如果你也在 怎样代写概率论Probability Theory 这个学科遇到相关的难题，请随时右上角联系我们的24/7代写客服。概率论Probability Theory是研究与随机现象有关的概率的数学分支。一个随机现象可能有几种结果。概率论用一定的形式概念描述某一特定结果发生的几率。
概率论Probability Theory某些随机变量在概率论中经常出现，因为它们很好地描述了许多自然或物理过程。因此，它们的分布在概率论中具有特殊的重要性。一些基本的离散分布有离散均匀分布、伯努利分布、二项式分布、负二项式分布、泊松分布和几何分布。重要的连续分布包括连续均匀分布、正态分布、指数分布、分布和分布。
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数学代写|概率论代写Probability theory代考|The Central Limit Theorem
Now that we have proved the continuity theorem (Theorem 11.1.14), it is very easy to prove the classical central limit theorem.
First, we compute the characteristic function for the standard normal distribution $N(0,1)$, i.e. for a random variable $X$ having density with respect to Lebesgue measure given by $f_X(x)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} e^{-x^2 / 2}$. That is, we wish to compute
$$
\phi_X(t)=\int_{-\infty}^{\infty} e^{i t x} \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} e^{-x^2 / 2} d x
$$
Comparing with the computation leading to (9.3.2), we might expect that $\phi_X(t)=M_X(i t)=e^{(i t)^2 / 2}=e^{-t^2 / 2}$. This is in fact correct, and can be justified using theory of complex analysis. But to avoid such technicalities, we instead resort to a trick.
Proposition 11.2.1. If $X \sim N(0,1)$, then $\phi_X(t)=e^{-t^2 / 2}$ for all $t \in \mathbf{R}$.
Proof. By Proposition 9.2.1 (with $F_t=e^{i t X}$ and $Y=|X|$, so that $\mathbf{E}(Y)<\infty$ and $\left|F_t^{\prime}\right|=\left|(i X) e^{i t X}\right|=|X| \leq Y$ for all $\left.t\right)$, we can differentiate under the integral sign, to obtain that
$$
\phi_X^{\prime}(t)=\int_{-\infty}^{\infty} i x e^{i t x} \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} e^{-x^2 / 2} d x=\int_{-\infty}^{\infty} i e^{i t x} \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} x e^{-x^2 / 2} d x
$$
Integrating by parts gives that
$$
\phi_X^{\prime}(t)=\int_{-\infty}^{\infty} i(i t) e^{i t x} \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} e^{-x^2 / 2} d x=-t \phi_X(t) .
$$
数学代写|概率论代写Probability theory代考|Generalisations of the Central Limit Theorem
The classical central limit theorem (Theorem 11.2.2 and Corollary 11.2.3) is extremely useful in many areas of science. However, it does have certain limitations. For example, it provides no quantitative bounds on the convergence in (11.2.4). Also, the insistence that the random variables be i.i.d. is sometimes too severe.
The first of these problems is solved by the Berry-Esseen Theorem, which states that if $X_1, X_2, \ldots$ are i.i.d. with finite mean $m$, finite positive variance $v$, and $\mathbf{E}\left(\left|X_i-m\right|^3\right)=\rho<\infty$, then
$$
\left|\mathbf{P}\left(\frac{X_1+\ldots+X_n-n m}{\sqrt{v n}} \leq x\right)-\Phi(x)\right| \leq \frac{3 \rho}{\sqrt{n v^3}} .
$$
This theorem thus provides a quantitative bound on the convergence in (11.2.4), depending only on the third moment. For a proof see e.g. Feller (1971, Section XVI.5). Note, however, that this error bound is absolute, not relative: as $x \rightarrow-\infty$, both $\mathbf{P}\left(\frac{X_1+\ldots+X_n-n m}{\sqrt{v n}} \leq x\right)$ and $\Phi(x)$ get small, and the Berry-Esseen Theorem says less and less. In particular, the theorem does not assert that $\mathbf{P}\left(\frac{X_1+\ldots+X_n-n m}{\sqrt{v n}} \leq x\right)$ decreases as $O\left(e^{-x^2 / 2}\right)$ as $x \rightarrow$ $-\infty$, even though $\Phi(x)$ does. (We have already seen in Theorem 9.3.4 that $\mathbf{P}\left(\frac{X_1+\ldots+X_n}{\sqrt{v n}} \leq x\right)$ often decreases as $\rho^x$ for some $\rho<1$.)
概率论代考
数学代写|概率论代写Probability theory代考|The Central Limit Theorem
既然我们已经证明了连续性定理(定理11.1.14)，那么证明经典中心极限定理就很容易了。
首先，我们计算标准正态分布$N(0,1)$的特征函数，即对于具有相对于由$f_X(x)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} e^{-x^2 / 2}$给出的勒贝格测量的密度的随机变量$X$。也就是说，我们希望计算
$$
\phi_X(t)=\int_{-\infty}^{\infty} e^{i t x} \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} e^{-x^2 / 2} d x
$$
与导致(9.3.2)的计算相比，我们可以预期$\phi_X(t)=M_X(i t)=e^{(i t)^2 / 2}=e^{-t^2 / 2}$。这实际上是正确的，并且可以用复分析理论来证明。但为了避免这些技术细节，我们转而采用了一个技巧。
提案11.2.1。如果是$X \sim N(0,1)$，那么所有的$t \in \mathbf{R}$都是$\phi_X(t)=e^{-t^2 / 2}$。
证明。根据命题9.2.1(对于$F_t=e^{i t X}$和$Y=|X|$，使得$\mathbf{E}(Y)<\infty$和$\left|F_t^{\prime}\right|=\left|(i X) e^{i t X}\right|=|X| \leq Y$对于所有$\left.t\right)$，我们可以在积分符号下求导，得到
$$
\phi_X^{\prime}(t)=\int_{-\infty}^{\infty} i x e^{i t x} \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} e^{-x^2 / 2} d x=\int_{-\infty}^{\infty} i e^{i t x} \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} x e^{-x^2 / 2} d x
$$
分部积分给出了这个
$$
\phi_X^{\prime}(t)=\int_{-\infty}^{\infty} i(i t) e^{i t x} \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} e^{-x^2 / 2} d x=-t \phi_X(t) .
$$
数学代写|概率论代写Probability theory代考|Generalisations of the Central Limit Theorem
经典的中心极限定理(定理11.2.2和推论11.2.3)在许多科学领域都非常有用。然而，它确实有一定的局限性。例如，在(11.2.4)中，它没有提供收敛的定量界限。此外，坚持随机变量必须是id的做法有时过于严厉。
第一个问题由Berry-Esseen定理解决，该定理指出，如果$X_1, X_2, \ldots$是具有有限均值$m$、有限正方差$v$和$\mathbf{E}\left(\left|X_i-m\right|^3\right)=\rho<\infty$的i.i.d，则
$$
\left|\mathbf{P}\left(\frac{X_1+\ldots+X_n-n m}{\sqrt{v n}} \leq x\right)-\Phi(x)\right| \leq \frac{3 \rho}{\sqrt{n v^3}} .
$$
因此，这个定理提供了(11.2.4)中收敛性的一个定量界，仅依赖于第三阶矩。作为证明，请看Feller (1971, Section XVI.5)。但是请注意，这个误差范围是绝对的，而不是相对的:当$x \rightarrow-\infty$时，$\mathbf{P}\left(\frac{X_1+\ldots+X_n-n m}{\sqrt{v n}} \leq x\right)$和$\Phi(x)$都变得越来越小，而Berry-Esseen定理说的越来越少。特别是，该定理并没有断言$\mathbf{P}\left(\frac{X_1+\ldots+X_n-n m}{\sqrt{v n}} \leq x\right)$和$x \rightarrow$$-\infty$一样减少$O\left(e^{-x^2 / 2}\right)$，尽管$\Phi(x)$确实如此。(我们已经在定理9.3.4中看到，对于某些$\rho<1$, $\mathbf{P}\left(\frac{X_1+\ldots+X_n}{\sqrt{v n}} \leq x\right)$经常减少为$\rho^x$。)
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金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。
非参数统计代写
非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。
有限元方法代写
有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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随机分析代写
随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。
时间序列分析代写
随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。
回归分析代写
多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。