物理代写|量子场论代写Quantum field theory代考|SI2410
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物理代写|量子场论代写Quantum field theory代考|Time reversal
Finally, let us turn to the most confusing of the discrete symmetries, time reversal. As a Lorentz transformation,
$$
T: \quad(t, \vec{x}) \rightarrow(-t, \vec{x}) .
$$
We are going to need a transformation of our spinor fields, $\psi$, such that (at least) the kinetic Lagrangian is invariant. To do this, we need $\bar{\psi} \gamma^\mu \psi$ to transform as a 4-vector under $T$, so that $i \bar{\psi} \not \partial \psi(t, \vec{x}) \rightarrow i \bar{\psi} \not \partial \psi(-t, x)$ and the action will be invariant. In particular, we need the 0 -component, $\bar{\psi} \gamma^0 \psi \rightarrow-\bar{\psi} \gamma^0 \psi$, which implies $\psi^{\dagger} \psi \rightarrow-\psi^{\dagger} \psi$. But this last form of the requirement is very odd – it says we need to turn a positive definite quantity into a negative definite quantity. This is impossible for any linear transformation $\psi \rightarrow \Gamma \psi$. Thus, we need to think harder.
We will discuss two possibilities. One we will call “simple $\hat{T}$,” and denote $\hat{T}$. It is the obvious parallel to parity. The other is the $T$ symmetry, which is normally what is meant by $T$ in the literature. This second $T$ was invented by Wigner in 1932 and requires $T$ to take $i \rightarrow-i$ in the whole Lagrangian in addition to acting on fields. While the simple $\hat{T}$ is the more natural generalization of the action of $T$ on 4-vectors, it is also kind of trivial. Wigner’s $T$ has important physical implications.
Before doing anything drastic, the simplest thing besides $T: \psi \rightarrow \Gamma \psi$ would be $T: \psi \rightarrow$ $\Gamma \psi^{\star}$, as with charge conjugation. We will call this transformation $\hat{T}$ to distinguish it from what is conventionally called $T$ in the literature. So,
$$
\hat{T}: \quad \psi \rightarrow \Gamma \psi^{\star}, \quad \psi^{\dagger} \rightarrow\left(\Gamma \psi^{\star}\right)^{\dagger}=\psi^T \Gamma^{\dagger} .
$$
That $\hat{T}$ should take particles to antiparticles is also understandable from the picture of antiparticles as particles moving backwards in time.
Then,
$$
\psi^{\dagger} \psi \rightarrow \psi^T \Gamma^{\dagger} \Gamma \psi^{\star}=\Gamma_{\alpha \beta}^{\dagger} \Gamma_{\beta \gamma} \psi_\alpha \psi_\gamma^{\star}=-\psi_\gamma^{\star}\left(\Gamma_{\alpha \beta}^{\dagger} \Gamma_{\beta \gamma}\right)^T \psi_\alpha=-\psi^{\dagger}\left(\Gamma^{\dagger} \Gamma\right)^T \psi,
$$
so we need $\Gamma^{\dagger} \Gamma=\mathbb{1}$, which says that $\Gamma$ is a unitary matrix. That is fine. But we also need $\bar{\psi} \gamma_i \psi$ and the mass term $\bar{\psi} \psi$ to be preserved. For the mass term,
$$
\bar{\psi} \psi \rightarrow \psi^T \Gamma^{\dagger} \gamma_0 \Gamma \psi^{\star}=-\bar{\psi}\left(\Gamma^{\dagger} \gamma_0 \Gamma \gamma_0\right)^T \psi
$$
This equals $\bar{\psi} \psi$ only if $\left{\Gamma, \gamma_0\right}=0$. Next,
$$
\bar{\psi} \gamma_i \psi \rightarrow \psi^T \Gamma^{\dagger} \gamma_0 \gamma_i \Gamma \psi^{\star}=-\bar{\psi}\left(\Gamma^{\dagger} \gamma_0 \gamma_i \Gamma \gamma_0\right)^T \psi=-\bar{\psi}\left(\Gamma^{\dagger} \gamma_i \Gamma\right)^T \psi,
$$
which should be equal to $\bar{\psi} \gamma_i \psi$ for $i=1,2,3$. So $\gamma_i \Gamma+\Gamma \gamma_i^T=0$, which implies $\left[\Gamma, \gamma_1\right]=$ $0,\left[\Gamma, \gamma_3\right]=0$ and $\left{\Gamma, \gamma_2\right}=0$. The unique (up to a constant) matrix that commutes with $\gamma_1$ and $\gamma_3$ and anticommutes with $\gamma_2$ and $\gamma_0$ is $\Gamma=\gamma_0 \gamma_2$. Thus,
$$
\psi(t, \vec{x}) \rightarrow \gamma_0 \gamma_2 \psi^{\star}(-t, \vec{x}), \quad \psi^{\dagger}(t, \vec{x}) \rightarrow-\psi^T \gamma_2 \gamma_0(-t, \vec{x}) .
$$
物理代写|量子场论代写Quantum field theory代考|Wigner’s T (i.e. what is normally called T )
What is normally called time reversal is a symmetry $T$ that was described in a 1932 paper by Wigner, and shown to be an explanation of Kramer’s degeneracy. To understand Kramer’s degeneracy, consider the Schrödinger equation,
$$
i \partial_t \psi(t, \vec{x})=H \psi(t, \vec{x}),
$$
where, for simplicity, let us say $H=\frac{p^2}{2 m}+V(x)$, which is real and time independent. If we take the complex conjugate of this equation and also $t \rightarrow-t$, we find
$$
i \partial_t \psi^{\star}(-t, \bar{x})=H \psi^{\star}(-t, \vec{x}) .
$$
Thus, $\psi^{\prime}(t, x)=\psi^{\star}(-t, x)$ is another solution to the Schrödinger equation. If $\psi$ is an energy eigenstate, then as long as $\psi \neq \xi \psi^{\star}$ for any complex number $\xi, \psi^{\prime}$ will be another state with the same energy. This doubling of states at each energy is known as Kramer’s degeneracy. In particular, for the hydrogen atom, $\psi_{n l m}(\vec{x})=R_n(r) Y_{l m}(\theta, \phi)$ are the energy eigenstates, so Kramer’s degeneracy says that the states with $m$ and $-m$ will be degenerate (which they are). The importance of this theorem is that it also holds for more complicated systems, and for systems in external electric fields, for which the exact eigenstates may not be known.
As we will soon see, this mapping, $\psi(t, \vec{x}) \rightarrow \psi^{\star}(-t, \vec{x})$, sends particles to particles (not antiparticles), unlike the simple $\hat{T}$ operator above. It has a nice interpretation: Suppose you made a movie of some physics process, then watched the movie backwards; time reversal implies you should not be able to tell which was “play” and which was “reverse.”
The trick to Wigner’s $T$ is that we had to complex conjugate and then take $\psi^{\prime}=\psi^{\star}$. This means in particular that the $i$ in the Schrödinger equation goes to $-i$ as well as the field transforming. This is the key to finding a way out of the problem that $\psi^{\dagger} \psi$ needed to flip sign under $T$, which we discussed at the beginning of the section. The kinetic term for $\psi$ is $i \bar{\psi} \gamma^0 \partial_0 \psi$; so if $i \rightarrow-i$ then, since $\partial_0 \rightarrow-\partial_0, \psi^{\dagger} \psi$ can be invariant. Thus we need
$$
T: \quad i \rightarrow-i .
$$
量子场论代考
物理代写|量子场论代写Quantum field theory代考|Time reversal
最后，让我们转向离散对称中最令人困惑的，时间反转。作为洛伦兹变换，
$$
T: \quad(t, \vec{x}) \rightarrow(-t, \vec{x}) .
$$
我们需要一个旋量场的变换，$\psi$，这样(至少)动力学拉格朗日是不变的。为此，我们需要将$\bar{\psi} \gamma^\mu \psi$转换为$T$下的4向量，这样$i \bar{\psi} \not \partial \psi(t, \vec{x}) \rightarrow i \bar{\psi} \not \partial \psi(-t, x)$和动作将是不变的。特别地，我们需要0分量$\bar{\psi} \gamma^0 \psi \rightarrow-\bar{\psi} \gamma^0 \psi$，这意味着$\psi^{\dagger} \psi \rightarrow-\psi^{\dagger} \psi$。但是最后一种形式的要求很奇怪，它说我们需要把一个正定量变成一个负定量。这对于任何线性变换$\psi \rightarrow \Gamma \psi$都是不可能的。因此，我们需要更加努力地思考。
我们将讨论两种可能性。我们将其中一个称为“简单$\hat{T}$”，并表示$\hat{T}$。这是与平价的明显相似之处。另一种是$T$对称，这通常就是文献中$T$的意思。第二个$T$是由维格纳在1932年发明的，它要求$T$除了作用于场之外，还要在整个拉格朗日量中包含$i \rightarrow-i$。虽然简单的$\hat{T}$是$T$对4向量作用的更自然的概括，但它也有点琐碎。维格纳的$T$具有重要的物理意义。
在做任何激烈的事情之前，除了$T: \psi \rightarrow \Gamma \psi$之外，最简单的是$T: \psi \rightarrow$$\Gamma \psi^{\star}$，就像电荷共轭一样。我们将此转换称为$\hat{T}$，以区别于文献中通常称为$T$的转换。所以，
$$
\hat{T}: \quad \psi \rightarrow \Gamma \psi^{\star}, \quad \psi^{\dagger} \rightarrow\left(\Gamma \psi^{\star}\right)^{\dagger}=\psi^T \Gamma^{\dagger} .
$$
$\hat{T}$应该把粒子变成反粒子，这也可以从反粒子的图像中理解为粒子在时间上向后移动。
然后，
$$
\psi^{\dagger} \psi \rightarrow \psi^T \Gamma^{\dagger} \Gamma \psi^{\star}=\Gamma_{\alpha \beta}^{\dagger} \Gamma_{\beta \gamma} \psi_\alpha \psi_\gamma^{\star}=-\psi_\gamma^{\star}\left(\Gamma_{\alpha \beta}^{\dagger} \Gamma_{\beta \gamma}\right)^T \psi_\alpha=-\psi^{\dagger}\left(\Gamma^{\dagger} \Gamma\right)^T \psi,
$$
我们需要$\Gamma^{\dagger} \Gamma=\mathbb{1}$，这说明$\Gamma$是一个酉矩阵。这很好。但我们也需要保留$\bar{\psi} \gamma_i \psi$和质量项$\bar{\psi} \psi$。对于质量项，
$$
\bar{\psi} \psi \rightarrow \psi^T \Gamma^{\dagger} \gamma_0 \Gamma \psi^{\star}=-\bar{\psi}\left(\Gamma^{\dagger} \gamma_0 \Gamma \gamma_0\right)^T \psi
$$
只有$\left{\Gamma, \gamma_0\right}=0$才等于$\bar{\psi} \psi$。接下来，
$$
\bar{\psi} \gamma_i \psi \rightarrow \psi^T \Gamma^{\dagger} \gamma_0 \gamma_i \Gamma \psi^{\star}=-\bar{\psi}\left(\Gamma^{\dagger} \gamma_0 \gamma_i \Gamma \gamma_0\right)^T \psi=-\bar{\psi}\left(\Gamma^{\dagger} \gamma_i \Gamma\right)^T \psi,
$$
应该等于$i=1,2,3$的$\bar{\psi} \gamma_i \psi$。所以$\gamma_i \Gamma+\Gamma \gamma_i^T=0$，也就是$\left[\Gamma, \gamma_1\right]=$$0,\left[\Gamma, \gamma_3\right]=0$和$\left{\Gamma, \gamma_2\right}=0$。与$\gamma_1$和$\gamma_3$交换和与$\gamma_2$和$\gamma_0$反交换的唯一(不超过一个常数)矩阵是$\Gamma=\gamma_0 \gamma_2$。因此，
$$
\psi(t, \vec{x}) \rightarrow \gamma_0 \gamma_2 \psi^{\star}(-t, \vec{x}), \quad \psi^{\dagger}(t, \vec{x}) \rightarrow-\psi^T \gamma_2 \gamma_0(-t, \vec{x}) .
$$
物理代写|量子场论代写Quantum field theory代考|Wigner’s T (i.e. what is normally called T )
通常所说的时间反转是一种对称$T$，它是维格纳在1932年的一篇论文中描述的，并被证明是克莱默简并的一种解释。为了理解克莱默简并，考虑Schrödinger方程，
$$
i \partial_t \psi(t, \vec{x})=H \psi(t, \vec{x}),
$$
这里，为简单起见，我们设为$H=\frac{p^2}{2 m}+V(x)$，它是实时独立的。如果我们求这个方程的共轭复数$t \rightarrow-t$，我们会发现
$$
i \partial_t \psi^{\star}(-t, \bar{x})=H \psi^{\star}(-t, \vec{x}) .
$$
因此，$\psi^{\prime}(t, x)=\psi^{\star}(-t, x)$是Schrödinger方程的另一个解。如果$\psi$是一个能量特征态，那么只要$\psi \neq \xi \psi^{\star}$对于任何复数$\xi, \psi^{\prime}$都会是另一个具有相同能量的状态。这种在每个能量处状态的倍增被称为克莱默简并。特别是，对于氢原子，$\psi_{n l m}(\vec{x})=R_n(r) Y_{l m}(\theta, \phi)$是能量本征态，所以克雷默简并说，具有$m$和$-m$的状态将是简并的(它们确实是)。这个定理的重要性在于，它也适用于更复杂的系统，以及外部电场中的系统，这些系统的确切特征态可能是未知的。
我们很快就会看到，这个映射$\psi(t, \vec{x}) \rightarrow \psi^{\star}(-t, \vec{x})$发送粒子到粒子(而不是反粒子)，这与上面简单的$\hat{T}$操作符不同。它有一个很好的解释:假设你制作了一部关于某些物理过程的电影，然后倒着看电影;时间反转意味着你不应该分辨出哪个是“游戏”，哪个是“反转”。
维格纳公式$T$的窍门是我们必须求复共轭，然后求$\psi^{\prime}=\psi^{\star}$。这特别意味着Schrödinger方程中的$i$和场变换一样会变成$-i$。这是找到解决$\psi^{\dagger} \psi$需要在$T$下翻转符号的问题的关键，我们在本节开头讨论了这个问题。$\psi$的动力学项是$i \bar{\psi} \gamma^0 \partial_0 \psi$;如果$i \rightarrow-i$那么，既然$\partial_0 \rightarrow-\partial_0, \psi^{\dagger} \psi$是不变的。因此我们需要
$$
T: \quad i \rightarrow-i .
$$
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金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。
非参数统计代写
非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。
有限元方法代写
有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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随机分析代写
随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。
时间序列分析代写
随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。
回归分析代写
多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
MATLAB代写
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