数学代写|实分析作业代写Real analysis代考|MATH1001

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实分析是分析学的一个领域,研究诸如序列及其极限、连续性、微分、积分和函数序列的概念。根据定义,实分析侧重于实数,通常包括正负无穷大,以形成扩展实线。

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  • Foundations of Data Science 数据科学基础
数学代写|实分析作业代写Real analysis代考|MATH1001

数学代写|实分析作业代写Real analysis代考|Compact Sets and Their Properties

A very important role in continuous mathematics is played by the concept of compactness.
1.7.1. Definition. A set in a Hausdorff space is called compact (or compactum) if in every cover of this set by open sets one can pick a finite subcover:
It is clear from the definition that a set in a Hausdorff space is compact precisely when it is compact as a separate space with the induced topology. The property to be Hausdorff is not always included in the definition and is required here just for convenience of some subsequent formulations.

This definition is not intuitively motivated and may seem at the first glance to be too technical as compared to the intuitively convincing property of compactness of subsets of the real line formulated as the possibility of finding a convergent subsequence in every sequence. However, already a century long experience shows that the given definition (not equivalent to the definition in terms of sequences in case of general topological spaces, but coinciding with it in metric spaces) turns out to be much more fruitful and leads to a substantially more fruitful theory. A cover of a set by a family of open sets is called an open cover.
1.7.2. Proposition. (i) Any closed subset of a compact set is compact.
(ii) Any compact set in a Hausdorff space is closed.
(iii) The image of a compact set under a continuous mapping with values in a
Hausdorff space is compact.
(iv) Any infinite subset of a compact set has a limit point.
(v) Every continuous mapping from a compact metric space to a metric space is uniformly continuous.

数学代写|实分析作业代写Real analysis代考|Compactness Criteria

In the standard coordinate space $\mathbb{R}^n$ compact sets are precisely closed bounded sets. In calculus this fact is usually deduced from the case $n=1$, which in turn is established with the aid of basic properties of real numbers. In most of spaces interesting for applications the class of compact sets is strictly contained in the class of closed bounded sets. Hence it is important to have compactness criteria in concrete spaces. Here we consider three typical examples.
1.8.1. Theorem. $A$ set $K$ in the space $l^2$ is compact precisely when it is closed and bounded and satisfies the following condition:
$$
\lim {N \rightarrow \infty} \sup {x \in K} \sum_{n=N}^{\infty} x_n^2=0 .
$$
Proof. If $K$ is compact, then it is closed and bounded and for every $\varepsilon>0$ has a finite $\varepsilon$-net $a^1, \ldots, a^m$, where $a^i=\left(a_1^i, a_2^i, \ldots\right)$. Let us take $N$ such that $\sum_{n=N}^{\infty}\left|a_n^i\right|^2<\varepsilon^2$ for all $i \leqslant m$. We obtain $\sum_{n=N}^{\infty} x_n^2<4 \varepsilon^2$ for every $x \in K$, since there exists $i \leqslant m$ with $\sum_{n=1}^{\infty}\left|x_n-a_n^i\right|^2<\varepsilon^2$ and $x_n^2 \leqslant 2\left|x_n-a_n^i\right|^2+2\left|a_n^i\right|^2$. Conversely, if the indicated condition is fulfilled, then $K$ possesses a finite $\varepsilon$-net for every $\varepsilon>0$. Indeed, let $N$ be such that $\sup {x \in K} \sum{n=N+1}^{\infty} x_n^2<\varepsilon^2 / 4$. The set $K_N$ of points of the form $\pi_N x:=\left(x_1, \ldots, x_N, 0,0, \ldots\right)$, where $x \in K$, is an $\varepsilon / 2$-net for $K$ (since the distance between $x$ and $\pi_N x$ is not larger than $\varepsilon / 2$ ).

The set $K_N$ has a finite $\varepsilon / 2$-net (which will be a finite $\varepsilon$-net for $K$ ), since the projection of $K_N$ onto $\mathbb{R}^N$ is bounded by the boundedness of $K$ and hence has a finite $\varepsilon / 2$-net, which becomes an $\varepsilon / 2$-net for $K_N$ after adding zero coordinates starting from the $(N+1)$ th position.
1.8.2. Example. The set $E=\left{x \in l^2: \sum_{n=1}^{\infty} \alpha_n x_n^2 \leqslant 1\right}$, where $\alpha_n>0$ and $\alpha_n \rightarrow+\infty$, is compact in $l^2$. Indeed, it is easy to verify that it is closed and bounded. In addition,
$$
\sup {x \in E} \sum{n=N}^{\infty} x_n^2 \leqslant \sup {x \in E} \sup {n \geqslant N} \alpha_n^{-1} \sum_{n=N}^{\infty} \alpha_n x_n^2 \leqslant \sup _{n \geqslant N} \alpha_n^{-1} \rightarrow 0
$$
as $N \rightarrow \infty$. Hence the theorem proved above applies.

数学代写|实分析作业代写Real analysis代考|MATH1001

实分析代写

数学代写|实分析作业代写Real analysis代考|Compact Sets and Their Properties

紧性概念在连续数学中起着非常重要的作用。
1.7.1. 定义。豪斯多夫空间中的集合称为紧集(或紧集),如果在这个集合的每个开集覆盖中都可以选择一个有限子覆盖:
从定义中可以清楚地看出,豪斯多夫空间中的集合恰好是紧致的作为具有诱导拓扑的独立空间。豪斯多夫性质并不总是包含在定义中,这里只是为了方便一些后续公式而需要。

这个定义不是出于直觉的动机,并且与直觉上令人信服的实线子集的紧凑性属性相比,乍一看似乎过于技术化,该属性被表述为在每个序列中找到收敛子序列的可能性。然而,一个世纪以来的经验表明,给定的定义(不等同于一般拓扑空间中序列的定义,但与度量空间中的定义一致)结果更加富有成效,并导致更多富有成果的理论。由开集族构成的集的覆盖称为开覆盖。
1.7.2. 主张。(i) 紧集的任何闭子集都是紧集的。
(ii) 豪斯多夫空间中的任何紧集都是闭集。(iii) 在Hausdorff 空间中具有值的连续映射下紧集的图像是紧的。
(iv) 紧集的任何无限子集都有一个极限点。
(v) 每个从紧度量空间到度量空间的连续映射是一致连续的。

数学代写|实分析作业代写Real analysis代考|Compactness Criteria

在标准坐标空间 $\mathbb{R}^n$ 紧集是精确闭有界集。在微积分中,这个事实通常是从案例中推导出来的 $n=1$ ,这又是借助实数的基本属性建立的。在大多数对应用感兴趣的空间中,紧集类严格包, 含在闭有界集类中。因此,在混疑土空间中采用紧凑性标准非常重要。这里我们考虑三个典型 的例子。
1.8.1. 定理。 $A$ 放 $K$ 在空间 $l^2$ 当它闭合且有界且满足以下条件时,它是紧致的:
$$
\lim N \rightarrow \infty \sup x \in K \sum_{n=N}^{\infty} x_n^2=0
$$
证明。如果 $K$ 是紧致的,那么它是闭有界的,对于每个 $\varepsilon>0$ 有一个有限的 $\varepsilon$-网 $a^1, \ldots, a^m$ , 在哪里 $a^i=\left(a_1^i, a_2^i, \ldots\right)$. 让我们拿 $N$ 这样 $\sum_{n=N}^{\infty}\left|a_n^i\right|^2<\varepsilon^2$ 对全部 $i \leqslant m$. 我们获得 $\sum_{n=N}^{\infty} x_n^2<4 \varepsilon^2$ 每一个 $x \in K$, 因为存在 $i \leqslant m$ 和 $\sum_{n=1}^{\infty}\left|x_n-a_n^i\right|^2<\varepsilon^2$ 和 $x_n^2 \leqslant 2\left|x_n-a_n^i\right|^2+2\left|a_n^i\right|^2$. 相反,如果满足指示的条件,则 $K$ 拥有有限的 $\varepsilon$-net 为每个 $\varepsilon>0$. 的确,让 $N$ 是这样的 $\sup x \in K \sum n=N+1^{\infty} x_n^2<\varepsilon^2 / 4$. 套装 $K_N$ 形式的点数 $\pi_N x:=\left(x_1, \ldots, x_N, 0,0, \ldots\right)$ ,在哪里 $x \in K$ ,是一个 $\varepsilon / 2$-净为 $K$ (因为之间的距离 $x$ 和 $\pi_N x$ 不大于 $\left.\varepsilon / 2\right)$. 套装 $K_N$ 有一个有限的 $\varepsilon / 2$-net (这将是一个有限的 $\varepsilon$-净为 $K$ ),因为投影 $K_N$ 到 $\mathbb{R}^N$ 受有界性的 限制 $K$ 因此有一个有限的 $\varepsilon / 2$-net,它变成了 $\varepsilon / 2$-净为 $K_N$ 添加从开始的零坐标后 $(N+1)$ 第 位置。 $\alpha_n>0$ 和 $\alpha_n \rightarrow+\infty$ , 是紧凑的 $l^2$. 事实上,很容易验证它是封闭的和有界的。此外,
$$
\sup x \in E \sum n=N^{\infty} x_n^2 \leqslant \sup x \in E \sup n \geqslant N \alpha_n^{-1} \sum_{n=N}^{\infty} \alpha_n x_n^2 \leqslant \sup _{n \geqslant N} \alpha_n^{-1} \rightarrow 0
$$
作为 $N \rightarrow \infty$. 因此上面证明的定理适用。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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