
\dot{x}=f(x), \quad x \in \mathbb{R}^n .
$$
The function given by $x \mapsto(x, f(x))$ defines a vector field on $\mathbb{R}^n$ associated with the differential equation (1.7). Here the first component of the function specifies the base point and the second component specifies the vector at this base point. A solution $t \mapsto \phi(t)$ of (1.7) has the property that its tangent vector at each time $t$ is given by
$$
(\phi(t), \dot{\phi}(t))=(\phi(t), f(\phi(t))) .
$$
In other words, if $\xi \in \mathbb{R}^n$ is on the orbit of this solution, then the tangent line to the orbit at $\xi$ is generated by the vector $(\xi, f(\xi))$, as depicted in Figure 1.1.
We have just mentioned two essential facts: $(i)$ There is a one-to-one correspondence between vector fields and autonomous differential equations. (ii) Every tangent vector to a solution curve is given by a vector in the vector field. These facts suggest that the geometry of the associated vector field is closely related to the geometry of the solutions of the differential equation when the solutions are viewed as curves in a Euclidean space. This geometric interpretation of the solutions of autonomous differential equations provides a deep insight into the general nature of the solutions of differential equations, and at the same time suggests the “geometric method” for studying differential equations: qualitative features expressed geometrically are paramount; analytic formulas for solutions are of secondary importance. Finally, let us note that the vector field associated with a differential equation is given explicitly. Thus, one of the main goals of the geometric method is to derive qualitative properties of solutions directly from the vector field without “solving” the differential equation.
数学代写|常微分方程代写ordinary differential equation代考|Flows
An important property of the set of solutions of the autonomous differential equation (1.7),
$$
\dot{x}=f(x), \quad x \in \mathbb{R}^n,
$$
is the fact that these solutions form a one-parameter group that defines a phase flow. More precisely, let us define the function $\phi: \mathbb{R} \times \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^n$ as follows: For $x \in \mathbb{R}^n$, let $t \mapsto \phi(t, x)$ denote the solution of the autonomous differential equation (1.7) such that $\phi(0, x)=x$.
We know that solutions of a differential equation may not exist for all $t \in \mathbb{R}$. However, for simplicity, let us assume that every solution does exist for all time. If this is the case, then each solution is called complete, and the fact that $\phi$ defines a one-parameter group is expressed concisely as follows:
$$
\phi(t+s, x)=\phi(t, \phi(s, x)) .
$$
In view of this equation, if the solution starting at time zero at the point $x$ is continued until time $s$, when it reaches the point $\phi(s, x)$, and if a new solution at this point with initial time zero is continued until time $t$, then this new solution will reach the same point that would have been reached if the original solution, which started at time zero at the point $x$, is continued until time $t+s$.
The prototypical example of a flow is provided by the general solution of the ordinary differential equation $\dot{x}=a x, x \in \mathbb{R}, a \in \mathbb{R}$. The solution is given by $\phi\left(t, x_0\right)=e^{a t} x_0$, and it satisfies the group property
$$
\phi\left(t+s, x_0\right)=e^{a(t+s)} x_0=e^{a t}\left(e^{a s} x_0\right)=\phi\left(t, e^{a s} x_0\right)=\phi\left(t, \phi\left(s, x_0\right)\right) .
$$
For the general case, let us suppose that $t \mapsto \phi(t, x)$ is the solution of the differential equation (1.7). Fix $s \in \mathbb{R}, x \in \mathbb{R}^n$, and define
$$
\psi(t):=\phi(t+s, x), \quad \gamma(t):=\phi(t, \phi(s, x)) .
$$
常微分方程代写
数学代写|常微分方程代写ordinary differential equation代考|Geometric Interpretation of Autonomous Systems
在本节中，我们将描述自治微分方程的一个非常重要的几何解释
$$
\dot{x}=f(x), \quad x \in \mathbb{R}^n .
$$
给出的函数 $x \mapsto(x, f(x))$ 定义一个矢量场 $\mathbb{R}^n$ 与微分方程 (1.7) 相关联。这里函数的第一个分量指定基 点，第二个分量指定该基点处的向量。一个解法 $t \mapsto \phi(t)(1.7)$ 的性质是它的切向量在每一时刻 $t$ 是（谁) 给的
$$
(\phi(t), \dot{\phi}(t))=(\phi(t), f(\phi(t))) .
$$
换句话说，如果 $\xi \in \mathbb{R}^n$ 在这个解的轨道上，那么轨道的切线在 $\xi$ 由向量生成 $(\xi, f(\xi))$ ，如图 1.1 所示。
我们刚才提到了两个基本事实：(i)向量场与自治微分方程之间存在一一对应关系。(ii) 解曲线的每个切向 量由向量场中的向量给出。这些事实表明，当解被视为欧几里德空间中的曲线时，相关矢量场的几何形状 与微分方程解的几何形状密切相关。这种对自治微分方程解的几何解释提供了对微分方程解的一般性质的 深刻洞察，同时提出了研究微分方程的“几何方法”：用几何表达的定性特征是最重要的；解决方案的解析 公式是次要的。最后，让我们注意到与微分方程相关的矢量场是明确给出的。因此，几何方法的主要目标 之一是直接从向量场中导出解的定性性质，而无需“求解”微分方程。
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自治微分方程 (1.7) 解集的一个重要性质，
$$
\dot{x}=f(x), \quad x \in \mathbb{R}^n,
$$
事实上，这些解决方案形成了一个定义相流的单参数组。更准确地说，让我们定义函数 $\phi: \mathbb{R} \times \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^n$ 如下: 对于 $x \in \mathbb{R}^n$ ，让 $t \mapsto \phi(t, x)$ 表示自治微分方程 (1.7) 的解，使得 $\phi(0, x)=x$
我们知道微分方程的解可能并不对所有人都存在 $t \in \mathbb{R}$. 然而，为简单起见，让我们假设每个解决方案确实 一直存在。如果是这种情况，那么每个解决方案都被称为完整的，并且事实是 $\phi$ 定义一个单参数组，简明 表达如下:
$$
\phi(t+s, x)=\phi(t, \phi(s, x)) .
$$
鉴于此等式，如果解从时间零开始于点 $x$ 一直持续到时间 $s$ ，当它到达点 $\phi(s, x)$ ，并且如果此时初始时间为 零的新解一直持续到时间 $t$ ，那么这个新的解决方案将达到与原始解决方案相同的点，原始解决方案从时间 零开始 $x$ ，一直持续到时间 $t+s$.
流的原型示例由常微分方程的通解提供 $\dot{x}=a x, x \in \mathbb{R}, a \in \mathbb{R}$. 解决方案由 $\phi\left(t, x_0\right)=e^{a t} x_0$ ，并且满 足群性质
$$
\phi\left(t+s, x_0\right)=e^{a(t+s)} x_0=e^{a t}\left(e^{a s} x_0\right)=\phi\left(t, e^{a s} x_0\right)=\phi\left(t, \phi\left(s, x_0\right)\right) .
$$
对于一般情况，让我们假设 $t \mapsto \phi(t, x)$ 是微分方程 (1.7) 的解。使固定 $s \in \mathbb{R}, x \in \mathbb{R}^n$ ，并定义
$$
\psi(t):=\phi(t+s, x), \quad \gamma(t):=\phi(t, \phi(s, x))
$$
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金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。
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术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。
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有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
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