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在理论物理学中，量子场论（QFT）是一个理论框架，它结合了经典场论、狭义相对论和量子力学。QFT在粒子物理学中被用来构建亚原子粒子的物理模型，在凝聚态物理学中被用来构建类粒子的模型。
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物理代写|量子场论代写Quantum field theory代考|Non-relativistic limit
In the non-relativistic limit, our formula for the cross section should reduce to the usual formula from non-relativistic quantum mechanics. To see this, consider the case where an electron $\phi_e$ of mass $m_e$ scatters off a proton $\phi_p$ of mass $m_p$. From non-relativistic quantum mechanics, the cross section should be given by the Born approximation:
$$
\left.\left(\frac{d \sigma}{d \Omega}\right){\text {Born }}=\frac{m_e^2}{4 \pi^2} \mid \tilde{V}(\vec{k})\right]^2, $$ where the Fourier transform of the potential is given by $$ \widetilde{V}(\vec{k})=\int d^3 x e^{-i \vec{k} \vec{x}} V(\vec{x}) $$ and $\vec{k}$ is the difference in the electron momentum before and after scattering, sometimes called the momentum transfer. For example, if this is a Coulomb potential, $V(x)=\frac{e^2}{4 \pi|\vec{x}|}$, then $\widetilde{V}(\vec{k})=\frac{e^2}{\vec{k}^2}$ so $$ \left(\frac{d \sigma}{d \Omega}\right){\mathrm{Born}}=\frac{m_e^2}{4 \pi^2}\left(\frac{e^2}{\overrightarrow{k^2}}\right)^2
$$
Let us check the mass dimensions in these formulas (see Appendix A). $[V(x)]=1$, so $[\tilde{V}(k)]=-2$ and then $\left[\left(\frac{d \sigma}{d \Omega}\right)_{\text {Born }}\right]=-2$, which is the correct dimension for a cross section.
For the field theory version, the center-of-mass frame is the proton rest frame to a good approximation and $E_{\mathrm{CM}}=m_p$. Also, the scattering is elastic, so $\left|\vec{p}i\right|=\left|\vec{p}_f\right|$. Then, the prediction is $$ \left(\frac{d \sigma}{d \Omega}\right){\mathrm{CM}}=\frac{1}{64 \pi^2 m_p^2}|\mathcal{M}|^2
$$
What dimension should $\mathcal{M}$ have? Since $\left[\frac{d \sigma}{d \Omega}\right]=-2$ and $\left[m_p^{-2}\right]=-2$, it follows that $\mathcal{M}$ should be dimensionless.
If we ignore spin, we will see in Chapter 9 (Eqn. (9.11)) that the Lagrangian describing the interaction between the electron, proton and photon has the form
$$
\begin{aligned}
\mathcal{L}= & -\frac{1}{4} F_{\mu \nu}^2-\phi_e^{\star}\left(\square+m_e^2\right) \phi_e-\phi_p^{\star}\left(\square+m_p^2\right) \phi_p \
& -i e A_\mu\left(\phi_e^{\star} \partial_\mu \phi_e-\phi_e^{\star} \partial_\mu \phi_e\right)+i e A_\mu\left(\phi_p^{\star} \partial_\mu \phi_p-\phi_p^{\star} \partial_\mu \phi_p\right)+\mathcal{O}\left(e^2\right),
\end{aligned}
$$
with $\phi_e$ and $\phi_p$ representing the electron and proton respectively. (This is the Lagrangian for scalar OED.)
物理代写|量子场论代写Quantum field theory代考|e+e− → μ+μ− with spin
So far, we have approximated everything, electrons and protons, as being spinless. This is a good first approximation, as the basic $\frac{1}{r}$ form of Coulomb’s law does not involve spin – it follows from flux conservation (Gauss’s law) or, more simply, from dimensional analysis. In Chapter 10, we will understand the spin of the electron and proton using the Dirac equation and spinors. While spinors are an extremely efficient way to encode spin information in a relativistic setting, it is also important to realize that relativistic spin can be understood the same way as for non-relativistic scattering.
In this section we will do a simple example of calculating a matrix element with spin. Consider the process of electron-positron annihilation into muon-antimuon pairs (this process will be considered in more detail in Section 13.3 and Chapter 20). The electron does not interact with the muon directly, only through the electromagnetic force (and the weak force). The leading-order contribution should then come from a process represented by
This diagram has a precise meaning, as we will see in Chapter 7 , but for now just think of it as a pictorial drawing of the process: the $e^{+} e^{-}$annihilate into a virtual photon, which propagates along, then decays into a $\mu^{+} \mu^{-}$pair.
Let us get the dimensional part out of the way first. The propagator we saw in Chapters 3 and 4 (see Eqs. (3.79) and (4.31)) gives $\frac{1}{k^2}$, where $k^\mu=p_1^\mu+p_2^\mu=p_3^\mu+p_4^\mu$ is the offshell photon momentum. For a scattering process, such as $e^{-} p^{+} \rightarrow e^{-} p^{+}$, this propagator $\frac{1}{k^2}$ gives the scattering potential. For this annihilation process, it is much simpler; in the center-of-mass frame $\frac{1}{k^2}=\frac{1}{E_{\mathrm{CM}}^2}$, which is constant (if $E_{\mathrm{CM}}$ is constant). By dimensional analysis, $\mathcal{M}$ should be dimensionless. The $\frac{1}{E_{\mathrm{CM}}^2}$ is in fact canceled by factors of $\sqrt{2 E_1}=$ $\sqrt{2 E_2}=\sqrt{2 E_3}=\sqrt{2 E_4}=\sqrt{E_{\mathrm{CM}}}$, which come from the (natural, non-relativistic) normalization of the electron and muon states. Thus, all these $E_{\mathrm{CM}}$ factors cancel and $\mathcal{M}$ is just a dimensionless number, given by the appropriate spin projections.
So, the only remaining part of $\mathcal{M}$ is given by projections of initial spins onto the intermediate photon polarizations, and then onto final spins. We can write
$$
\mathcal{M}\left(s_1 s_2 \rightarrow s_3 s_4\right)=\sum_\epsilon\left\langle s_1 s_2 \mid \epsilon\right\rangle\left\langle\epsilon \mid s_3 s_4\right\rangle
$$
where $s_1$ and $s_2$ are the spins of the incoming states, $s_3$ and $s_4$ the spins of the outgoing states, and $\epsilon$ is the polarization of the intermediate photon.
量子场论代考
物理代写|量子场论代写Quantum field theory代考|Non-relativistic limit
在非相对论性极限下，我们的横截面公式应该简化为非相对论性量子力学的通常公式。为了理解这一点，考虑一个质量为$m_e$的电子$\phi_e$从质量为$m_p$的质子$\phi_p$散射出去的情况。从非相对论量子力学来看，横截面应该由玻恩近似给出:
$$
\left.\left(\frac{d \sigma}{d \Omega}\right){\text {Born }}=\frac{m_e^2}{4 \pi^2} \mid \tilde{V}(\vec{k})\right]^2, $$电势的傅里叶变换由$$ \widetilde{V}(\vec{k})=\int d^3 x e^{-i \vec{k} \vec{x}} V(\vec{x}) $$给出，$\vec{k}$是散射前后电子动量的差，有时称为动量转移。例如，如果这是库仑势，$V(x)=\frac{e^2}{4 \pi|\vec{x}|}$，那么$\widetilde{V}(\vec{k})=\frac{e^2}{\vec{k}^2}$所以$$ \left(\frac{d \sigma}{d \Omega}\right){\mathrm{Born}}=\frac{m_e^2}{4 \pi^2}\left(\frac{e^2}{\overrightarrow{k^2}}\right)^2
$$
让我们检查一下这些公式中的质量尺寸(见附录A) $[V(x)]=1$，所以$[\tilde{V}(k)]=-2$，然后$\left[\left(\frac{d \sigma}{d \Omega}\right)_{\text {Born }}\right]=-2$，这是截面的正确尺寸。
对于场论的版本，质心框架是质子静止框架的一个很好的近似和$E_{\mathrm{CM}}=m_p$。而且，散射是有弹性的，所以$\left|\vec{p}i\right|=\left|\vec{p}_f\right|$。那么，预测是 $$ \left(\frac{d \sigma}{d \Omega}\right){\mathrm{CM}}=\frac{1}{64 \pi^2 m_p^2}|\mathcal{M}|^2
$$
$\mathcal{M}$应该有什么维度?由于$\left[\frac{d \sigma}{d \Omega}\right]=-2$和$\left[m_p^{-2}\right]=-2$，因此$\mathcal{M}$应该是无量纲的。
如果我们忽略自旋，我们将在第9章看到。(9.11)描述电子、质子和光子之间相互作用的拉格朗日量具有这样的形式
$$
\begin{aligned}
\mathcal{L}= & -\frac{1}{4} F_{\mu \nu}^2-\phi_e^{\star}\left(\square+m_e^2\right) \phi_e-\phi_p^{\star}\left(\square+m_p^2\right) \phi_p \
& -i e A_\mu\left(\phi_e^{\star} \partial_\mu \phi_e-\phi_e^{\star} \partial_\mu \phi_e\right)+i e A_\mu\left(\phi_p^{\star} \partial_\mu \phi_p-\phi_p^{\star} \partial_\mu \phi_p\right)+\mathcal{O}\left(e^2\right),
\end{aligned}
$$
其中$\phi_e$和$\phi_p$分别代表电子和质子。(这是标量OED的拉格朗日量。)
物理代写|量子场论代写Quantum field theory代考|e+e− → μ+μ− with spin
到目前为止，我们已经把所有东西，电子和质子，都近似为无自旋的。这是一个很好的第一近似，因为库仑定律的$\frac{1}{r}$基本形式不涉及自旋——它遵循通量守恒(高斯定律)，或者更简单地说，来自量纲分析。在第十章中，我们将使用狄拉克方程和旋量来理解电子和质子的自旋。虽然自旋子是在相对论性环境中编码自旋信息的一种极其有效的方式，但认识到相对论性自旋可以像非相对论性散射一样被理解也是很重要的。
在本节中，我们将做一个简单的例子来计算一个带有自旋的矩阵元素。考虑电子-正电子湮灭成介子-反介子对的过程(这个过程将在第13.3节和第20章更详细地考虑)。电子不直接与介子相互作用，只通过电磁力(和弱力)相互作用。那么，领先的贡献应该来自于表示为
这个图有一个确切的含义，我们将在第七章看到，但现在只是把它想象成一个过程的图画:$e^{+} e^{-}$湮灭成一个虚拟光子，它沿着传播，然后衰变成一个$\mu^{+} \mu^{-}$对。
让我们先把量纲部分解决掉。我们在第3章和第4章看到的传播器(参见公式)。(3.79)和(4.31))给出$\frac{1}{k^2}$，其中$k^\mu=p_1^\mu+p_2^\mu=p_3^\mu+p_4^\mu$为离壳光子动量。对于散射过程，例如$e^{-} p^{+} \rightarrow e^{-} p^{+}$，这个传播子$\frac{1}{k^2}$给出了散射势。对于这个湮灭过程，它要简单得多;在质心坐标系$\frac{1}{k^2}=\frac{1}{E_{\mathrm{CM}}^2}$中，它是常数(如果$E_{\mathrm{CM}}$是常数)通过量纲分析，$\mathcal{M}$应该是无量纲的。$\frac{1}{E_{\mathrm{CM}}^2}$实际上被$\sqrt{2 E_1}=$$\sqrt{2 E_2}=\sqrt{2 E_3}=\sqrt{2 E_4}=\sqrt{E_{\mathrm{CM}}}$的因子抵消了，它来自(自然的，非相对论的)电子和介子状态的标准化。因此，所有这些$E_{\mathrm{CM}}$因子相互抵消，$\mathcal{M}$只是一个由适当的自旋投影给出的无量纲数。
所以，$\mathcal{M}$唯一剩下的部分是由初始自旋投影到中间光子偏振，然后投影到最终自旋。我们可以写
$$
\mathcal{M}\left(s_1 s_2 \rightarrow s_3 s_4\right)=\sum_\epsilon\left\langle s_1 s_2 \mid \epsilon\right\rangle\left\langle\epsilon \mid s_3 s_4\right\rangle
$$
其中$s_1$和$s_2$是入射态的自旋，$s_3$和$s_4$是出射态的自旋，$\epsilon$是中间光子的偏振。
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金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。
非参数统计代写
非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。
有限元方法代写
有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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随机分析代写
随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。
时间序列分析代写
随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。
回归分析代写
多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。