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伽罗瓦理论的中心思想是考虑根的排列（或重新排列），使根所满足的任何代数方程在根被排列后仍然满足。最初，该理论是针对系数为有理数的代数方程而开发的。

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• Statistical Inference 统计推断
• Statistical Computing 统计计算
• Advanced Probability Theory 高等概率论
• Advanced Mathematical Statistics 高等数理统计学
• (Generalized) Linear Models 广义线性模型
• Statistical Machine Learning 统计机器学习
• Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析
• Foundations of Data Science 数据科学基础

数学代写|伽罗瓦理论代写Galois Theory代考|Quintic Equations

So far, we have a series of special tricks, different in each case. We can approach the general quintic equation
$$
t^5+a t^4+b t^3+c t^2+d t+e=0
$$
in a similar way. A Tschirnhaus transformation $y=t+a / 5$ reduces it to
$$
y^5+p y^3+q y^2+r y+s=0
$$
However, all variations on the tricks that we used for the quadratic, cubic, and quartic equations grind to a halt.

In 1770-1771 Lagrange analysed all of the above special tricks, showing that they can all be ‘explained’ using general principles about symmetric functions of the roots. When he applied this method to the quintic, however, he found that it ‘reduced’ the problem to a sextic – an equation of degree 6. Instead of helping, the method made the problem worse.

Lagrange observed that all methods for solving polynomial equations by radicals involve constructing rational functions of the roots that take a small number of values when the roots $\alpha_j$ are permuted. Prominent among these is the expression
$$
\delta=\prod_{1 \leq j<k \leq n}\left(\alpha_j-\alpha_k\right)
$$
where $n$ is the degree. This takes just two values, $\pm \delta$ : plus for even permutations and minus for odd ones. Therefore $\Delta=\delta^2$ (known as the discriminant because it is nonzero precisely when the roots are distinct, so it ‘discriminates’ among the roots) is a rational function of the coefficients. This gets us started, and it yields a complete solution for the quadratic, but for cubics upwards it does not help much unless we can find other expressions in the roots with similar properties under permutation.

Lagrange worked out what these expressions look like for the cubic and the quartic, and noticed a pattern. For example, if a cubic polynomial has roots $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$, and $\omega$ is a primitive cube root of unity, then the expression
$$
u=\left(\alpha_1+\omega \alpha_2+\omega^2 \alpha_3\right)^3
$$ takes exactly two distinct values.

数学代写|伽罗瓦理论代写Galois Theory代考|The Fundamental Theorem of Algebra

At the time of Galois, the natural setting for most mathematical investigations was the complex number system. The real numbers were inadequate for many questions, because $-1$ has no real square root. The arithmetic, algebra, anddecisively – analysis of complex numbers were richer, more elegant, and more complete than the corresponding theories for real numbers.

In this chapter we establish one of the key properties of $\mathbb{C}$, known as the Fundamental Theorem of Algebra. This theorem asserts that every polynomial equation with coefficients in $\mathbb{C}$ has a solution in $\mathbb{C}$. This theorem is, of course, false over $\mathbb{R}$-consider the equation $t^2+1=0$. It was fundamental to classical algebra, but the name is somewhat archaic, and modern algebra bypasses $\mathbb{C}$ altogether, preferring greater generality. Because we find it convenient to work in the same setting as Galois, the theorem is fundamental for us.

All rigorous proofs of the Fundamental Theorem of Algebra require quite a lot of background. Here, we give a proof that uses a few simple ideas from algebra and trigonometry, estimates of the kind that are familiar from any first course in analysis, and one simple basic result from point-set topology. Later, we give an almost purely algebraic proof, but the price is the need for much more machinery: see Chapter 23. Ironically, that proof uses Galois theory to prove the Fundamental Theorem of Algebra, the exact opposite of what Galois did. The logic is not circular, because the proof in Chapter 23 rests on the abstract approach to Galois theory described in the second part of this book, which makes no use of the Fundamental Theorem of Algebra.

伽罗瓦理论代考

数学代写|伽罗瓦理论代写Galois Theory代考|Quintic Equations

到目前为止，我们有一系列特殊技巧，每种情况都不同。我们可以接近一般的五次方程
$$
t^5+a t^4+b t^3+c t^2+d t+e=0
$$
以类似的方式。Tschirnhaus 变换 $y=t+a / 5$ 减少到
$$
y^5+p y^3+q y^2+r y+s=0
$$
然而，我们用于二次、三次和四次方程式的技巧的所有变体都停止了。
在 1770-1771 年，拉格朗日分析了上述所有特殊技巧，表明它们都可以使用关于根的对称函数的一般原理来“解 释”。然而，当他将这种方法应用于五次方程时，他发现它将问题“简化”为六次方程一一一个 6 次方程。该方法 非但没有帮助，反而使问题变得更糟。
拉格朗日观察到，所有用根求解多项式方程的方法都涉及构造根的有理函数，这些函数在根时取少量值 $\alpha_j$ 被置 换。其中突出的是表达
$$
\delta=\prod_{1 \leq j<k \leq n}\left(\alpha_j-\alpha_k\right)
$$
在哪里 $n$ 是学位。这只需要两个值， $\pm \delta$ : 偶数排列加号，奇数排列减号。所以 $\Delta=\delta^2$ (称为判别式，因为它恰 好在根不同时不为零，因此它在根中 “区分”) 是系数的有理函数。这让我们开始了，它为二次方程产生了一个完 整的解，但对于向上的三次方程它并没有太大帮助，除非我们可以在根中找到其他具有类似排列性质的表达式。
拉格朗日计算出了这些表达式对于三次和四次的样子，并注意到了一种模式。例如，如果三次多项式有根 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ ，和 $\omega$ 是单位的原始立方根，则表达式
$$
u=\left(\alpha_1+\omega \alpha_2+\omega^2 \alpha_3\right)^3
$$
恰好采用两个不同的值。

数学代写|伽罗瓦理论代写Galois Theory代考|The Fundamental Theorem of Algebra

在伽罗瓦时代，大多数数学研究的自然背景是复数系统。许多问题的真实数字是不够的，因为−1没有真正的平方根。算术、代数和决定性的复数分析比相应的实数理论更丰富、更优雅、更完整。

在本章中，我们建立了一个关键属性C，被称为代数基本定理。该定理断言每个系数为C有一个解决方案C. 这个定理当然是错误的R-考虑方程吨2+1=0. 它是经典代数的基础，但这个名字有点陈旧，现代代数绕过了C总的来说，更喜欢更大的普遍性。因为我们发现在与 Galois 相同的环境中工作很方便，所以该定理是我们的基础。

代数基本定理的所有严格证明都需要相当多的背景知识。在这里，我们给出了一个证明，其中使用了代数和三角学中的一些简单思想、任何第一门分析课程中熟悉的那种估计，以及点集拓扑的一个简单基本结果。稍后，我们给出了一个几乎纯代数的证明，但代价是需要更多的机器：见第 23 章。具有讽刺意味的是，该证明使用伽罗瓦理论来证明代数基本定理，与伽罗瓦所做的完全相反。逻辑不是循环的，因为第 23 章中的证明基于本书第二部分描述的伽罗瓦理论的抽象方法，它没有使用代数基本定理。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写

随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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数学代写|伽罗瓦理论代写Galois Theory代考|Solving Equations

We tend to think of the great problems of mathematics as being things like Fermat’s Last Theorem, the Poincaré Conjecture, or the Riemann Hypothesis: problems of central importance that remained unsolved for decades or even centuries. But the really big problems of mathematics are more general. A problem that runs like an ancient river through the middle of the territory we are going to explore is: Find out how to solve equations. Or, as often as not, prove that it cannot be done with specified methods. What sort of equations? There are many kinds: Diophantine equations, differential equations (ordinary, partial, or delay), difference equations, integral equations, operator equations … For Galois, it was polynomial equations. We work up to those in easy stages.

Historically, new kinds of number like $\sqrt{2}$ or i were introduced because the old ones were inadequate for solving some important problems. Most such problems can be formulated using equations, though it must be said that this is a modern interpretation, and the ancient mathematicians did not think in quite those terms.

For example, the step from $\mathbb{N}$ to $\mathbb{Z}$ is needed because although some equations, such as
$$
t+2=7
$$
can be solved for $t \in \mathbb{N}$, others, such as
$$
t+7=2
$$
cannot. However, such equations can be solved in $\mathbb{Z}$, where $t=-5$ makes sense. (The symbol $x$ is more traditional than $t$ here, but it is convenient to standardise on $t$ for the rest of the book, so we may as well start straight away.)

Similarly, the step from $\mathbb{Z}$ to $\mathbb{Q}$ (historically, it was initially from $\mathbb{N}$ to $\mathbb{Q}^{+}$, the positive rationals) makes it possible to solve the equation
$$
2 t=7
$$
because $t=\frac{7}{2}$ makes sense in $\mathbb{Q}$.

数学代写|伽罗瓦理论代写Galois Theory代考|Peculiarities of Cardano’s Formula

An old warning, which goes back to Aesop’s Fables, is: ‘Be careful what you wish for: you might get it’. We have wished for a formula for the solution, and we have got one. It has its peculiarities.

First: recall that over $\mathbb{C}$, every nonzero complex number $z$ has three cube roots. If one of them is $\alpha$, then the other two are $\omega \alpha$ and $\omega^2 \alpha$, where
$$
\omega=-\frac{1}{2}+i \frac{\sqrt{3}}{2}
$$
is a primitive cube root of 1 . Then
$$
\omega^2=-\frac{1}{2}-\mathrm{i} \frac{\sqrt{3}}{2}
$$
The expression for $y$ therefore appears to lead to nine solutions of the form
$$
\begin{array}{lcr}
\alpha+\beta & \alpha+\omega \beta & \alpha+\omega^2 \beta \
\omega \alpha+\beta & \omega \alpha+\omega \beta & \omega \alpha+\omega^2 \beta \
\omega^2 \alpha+\beta & \omega^2 \alpha+\omega \beta & \omega^2 \alpha+\omega^2 \beta
\end{array}
$$
where $\alpha, \beta$ are specific choices of the cube roots.
However, not all of these expressions are zeros. Equation (1.5) implies (1.7), but (1.7) implies (1.5) only when we make the correct choices of cube roots. If we choose $\alpha, \beta$ so that $3 \alpha \beta+p=0$, then the solutions are
$$
\alpha+\beta \quad \omega \alpha+\omega^2 \beta \quad \omega^2 \alpha+\omega \beta
$$
Another peculiarity emerges when we try to solve equations whose solutions we already know. For example,
$$
y^3+3 y-36=0
$$

伽罗瓦理论代考

数学代写|伽罗瓦理论代写Galois Theory代考|Solving Equations

我们倾向于将数学中的重大问题视为诸如费马大定理、庞加莱猜想或黎曼猜想之类的问题: 几十年甚至几个世纪 以来仍末解决的核心问题。但真正大的数学问题是更普遍的。一个像古河一样流经我们将要探索的领土中间的问 题是: 找出如何求解方程。或者，通常情况下，证明它不能用指定的方法来完成。什么样的方程式? 有很多种: 丟番图方程、微分方程 (常微分方程、偏微分方程或延迟微分方程) 、差分方程、积分方程、算子方程……对于 伽罗瓦来说，就是多项式方程。我们努力达到那些简单的阶段。
从历史上看，新的数字类型如 $\sqrt{2}$ 或者我被介绍是因为旧的不足以解决一些重要的问题。大多数此类问题都可以 用方程式来表述，尽管必须说这是一种现代解释，而古代数学家并没有完全按照这些术语来思考。
例如，从 $\mathbb{N}$ 至 $\mathbb{Z}$ 是需要的，因为虽然有些方程式，例如
$$
t+2=7
$$
可以解决 $t \in \mathbb{N}$ ，其他的，比如
$$
t+7=2
$$
不能。然而，这样的方程式可以求解 $\mathbb{Z}$ ， 在哪里 $t=-5$ 说得通。（符号 $x$ 比传统的 $t$ 在这里，但标准化很方便 $t$ 对于本书的其余部分，我们不妨直接开始。）
同样，从 $\mathbb{Z}$ 至 $\mathbb{Q}$ (从历史上看，它最初来自 $\mathbb{N}$ 至 $\mathbb{Q}^{+}$，正有理数) 使得求解方程成为可能
$$
2 t=7
$$
因为 $t=\frac{7}{2}$ 有道理 $\mathbb{Q}$.

数学代写|伽罗瓦理论代写Galois Theory代考|Peculiarities of Cardano’s Formula

一个古老的警告可以追溯到伊索寓言，它是: “小心你想要的东西：你可能会得到它”。我们希望有一个解决方案 的公式，我们已经有了。它有它的特点。
第一: 回想一下 $\mathbb{C}$ ，每个非零复数 $z$ 有三个立方根。如果其中之一是 $\alpha$ ，那么另外两个是 $\omega \alpha$ 和 $\omega^2 \alpha$ ，在哪里
$$
\omega=-\frac{1}{2}+i \frac{\sqrt{3}}{2}
$$
是 1 的原始立方根。然后
$$
\omega^2=-\frac{1}{2}-\mathrm{i} \frac{\sqrt{3}}{2}
$$
表达式为 $y$ 因此似乎导致九种形式的解决方案
$$
\alpha+\beta \quad \alpha+\omega \beta \quad \alpha+\omega^2 \beta \omega \alpha+\beta \quad \omega \alpha+\omega \beta \quad \omega \alpha+\omega^2 \beta \omega^2 \alpha+\beta \quad \omega^2 \alpha+\omega \beta \quad \omega^2 \alpha+\omega^2 \beta
$$
在哪里 $\alpha, \beta$ 是立方根的具体选择。
但是，并非所有这些表达式都是零。等式 (1.5) 蕴含 (1.7)，但只有当我们正确选择立方根时，(1.7) 才蕴含 (1.5)。如果我们选择 $\alpha, \beta$ 以便 $3 \alpha \beta+p=0$ ，那么解是
$$
\alpha+\beta \quad \omega \alpha+\omega^2 \beta \quad \omega^2 \alpha+\omega \beta
$$
当我们尝试求解已知解的方程时，另一个特点就会出现。例如，
$$
y^3+3 y-36=0
$$

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金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

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有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

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随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

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随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

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MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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数学代写|伽罗瓦理论代写Galois Theory代考|Complex Numbers

A complex number has the form
$$
z=x+\mathrm{i} y
$$
where $x, y$ are real numbers and $\mathrm{i}^2=-1$. Therefore $\mathrm{i}=\sqrt{-1}$, in some sense.
Throughout, we use the Roman letter $\mathrm{i}$ for $\sqrt{-1}$. This frees up italic $i$ for other uses.

The easiest way to define what we mean by $\sqrt{-1}$ is to consider $\mathbb{C}$ as the set $\mathbb{R}^2$ of all pairs of real numbers $(x, y)$, with algebraic operations
$$
\begin{aligned}
\left(x_1, y_1\right)+\left(x_2, y_2\right) &=\left(x_1+x_2, y_1+y_2\right) \
\left(x_1, y_1\right)\left(x_2, y_2\right) &=\left(x_1 x_2-y_1 y_2, x_1 y_2+x_2 y_1\right)
\end{aligned}
$$
Then we identify $(x, 0)$ with the real number $x$ to arrange that $\mathbb{R} \subseteq \mathbb{C}$, and define $\mathrm{i}=(0,1)$. In consequence, $(x, y)$ becomes identified with $x+\mathrm{i} y$. The formulas (1.1) imply that $\mathrm{i}^2=(0,1)(0,1)=(-1,0)$, which is identified with the real number $-1$, so $\mathrm{i}$ is a ‘square root of minus one’. Observe that $(0,1)$ is not of the form $(x, 0)$, so $\mathrm{i}$ is not real, which is as it should be, since $-1$ has no real square root.

This approach seems first to have been published by the Irish mathematician William Rowan Hamilton in 1837, but in that year, Gauss wrote to the geometer Wolfgang Bolyai that the same idea had occurred to him in 1831. This was probably true, because Gauss usually worked things out before anybody else did, but he set himself such high standards for publication that many of his more important ideas never saw print under his name. Moreover, Gauss was somewhat conservative and shied away from anything potentially controversial.

Once we see that complex numbers are just pairs of real numbers, the previously mysterious status of the ‘imaginary’ number $\sqrt{-1}$ becomes much more prosaic. In fact, to the modern eye, it is the ‘real’ numbers that are mysterious, because their rigorous definition involves analytic ideas such as sequences and convergence, which lead into deep philosophical waters and axiomatic set theory. In contrast, the step from $\mathbb{R}$ to $\mathbb{R}^2$ is essentially trivialexcept for the peculiarities of human psychology.

数学代写|伽罗瓦理论代写Galois Theory代考|Subfields and Subrings of the Complex Numbers

Abstract algebra courses usually introduce (at least) three basic types of algebraic structure, defined by systems of axioms: groups, rings, and fields. Linear algebra adds a fourth, vector spaces, which are so important that they usually warrant a separate lecture course. For the first half of this book, we steer clear of abstract rings and fields, but we do assume the basics of finite group theory and linear algebra.

Recall that a group is a set $G$ equipped with an operation of ‘multiplication’ written $(g, h) \mapsto g h$. If $g, h \in G$, then $g h \in G$. The associative law $(g h) k=g(h k)$ holds for all $g, h, k \in G$. There is an identity $1 \in G$ such that $1 g=g=g 1$ for all $g \in G$. Finally, every $g \in G$ has an inverse $g^{-1} \in G$ such that $g g^{-1}=1=g^{-1} g$. The classic example here is the symmetric group $\mathbb{S}_n$, consisting of all permutations of the set ${1,2, \ldots, n}$ under the operation of composition. We assume familiarity with these axioms, and with subgroups, isomorphisms, homomorphisms, normal subgroups, and quotient groups; see Humphreys (1996), Neumann, Stoy and Thompson (1994), or any other introductory group theory text.

Rings are sets equipped with operations of addition, subtraction, and multiplication; fields also have a notion of division. The formal definitions were supplied by Heinrich Weber in 1893 . The axioms specify the formal properties assumed for these operations – for example, the commutative law $a b=b a$ for multiplication.

In the first part of this book, we do not assume familiarity with abstract rings and fields. Instead, we restrict attention to subrings and subfields of $\mathbb{C}$, or polynomials and rational functions over such subrings and subfields. Informally, we assume that the terms ‘polynomial’ and ‘rational expression’ (or ‘rational function’) are familiar, at least over $\mathbb{C}$, although for safety’s sake we define them when the discussion becomes more formal, and redefine them when we make the whole theory more abstract in the second part of the book. There were no formal concepts of ‘ring’ or ‘field’ in Galois’s day, and linear algebra was in a rudimentary state. He had to invent groups for himself. So we are still permitting ourselves a more extensive conceptual toolkit than his.

伽罗瓦理论代考

数学代写|伽罗瓦理论代写Galois Theory代考|Complex Numbers

复数具有以下形式
$$
z=x+\mathrm{i} y
$$
在哪里 $x, y$ 是实数并且 $\mathrm{i}^2=-1$. 所以 $\mathrm{i}=\sqrt{-1}$ ， 在某种意义上。
自始至终，我们都使用罗马字母 $\mathrm{i}$ 为了 $\sqrt{-1}$. 这释放了斜体 $i$ 用于其他用途。
定义我们的意思的最简单方法 $\sqrt{-1}$ 是要考虑 $\mathbb{C}$ 作为集合 $\mathbb{R}^2$ 所有实数对 $(x, y)$ ，代数运算
$$
\left(x_1, y_1\right)+\left(x_2, y_2\right)=\left(x_1+x_2, y_1+y_2\right)\left(x_1, y_1\right)\left(x_2, y_2\right) \quad=\left(x_1 x_2-y_1 y_2, x_1 y_2+x_2 y_1\right)
$$
然后我们识别 $(x, 0)$ 用真实的数字 $x$ 安排那个 $\mathbb{R} \subseteq \mathbb{C}$ ，并定义 $\mathrm{i}=(0,1)$. 结果， $(x, y)$ 变得认同 $x+\mathrm{i} y$. 公式 (1.1) 意味着 $\mathrm{i}^2=(0,1)(0,1)=(-1,0)$ ，用实数标识 $-1$ ，所以i是“负一的平方根”。观察那个 $(0,1)$ 不是形式 $(x, 0)$ ，所以i不是真实的，这是应该的，因为 $-1$ 没有真正的平方根。
这种方法似乎首先由爱尔兰数学家 William Rowan Hamilton 于 1837 年发表，但在那一年，高斯写信给几何学 家 Wolfgang Bolyai 说他在 1831 年也想到了同样的想法。这可能是真的，因为高斯通常工作事情比其他任何人 都早，但他为自己设定了如此高的出版标准，以至于他的许多更重要的想法从末以他的名义出版。此外，高斯有 些保守，回避任何可能引起争议的事情。
一旦我们看到复数只是一对实数， “虚数“之前神秘的状态 $\sqrt{-1}$ 变得平淡无奇。事实上，在现代人看来，神秘的 是“实”数，因为它们的严格定义涉及序列和收敛等分析思想，这些都引向深厚的哲学领域和公理化集合论。相 反，从塱 $\mathbb{R}^2$ 本质上是微不足道的，除了人类心理的特殊性。

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抽象代数课程通常介绍 (至少) 三种基本类型的代数结构，由公理系统定义：群、环和域。线性代数增加了第四 个向量空间，它们非常重要，通常需要单独的讲座课程。对于本书的前半部分，我们避开了抽象的环和域，但我 们假设了有限群论和线性代数的基础知识。
回想一下，一个组是一个集合 $G$ 配备了”乘法”的书面操作 $(g, h) \mapsto g h$. 如果 $g, h \in G$ ，然后 $g h \in G$. 结合律 $(g h) k=g(h k)$ 对所有人都适用 $g, h, k \in G$. 有一个身份 $1 \in G$ 这样 $1 g=g=g 1$ 对所有人 $g \in G$. 最后，每 $g \in G$ 有一个逆 $g^{-1} \in G$ 这样 $g g^{-1}=1=g^{-1} g$. 这里的经典例子是对称群 $\mathbb{S}_n$ ，由集合的所有排列组成 $1,2, \ldots, n$ 在组成的运作下。我们假设熟悉这些公理，以及子群、同构、同态、正规子群和商群；参见 Humphreys (1996)、Neumann、Stoy 和 Thompson (1994)，或任何其他介绍群论的教科书。
环是具有加法、减法和乘法运算的集合；字段也有划分的概念。正式定义由海因里㹷·韦伯 (Heinrich Weber) 于 1893 年提供。公理指定了这些操作假定的形式属性一一例如，交换律 $a b=b a$ 乘法。
在本书的第一部分，我们不假设您熟峩抽象环和域。相反，我们将注意力限制在子环和子域上 $\mathbb{C}$ ，或此类子环和 子域上的多项式和有理函数。非正式地，我们假设术语“多项式”和“有理表达式”(或“有理函数”) 是熟悉的，至少 在 $\mathbb{C}$ ，虽然为了安全起见，我们在讨论变得更正式时定义它们，并在本书第二部分使整个理论更加抽象时重新定 义它们。在伽罗瓦时代还没有“环”或“域”的正式概念，线性代数还处于初级阶段。他不得不为自己发明团体。所 以我们仍然允许自己使用比他的更广泛的概念工具包。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写

随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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