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常微分方程是为一个或多个独立变量的函数及其导数定义的方程。y’=x+1是一个常微分方程的例子。
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数学代写|常微分方程代写ordinary differential equation代考|Complex Solutions
One often encounters complex valued solutions of linear differential equations, and such solutions may be useful even though the equation itself has real valued coefficients and does not seem to invite a passage to the complex realm. For example, the equation $y^{(4)}+y=0$ has a solution basis comprising the four functions $e^{x / \sqrt{2}} \cos (x / \sqrt{2}), \quad e^{x / \sqrt{2}} \sin (x / \sqrt{2}), \quad e^{-x / \sqrt{2}} \cos (x / \sqrt{2}), \quad e^{-x / \sqrt{2}} \sin (x / \sqrt{2})$,
but if we allow complex valued solutions we can write another basis, algebraically simpler, comprising the functions
$$
e^{\omega x}, \quad e^{i \omega x}, \quad e^{-\omega x}, \quad e^{-i \omega x},
$$
where $\omega=(1+i) / \sqrt{2}$. The second basis might prove useful even when we seek, at the end of the day, a real valued solution. How these bases can be found is a topic taken later in this chapter.
For now we note that complex valued functions defined in the real interval $I$ form a vector space over the complex field $\mathbb{C}$. They can be differentiated in the obvious way, by differentiating the real part and the imaginary part, thus:
$$
y^{\prime}(x)=u^{\prime}(x)+i v^{\prime}(x),
$$
where $y(x)=u(x)+i v(x)$ and the functions $u$ and $v$ are real valued. It is now obvious that $u+i v$ is a solution of (1.5) (which has only real valued coefficient functions) if and only if $u$ and $v$ are individually real valued solutions. This says that the space of complex valued solutions is the complexification of the space of real solutions; it is a vector space over $\mathbb{C}$ with dimension $n$.
We can go further and suppose that the coefficient functions $p_1, \ldots, p_n$ have complex values, as well as the inhomogeneous term $g$ and the initial values. The analogues of the propositions of this section hold for complex equations without change, although they do not obviously follow from Proposition 1.3. The vector space of solutions of the homogeneous equation will be an $n$-dimensional vector space over $\mathbb{C}$ of complex valued functions. However, in this chapter we restrict ourselves to equations with real coefficients, as their properties can be derived from the as yet unproved Proposition 1.3.
It is important to understand that the independent variable $x$ is always real. At this point, we do not need differentiation with respect to a complex variable, which leads to the theory of complex analytic functions. The notion of a differential equation in the complex domain, for which a solution is a function of a complex variable, is not touched upon in this text.
数学代写|常微分方程代写ordinary differential equation代考|Homogeneous Linear Equations with Constant Coefficients
In this section we study the homogeneous equation
$$
p_n y^{(n)}+p_{n-1} y^{(n-1)}+\cdots+p_1 y^{\prime}+p_0 y=0
$$
with constant coefficients $p_0, \ldots, p_n$. We assume here that $p_n \neq 0$ so we could (but do not) divide throughout by $p_n$ to convert the equation to standard form. The solution space is an $n$-dimensional vector space of functions on the real line ]$-\infty, \infty[$. If the coefficients are real and we admit only real valued functions then it is $n$-dimensional over $\mathbb{R}$. If we admit complex valued solutions (and we are forced to do this if some coefficients are not real) then it is $n$-dimensional over $\mathbb{C}$. In this chapter we only study equations with real coefficients, but it may be still be advantageous to allow complex valued solutions.
Closely associated with the differential equation is the polynomial
$$
P(X):=p_n X^n+p_{n-1} X^{n-1}+\cdots+p_1 X+p_0
$$
and the so-called indicial equation ${ }^3$
$$
P(X)=0 .
$$
The roots of the indicial equation play a fundamental role in the theory of the linear equation with constant coefficients.
Proposition $1.11$
- The function $e^{\lambda x}$ is a solution of (1.17) if and only if $\lambda$ is a root of the indicial equation.
- Suppose that the indicial equation has $n$ distinct roots $\lambda_1, \ldots, \lambda_n$, possibly complex. Then the functions
$$
e^{\lambda_1 x}, \ldots, e^{\lambda_n x}
$$
form a solution basis.
常微分方程代写
数学代写|常微分方程代写ordinary differential equation代考|Complex Solutions
人们经常会遇到线性微分方程的复值解，即使方程本身具有实值系数并且似乎没有进入复数领域的通道， 这样的解也可能有用。例如，等式 $y^{(4)}+y=0$ 具有包含四个功能的解决方案基础 $e^{x / \sqrt{2}} \cos (x / \sqrt{2}), \quad e^{x / \sqrt{2}} \sin (x / \sqrt{2}), \quad e^{-x / \sqrt{2}} \cos (x / \sqrt{2}), \quad e^{-x / \sqrt{2}} \sin (x / \sqrt{2})$,
但是如果我们允许复值的解决方案，我们可以编写另一个基础，代数上更简单，包括函数
$$
e^{\omega x}, \quad e^{i \omega x}, e^{-\omega x}, \quad e^{-i \omega x},
$$
在哪里 $\omega=(1+i) / \sqrt{2}$. 即使我们在一天结束时寻求真正有价值的解决方案，第二个基础也可能被证明 是有用的。如何找到这些基是本章后面的主题。
现在我们注意到在实数区间中定义的复值函数 $I$ 在复数域上形成向量空间 $\mathbb{C}$. 通过区分实部和虚部，可以以 明显的方式区分它们，因此：
$$
y^{\prime}(x)=u^{\prime}(x)+i v^{\prime}(x)
$$
在哪里 $y(x)=u(x)+i v(x)$ 和功能 $u$ 和 $v$ 是真正有价值的。现在很明显 $u+i v$ 是 (1.5) 的解 (只有实值 系数函数）当且仅当 $u$ 和 $v$ 是单独真正有价值的解决方案。这表示复值解空间是实解空间的复化；它是一个 向量空间 $\mathbb{C}$ 有维度 $n$.
我们可以更进一步，假设系数函数 $p_1, \ldots, p_n$ 具有复数值，以及非齐次项 $g$ 和初始值。本节命题的类比适 用于没有变化的复方程，尽管它们显然不是从命题 $1.3$ 推导出来的。齐次方程解的向量空间为 $n$ 维向量空 间 $\mathbb{C}$ 的复杂值函数。然而，在本章中，我们将自己限制在具有实系数的方程中，因为它们的性质可以从尚 末证明的命题 $1.3$ 中推导出来。
重要的是要理解自变量 $x$ 总是真实的。在这一点上，我们不需要对一个复杂的变量进行微分，这就引出了 复杂的解析函数理论。复数域中微分方程的概念，其解是复数变量的函数，本文末涉及。
数学代写|常微分方程代写ordinary differential equation代考|Homogeneous Linear Equations with Constant Coefficients
在本节中，我们研究齐次方程
$$
p_n y^{(n)}+p_{n-1} y^{(n-1)}+\cdots+p_1 y^{\prime}+p_0 y=0
$$
常数系数 $p_0, \ldots, p_n$. 我们在这里假设 $p_n \neq 0$ 所以我们可以 (但不) 除以 $p_n$ 将方程式转换为标准形式。 解空间是 $n$ 实线上函数的维向量空间 $]-\infty, \infty[$. 如果系数是实数并且我们只接受实值函数那么它是 $n$-维度 过 $\mathbb{R}$. 如果我们接受复值解 (如果某些系数不是实数，我们将被迫这样做）那么它是 $n$-维度过 $\mathbb{C}$. 在本章 中，我们只研究具有实系数的方程，但允许复值解可能仍然是有利的。
与微分方程密切相关的是多项式
$$
P(X):=p_n X^n+p_{n-1} X^{n-1}+\cdots+p_1 X+p_0
$$
和所谓的指标方程 ${ }^3$
$$
P(X)=0 .
$$
指示方程的根在常系数线性方程的理论中起着基础性的作用。 圭张1.11
- 功能 $e^{\lambda x}$ 是 (1.17) 的解当且仅当 $\lambda$ 是指示方程的根。
- 假设指示方程有 $n$ 不同的根源 $\lambda_1, \ldots, \lambda_n$ ，可能很复杂。然后是函数
$$
e^{\lambda_1 x}, \ldots, e^{\lambda_n x}
$$
形成解决方案的基础。
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金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。
非参数统计代写
非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。
有限元方法代写
有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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随机分析代写
随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。
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随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。
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多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
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MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。