### 数学代写|随机过程统计代写Stochastic process statistics代考|STAT4061

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## 数学代写|随机过程统计代写Stochastic process statistics代考|Brownian motion as a Gaussian process

Recall that a one-dimensional random variable $\Gamma$ is Gaussian if it has the characteristic function
$$\mathbb{E} e^{i \xi \Gamma}=e^{i m \xi-\frac{1}{2} \sigma^2 \xi^2}$$
for some real numbers $m \in \mathbb{R}$ and $\sigma \geqslant 0$. If we differentiate (2.1) two times with respect to $\xi$ and set $\xi=0$, we see that
$$m=\mathbb{E} \Gamma \quad \text { and } \quad \sigma^2=\mathbb{V} \Gamma .$$
A random vector $\Gamma=\left(\Gamma_1, \ldots, \Gamma_n\right) \in \mathbb{R}^n$ is Gaussian, if $\langle\ell, \Gamma\rangle$ is for every $\ell \in \mathbb{R}^n$ a one-dimensional Gaussian random variable. This is the same as to say that
$$\mathbb{E} e^{i\langle\xi, \Gamma\rangle}=e^{i \mathbb{E}(\xi, \Gamma)-\frac{1}{2} \mathbb{V}(\xi, \Gamma)} .$$
Setting $m=\left(m_1, \ldots, m_n\right) \in \mathbb{R}^n$ and $\Sigma=\left(\sigma_{j k}\right){j, k=1 \ldots, n} \in \mathbb{R}^{n \times n}$ where $$m_j:=\mathbb{E} \Gamma_j \quad \text { and } \quad \sigma{j k}:=\mathbb{E}\left(\Gamma_j-m_j\right)\left(\Gamma_k-m_k\right)=\operatorname{Cov}\left(\Gamma_j, \Gamma_k\right),$$
we can rewrite (2.3) in the following form
$$\mathbb{E} e^{i(\xi, \Gamma\rangle}=e^{i\langle\xi, m\rangle-\frac{1}{2}(\xi, \Sigma \xi)} .$$
We call $m$ the mean vector and $\Sigma$ the covariance matrix of $\Gamma$.

The fact that a stochastic process is a Brownian motion is preserved under various operations at the level of the sample paths. Throughout this section $\left(B_t\right){t \geqslant 0}$ denotes a $d$-dimensional Brownian motion. 2.8 Reflection. If $\left(B_t\right){t \geqslant 0}$ is a $\mathrm{BM}^d$, so is $\left(-B_t\right){t \geqslant 0}$. 2.9 Renewal. Let $(B(t)){t \geqslant 0}$ be a Brownian motion and fix some time $a>0$. Then $(W(t)){t \geqslant 0}, W(t):=B(t+a)-B(a)$, is again a $\mathrm{BM}^d$. The properties (B0) and (B4) are obvious for $W(t)$. For all $s \leqslant t$ \begin{aligned} W(t)-W(s) &=B(t+a)-B(a)-(B(s+a)-B(a)) \ &=B(t+a)-B(s+a) \ & \stackrel{(\mathrm{B} 3)}{\sim} \mathrm{N}(0, t-s) \end{aligned} which proves (B3) and (B2) for the process $W$. Finally, if $t_0=0{l-1}\right)=B\left(t_l+a\right)-B\left(t_{l-1}+a\right) \text { for all } j=1, \ldots, n $$i. e. the independence of the W-increments follows from (B1) for B at the times t_j+a, j=1, \ldots, d A consequence of the independent increments property is that a Brownian motion has no memory. This is the essence of the next lemma. 2.10 Lemma (Markov property of BM). Let (B(t)){t \geqslant 0} be a \mathrm{BM}^d and denote by W(t):=B(t+a)-B(a) the shifted Brownian motion constructed in Paragraph 2.9. Then (B(t)){0 \leqslant t \leqslant a} and (W(t)){t \geqslant 0} are independent, i.e. the \sigma-algebras generated by these processes are independent:$$ \sigma(B(t): 0 \leqslant t \leqslant a)=: \mathcal{F}_a^B \Perp \mathcal{F}{\infty}^W:=\sigma(W(t): 0 \leqslant t<\infty) . $$In particular, B(t)-B(s) \Perp \mathcal{F}s^B for all 0 \leqslant s{j-1}: j=1, \ldots, n\right) .$$ Since$X_0$and$X_j-X_{j-1}$are$\sigma\left(X_j: j=0, \ldots, n\right)$measurable, we see the inclusion ‘$\supset$‘. For the converse we observe that$X_k=\sum_{j=1}^k\left(X_j-X_{j-1}\right)+X_0, k=0, \ldots, n$. Let$0=s_0<s_1<\cdots<s_m=a=t_0<t_1<\cdots<t_n$. By (B1) the random variables $$B\left(s_1\right)-B\left(s_0\right), \ldots, B\left(s_m\right)-B\left(s_{m-1}\right), B\left(t_1\right)-B\left(t_0\right), \ldots, B\left(t_n\right)-B\left(t_{n-1}\right)$$ are independent, thus $$\sigma\left(B\left(s_j\right)-B\left(s_{j-1}\right): j=1, \ldots, m\right) \Perp \sigma\left(B\left(t_k\right)-B\left(t_{k-1}\right): k=1, \ldots, n\right) .$$ Using$W\left(t_k-t_0\right)-W\left(t_{k-1}-t_0\right)=B\left(t_k\right)-B\left(t_{k-1}\right)$and$B(0)=W(0)=0$, we can apply (2.14) to get $$\sigma\left(B\left(s_j\right): j=1, \ldots, m\right) \Perp \sigma\left(W\left(t_k-t_0\right): k=1, \ldots, n\right)$$ and $$\bigcup_{\substack{0<s_i<\cdots<s_m \leqslant a \ m \geqslant 1}} \sigma\left(B\left(s_j\right): j=1, \ldots, m\right) \Perp \bigcup_{\substack{0<u_i<\cdots<<u_n \ n \geqslant 1}} \sigma\left(W\left(u_k\right): k=1, \ldots, n\right) .$$ The families on the left and right-hand side are$\cap$-stable generators of$\mathcal{F}a^B$and$\mathcal{F}{\infty}^W$, respectively, thus$\mathcal{F}a^B \Perp \mathcal{F}{\infty}^W$. Finally, taking$a=s$, we see that$B(t)-B(s)=W(t-s)$which is$\mathcal{F}_{\infty}^W$measurable and therefore independent of$\mathcal{F}_s^B$. ## 随机过程统计代考 ## 数学代写|随机过程统计代写Stochastic process statistics代考|Brownian motion as a Gaussian process 回想一下，一维随机变量$\Gamma$是高斯的，如果它具有特征函数 $$\mathbb{E} e^{i \xi \Gamma}=e^{i m \xi-\frac{1}{2} \sigma^2 \xi^2}$$ 对于一些实数$m \in \mathbb{R}$和$\sigma \geqslant 0$. 如果我们对 (2.1) 进行两次微分$\xi$并设置$\xi=0$， 我们看到 $$m=\mathbb{E} \Gamma \quad \text { and } \quad \sigma^2=\mathbb{V} \Gamma .$$ 随机向量$\Gamma=\left(\Gamma_1, \ldots, \Gamma_n\right) \in \mathbb{R}^n$是高斯的，如果$\langle\ell, \Gamma\rangle$是为每个$\ell \in \mathbb{R}^n$一维高斯随机变量。这和说那个是一 样的 $$\mathbb{E} e^{i\langle\xi, \Gamma\rangle}=e^{i \mathbb{E}(\xi, \Gamma)-\frac{1}{2} \mathbb{V}(\xi, \Gamma)} .$$ 环境$m=\left(m_1, \ldots, m_n\right) \in \mathbb{R}^n$和$\Sigma=\left(\sigma_{j k}\right) j, k=1 \ldots, n \in \mathbb{R}^{n \times n}$在哪里 $$m_j:=\mathbb{E} \Gamma_j \quad \text { and } \quad \sigma j k:=\mathbb{E}\left(\Gamma_j-m_j\right)\left(\Gamma_k-m_k\right)=\operatorname{Cov}\left(\Gamma_j, \Gamma_k\right),$$ 我们可以将 (2.3) 改写为以下形式 $$\mathbb{E} e^{i(\xi, \Gamma\rangle}=e^{i\langle\xi, m\rangle-\frac{1}{2}(\xi, \Sigma \xi)}$$ 我们称之为$m$平均向量和$\Sigma$的协方差矩阵$\Gamma$. ## 数学代写|随机过程统计代写Stochastic process statistics代考|Invariance properties of Brownian motion 随机过程是布朗运动的事实在样本路径级别的各种操作下得以保留。在本节中$\left(B_t\right) t \geqslant 0$表示一个$d$维布朗运动。$2.8$反思。如果$\left(B_t\right) t \geqslant 0$是一个BM${ }^d$，也是$\left(-B_t\right) t \geqslant 0.2 .9$续订。让$(B(t)) t \geqslant 0$做一个布朗运动并修正一 些时间$a>0$. 然后$(W(t)) t \geqslant 0, W(t):=B(t+a)-B(a)$，又是一个$\mathrm{BM}^d$. 属性 (B0) 和 (B4) 对于$W(t)$. 对所有人$s \leqslant t$$$W(t)-W(s)=B(t+a)-B(a)-(B(s+a)-B(a)) \quad=B(t+a)-B(s+a) \stackrel{(\mathrm{B} 3)}{\sim} \mathrm{N}(0, t-s)$$ 这证明了过程的 (B3) 和 (B2)$W$. 最后，如果 在－increments follows from (B1) for 乙atthetimest_j$+a, j=1$, Vdots,$d \$$独立增量属性的一个结果是布朗 运动没有记忆。这是下一个引理的本质。 2.10 引理 (BM 的马尔可夫性质) 。让 (B(t)) t \geqslant 0 做一个 \mathrm{BM}^d 并表示为 W(t):=B(t+a)-B(a) 段中构 造的偏移布朗运动 2.9. 然后 (B(t)) 0 \leqslant t \leqslant a 和 (W(t)) t \geqslant 0 是独立的，即 \sigma-这些过程生成的代数是独立的:$$
\sigma(B(t): 0 \leqslant t \leqslant a)=: \mathcal{F}a^B \backslash \operatorname{Perp} \mathcal{F} \infty^W:=\sigma(W(t): 0 \leqslant t<\infty) .  尤其是， $B(t)-B(s) \backslash \operatorname{Perp} \mathcal{F} s^B$ 对所有人 0 \eqslant $s{j-1}: \mathbf{j}=1$, \dots, n\right)。 SinceX_0andX_j-X{j-1}are Isigmalleft(X_j: j=0, Vdots, n|right)measurable, weseetheinclusion ‘、 烦意乱 $0=$ s_$_0 0<$ s $_{-} 1<$ cdots<s_m=a=t_0<t_1<lcdots<t_n. By $B(B 1)$ therandomvariables $B\left(s_1\right)-B\left(s_0\right), \ldots, B\left(s_m\right)-B\left(s_{m-1}\right), B\left(t_1\right)-B\left(t_0\right), \ldots, B\left(t_n\right)-B\left(t_{n-1}\right)$
areindependent, thus
$\sigma\left(B\left(s_j\right)-B\left(s_{j-1}\right): j=1, \ldots, m\right) \backslash \operatorname{Perp} \sigma\left(B\left(t_k\right)-B\left(t_{k-1}\right): k=1, \ldots, n\right)$.UsingWleft(t_k-
, wecanapply (2.14)toget $\sigma\left(B\left(s_j\right): j=1, \ldots, m\right) \backslash \operatorname{Perp} \sigma\left(W\left(t_k-t_0\right): k=1, \ldots, n\right)$ and
$\bigcup_{0<s_i<\cdots<s_m \leqslant a m \geqslant 1} \sigma\left(B\left(s_j\right): j=1, \ldots, m\right) \backslash \operatorname{Perp} \bigcup_{0<u_i<\cdots<<u_n n \geqslant 1} \sigma\left(W\left(u_k\right): k=1, \ldots, n\right)$.
The familiesontheleftandright – handsideare 帽 $-$ stablegeneratorsof数学 $\left{\mathrm{F} \mathrm{a}^{\wedge} \mathrm{B}^{\wedge \mathrm{B} a n d}\right.$

## 有限元方法代写

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## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。