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统计推断Statistical Inference指的是一个研究领域，我们在面对不确定性的情况下，根据我们观察到的数据，试图推断世界的未知特性。它是一个数学框架，在许多情况下量化我们的常识所说的话，但在常识不够的情况下，它允许我们超越常识。对正确的统计推断的无知会导致错误的决策和浪费金钱。就像对其他领域的无知一样，对统计推断的无知也会让别人操纵你，让你相信一些错误的事情是正确的。
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统计代写|统计推断代写Statistical inference代考|Likelihood Ratio Tests
The likelihood ratio method of hypothesis testing is related to the maximum likelihood estimators discussed in Section 7.2.2, and likelihood ratio tests are as widely applicable as maximum likelihood estimation. Recall that if $X_1, \ldots, X_n$ is a random sample from a population with pdf or $\operatorname{pmf} f(x \mid \theta)(\theta$ may be a vector), the likelihood function is defined as
$$
L\left(\theta \mid x_1, \ldots, x_n\right)=L(\theta \mid \mathbf{x})=f(\mathbf{x} \mid \theta)=\prod_{i=1}^n f\left(x_i \mid \theta\right) .
$$
Let $\Theta$ denote the entire parameter space. Likelihood ratio tests are defined as follows.
Definition 8.2.1 The likelihood ratio test statistic for testing $H_0: \theta \in \Theta_0$ versus $H_1: \theta \in \Theta_0^c$ is
$$
\lambda(\mathbf{x})=\frac{\sup {\Theta_0} L(\theta \mid \mathbf{x})}{\sup {\Theta} L(\theta \mid \mathbf{x})} .
$$
A likelihood ratio test (LRT) is any test that has a rejection region of the form ${\mathbf{x}: \lambda(\mathbf{x})$ $\leq c}$, where $c$ is any number satisfying $0 \leq c \leq 1$.
The rationale behind LRTs may best be understood in the situation in which $f(x \mid \theta)$ is the pmf of a discrete random variable. In this case, the numerator of $\lambda(\mathbf{x})$ is the maximum probability of the observed sample, the maximum being computed over parameters in the null hypothesis. (See Exercise 8.4.) The denominator of $\lambda(\mathbf{x})$ is the maximum probability of the observed sample over all possible parameters. The ratio of these two maxima is small if there are parameter points in the alternative hypothesis for which the observed sample is much more likely than for any parameter point in the null hypothesis. In this situation, the LRT criterion says $H_0$ should be rejected and $H_1$ accepted as true. Methods for selecting the number $c$ are discussed in Section 8.3.
If we think of doing the maximization over both the entire parameter space (unrestricted maximization) and a subset of the parameter space (restricted maximization), then the correspondence between LRTs and MLEs becomes more clear. Suppose $\hat{\theta}$, an MLE of $\theta$, exists; $\hat{\theta}$ is obtained by doing an unrestricted maximization of $L(\theta \mid \mathbf{x})$. We can also consider the MLE of $\theta$, call it $\hat{\theta}_0$, obtained by doing a restricted maximization, assuming $\Theta_0$ is the parameter space. That is, $\hat{\theta}_0=\hat{\theta}_0(\mathbf{x})$ is the value of $\theta \in \Theta_0$ that maximizes $L(\theta \mid \mathbf{x})$. Then, the LRT statistic is
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\lambda(\mathbf{x})=\frac{L\left(\hat{\theta}_0 \mid \mathbf{x}\right)}{L(\hat{\theta} \mid \mathbf{x})}
$$
统计代写|统计推断代写Statistical inference代考|Bayesian Tests
Hypothesis testing problems may also be formulated in a Bayesian model. Recall from Section 7.2.3 that a Bayesian model includes not only the sampling distribution $f(\mathbf{x} \mid \theta)$ but also the prior distribution $\pi(\theta)$, with the prior distribution reflecting the experimenter’s opinion about the parameter $\theta$ prior to sampling.
The Bayesian paradigm prescribes that the sample information be combined with the prior information using Bayes’ Theorem to obtain the posterior distribution $\pi(\theta \mid \mathbf{x})$. All inferences about $\theta$ are now based on the posterior distribution.
In a hypothesis testing problem, the posterior distribution may be used to calculate the probabilities that $H_0$ and $H_1$ are true. Remember, $\pi(\theta \mid \mathbf{x})$ is a probability distribution for a random variable. Hence, the posterior probabilities $P\left(\theta \in \Theta_0 \mid \mathbf{x}\right)=P\left(H_0\right.$ is true $\mid \mathbf{x})$ and $P\left(\theta \in \Theta_0^{\mathbf{c}} \mid \mathbf{x}\right)=P\left(H_1\right.$ is true $\left.\mid \mathbf{x}\right)$ may be computed.
The probabilities $P\left(H_0\right.$ is true $\left.\mid \mathbf{x}\right)$ and $P\left(H_1\right.$ is true $\left.\mid \mathbf{x}\right)$ are not meaningful to the classical statistician. The classical statistician considers $\theta$ to be a fixed number. Consequently, a hypothesis is either true or false. If $\theta \in \Theta_0, P\left(H_0\right.$ is true $\left.\mid \mathbf{x}\right)=1$ and $P\left(H_1\right.$ is true $\left.\mathbf{x}\right)=0$ for all values of $\mathbf{x}$. If $\theta \in \Theta_0^{\mathbf{c}}$, these values are reversed. Since these probabilities are unknown (since $\theta$ is unknown) and do not depend on the sample $\mathbf{x}$, they are not used by the classical statistician. In a Bayesian formulation of a hypothesis testing problem, these probabilities depend on the sample $\mathbf{x}$ and can give useful information about the veracity of $H_0$ and $H_1$.
One way a Bayesian hypothesis tester may choose to use the posterior distribution is to decide to accept $H_0$ as true if $P\left(\theta \in \Theta_0 \mid \mathbf{X}\right) \geq P\left(\theta \in \Theta_0^{\mathbf{c}} \mid \mathbf{X}\right)$ and to reject $H_0$ otherwise. In the terminology of the previous sections, the test statistic, a function of the sample, is $P\left(\theta \in \Theta_0^c \mid \mathbf{X}\right)$ and the rejection region is $\left{\mathbf{x}: P\left(\theta \in \Theta_0^c \mid \mathbf{x}\right)>\frac{1}{2}\right}$. Alternatively, if the Bayesian hypothesis tester wishes to guard against falsely rejecting $H_0$, he may decide to reject $H_0$ only if $P\left(\theta \in \Theta_0^{\mathrm{c}} \mid \mathbf{X}\right)$ is greater than some large number, .99 for example.
统计推断代考
统计代写|统计推断代写Statistical inference代考|Likelihood Ratio Tests
假设检验的似然比方法与7.2.2节中讨论的极大似然估计量有关，似然比检验与极大似然估计一样广泛适用。回想一下，如果$X_1, \ldots, X_n$是总体中的随机样本(pdf或$\operatorname{pmf} f(x \mid \theta)(\theta$可能是矢量)，则似然函数定义为
$$
L\left(\theta \mid x_1, \ldots, x_n\right)=L(\theta \mid \mathbf{x})=f(\mathbf{x} \mid \theta)=\prod_{i=1}^n f\left(x_i \mid \theta\right) .
$$
设$\Theta$表示整个参数空间。似然比检验的定义如下。
8.2.1检验$H_0: \theta \in \Theta_0$与$H_1: \theta \in \Theta_0^c$的似然比检验统计量为
$$
\lambda(\mathbf{x})=\frac{\sup {\Theta_0} L(\theta \mid \mathbf{x})}{\sup {\Theta} L(\theta \mid \mathbf{x})} .
$$
似然比检验(LRT)是具有${\mathbf{x}: \lambda(\mathbf{x})$$\leq c}$形式的拒绝区域的任何检验，其中$c$是满足$0 \leq c \leq 1$的任何数字。
在$f(x \mid \theta)$是离散随机变量的pmf的情况下，LRTs背后的基本原理可能得到最好的理解。在这种情况下，$\lambda(\mathbf{x})$的分子是观察到的样本的最大概率，最大值是根据零假设中的参数计算的。(参见练习8.4。)$\lambda(\mathbf{x})$的分母是观测样本在所有可能参数上的最大概率。如果在备选假设中存在参数点，观察到的样本比零假设中的任何参数点更有可能出现，那么这两个最大值的比值就很小。在这种情况下，LRT准则说$H_0$应该被拒绝，$H_1$应该被接受为真。选择编号$c$的方法将在8.3节中讨论。
如果我们考虑在整个参数空间(无限制最大化)和参数空间的子集(受限最大化)上进行最大化，那么lrt和mle之间的对应关系就会变得更加清晰。假设存在一个最大似然值$\theta$$\hat{\theta}$;$\hat{\theta}$是通过无限制地最大化$L(\theta \mid \mathbf{x})$得到的。我们也可以考虑$\theta$的最大似然值(MLE)，称其为$\hat{\theta}_0$，通过做一个受限的最大化得到，假设$\Theta_0$是参数空间。即$\hat{\theta}_0=\hat{\theta}_0(\mathbf{x})$是使$L(\theta \mid \mathbf{x})$最大化的$\theta \in \Theta_0$值。那么，轻轨统计数据为
$$
\lambda(\mathbf{x})=\frac{L\left(\hat{\theta}_0 \mid \mathbf{x}\right)}{L(\hat{\theta} \mid \mathbf{x})}
$$
统计代写|统计推断代写Statistical inference代考|Bayesian Tests
假设检验问题也可以用贝叶斯模型来表述。回想一下，在第7.2.3节中，贝叶斯模型不仅包括抽样分布$f(\mathbf{x} \mid \theta)$，还包括先验分布$\pi(\theta)$，其中先验分布反映了在抽样之前实验者对参数$\theta$的看法。
贝叶斯范式规定使用贝叶斯定理将样本信息与先验信息结合得到后验分布$\pi(\theta \mid \mathbf{x})$。所有关于$\theta$的推论现在都基于后验分布。
在假设检验问题中，后验分布可以用来计算$H_0$和$H_1$为真的概率。记住，$\pi(\theta \mid \mathbf{x})$是随机变量的概率分布。因此，后验概率$P\left(\theta \in \Theta_0 \mid \mathbf{x}\right)=P\left(H_0\right.$为真$\mid \mathbf{x})$和$P\left(\theta \in \Theta_0^{\mathbf{c}} \mid \mathbf{x}\right)=P\left(H_1\right.$为真$\left.\mid \mathbf{x}\right)$可以计算出来。
概率$P\left(H_0\right.$为真$\left.\mid \mathbf{x}\right)$和$P\left(H_1\right.$为真$\left.\mid \mathbf{x}\right)$对古典统计学家来说是没有意义的。古典统计学家认为$\theta$是一个固定的数字。因此，假设不是对就是错。如果$\theta \in \Theta_0, P\left(H_0\right.$为真$\left.\mid \mathbf{x}\right)=1$和$P\left(H_1\right.$为真$\left.\mathbf{x}\right)=0$对于$\mathbf{x}$的所有值。如果是$\theta \in \Theta_0^{\mathbf{c}}$，则这些值相反。由于这些概率是未知的(因为$\theta$是未知的)，并且不依赖于样本$\mathbf{x}$，所以经典统计学家不使用它们。在假设检验问题的贝叶斯公式中，这些概率取决于样本$\mathbf{x}$，并且可以提供关于$H_0$和$H_1$的准确性的有用信息。
贝叶斯假设检验者可能选择使用后验分布的一种方法是，如果$P\left(\theta \in \Theta_0 \mid \mathbf{X}\right) \geq P\left(\theta \in \Theta_0^{\mathbf{c}} \mid \mathbf{X}\right)$，决定接受$H_0$为真，否则拒绝$H_0$。在前几节的术语中，检验统计量(样本的函数)为$P\left(\theta \in \Theta_0^c \mid \mathbf{X}\right)$，拒绝区域为$\left{\mathbf{x}: P\left(\theta \in \Theta_0^c \mid \mathbf{x}\right)>\frac{1}{2}\right}$。或者，如果贝叶斯假设检验员希望防止错误地拒绝$H_0$，他可能只在$P\left(\theta \in \Theta_0^{\mathrm{c}} \mid \mathbf{X}\right)$大于某个较大的数字(例如0.99)时才决定拒绝$H_0$。
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金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。
非参数统计代写
非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。
有限元方法代写
有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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随机分析代写
随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。
时间序列分析代写
随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。
回归分析代写
多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。