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物理代写|量子场论代写Quantum field theory代考|Lorentz-invariant Lagrangians
Having seen that we need infinite-dimensional representations, we are now ready to talk about fields. These fields are spinor-valued functions of space-time, which we write as $\psi_R(x)=\left(\begin{array}{l}\psi_1(x) \ \psi_2(x)\end{array}\right)$ for the $\left(0, \frac{1}{2}\right)$ representation, or $\psi_L(x)=\left(\begin{array}{l}\psi_1(x) \ \psi_2(x)\end{array}\right)$ for the $\left(\frac{1}{2}, 0\right)$ representation.
As in the spin-1 case, we would like first to write down a Lorentz-invariant Lagrangian for these fields with the right number of degrees of freedom (two). The simplest thing to do would be to write down a Lagrangian with terms such as
$$
\left(\psi_R\right)^{\dagger} \square \psi_R+m^2\left(\psi_R\right)^{\dagger} \psi_R .
$$
However, using the infinitesimal transformations Eqs. (10.39) and (10.40), it is easy to see that these terms are not Lorentz invariant:
$$
\begin{aligned}
\delta\left(\psi_R^{\dagger} \psi_R\right) & =\frac{1}{2} \psi_R^{\dagger}\left[\left(i \theta_i+\beta_i\right) \sigma_i \psi_R\right]+\frac{1}{2}\left[\psi_R^{\dagger}\left(-i \theta_i+\beta_i\right) \sigma_i\right] \psi_R \
& =\beta_i \psi_R^{\dagger} \sigma_i \psi_R \neq 0 .
\end{aligned}
$$
This is just the manifestation of the fact that the representation is not unitary because the boost generators are anti-Hermitian.
If we allow ourselves two fields, $\psi_R$ and $\psi_L$, we can write down terms such as $\psi_L^{\dagger} \psi_R$. Under infinitesimal Lorentz transformations,
$$
\delta\left(\psi_L^{\dagger} \psi_R\right)=\left[\psi_L^{\dagger} \frac{1}{2}\left(-i \theta_i-\beta_i\right) \sigma_i^{\dagger}\right] \psi_R+\psi_L^{\dagger}\left[\frac{1}{2}\left(i \theta_i+\beta_i\right) \sigma_i \psi_R\right]=0,
$$
which is great. We need to add the Hermitian conjugate to get a term in a real Lagrangian. Thus, we find that
$$
\mathcal{L}_{\text {Dirac mass }}=m\left(\psi_L^{\dagger} \psi_R+\psi_R^{\dagger} \psi_L\right)
$$
is real and Lorentz invariant for any $m$. This combination is bilinear in the fields, but lacks derivatives, so it is a type of mass term known as a Dirac mass. A theory with only this term in its Lagrangian would have no dynamics.
物理代写|量子场论代写Quantum field theory代考|Dirac matrices
Expanding them out, the Dirac matrices from Eq. (10.61) are
$$
\gamma^0=\left(\begin{array}{ll}
& \mathbb{1} \
\mathbb{1} &
\end{array}\right), \quad \gamma^i=\left(\begin{array}{cc}
0 & \sigma_i \
-\sigma_i & 0
\end{array}\right) .
$$
Or, even more explicitly,
They satisfy
$$
\left{\gamma^\mu, \gamma^\nu\right}=2 g^{\mu \nu} .
$$
In the same way that the algebra of the Lorentz group is more fundamental than any particular representation, the algebra of the $\gamma$-matrices is more fundamental than any particular representation of them. We say the $\gamma$-matrices generate the Dirac algebra, which is a special case of a Clifford algebra. This particular form of the Dirac matrices is known as the Weyl representation.
Next we define a useful shorthand:
$$
\sigma^{\mu \nu} \equiv \frac{i}{2}\left[\gamma^\mu, \gamma^\nu\right]
$$
The Lorentz generators when acting on Dirac spinors can be written as
$$
S^{\mu \nu}=\frac{i}{4}\left[\gamma^\mu, \gamma^\nu\right]=\frac{1}{2} \sigma^{\mu \nu}
$$
which you can check by expanding in terms of $\sigma$-matrices. More generally, $S^{\mu \nu}$ will satisfy the Lorentz algebra when constructed from any $\gamma$-matrices satisfying the Clifford algebra. That is, you can derive from $\left{\gamma^\mu, \gamma^\nu\right}=2 g^{\mu \nu}$ that
$$
\left[S^{\mu \nu}, S^{\rho \sigma}\right]=i\left(g^{\nu \rho} S^{\mu \sigma}-g^{\mu \rho} S^{\nu \sigma}-g^{\nu \sigma} S^{\mu \rho}+g^{\mu \sigma} S^{\nu \rho}\right) .
$$
It is important to appreciate that the matrices $S_{\mu \nu}$ are different from the matrices $V_{\mu \nu}$ corresponding to the Lorentz generators in the 4-vector representation. In particular, $S_{\mu \nu}$ are complex. So we have found two inequivalent four-dimensional representations. In each case, the group element is determined by six real angles $\theta_{\mu \nu}$ (three rotations and three boosts). The vector or $\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)$ representation is irreducible, and has Lorentz group element
$$
\Lambda_V=\exp \left(i \theta_{\mu \nu} V^{\mu \nu}\right),
$$
while the Dirac or $\left(\frac{1}{2}, 0\right) \oplus\left(0, \frac{1}{2}\right)$ representation is reducible and has Lorentz group elements
$$
\Lambda_s=\exp \left(i \theta_{\mu \nu} S^{\mu \nu}\right)
$$
量子场论代考
物理代写|量子场论代写Quantum field theory代考|Lorentz-invariant Lagrangians
了解了我们需要无限维表示之后，我们现在准备讨论场。这些域是时空的自旋值函数，对于$\left(0, \frac{1}{2}\right)$表示，我们写成$\psi_R(x)=\left(\begin{array}{l}\psi_1(x) \ \psi_2(x)\end{array}\right)$，对于$\left(\frac{1}{2}, 0\right)$表示，我们写成$\psi_L(x)=\left(\begin{array}{l}\psi_1(x) \ \psi_2(x)\end{array}\right)$。
在自旋为1的情况下，我们想首先写出这些场的洛伦兹不变拉格朗日量，它们具有正确的自由度数(2)。最简单的方法就是写出拉格朗日函数，比如
$$
\left(\psi_R\right)^{\dagger} \square \psi_R+m^2\left(\psi_R\right)^{\dagger} \psi_R .
$$
然而，使用无穷小变换方程。(10.39)和式(10.40)，很容易看出这些项不是洛伦兹不变量:
$$
\begin{aligned}
\delta\left(\psi_R^{\dagger} \psi_R\right) & =\frac{1}{2} \psi_R^{\dagger}\left[\left(i \theta_i+\beta_i\right) \sigma_i \psi_R\right]+\frac{1}{2}\left[\psi_R^{\dagger}\left(-i \theta_i+\beta_i\right) \sigma_i\right] \psi_R \
& =\beta_i \psi_R^{\dagger} \sigma_i \psi_R \neq 0 .
\end{aligned}
$$
这只是证明了这个表达式不是酉的因为升压发生器是反厄米的。
如果我们允许使用两个字段，$\psi_R$和$\psi_L$，我们可以写下像$\psi_L^{\dagger} \psi_R$这样的项。在无穷小洛伦兹变换下，
$$
\delta\left(\psi_L^{\dagger} \psi_R\right)=\left[\psi_L^{\dagger} \frac{1}{2}\left(-i \theta_i-\beta_i\right) \sigma_i^{\dagger}\right] \psi_R+\psi_L^{\dagger}\left[\frac{1}{2}\left(i \theta_i+\beta_i\right) \sigma_i \psi_R\right]=0,
$$
这很好。我们需要加上厄米共轭来得到一个真正的拉格朗日量。因此，我们发现
$$
\mathcal{L}_{\text {Dirac mass }}=m\left(\psi_L^{\dagger} \psi_R+\psi_R^{\dagger} \psi_L\right)
$$
是实数，对于任何$m$都是洛伦兹不变量。这种组合在场中是双线性的，但缺乏导数，所以它是一种被称为狄拉克质量的质量项。一个在拉格朗日量中只有这一项的理论就没有动力学。
物理代写|量子场论代写Quantum field theory代考|Dirac matrices
展开后，公式(10.61)中的狄拉克矩阵为
$$
\gamma^0=\left(\begin{array}{ll}
& \mathbb{1} \
\mathbb{1} &
\end{array}\right), \quad \gamma^i=\left(\begin{array}{cc}
0 & \sigma_i \
-\sigma_i & 0
\end{array}\right) .
$$
或者更明确地说，
他们满足了
$$
\left{\gamma^\mu, \gamma^\nu\right}=2 g^{\mu \nu} .
$$
就像洛伦兹群的代数比任何特定的表示都更基本一样，$\gamma$ -矩阵的代数也比它们的任何特定表示都更基本。我们说$\gamma$ -矩阵生成狄拉克代数，它是克利福德代数的一种特殊情况。狄拉克矩阵的这种特殊形式被称为Weyl表示。
接下来我们定义一个有用的简写:
$$
\sigma^{\mu \nu} \equiv \frac{i}{2}\left[\gamma^\mu, \gamma^\nu\right]
$$
作用于狄拉克旋量时的洛伦兹产生子可以写成
$$
S^{\mu \nu}=\frac{i}{4}\left[\gamma^\mu, \gamma^\nu\right]=\frac{1}{2} \sigma^{\mu \nu}
$$
你可以通过$\sigma$ -矩阵展开来验证。更一般地说，当由满足克利福德代数的任何$\gamma$ -矩阵构造时，$S^{\mu \nu}$将满足洛伦兹代数。也就是说，你可以从$\left{\gamma^\mu, \gamma^\nu\right}=2 g^{\mu \nu}$推导出
$$
\left[S^{\mu \nu}, S^{\rho \sigma}\right]=i\left(g^{\nu \rho} S^{\mu \sigma}-g^{\mu \rho} S^{\nu \sigma}-g^{\nu \sigma} S^{\mu \rho}+g^{\mu \sigma} S^{\nu \rho}\right) .
$$
重要的是要认识到，矩阵$S_{\mu \nu}$不同于4向量表示中对应洛伦兹生成器的矩阵$V_{\mu \nu}$。特别是，$S_{\mu \nu}$是复杂的。我们找到了两个不相等的四维表示。在每种情况下，group元素由6个实角$\theta_{\mu \nu}$(3个旋转和3个提升)决定。该向量或$\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)$表示是不可约的，并且具有洛伦兹群元素
$$
\Lambda_V=\exp \left(i \theta_{\mu \nu} V^{\mu \nu}\right),
$$
而狄拉克或$\left(\frac{1}{2}, 0\right) \oplus\left(0, \frac{1}{2}\right)$表示是可约的，并且具有洛伦兹群元素
$$
\Lambda_s=\exp \left(i \theta_{\mu \nu} S^{\mu \nu}\right)
$$
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金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。
非参数统计代写
非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。
有限元方法代写
有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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