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随机过程 用于表示在时间上发展的统计现象以及在处理这些现象时出现的理论模型，由于这些现象在许多领域都会遇到，因此这篇文章具有广泛的实际意义。
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数学代写|随机过程统计代写Stochastic process statistics代考|Brownian motion as a Gaussian process
Recall that a one-dimensional random variable $\Gamma$ is Gaussian if it has the characteristic function
$$
\mathbb{E} e^{i \xi \Gamma}=e^{i m \xi-\frac{1}{2} \sigma^2 \xi^2}
$$
for some real numbers $m \in \mathbb{R}$ and $\sigma \geqslant 0$. If we differentiate (2.1) two times with respect to $\xi$ and set $\xi=0$, we see that
$$
m=\mathbb{E} \Gamma \quad \text { and } \quad \sigma^2=\mathbb{V} \Gamma .
$$
A random vector $\Gamma=\left(\Gamma_1, \ldots, \Gamma_n\right) \in \mathbb{R}^n$ is Gaussian, if $\langle\ell, \Gamma\rangle$ is for every $\ell \in \mathbb{R}^n$ a one-dimensional Gaussian random variable. This is the same as to say that
$$
\mathbb{E} e^{i\langle\xi, \Gamma\rangle}=e^{i \mathbb{E}(\xi, \Gamma)-\frac{1}{2} \mathbb{V}(\xi, \Gamma)} .
$$
Setting $m=\left(m_1, \ldots, m_n\right) \in \mathbb{R}^n$ and $\Sigma=\left(\sigma_{j k}\right){j, k=1 \ldots, n} \in \mathbb{R}^{n \times n}$ where $$ m_j:=\mathbb{E} \Gamma_j \quad \text { and } \quad \sigma{j k}:=\mathbb{E}\left(\Gamma_j-m_j\right)\left(\Gamma_k-m_k\right)=\operatorname{Cov}\left(\Gamma_j, \Gamma_k\right),
$$
we can rewrite (2.3) in the following form
$$
\mathbb{E} e^{i(\xi, \Gamma\rangle}=e^{i\langle\xi, m\rangle-\frac{1}{2}(\xi, \Sigma \xi)} .
$$
We call $m$ the mean vector and $\Sigma$ the covariance matrix of $\Gamma$.
数学代写|随机过程统计代写Stochastic process statistics代考|Invariance properties of Brownian motion
The fact that a stochastic process is a Brownian motion is preserved under various operations at the level of the sample paths. Throughout this section $\left(B_t\right){t \geqslant 0}$ denotes a $d$-dimensional Brownian motion. 2.8 Reflection. If $\left(B_t\right){t \geqslant 0}$ is a $\mathrm{BM}^d$, so is $\left(-B_t\right){t \geqslant 0}$. 2.9 Renewal. Let $(B(t)){t \geqslant 0}$ be a Brownian motion and fix some time $a>0$. Then $(W(t)){t \geqslant 0}, W(t):=B(t+a)-B(a)$, is again a $\mathrm{BM}^d$. The properties (B0) and (B4) are obvious for $W(t)$. For all $s \leqslant t$ $$ \begin{aligned} W(t)-W(s) &=B(t+a)-B(a)-(B(s+a)-B(a)) \ &=B(t+a)-B(s+a) \ & \stackrel{(\mathrm{B} 3)}{\sim} \mathrm{N}(0, t-s) \end{aligned} $$ which proves (B3) and (B2) for the process $W$. Finally, if $t_0=0{l-1}\right)=B\left(t_l+a\right)-B\left(t_{l-1}+a\right) \text { for all } j=1, \ldots, n
$$
i. e. the independence of the $W$-increments follows from (B1) for $B$ at the times $t_j+a$, $j=1, \ldots, d$ A consequence of the independent increments property is that a Brownian motion has no memory. This is the essence of the next lemma.
2.10 Lemma (Markov property of BM). Let $(B(t)){t \geqslant 0}$ be a $\mathrm{BM}^d$ and denote by $W(t):=B(t+a)-B(a)$ the shifted Brownian motion constructed in Paragraph $2.9$. Then $(B(t)){0 \leqslant t \leqslant a}$ and $(W(t)){t \geqslant 0}$ are independent, i.e. the $\sigma$-algebras generated by these processes are independent: $$ \sigma(B(t): 0 \leqslant t \leqslant a)=: \mathcal{F}_a^B \Perp \mathcal{F}{\infty}^W:=\sigma(W(t): 0 \leqslant t<\infty) .
$$
In particular, $B(t)-B(s) \Perp \mathcal{F}s^B$ for all $0 \leqslant s{j-1}: j=1, \ldots, n\right) .
$$
Since $X_0$ and $X_j-X_{j-1}$ are $\sigma\left(X_j: j=0, \ldots, n\right)$ measurable, we see the inclusion ‘ $\supset$ ‘. For the converse we observe that $X_k=\sum_{j=1}^k\left(X_j-X_{j-1}\right)+X_0, k=0, \ldots, n$. Let $0=s_0<s_1<\cdots<s_m=a=t_0<t_1<\cdots<t_n$. By (B1) the random variables
$$
B\left(s_1\right)-B\left(s_0\right), \ldots, B\left(s_m\right)-B\left(s_{m-1}\right), B\left(t_1\right)-B\left(t_0\right), \ldots, B\left(t_n\right)-B\left(t_{n-1}\right)
$$
are independent, thus
$$
\sigma\left(B\left(s_j\right)-B\left(s_{j-1}\right): j=1, \ldots, m\right) \Perp \sigma\left(B\left(t_k\right)-B\left(t_{k-1}\right): k=1, \ldots, n\right) .
$$
Using $W\left(t_k-t_0\right)-W\left(t_{k-1}-t_0\right)=B\left(t_k\right)-B\left(t_{k-1}\right)$ and $B(0)=W(0)=0$, we can apply (2.14) to get
$$
\sigma\left(B\left(s_j\right): j=1, \ldots, m\right) \Perp \sigma\left(W\left(t_k-t_0\right): k=1, \ldots, n\right)
$$
and
$$
\bigcup_{\substack{0<s_i<\cdots<s_m \leqslant a \ m \geqslant 1}} \sigma\left(B\left(s_j\right): j=1, \ldots, m\right) \Perp \bigcup_{\substack{0<u_i<\cdots<<u_n \ n \geqslant 1}} \sigma\left(W\left(u_k\right): k=1, \ldots, n\right) .
$$
The families on the left and right-hand side are $\cap$-stable generators of $\mathcal{F}a^B$ and $\mathcal{F}{\infty}^W$, respectively, thus $\mathcal{F}a^B \Perp \mathcal{F}{\infty}^W$.
Finally, taking $a=s$, we see that $B(t)-B(s)=W(t-s)$ which is $\mathcal{F}_{\infty}^W$ measurable and therefore independent of $\mathcal{F}_s^B$.
随机过程统计代考
数学代写|随机过程统计代写Stochastic process statistics代考|Brownian motion as a Gaussian process
回想一下，一维随机变量 $\Gamma$ 是高斯的，如果它具有特征函数
$$
\mathbb{E} e^{i \xi \Gamma}=e^{i m \xi-\frac{1}{2} \sigma^2 \xi^2}
$$
对于一些实数 $m \in \mathbb{R}$ 和 $\sigma \geqslant 0$. 如果我们对 (2.1) 进行两次微分 $\xi$ 并设置 $\xi=0$ ， 我们看到
$$
m=\mathbb{E} \Gamma \quad \text { and } \quad \sigma^2=\mathbb{V} \Gamma .
$$
随机向量 $\Gamma=\left(\Gamma_1, \ldots, \Gamma_n\right) \in \mathbb{R}^n$ 是高斯的，如果 $\langle\ell, \Gamma\rangle$ 是为每个 $\ell \in \mathbb{R}^n$ 一维高斯随机变量。这和说那个是一 样的
$$
\mathbb{E} e^{i\langle\xi, \Gamma\rangle}=e^{i \mathbb{E}(\xi, \Gamma)-\frac{1}{2} \mathbb{V}(\xi, \Gamma)} .
$$
环境 $m=\left(m_1, \ldots, m_n\right) \in \mathbb{R}^n$ 和 $\Sigma=\left(\sigma_{j k}\right) j, k=1 \ldots, n \in \mathbb{R}^{n \times n}$ 在哪里
$$
m_j:=\mathbb{E} \Gamma_j \quad \text { and } \quad \sigma j k:=\mathbb{E}\left(\Gamma_j-m_j\right)\left(\Gamma_k-m_k\right)=\operatorname{Cov}\left(\Gamma_j, \Gamma_k\right),
$$
我们可以将 (2.3) 改写为以下形式
$$
\mathbb{E} e^{i(\xi, \Gamma\rangle}=e^{i\langle\xi, m\rangle-\frac{1}{2}(\xi, \Sigma \xi)}
$$
我们称之为 $m$ 平均向量和 $\Sigma$ 的协方差矩阵 $\Gamma$.
数学代写|随机过程统计代写Stochastic process statistics代考|Invariance properties of Brownian motion
随机过程是布朗运动的事实在样本路径级别的各种操作下得以保留。在本节中 $\left(B_t\right) t \geqslant 0$ 表示一个 $d$ 维布朗运动。 $2.8$ 反思。如果 $\left(B_t\right) t \geqslant 0$ 是一个BM ${ }^d$ ，也是 $\left(-B_t\right) t \geqslant 0.2 .9$ 续订。让 $(B(t)) t \geqslant 0$ 做一个布朗运动并修正一 些时间 $a>0$. 然后 $(W(t)) t \geqslant 0, W(t):=B(t+a)-B(a)$ ，又是一个 $\mathrm{BM}^d$. 属性 (B0) 和 (B4) 对于 $W(t)$. 对所有人 $s \leqslant t$
$$
W(t)-W(s)=B(t+a)-B(a)-(B(s+a)-B(a)) \quad=B(t+a)-B(s+a) \stackrel{(\mathrm{B} 3)}{\sim} \mathrm{N}(0, t-s)
$$
这证明了过程的 (B3) 和 (B2) $W$. 最后，如果 在－increments follows from (B1) for 乙atthetimest_j $+a, j=1$, Vdots, $d \$$ 独立增量属性的一个结果是布朗 运动没有记忆。这是下一个引理的本质。
$2.10$ 引理 (BM 的马尔可夫性质) 。让 $(B(t)) t \geqslant 0$ 做一个 $\mathrm{BM}^d$ 并表示为 $W(t):=B(t+a)-B(a)$ 段中构 造的偏移布朗运动 $2.9$. 然后 $(B(t)) 0 \leqslant t \leqslant a$ 和 $(W(t)) t \geqslant 0$ 是独立的，即 $\sigma$-这些过程生成的代数是独立的:
$$
\sigma(B(t): 0 \leqslant t \leqslant a)=: \mathcal{F}a^B \backslash \operatorname{Perp} \mathcal{F} \infty^W:=\sigma(W(t): 0 \leqslant t<\infty) . $$ 尤其是， $B(t)-B(s) \backslash \operatorname{Perp} \mathcal{F} s^B$ 对所有人 0 \eqslant $s{j-1}: \mathbf{j}=1$, \dots, n\right)。 SinceX_0andX_j-X{j-1}are Isigmalleft(X_j: j=0, Vdots, n|right)measurable, weseetheinclusion ‘、 烦意乱 $0=$ s_$_0 0<$ s $_{-} 1<$ cdots<s_m=a=t_0<t_1<lcdots<t_n. By $B(B 1)$ therandomvariables $B\left(s_1\right)-B\left(s_0\right), \ldots, B\left(s_m\right)-B\left(s_{m-1}\right), B\left(t_1\right)-B\left(t_0\right), \ldots, B\left(t_n\right)-B\left(t_{n-1}\right)$
areindependent, thus
$\sigma\left(B\left(s_j\right)-B\left(s_{j-1}\right): j=1, \ldots, m\right) \backslash \operatorname{Perp} \sigma\left(B\left(t_k\right)-B\left(t_{k-1}\right): k=1, \ldots, n\right)$.UsingWleft(t_k-
, wecanapply (2.14)toget $\sigma\left(B\left(s_j\right): j=1, \ldots, m\right) \backslash \operatorname{Perp} \sigma\left(W\left(t_k-t_0\right): k=1, \ldots, n\right)$ and
$\bigcup_{0<s_i<\cdots<s_m \leqslant a m \geqslant 1} \sigma\left(B\left(s_j\right): j=1, \ldots, m\right) \backslash \operatorname{Perp} \bigcup_{0<u_i<\cdots<<u_n n \geqslant 1} \sigma\left(W\left(u_k\right): k=1, \ldots, n\right)$.
The familiesontheleftandright – handsideare 帽 $-$ stablegeneratorsof数学 $\left{\mathrm{F} \mathrm{a}^{\wedge} \mathrm{B}^{\wedge \mathrm{B} a n d}\right.$
最后，采取 $a=s$ ，我们看到 $B(t)-B(s)=W(t-s)$ 这是 $\mathcal{F}_{\infty}^W$ 可测量，因此独立于 $\mathcal{F}_s^B$.
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金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。
非参数统计代写
非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。
有限元方法代写
有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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随机分析代写
随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。
时间序列分析代写
随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。
回归分析代写
多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。