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统计代写|高等概率论作业代写Advanced Probability Theory代考|Modes of convergence

Definition: Let $X, X_{1}, X_{2}, \ldots$ be r.v.’s on $(\Omega, \mathcal{A}, P)$. We say that
(a) $X_{n} \rightarrow X$ a.s. (i.e., with probability 1) if
$$
P\left(\lim {n \rightarrow \infty} X{n}=X\right)=P\left(\left{\omega \in \Omega: \lim {n \rightarrow \infty} X{n}(\omega)=X(\omega)\right}\right)=1 .
$$
(b) $X_{n} \rightarrow X$ in $r$ th mean, or in $L_{r}$ space, where $r>0$, if
$$
\lim {n \rightarrow \infty} E\left|X{n}-X\right|^{r}=0
$$
(c) $X_{n} \rightarrow X$ in prob, written as $X_{n} \rightarrow_{p} X$, if
$$
\lim {n \rightarrow \infty} P\left(\left|X{n}-X\right|>\epsilon\right)=0, \quad \text { for all } \epsilon>0
$$
(d) $X_{n} \rightarrow X$ in distribution, written as $X_{n} \rightarrow{ }{d} X$ or $F{X_{n}} \Longrightarrow F_{X}$, if
$$
\lim {n \rightarrow \infty} F{X_{n}}(x)=F_{X}(x) \quad \text { for all continuity points of } F_{X}(x) \text {. }
$$
(All discontinuity points of $F_{X}$ has Lesbegue measure 0 , hence convergence at continuity points will be enough to identify the limit.)
Remarks:
(a) Note that
$$
\left{\omega \in \Omega: \lim {n} X{n}(\omega) \text { converges }\right}=\left{\omega \in \Omega: \limsup {n} X{n}(\omega)=\liminf {n} X{n}(\omega)\right},
$$
is clearly A-measurable, thus an event.
(b) A metric space ${X, \rho}$ is a nonempty set $X$ of elements together with a real-valued function $\rho$ defined on $X \times X$ such that for all $x, y$, and $z \in X$ :
(i) $\rho(x, y) \geq 0$, and $\rho(x, y)=0$ iff $x=y$; (nonnegativity)
(ii) $\rho(x, y)=\rho(y, x)$; (symmetry)
(iii) $\rho(x, y) \leq \rho(x, z)+\rho(z, y)$; (triangle inequality).
The function $\rho$ is called a metric.
(b) $\rho(Y, Z)=|Y-Z|_{r}$ is a metric in $L_{r}=\left{X: E|X|^{r}<\infty\right}$, where
$|X|_{r}=E|X|^{r}, \quad 0<r<1$,
$\left(E|X|^{r}\right)^{1 / r}, \quad r \geq 1 .$

统计代写|高等概率论作业代写Advanced Probability Theory代考|Equivalent definition of a.s. convergence

Proof. $”(a) \Longleftrightarrow(b)^{m}$. First note that
$$
\begin{aligned}
&\left{\omega: \lim {n \rightarrow \infty} X{n}(\omega)=X(\omega)\right} \
=& \bigcap_{\epsilon>0}^{\infty} \bigcup_{n=1}^{\infty}\left{\omega:\left|X_{m}(\omega)-X(\omega)\right|<\epsilon\right} \ 112 \end{aligned} $$ (Recall If $A_{n} \uparrow A, B_{n} \mid B$, then $A=\lim {n} A{n}=\cup_{n-1}^{\infty} A_{n}, B=\lim {n} B{n}=\cap_{n-1}^{\infty} B_{n}$ ) If (a) holds, then it follows from (1.1) that $$ 1=P\left(\left{\omega: \lim {n \rightarrow \infty} X{n}(\omega)=X(\omega)\right}\right) \leq \lim {n \rightarrow \infty} P\left(\bigcap{m=n}^{\infty}\left{\omega:\left|X_{m}(\omega)-X(\omega)\right|<\frac{1}{k}\right}\right) \leq 1 $$ which implies that (b) holds. If (b) holds, since probability is continuous, we have $$ P\left(\left{\omega: \lim {n \rightarrow \infty} X{n}(\omega) \rightarrow X(\omega)\right}\right)=\lim {k \rightarrow \infty} \lim {n \rightarrow \infty} P\left(\prod_{m=n}^{\infty}\left{\omega:\left|X_{m}(\omega)-X(\omega)\right|<\frac{1}{k}\right}\right)=1 . $$ which implies that (a) holds. $”(b) \Longleftrightarrow(c) “$. Trivial. $”(c) \Longleftrightarrow(e) “$. Trivial since $$ \begin{aligned} P\left(\left|X_{n}-X\right| \geq \epsilon, \text { i.o. }\right) &=P\left(\bigcap_{n=1}^{\infty} \bigcup_{m=n}^{\infty}\left{\left|X_{m}-X\right| \geq \epsilon\right}\right) \ &=P\left(\lim {n \rightarrow \infty} \bigcup{m=n}^{\infty}\left{\left|X_{m}-X\right| \geq \epsilon\right}\right) \ &=\lim {n \rightarrow \infty} P\left(\bigcup{m=n}^{\infty}\left{\left|X_{m}-X\right| \geq \epsilon\right}\right) \end{aligned} $$ $”(c) \Longleftrightarrow(d) ” \forall \epsilon>0$, let

统计代写|高等概率论作业代写Advanced Probability Theory代考|Relationships between modes of convergence

THEOREM 6.3.1
(1) For $r \geq 1$,
$$
\begin{aligned}
&X_{n} \rightarrow X \text { a.s. } \
&X_{n} \rightarrow X \text { in } L_{r}
\end{aligned} \Longrightarrow X_{n} \rightarrow_{p} X \Longrightarrow X_{n} \rightarrow{ }{d} X $$ (2) If $r>s>0$, then $X{n} \rightarrow X$ in $L_{r} \Longrightarrow X_{n} \rightarrow X$ in $L_{s}$.
(3) No other implications hold in general.
Proof.
(1). (a) If $X_{n} \rightarrow X$ a.s., then $X_{n} \rightarrow_{p} X$.
Proof. Note that $0 \leq P\left(\left|X_{n}-X\right| \geq \epsilon\right) \leq P\left(\bigcup_{m=n}^{\infty}\left{\left|X_{m}-X\right| \geq \epsilon\right}\right) \rightarrow 0$ as $n \rightarrow \infty$ by Theorem 6.1.1(c). Hence, $X_{n} \rightarrow p$.
The converse may not hold: Let
$$
P\left(X_{n}=0\right)=1-n^{-1}, \quad P\left(X_{n}=1\right)=n^{-1},
$$
and $X_{n}$ ‘s are independent. Then $X_{n} \rightarrow_{p} 0$ since $P\left(\left|X_{n}-0\right|>\epsilon\right) \leq n^{-1} \rightarrow 0$. However, $X_{n} \nrightarrow 0$ a.s. since for any $0<\epsilon<1$, we have
$$
\begin{aligned}
P\left(\bigcap_{m \geq n}\left{\left|X_{m}-0\right| \leq \epsilon\right}\right) &=P\left(\lim {r \rightarrow \infty} \bigcap{m=n}^{r}\left{\left|X_{m}\right| \leq \epsilon\right}\right)=\lim {r \rightarrow \infty} P\left(\bigcap{m=n}^{r}\left{\left|X_{m}\right| \leq \epsilon\right}\right) \
&=\lim {r \rightarrow \infty} \prod{m=n}^{r} P\left(\left|X_{m}\right| \leq \epsilon\right)=\lim {r \rightarrow \infty} \prod{m=n}^{r}\left(1-m^{-1}\right) \
&=\lim {r \rightarrow \infty} \frac{n-1}{n} \frac{n}{n+1} \ldots \frac{r-1}{r}=\lim {r \rightarrow \infty} \frac{n-1}{r}=0 .
\end{aligned}
$$
By the equivalent definition of a.s., we see that $X_{n} \neq 0$ a.s.
(b) If $X_{n} \rightarrow X$ in $L_{r}$, then $X_{n} \rightarrow p X$.
Proof. By Markov inequality, $0 \leq P\left(\left|X_{n}-X\right| \geq \epsilon\right) \leq E\left|X_{n}-X\right|^{r} / \epsilon^{r} \rightarrow 0$. Thus, $X_{n} \rightarrow p$.
The converse may not hold: Let $P\left(X_{n}=0\right)=1-n^{-1}$ and $P\left(X_{n}=n\right)=n^{-1}$. Then $X_{\mathrm{r}} \rightarrow_{p} 0$, but $E X_{n}-1 \neq 0 .$
(c) If $X_{n} \rightarrow_{p} X$, then $X_{n} \rightarrow d X$.

高等概率论代写

统计代写|高等概率论作业代写Advanced Probability Theory代考|Modes of convergence

定义：让X,X1,X2,…开房车(Ω,一种,磷). 我们说
（一）Xn→X如（即，概率为 1）如果
P\left(\lim {n \rightarrow \infty} X{n}=X\right)=P\left(\left{\omega \in \Omega: \lim {n \rightarrow \infty} X{n} (\omega)=X(\omega)\right}\right)=1 。P\left(\lim {n \rightarrow \infty} X{n}=X\right)=P\left(\left{\omega \in \Omega: \lim {n \rightarrow \infty} X{n} (\omega)=X(\omega)\right}\right)=1 。
(二)Xn→X在r均值，或在一世r空间，在哪里r>0， 如果
林n→∞和|Xn−X|r=0
（C）Xn→X在概率中，写为Xn→pX， 如果
林n→∞磷(|Xn−X|>ε)=0, 对所有人 ε>0
(d)Xn→X在分布中，写为Xn→dX要么FXn⟹FX， 如果
林n→∞FXn(X)=FX(X) 对于所有的连续点 FX(X). 
（的所有不连续点FX具有 Lesbegue 测度 0 ，因此在连续点处的收敛将足以确定极限。）
备注：
（a）注意
\left{\omega \in \Omega: \lim {n} X{n}(\omega) \text { 收敛 }\right}=\left{\omega \in \Omega: \limsup {n} X{n }(\omega)=\liminf {n} X{n}(\omega)\right},\left{\omega \in \Omega: \lim {n} X{n}(\omega) \text { 收敛 }\right}=\left{\omega \in \Omega: \limsup {n} X{n }(\omega)=\liminf {n} X{n}(\omega)\right},
显然是 A-可测量的，因此是一个事件。
(b) 度量空间X,ρ是一个非空集X元素与实值函数ρ定义于X×X这样对于所有人X,和， 和和∈X：（
一）ρ(X,和)≥0， 和ρ(X,和)=0当且当X=和; （非消极性）
（ii）ρ(X,和)=ρ(和,X); （对称）
（iii）ρ(X,和)≤ρ(X,和)+ρ(和,和); （三角不等式）。
功能ρ称为度量。
(二)ρ(和,和)=|和−和|r是一个度量L_{r}=\left{X: E|X|^{r}<\infty\right}L_{r}=\left{X: E|X|^{r}<\infty\right}， 在哪里
|X|r=和|X|r,0<r<1,
(和|X|r)1/r,r≥1.

统计代写|高等概率论作业代写Advanced Probability Theory代考|Equivalent definition of a.s. convergence

证明。”(一种)⟺(b)米. 首先请注意
\begin{对齐} &\left{\omega: \lim {n \rightarrow \infty} X{n}(\omega)=X(\omega)\right} \ =& \bigcap_{\epsilon>0}^ {\infty} \bigcup_{n=1}^{\infty}\left{\omega:\left|X_{m}(\omega)-X(\omega)\right|<\epsilon\right} \ 112 \end{对齐}\begin{对齐} &\left{\omega: \lim {n \rightarrow \infty} X{n}(\omega)=X(\omega)\right} \ =& \bigcap_{\epsilon>0}^ {\infty} \bigcup_{n=1}^{\infty}\left{\omega:\left|X_{m}(\omega)-X(\omega)\right|<\epsilon\right} \ 112 \end{对齐}（回忆如果一种n↑一种,乙n∣乙， 然后一种=林n一种n=∪n−1∞一种n,乙=林n乙n=∩n−1∞乙n) 如果 (a) 成立，那么从 (1.1) 可以得出1=P\left(\left{\omega: \lim {n \rightarrow \infty} X{n}(\omega)=X(\omega)\right}\right) \leq \lim {n \rightarrow \ infty} P\left(\bigcap{m=n}^{\infty}\left{\omega:\left|X_{m}(\omega)-X(\omega)\right|<\frac{1} {k}\right}\right) \leq 11=P\left(\left{\omega: \lim {n \rightarrow \infty} X{n}(\omega)=X(\omega)\right}\right) \leq \lim {n \rightarrow \ infty} P\left(\bigcap{m=n}^{\infty}\left{\omega:\left|X_{m}(\omega)-X(\omega)\right|<\frac{1} {k}\right}\right) \leq 1这意味着（b）成立。如果 (b) 成立，因为概率是连续的，我们有P\left(\left{\omega: \lim {n \rightarrow \infty} X{n}(\omega) \rightarrow X(\omega)\right}\right)=\lim {k \rightarrow \infty} \lim {n \rightarrow \infty} P\left(\prod_{m=n}^{\infty}\left{\omega:\left|X_{m}(\omega)-X(\omega)\right |<\frac{1}{k}\right}\right)=1 。P\left(\left{\omega: \lim {n \rightarrow \infty} X{n}(\omega) \rightarrow X(\omega)\right}\right)=\lim {k \rightarrow \infty} \lim {n \rightarrow \infty} P\left(\prod_{m=n}^{\infty}\left{\omega:\left|X_{m}(\omega)-X(\omega)\right |<\frac{1}{k}\right}\right)=1 。这意味着（a）成立。”(b)⟺(C)“. 琐碎的。”(C)⟺(和)“. 微不足道\begin{对齐} P\left(\left|X_{n}-X\right| \geq \epsilon, \text { io }\right) &=P\left(\bigcap_{n=1}^{\ infty} \bigcup_{m=n}^{\infty}\left{\left|X_{m}-X\right| \geq \epsilon\right}\right) \ &=P\left(\lim {n \rightarrow \infty} \bigcup{m=n}^{\infty}\left{\left|X_{m}-X\right| \geq \epsilon\right}\right) \ &=\lim {n \ rightarrow \infty} P\left(\bigcup{m=n}^{\infty}\left{\left|X_{m}-X\right| \geq \epsilon\right}\right) \end{aligned}\begin{对齐} P\left(\left|X_{n}-X\right| \geq \epsilon, \text { io }\right) &=P\left(\bigcap_{n=1}^{\ infty} \bigcup_{m=n}^{\infty}\left{\left|X_{m}-X\right| \geq \epsilon\right}\right) \ &=P\left(\lim {n \rightarrow \infty} \bigcup{m=n}^{\infty}\left{\left|X_{m}-X\right| \geq \epsilon\right}\right) \ &=\lim {n \ rightarrow \infty} P\left(\bigcup{m=n}^{\infty}\left{\left|X_{m}-X\right| \geq \epsilon\right}\right) \end{aligned}”(C)⟺(d)”∀ε>0， 让

统计代写|高等概率论作业代写Advanced Probability Theory代考|Relationships between modes of convergence

定理 6.3.1
(1) 对于r≥1,
Xn→X 作为  Xn→X 在 一世r⟹Xn→pX⟹Xn→dX(2) 如果r>s>0， 然后Xn→X在一世r⟹Xn→X在一世s.
(3) 一般没有其他含义。
证明。
(1)。(a) 如果Xn→X作为，那么Xn→pX.
证明。注意0 \leq P\left(\left|X_{n}-X\right| \geq \epsilon\right) \leq P\left(\bigcup_{m=n}^{\infty}\left{\left| X_{m}-X\right| \geq \epsilon\right}\right) \rightarrow 00 \leq P\left(\left|X_{n}-X\right| \geq \epsilon\right) \leq P\left(\bigcup_{m=n}^{\infty}\left{\left| X_{m}-X\right| \geq \epsilon\right}\right) \rightarrow 0作为n→∞由定理 6.1.1(c)。因此，Xn→p.
反过来可能不成立：让
磷(Xn=0)=1−n−1,磷(Xn=1)=n−1,
和Xn是独立的。然后Xn→p0自从磷(|Xn−0|>ε)≤n−1→0. 然而，Xn↛0因为对于任何0<ε<1， 我们有
\begin{对齐} P\left(\bigcap_{m \geq n}\left{\left|X_{m}-0\right| \leq \epsilon\right}\right) &=P\left(\lim {r \rightarrow \infty} \bigcap{m=n}^{r}\left{\left|X_{m}\right| \leq \epsilon\right}\right)=\lim {r \rightarrow \infty } P\left(\bigcap{m=n}^{r}\left{\left|X_{m}\right| \leq \epsilon\right}\right) \ &=\lim {r \rightarrow \infty } \prod{m=n}^{r} P\left(\left|X_{m}\right| \leq \epsilon\right)=\lim {r \rightarrow \infty} \prod{m=n} ^{r}\left(1-m^{-1}\right) \ &=\lim {r \rightarrow \infty} \frac{n-1}{n} \frac{n}{n+1} \ldots \frac{r-1}{r}=\lim {r \rightarrow \infty} \frac{n-1}{r}=0 。\end{对齐}\begin{对齐} P\left(\bigcap_{m \geq n}\left{\left|X_{m}-0\right| \leq \epsilon\right}\right) &=P\left(\lim {r \rightarrow \infty} \bigcap{m=n}^{r}\left{\left|X_{m}\right| \leq \epsilon\right}\right)=\lim {r \rightarrow \infty } P\left(\bigcap{m=n}^{r}\left{\left|X_{m}\right| \leq \epsilon\right}\right) \ &=\lim {r \rightarrow \infty } \prod{m=n}^{r} P\left(\left|X_{m}\right| \leq \epsilon\right)=\lim {r \rightarrow \infty} \prod{m=n} ^{r}\left(1-m^{-1}\right) \ &=\lim {r \rightarrow \infty} \frac{n-1}{n} \frac{n}{n+1} \ldots \frac{r-1}{r}=\lim {r \rightarrow \infty} \frac{n-1}{r}=0 。\end{对齐}
根据 as 的等价定义，我们看到Xn≠0如
(b) 如果Xn→X在一世r， 然后Xn→pX.
证明。由马尔可夫不等式，0≤磷(|Xn−X|≥ε)≤和|Xn−X|r/εr→0. 因此，Xn→p.
反过来可能不成立：让磷(Xn=0)=1−n−1和磷(Xn=n)=n−1. 然后Xr→p0， 但和Xn−1≠0.
(c) 如果Xn→pX， 然后Xn→dX.

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随机过程代考

在概率论概念中，随机过程是随机变量的集合。 若一随机系统的样本点是随机函数，则称此函数为样本函数，这一随机系统全部样本函数的集合是一个随机过程。 实际应用中，样本函数的一般定义在时间域或者空间域。 随机过程的实例如股票和汇率的波动、语音信号、视频信号、体温的变化，随机运动如布朗运动、随机徘徊等等。

贝叶斯方法代考

贝叶斯统计概念及数据分析表示使用概率陈述回答有关未知参数的研究问题以及统计范式。后验分布包括关于参数的先验分布，和基于观测数据提供关于参数的信息似然模型。根据选择的先验分布和似然模型，后验分布可以解析或近似，例如，马尔科夫链蒙特卡罗 (MCMC) 方法之一。贝叶斯统计概念及数据分析使用后验分布来形成模型参数的各种摘要，包括点估计，如后验平均值、中位数、百分位数和称为可信区间的区间估计。此外，所有关于模型参数的统计检验都可以表示为基于估计后验分布的概率报表。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

statistics-lab作为专业的留学生服务机构，多年来已为美国、英国、加拿大、澳洲等留学热门地的学生提供专业的学术服务，包括但不限于Essay代写，Assignment代写，Dissertation代写，Report代写，小组作业代写，Proposal代写，Paper代写，Presentation代写，计算机作业代写，论文修改和润色，网课代做，exam代考等等。写作范围涵盖高中，本科，研究生等海外留学全阶段，辐射金融，经济学，会计学，审计学，管理学等全球99%专业科目。写作团队既有专业英语母语作者，也有海外名校硕博留学生，每位写作老师都拥有过硬的语言能力，专业的学科背景和学术写作经验。我们承诺100%原创，100%专业，100%准时，100%满意。

机器学习代写

随着AI的大潮到来，Machine Learning逐渐成为一个新的学习热点。同时与传统CS相比，Machine Learning在其他领域也有着广泛的应用，因此这门学科成为不仅折磨CS专业同学的“小恶魔”，也是折磨生物、化学、统计等其他学科留学生的“大魔王”。学习Machine learning的一大绊脚石在于使用语言众多，跨学科范围广，所以学习起来尤其困难。但是不管你在学习Machine Learning时遇到任何难题，StudyGate专业导师团队都能为你轻松解决。

多元统计分析代考

基础数据: $N$ 个样本， $P$ 个变量数的单样本，组成的横列的数据表
变量定性: 分类和顺序；变量定量：数值
数学公式的角度分为: 因变量与自变量

时间序列分析代写

随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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我们提供的高等概率论Advanced Probability Theory及其相关学科的代写，服务范围广, 其中包括但不限于:

• Statistical Inference 统计推断
• Statistical Computing 统计计算
• Advanced Probability Theory 高等楖率论
• Advanced Mathematical Statistics 高等数理统计学
• (Generalized) Linear Models 广义线性模型
• Statistical Machine Learning 统计机器学习
• Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析
• Foundations of Data Science 数据科学基础

统计代写|高等概率论作业代写Advanced Probability Theory代考|Borel-Cantelli Lemma

Let $\left{A_{n}\right}$ ‘s be a sequence of events on $(\Omega, \mathcal{A}, P)$. Recall
$$
\begin{gathered}
\limsup {n} A{n}=\cap_{n=1}^{\infty} \cup_{m=n}^{\infty} A_{m}=\lim {n \rightarrow \infty} \cup{m=n}^{\infty} A_{m}=\left{A_{n} \text { i.o. }\right} . \
\liminf {n} A{n}=\cup_{n=1}^{\infty} \cap_{m=n}^{\infty} A_{m}=\lim {n \rightarrow \infty} \cap{m=n}^{\infty} A_{m}=\left{A_{n} \text { ult. }\right} . \
\liminf {n} A{n}=\left(\limsup {n} A{n}^{c}\right)^{c} .
\end{gathered}
$$
THEOREM 5.4.1 (Borel-Cantelli Lemma)
(a). $P\left(A_{n}\right.$, i.o $)=0$ if $\sum_{n \rightarrow \infty} P\left(A_{n}\right)<\infty$. (b). $P\left(A_{n}, i . o\right)=1$ if $\sum_{n \rightarrow \infty} P\left(A_{n}\right)=\infty$ and $A_{1}, A_{2}, \ldots$, are independent. Proof. (a). $P\left(A_{n}\right.$, i.o $)=P\left(\lim {n} \cup{m=n}^{\infty} A_{m}\right)=\lim {n} P\left(\cup{m=n}^{\infty} A_{m}\right) \leq \lim {n} \sum{m=n}^{\infty} P\left(A_{m}\right) \rightarrow 0$. (b). Noting $1-x \leq e^{-x}$ for all $x \in \mathcal{R}$ and independence of $A_{n}$, we have $$ \begin{aligned} 0 & \leq 1-P\left(A_{n}, i . o .\right)=P\left(A_{n}^{c}, u l t .\right)=P\left(\lim {n} \cap{m=n}^{\infty} A_{m}^{c}\right) \ &=\lim {n \rightarrow \infty} P\left(\lim {r \rightarrow \infty} \cap_{m=n}^{r} A_{m}^{c}\right)=\lim {n \rightarrow \infty} \lim {r \rightarrow \infty} P\left(\cap_{m=n}^{r} A_{m}^{c}\right) \ &=\lim {n \rightarrow \infty} \lim {r \rightarrow \infty} \prod_{m=n}^{r}\left[1-P\left(A_{m}\right)\right] \quad \text { (independence) } \ & \leq \lim {n \rightarrow \infty} \lim {r \rightarrow \infty} \prod_{m=n}^{r} e^{P\left(\Lambda_{m}\right)} \quad\left(\text { as } 1-x \leq e^{-x}\right) \ &=\lim {n \rightarrow \infty} \lim {r \rightarrow \infty} e^{-\sum_{m=n}^{r} P\left(A_{m}\right)}=\lim {n \rightarrow \infty} e^{\left.-\sum{m=n}^{\infty} P_{\left(\Lambda_{m}\right.}\right)} \ &=\lim {n \rightarrow \infty} 0=0 \end{aligned} $$ REMARK 5.4.1 The inequality $e^{x} \geq 1+x$, all $x \in R$, an be shown by different methods. Method 1. $f(x):=e^{x}-(1+x), f^{\prime}\left(x{0}\right)=0 \Longrightarrow x_{0}=0, f^{\prime \prime}\left(x_{0}\right)=e^{x_{0}}>0$, convex at $x_{0}$. So $f(x) \geq f\left(x_{0}\right)=0 .$
Method 2. It can be seen easily by comparing the plots of $e^{x} v . s .1+x$, and by noting $e^{x}$ is convex.
Method 3. If $x \geq 0, e^{x} \geq e^{0}=1, \Longrightarrow e^{x}-1=\int_{0}^{x} e^{x} d x \geq \int_{0}^{x} d x=x$.
On the other hand, if $x \leq 0, e^{x} \leq e^{0}=1, \Longrightarrow 1-e^{x}=\int_{x}^{0} e^{x} d x \leq \int_{x}^{0} d x=-x$.
In fact, we can continue doing this to get $e^{x} \geq 1+x^{2}+\ldots+x^{m} / m !($ for $x \geq 0)$.

统计代写|高等概率论作业代写Advanced Probability Theory代考|Kolmogorov 0-1 laws

It is a remarkable fact that probabilities of sets of certain class defined in terms of independent r.v.’s can only be 0 or 1 .

Definition: The tail $\sigma$-algebra (or remote future) of a sequence $\left{X_{n}, n \geq 1\right}$ of r.v.’s on $(\Omega, \mathcal{A}, P)$ is
$$
\bigcap_{n=1}^{\infty} \sigma\left(X_{j}, j \geq n\right) \equiv \bigcap_{n=1}^{\infty} \sigma\left(X_{n}, X_{n+1}, \ldots \ldots\right)
$$
The sets of the tail $\sigma$-algebra are called tail events, and functions measurable relative to the tail $\sigma$-algebra are dubbed tail functions.
Remarks.
(a). Recall $\sigma\left(X_{j}, j \geq n\right) \equiv \sigma\left(X_{n}, X_{n+1}, \ldots \ldots\right)=$ the future after time $n=$ the smallest $\sigma$ algebra w.r.t. which all $X_{m}, m \geq n$ are measurable.
(b). Intuitively, $A$ is a tail event if and only if changing a finite number of values does not affect the occurrence of the event.
(c). A is a tail event if the event depends entirely on the “tail series”.
Examples of tail events.
(i) If $B_{n} \in \mathcal{B}$, then $\left{X_{n} \in B_{n}\right.$ i.o. $}$ is a tail event.
Proof.
$$
\left{X_{n} \in B_{n} \text { i.ø. }\right}-\limsup {n}\left{X{n} \in B_{n}\right}-\bigcap_{n=1}^{\infty} \bigcup_{m=n}^{\infty}\left{X_{m} \in B_{m}\right} \in \bigcap_{n=1}^{\infty} \sigma\left(X_{n}, X_{n+1}, \ldots \ldots\right) .
$$
(ii) $\left{A_{n}\right.$ i.o. $}$ is a tail event.
Proof. Taking $X_{n}=I_{A_{n}}, B_{n}={1}$ in (i), we get
$$
\left{A_{n} \text { i.o. }\right}=\left{I_{A_{n}}=1 \text { i.o. }\right}=\left{X_{n} \in B_{n} \text { i.o. }\right}
$$
Then apply (i).
(iii) Let $S_{n}=X_{1}+\cdots+X_{n}$. It is easy to check that (Durrett, p62.)
(a) $\left{\lim {n} S{n}\right.$ exists $}$ is a tail event.
(b) $\left{\lim \sup {n} S{n}>x\right}$ is NOT a tail event.
(c) $\left{\lim \sup {n} S{n} / C_{n}>x\right}$ is a tail event if $C_{n} \rightarrow \infty$.

统计代写|高等概率论作业代写Advanced Probability Theory代考|Exercises

1. (i) If $X \sim N(0,1), Y \sim N(0,1)$, and $X, Y$ are independent, then $X+Y \sim N(0,2)$.
   (ii) If $X \sim \operatorname{Poisson}\left(\lambda_{1}\right), Y \sim P o i s s o n\left(\lambda_{2}\right)$, and $X, Y$ are independent, then $X+Y \sim$ Poisson $\left(\lambda_{1}+\lambda_{2}\right)$.
2. If $\left{E_{j}, 1 \leq j<\infty\right}$ are independent events on $(\Omega, A, P)$, then
   $$
   P\left(\bigcap_{j=1}^{\infty} E_{j}\right)=\prod_{j=1}^{\infty} P\left(E_{j}\right)
   $$
   where the infinite product is defined to be the obvious limit; similarly,
   $$
   P\left(\bigcup_{j=1}^{\infty} E_{j}\right)=1-\prod_{j=1}^{\infty}\left(1-P\left(E_{j}\right)\right)
   $$
3. Let $\left{X_{j}, 1 \leq j \leq n\right}$ be independent with d.f.’s $\left{F_{j}, 1 \leq j \leq n\right}$. Find the d.f. of $\max {j} X{j}$ and $\min {j} X{j}$.
4. If $X$ and $Y$ are independent and $E X$ exists, then for any Borel set $B$, we have
   $$
   \int_{Y \in B} X d P=(E X) P(Y \in B)
   $$
5. Let $\left{X_{1} X_{n}, n \geq 1\right}$ be i.i.d. Show that
   $$
   \varlimsup_{n \rightarrow \infty}\left|X_{n}\right| / n \leq C \text { a.s. }(C>0) \Longleftrightarrow E|X|<\infty
   $$
6. Let $\left{X, X_{n}, n \geq 1\right}$ be i.i.d. with d.f. given by
   $$
   \begin{aligned}
   F(x)=& \frac{1}{2} \exp \left(-|x|^{5} / \pi\right), & & x \leq 0 \
   & 1-\frac{1}{2} \exp \left(-|x|^{5} / \pi\right), & & x \geq 0
   \end{aligned}
   $$
   Show that
   $$
   \limsup {n \rightarrow \infty} \frac{X{n}}{(\pi \ln n)^{1 / 5}}=1 \text { a.s. }
   $$
   (Hint: Show $P\left(X_{n} /(\pi \ln n)^{1 / 5} \leq 1+\epsilon\right.$, i.o. $)=1, P\left(X_{n} /(\pi \ln n)^{1 / 5} \geq 1-\epsilon\right.$, i.o. $)=1$.)
7. Let $\left{X, X_{n}, n \geq 1\right}$ be i.i.d. with d.f. given by
   $$
   F(x)=1-x^{-5}, \quad x \geq 1
   $$
   Show that
   $$
   \limsup {n \rightarrow \infty} \frac{\ln X{n}}{\ln n}=c \quad a . s .
   $$
   for some number $c$ and find $c$.

高等概率论代写

统计代写|高等概率论作业代写Advanced Probability Theory代考|Borel-Cantelli Lemma

让\left{A_{n}\right}\left{A_{n}\right}是一系列事件(Ω,一种,磷). 记起
\begin{聚集} \limsup {n} A{n}=\cap_{n=1}^{\infty} \cup_{m=n}^{\infty} A_{m}=\lim {n \rightarrow \infty} \cup{m=n}^{\infty} A_{m}=\left{A_{n} \text { io }\right} 。\ \liminf {n} A{n}=\cup_{n=1}^{\infty} \cap_{m=n}^{\infty} A_{m}=\lim {n \rightarrow \infty} \上限{m=n}^{\infty} A_{m}=\left{A_{n} \text { ult. }\正确的} 。\ \liminf {n} A{n}=\left(\limsup {n} A{n}^{c}\right)^{c} 。\结束{聚集}\begin{聚集} \limsup {n} A{n}=\cap_{n=1}^{\infty} \cup_{m=n}^{\infty} A_{m}=\lim {n \rightarrow \infty} \cup{m=n}^{\infty} A_{m}=\left{A_{n} \text { io }\right} 。\ \liminf {n} A{n}=\cup_{n=1}^{\infty} \cap_{m=n}^{\infty} A_{m}=\lim {n \rightarrow \infty} \上限{m=n}^{\infty} A_{m}=\left{A_{n} \text { ult. }\正确的} 。\ \liminf {n} A{n}=\left(\limsup {n} A{n}^{c}\right)^{c} 。\结束{聚集}
定理 5.4.1 (Borel-Cantelli 引理)
(a)。磷(一种n, io)=0如果∑n→∞磷(一种n)<∞. (b)。磷(一种n,一世.○)=1如果∑n→∞磷(一种n)=∞和一种1,一种2,…, 是独立的。证明。（一种）。磷(一种n, io)=磷(林n∪米=n∞一种米)=林n磷(∪米=n∞一种米)≤林n∑米=n∞磷(一种米)→0. (b)。注意到1−X≤和−X对所有人X∈R和独立性一种n， 我们有0≤1−磷(一种n,一世.○.)=磷(一种nC,你一世吨.)=磷(林n∩米=n∞一种米C) =林n→∞磷(林r→∞∩米=nr一种米C)=林n→∞林r→∞磷(∩米=nr一种米C) =林n→∞林r→∞∏米=nr[1−磷(一种米)] （独立）  ≤林n→∞林r→∞∏米=nr和磷(Λ米)( 作为 1−X≤和−X) =林n→∞林r→∞和−∑米=nr磷(一种米)=林n→∞和−∑米=n∞磷(Λ米) =林n→∞0=0备注 5.4.1 不平等和X≥1+X， 全部X∈R, 可以通过不同的方法显示。方法一。F(X):=和X−(1+X),F′(X0)=0⟹X0=0,F′′(X0)=和X0>0, 凸在X0. 所以F(X)≥F(X0)=0.
方法 2. 通过对比图很容易看出和Xv.s.1+X, 并注意到和X是凸的。
方法 3. 如果X≥0,和X≥和0=1,⟹和X−1=∫0X和XdX≥∫0XdX=X.
另一方面，如果X≤0,和X≤和0=1,⟹1−和X=∫X0和XdX≤∫X0dX=−X.
事实上，我们可以继续这样做得到和X≥1+X2+…+X米/米!(为了X≥0).

统计代写|高等概率论作业代写Advanced Probability Theory代考|Kolmogorov 0-1 laws

一个值得注意的事实是，根据独立 rv 定义的某个类的集合的概率只能是 0 或 1 。

定义：尾巴σ- 序列的代数（或遥远的未来）\left{X_{n}, n \geq 1\right}\left{X_{n}, n \geq 1\right}房车开着(Ω,一种,磷)是
⋂n=1∞σ(Xj,j≥n)≡⋂n=1∞σ(Xn,Xn+1,……)
尾巴的集合σ-代数被称为尾部事件，并且函数相对于尾部可测量σ-代数被称为尾函数。
评论。
（一种）。记起σ(Xj,j≥n)≡σ(Xn,Xn+1,……)=时间之后的未来n=最小的σ所有的代数X米,米≥n是可测量的。
(b)。直觉上，一种是尾事件当且仅当改变有限数量的值不影响事件的发生。
（C）。如果事件完全依赖于“尾序列”，则 A 是尾事件。
尾部事件的示例。
(一) 如果乙n∈乙， 然后\left{X_{n} \in B_{n}\right.$ io $}\left{X_{n} \in B_{n}\right.$ io $}是尾事件。
证明。
\left{X_{n} \in B_{n} \text { i.ø. }\right}-\limsup {n}\left{X{n} \in B_{n}\right}-\bigcap_{n=1}^{\infty} \bigcup_{m=n}^{\infty }\left{X_{m} \in B_{m}\right} \in \bigcap_{n=1}^{\infty} \sigma\left(X_{n}, X_{n+1}, \ldots \ldots\right) 。\left{X_{n} \in B_{n} \text { i.ø. }\right}-\limsup {n}\left{X{n} \in B_{n}\right}-\bigcap_{n=1}^{\infty} \bigcup_{m=n}^{\infty }\left{X_{m} \in B_{m}\right} \in \bigcap_{n=1}^{\infty} \sigma\left(X_{n}, X_{n+1}, \ldots \ldots\right) 。
(二)\left{A_{n}\right.$ io $}\left{A_{n}\right.$ io $}是尾事件。
证明。服用Xn=一世一种n,乙n=1在 (i) 中，我们得到
\left{A_{n} \text { io }\right}=\left{I_{A_{n}}=1 \text { io }\right}=\left{X_{n} \in B_{n} \text { io }\right}\left{A_{n} \text { io }\right}=\left{I_{A_{n}}=1 \text { io }\right}=\left{X_{n} \in B_{n} \text { io }\right}
然后应用 (i)。
(iii) 让小号n=X1+⋯+Xn. 很容易检查 (Durrett, p62.)
(a)\left{\lim {n} S{n}\right.$ 存在 $}\left{\lim {n} S{n}\right.$ 存在 $}是尾事件。
(二)\left{\lim \sup {n} S{n}>x\right}\left{\lim \sup {n} S{n}>x\right}不是尾事件。
（C）\left{\lim \sup {n} S{n} / C_{n}>x\right}\left{\lim \sup {n} S{n} / C_{n}>x\right}如果是尾事件Cn→∞.

统计代写|高等概率论作业代写Advanced Probability Theory代考|Exercises

1. (一) 如果X∼ñ(0,1),和∼ñ(0,1)， 和X,和是独立的，那么X+和∼ñ(0,2).
   (ii) 如果X∼鱼⁡(λ1),和∼磷○一世ss○n(λ2)， 和X,和是独立的，那么X+和∼鱼(λ1+λ2).
2. 如果\left{E_{j}, 1 \leq j<\infty\right}\left{E_{j}, 1 \leq j<\infty\right}是独立事件(Ω,一种,磷)， 然后
   磷(⋂j=1∞和j)=∏j=1∞磷(和j)
   其中无限积被定义为明显的极限；相似地，
   磷(⋃j=1∞和j)=1−∏j=1∞(1−磷(和j))
3. 让\left{X_{j}, 1 \leq j \leq n\right}\left{X_{j}, 1 \leq j \leq n\right}独立于df\left{F_{j}, 1 \leq j \leq n\right}\left{F_{j}, 1 \leq j \leq n\right}. 找到 df最大限度jXj和分钟jXj.
4. 如果X和和是独立的并且和X存在，那么对于任何 Borel 集乙， 我们有
   ∫和∈乙Xd磷=(和X)磷(和∈乙)
5. 让\left{X_{1} X_{n}, n \geq 1\right}\left{X_{1} X_{n}, n \geq 1\right}是 iid 显示
   林¯n→∞⁡|Xn|/n≤C 作为 (C>0)⟺和|X|<∞
6. 让\left{X, X_{n}, n \geq 1\right}\left{X, X_{n}, n \geq 1\right}与 df 给出的 iid 由
   F(X)=12经验⁡(−|X|5/圆周率),X≤0 1−12经验⁡(−|X|5/圆周率),X≥0
   显示
   林汤n→∞Xn(圆周率ln⁡n)1/5=1 作为 
   （提示：显示磷(Xn/(圆周率ln⁡n)1/5≤1+ε, io)=1,磷(Xn/(圆周率ln⁡n)1/5≥1−ε, io)=1.)
7. 让\left{X, X_{n}, n \geq 1\right}\left{X, X_{n}, n \geq 1\right}与 df 给出的 iid 由
   F(X)=1−X−5,X≥1
   显示
   林汤n→∞ln⁡Xnln⁡n=C一种.s.
   对于一些数字C并找到C.

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随机过程代考

在概率论概念中，随机过程是随机变量的集合。 若一随机系统的样本点是随机函数，则称此函数为样本函数，这一随机系统全部样本函数的集合是一个随机过程。 实际应用中，样本函数的一般定义在时间域或者空间域。 随机过程的实例如股票和汇率的波动、语音信号、视频信号、体温的变化，随机运动如布朗运动、随机徘徊等等。

贝叶斯方法代考

贝叶斯统计概念及数据分析表示使用概率陈述回答有关未知参数的研究问题以及统计范式。后验分布包括关于参数的先验分布，和基于观测数据提供关于参数的信息似然模型。根据选择的先验分布和似然模型，后验分布可以解析或近似，例如，马尔科夫链蒙特卡罗 (MCMC) 方法之一。贝叶斯统计概念及数据分析使用后验分布来形成模型参数的各种摘要，包括点估计，如后验平均值、中位数、百分位数和称为可信区间的区间估计。此外，所有关于模型参数的统计检验都可以表示为基于估计后验分布的概率报表。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

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机器学习代写

随着AI的大潮到来，Machine Learning逐渐成为一个新的学习热点。同时与传统CS相比，Machine Learning在其他领域也有着广泛的应用，因此这门学科成为不仅折磨CS专业同学的“小恶魔”，也是折磨生物、化学、统计等其他学科留学生的“大魔王”。学习Machine learning的一大绊脚石在于使用语言众多，跨学科范围广，所以学习起来尤其困难。但是不管你在学习Machine Learning时遇到任何难题，StudyGate专业导师团队都能为你轻松解决。

多元统计分析代考

基础数据: $N$ 个样本， $P$ 个变量数的单样本，组成的横列的数据表
变量定性: 分类和顺序；变量定量：数值
数学公式的角度分为: 因变量与自变量

时间序列分析代写

随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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统计代写|高等概率论作业代写Advanced Probability Theory代考|Absolutely continuous r.v.’s

THEOREM $5.2 .5$ Let $X=\left(X_{1}, \ldots, X_{n}\right)$ be an absolutely continuous random vector. Then $X_{1}, \ldots, X_{n}$ are independent iff
$$
f_{X}\left(y_{1}, \ldots, y_{n}\right)=\prod_{i=1}^{n} f_{X_{i}}\left(y_{i}\right)
$$
for all $y_{1}, \ldots, y_{n} \in \mathcal{R}$.
Proof. If $X_{1}, \ldots, X_{n}$ are independent, then
$$
\begin{aligned}
\prod_{i=1}^{n} \int_{-\infty}^{t_{i}} f_{X_{i}}\left(y_{i}\right) d y_{i} &=\prod_{i=1}^{n} P\left(X_{i} \leq t_{i}\right)=P\left(X_{1} \leq t_{1}, \ldots, X_{n} \leq t_{n}\right) \
&=\int_{-\infty}^{t_{1}} \ldots \int_{-\infty}^{t_{n}} f_{X}\left(y_{1}, \ldots, y_{n}\right) d y_{1} \ldots d y_{n-}
\end{aligned}
$$
Hence,
$$
\int_{-\infty}^{t_{1}} \ldots \int_{-\infty}^{t_{n}}\left(f_{X}\left(y_{1}, \ldots, y_{n}\right)-\prod_{i=1}^{n} f_{X_{i}}\left(y_{i}\right)\right) d y_{1} \ldots d y_{n}=0
$$
Differentiating w.r.t. $t_{1}, \ldots, t_{n}$ results in (2.5).
On the other hand, if (2.5) is true, then
$$
\begin{aligned}
P\left(X_{1} \leq t_{1}, \ldots, X_{n} \leq t_{n}\right) &=\int_{-\infty}^{t_{1}} \ldots \int_{-\infty}^{t_{n}} f_{X}\left(y_{1}, \ldots, y_{n}\right) d y_{1} \ldots d y_{n} \
&=\prod_{i=1}^{n} \int_{-\infty}^{t_{i}} f_{X_{i}}\left(y_{i}\right) d y_{i}=\prod_{i=1}^{n} P\left(X_{i} \leq t_{i}\right)
\end{aligned}
$$
Therefore, $X_{1}, \ldots, X_{n}$ are independent.

统计代写|高等概率论作业代写Advanced Probability Theory代考|Transformation properties

THEOREM 5.3.1 If $X_{1}, \ldots, X_{n}$ are independent $r . v$.’s and $g_{1}, \ldots, g_{n}$ are Borel measurable functions, then $g_{1}\left(X_{1}\right), \ldots . g_{n}\left(X_{n}\right)$ are independent r.v.’s.
Proof. For $B_{i} \in \mathcal{B}$, we have $g_{i}^{-1}\left(B_{i}\right) \in \mathcal{B}$. So
$$
\begin{aligned}
P\left(\bigcap_{i=1}^{n}\left{g_{i}\left(X_{i}\right) \in B_{i}\right}\right) &=P\left(\bigcap_{i=1}^{n}\left{X_{i} \in g_{i}^{-1}\left(B_{i}\right)\right}\right)=\prod_{i=1}^{n} P\left(X_{i} \in g_{i}^{-1}\left(B_{i}\right)\right) \
&=\prod_{i=1}^{n} P\left(g_{i}\left(X_{i}\right) \in B_{i}\right) .
\end{aligned}
$$
Similarly, we can show that
THEOREM 5.3.2 Let $1=n_{0} \leq n_{1}<n_{2}<\ldots<n_{k}=n ; g_{j}$ be a Borel measurable function of $n_{j}-n_{j-1}$ variables. If $X_{1}, \ldots, X_{n}$ are independent r.v.’s, then
$$
g_{1}\left(X_{1}, \ldots, X_{n_{1}}\right), \quad g_{2}\left(X_{n_{1}+1}, \ldots, X_{n_{2}}\right), \quad \ldots \ldots \ldots . . \quad g_{k}\left(X_{n_{k-1}}, \ldots, X_{n_{k}}\right)
$$
are independent.
Proof. For simplicity, we shall only prove it for $k=2$. Denote $Z_{1}=\left(X_{1}, \ldots, X_{m}\right)$ and $Z_{2}=$ $\left(X_{m+1}, \ldots, X_{n}\right)$. Then $Y_{1} \equiv g_{1}\left(Z_{1}\right)$ and $Y_{2} \equiv g_{2}\left(Z_{2}\right)$ are independent iff for all $B_{1}, B_{2} \in \mathcal{B}$, we have
$$
P\left(Z_{1} \in g_{1}^{-1}\left(B_{1}\right), Z_{2} \in g_{2}^{-1}\left(B_{2}\right)\right)=P\left(Z_{1} \in g_{1}^{-1}\left(B_{1}\right)\right) \quad P\left(Z_{2} \in g_{2}^{-1}\left(B_{2}\right)\right),
$$
which is implied by the stronger condition
$$
P\left(Z_{1} \in A_{1}, Z_{2} \in A_{2}\right)=P\left(Z_{1} \in A_{1}\right) P\left(Z_{2} \in A_{2}\right)
$$
for all $A_{1} \in \mathcal{B}^{m}$ and $A_{2} \in \mathcal{B}^{n-m}$. To show this, define
$$
\begin{gathered}
\mathcal{B}{1}=\left{A \in \mathcal{B}^{m}: P\left(Z{1} \in A, Z_{2} \in B_{1} \times \ldots \times B_{n-m}\right)=P\left(Z_{1} \in A\right) P\left(Z_{2} \in B_{1} \times \ldots \times B_{n-m}\right),\right. \
\text { for any } \left.B_{i} \in \mathcal{B}, \quad 1 \leq i \leq n-m\right} .
\end{gathered}
$$
Similar to the proof of Theorem $5.2 .1$, it can be shown:
(i) the $\pi$-class: $\mathcal{A}=\left{A_{1} \times \ldots \times A_{m}: A_{i} \in \mathcal{B}, 1 \leq i \leq m\right}$ is contained in $\mathcal{B}{1}$. (ii) $\mathcal{B}{1}$ is a $\lambda$-class.
Then by the Monotone Convergence Theorem, we get that $\mathcal{B}{1} \supset \sigma(\mathcal{A})=\mathcal{B}^{m}$. In fact, $\mathcal{B}{1}=\mathcal{B}^{m}$ as $\mathcal{B}_{1} \subset \mathcal{B}^{m}$.
In a similar fashion, we can complete our proof (3.6).

统计代写|高等概率论作业代写Advanced Probability Theory代考|Convolutions

THEOREM 5.3.3 Let $X, Y$ be independent and absolutely continuous. Then $X+Y$ is absolutely continuous and
$$
f_{X}+Y(t)=\int_{-\infty}^{\infty} f_{X}(t-s) f_{Y}(s) d s, \quad t \in \mathcal{R}
$$
Proof.
$$
\begin{aligned}
P(X+Y \leq t) &=P((X, Y) \in{(x, y): x+y \leq t}) \
&=\iint_{x+y \leq t} f_{X, Y}(x, y) d x d y=\int_{y=-\infty}^{\infty} \int_{x=-\infty}^{t-y} f_{X}(x) f_{Y}(y) d x d y
\end{aligned}
$$
100
$$
\begin{aligned}
&=\int_{y=-\infty}^{\infty}\left[\int_{x=-\infty}^{t-y} f X(x) d x\right] f_{Y}(y) d y \
&=\int_{y=-\infty}^{\infty}\left[\int_{z=-\infty}^{t} f_{X}(z-y) d z\right] f_{Y}(y) d y \
&=\int_{z=-\infty}^{t}\left[\int_{y=-\infty}^{\infty} f_{X}(z-y) f_{Y}(y) d y\right] d z
\end{aligned}
$$
$$
(z=x+y)
$$
Example. If $X \sim N\left(\mu_{1}, \sigma_{1}^{2}\right), Y \sim N\left(\mu_{2}, \sigma_{2}^{2}\right)$, and $X, Y$ are independent, then $X+Y \sim N\left(\mu_{1}+\mu_{2}, \sigma_{1}^{2}+\right.$ $\left.\sigma_{2}^{2}\right)$.
THEOREM 5.3.4 Let $X, Y$ be nonnegative and integer-valued. Then for each $n \geq 0$,
$$
P(X+Y=n)=\sum_{k=0}^{n} P(X=k) P(Y=n-k)
$$
Proof.
$$
\begin{aligned}
P(X+Y=n) &=P\left(\sum_{k=0}^{n}{X=k, Y=n-k}\right)=\sum_{k=0}^{n} P(X=k, Y=n\
&=\sum_{k=0}^{n} P(X=k) P(Y=n-k) .
\end{aligned}
$$
Example. If $X \sim \operatorname{Poisson}\left(\lambda_{1}\right), Y \sim \operatorname{Poisson}\left(\lambda_{2}\right)$, and $X, Y$ are independent, then $X+Y \sim$ Poisson $\left(\lambda_{1}+\right.$ $\left.\lambda_{2}\right)$.

高等概率论代写

统计代写|高等概率论作业代写Advanced Probability Theory代考|Absolutely continuous r.v.’s

定理5.2.5让X=(X1,…,Xn)是一个绝对连续的随机向量。然后X1,…,Xn是独立的
FX(和1,…,和n)=∏一世=1nFX一世(和一世)
对所有人和1,…,和n∈R.
证明。如果X1,…,Xn是独立的，那么
∏一世=1n∫−∞吨一世FX一世(和一世)d和一世=∏一世=1n磷(X一世≤吨一世)=磷(X1≤吨1,…,Xn≤吨n) =∫−∞吨1…∫−∞吨nFX(和1,…,和n)d和1…d和n−
因此，
∫−∞吨1…∫−∞吨n(FX(和1,…,和n)−∏一世=1nFX一世(和一世))d和1…d和n=0
区分wrt吨1,…,吨n结果为（2.5）。
另一方面，如果 (2.5) 为真，则
磷(X1≤吨1,…,Xn≤吨n)=∫−∞吨1…∫−∞吨nFX(和1,…,和n)d和1…d和n =∏一世=1n∫−∞吨一世FX一世(和一世)d和一世=∏一世=1n磷(X一世≤吨一世)
所以，X1,…,Xn是独立的。

统计代写|高等概率论作业代写Advanced Probability Theory代考|Transformation properties

定理 5.3.1 如果X1,…,Xn是独立的r.v。’沙G1,…,Gn是 Borel 可测函数，则G1(X1),….Gn(Xn)是独立的房车。
证明。为了乙一世∈乙， 我们有G一世−1(乙一世)∈乙. 所以
\begin{对齐} P\left(\bigcap_{i=1}^{n}\left{g_{i}\left(X_{i}\right) \in B_{i}\right}\right) & =P\left(\bigcap_{i=1}^{n}\left{X_{i} \in g_{i}^{-1}\left(B_{i}\right)\right}\right) =\prod_{i=1}^{n} P\left(X_{i} \in g_{i}^{-1}\left(B_{i}\right)\right) \ &=\prod_{ i=1}^{n} P\left(g_{i}\left(X_{i}\right) \in B_{i}\right) 。\end{对齐}\begin{对齐} P\left(\bigcap_{i=1}^{n}\left{g_{i}\left(X_{i}\right) \in B_{i}\right}\right) & =P\left(\bigcap_{i=1}^{n}\left{X_{i} \in g_{i}^{-1}\left(B_{i}\right)\right}\right) =\prod_{i=1}^{n} P\left(X_{i} \in g_{i}^{-1}\left(B_{i}\right)\right) \ &=\prod_{ i=1}^{n} P\left(g_{i}\left(X_{i}\right) \in B_{i}\right) 。\end{对齐}
同样，我们可以证明
定理 5.3.2 让1=n0≤n1<n2<…<n到=n;Gj是一个 Borel 可测函数nj−nj−1变量。如果X1,…,Xn是独立的房车，那么
G1(X1,…,Xn1),G2(Xn1+1,…,Xn2),………..G到(Xn到−1,…,Xn到)
是独立的。
证明。为简单起见，我们只证明到=2. 表示和1=(X1,…,X米)和和2= (X米+1,…,Xn). 然后和1≡G1(和1)和和2≡G2(和2)对所有人都是独立的乙1,乙2∈乙， 我们有
磷(和1∈G1−1(乙1),和2∈G2−1(乙2))=磷(和1∈G1−1(乙1))磷(和2∈G2−1(乙2)),
这是更强的条件所暗示的
磷(和1∈一种1,和2∈一种2)=磷(和1∈一种1)磷(和2∈一种2)
对所有人一种1∈乙米和一种2∈乙n−米. 为了显示这一点，定义
\begin{聚集} \mathcal{B}{1}=\left{A \in \mathcal{B}^{m}: P\left(Z{1} \in A, Z_{2} \in B_{ 1} \times \ldots \times B_{nm}\right)=P\left(Z_{1} \in A\right) P\left(Z_{2} \in B_{1} \times \ldots \times B_{nm}\right),\right. \ \text { 对于任何 } \left.B_{i} \in \mathcal{B}, \quad 1 \leq i \leq nm\right} 。\结束{聚集}\begin{聚集} \mathcal{B}{1}=\left{A \in \mathcal{B}^{m}: P\left(Z{1} \in A, Z_{2} \in B_{ 1} \times \ldots \times B_{nm}\right)=P\left(Z_{1} \in A\right) P\left(Z_{2} \in B_{1} \times \ldots \times B_{nm}\right),\right. \ \text { 对于任何 } \left.B_{i} \in \mathcal{B}, \quad 1 \leq i \leq nm\right} 。\结束{聚集}
类似于定理的证明5.2.1，可以表示为：
(i)圆周率-班级：\mathcal{A}=\left{A_{1} \times \ldots \times A_{m}: A_{i} \in \mathcal{B}, 1 \leq i \leq m\right}\mathcal{A}=\left{A_{1} \times \ldots \times A_{m}: A_{i} \in \mathcal{B}, 1 \leq i \leq m\right}包含在乙1. (二)乙1是一个λ-班级。
然后通过单调收敛定理，我们得到乙1⊃σ(一种)=乙米. 实际上，乙1=乙米作为乙1⊂乙米.
以类似的方式，我们可以完成我们的证明（3.6）。

统计代写|高等概率论作业代写Advanced Probability Theory代考|Convolutions

定理 5.3.3 让X,和独立且绝对连续。然后X+和是绝对连续的并且
FX+和(吨)=∫−∞∞FX(吨−s)F和(s)ds,吨∈R
证明。
磷(X+和≤吨)=磷((X,和)∈(X,和):X+和≤吨) =∬X+和≤吨FX,和(X,和)dXd和=∫和=−∞∞∫X=−∞吨−和FX(X)F和(和)dXd和
100
=∫和=−∞∞[∫X=−∞吨−和FX(X)dX]F和(和)d和 =∫和=−∞∞[∫和=−∞吨FX(和−和)d和]F和(和)d和 =∫和=−∞吨[∫和=−∞∞FX(和−和)F和(和)d和]d和
(和=X+和)
例子。如果X∼ñ(μ1,σ12),和∼ñ(μ2,σ22)， 和X,和是独立的，那么X+和∼ñ(μ1+μ2,σ12+ σ22).
定理 5.3.4 让X,和是非负和整数值。那么对于每个n≥0,
磷(X+和=n)=∑到=0n磷(X=到)磷(和=n−到)
证明。
磷(X+和=n)=磷(∑到=0nX=到,和=n−到)=∑到=0n磷(X=到,和=n =∑到=0n磷(X=到)磷(和=n−到).
例子。如果X∼鱼⁡(λ1),和∼鱼⁡(λ2)， 和X,和是独立的，那么X+和∼鱼(λ1+ λ2)

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随机过程代考

在概率论概念中，随机过程是随机变量的集合。 若一随机系统的样本点是随机函数，则称此函数为样本函数，这一随机系统全部样本函数的集合是一个随机过程。 实际应用中，样本函数的一般定义在时间域或者空间域。 随机过程的实例如股票和汇率的波动、语音信号、视频信号、体温的变化，随机运动如布朗运动、随机徘徊等等。

贝叶斯方法代考

贝叶斯统计概念及数据分析表示使用概率陈述回答有关未知参数的研究问题以及统计范式。后验分布包括关于参数的先验分布，和基于观测数据提供关于参数的信息似然模型。根据选择的先验分布和似然模型，后验分布可以解析或近似，例如，马尔科夫链蒙特卡罗 (MCMC) 方法之一。贝叶斯统计概念及数据分析使用后验分布来形成模型参数的各种摘要，包括点估计，如后验平均值、中位数、百分位数和称为可信区间的区间估计。此外，所有关于模型参数的统计检验都可以表示为基于估计后验分布的概率报表。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

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机器学习代写

随着AI的大潮到来，Machine Learning逐渐成为一个新的学习热点。同时与传统CS相比，Machine Learning在其他领域也有着广泛的应用，因此这门学科成为不仅折磨CS专业同学的“小恶魔”，也是折磨生物、化学、统计等其他学科留学生的“大魔王”。学习Machine learning的一大绊脚石在于使用语言众多，跨学科范围广，所以学习起来尤其困难。但是不管你在学习Machine Learning时遇到任何难题，StudyGate专业导师团队都能为你轻松解决。

多元统计分析代考

基础数据: $N$ 个样本， $P$ 个变量数的单样本，组成的横列的数据表
变量定性: 分类和顺序；变量定量：数值
数学公式的角度分为: 因变量与自变量

时间序列分析代写

随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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统计代写|高等概率论作业代写Advanced Probability Theory代考|Definition

Definition: Let $(\Omega, \mathcal{A}, P)$ be a probability space.
(i) Events $A_{1}, \ldots, A_{n} \in \mathcal{A}$ are said to be independent iff
$$
P\left(\bigcap_{i \in J} A_{i}\right)=\prod_{i \in J} P\left(A_{i}\right) .
$$
for every subset $J$ of ${1,2, \ldots, n}$.
(ii) Classes $\mathcal{A}{1}, \ldots, \mathcal{A}{n}$ are said to be independent iff
$$
P\left(\bigcap_{i \in J} A_{i}\right)=\prod_{i \in J} P\left(A_{i}\right)
$$
for every subset $J$ of ${1,2, \ldots, n}$, and $A_{i} \in \mathcal{A}{i}$. In particular, $\sigma$-algebras $\mathcal{A}{1}, \ldots, \mathcal{A}{n}$ are said to be independent iff $$ P\left(\bigcap{i=1}^{n} A_{i}\right)=\prod_{i=1}^{n} P\left(A_{i}\right) \quad \text { for any } A_{i} \in \mathcal{A}{i-} $$ (Note we can choose some $A{i}=\Omega \in \mathcal{A}{i}$ ) (iii) The r.v.’s $X{1}, \ldots, X_{n}$ are said to be independent iff the events $\left{X_{i} \in B_{i}\right}$ are independent, i.e.,
$$
P\left(\bigcap_{i \in J}\left{X_{i} \in B_{i}\right}\right)=\prod_{i \in J} P\left(\left{X_{i} \in B_{i}\right}\right)
$$
for every subset $J$ of ${1,2, \ldots, n}$. This is clearly equivalent to
$$
P\left(\bigcap_{i=1}^{n}\left{X_{i} \in B_{i}\right}\right)=\prod_{i=1}^{n} P\left(\left{X_{i} \in B_{i}\right}\right)
$$
for any Borel sets $B_{i} \in \mathcal{B}$ (as one can take some $B_{i}=\mathcal{R}_{i}$ ).
(iv) The r.v.’s of an infinite (not necessarily countable) family are said to be independent iff those in every finite subfamily are.

统计代写|高等概率论作业代写Advanced Probability Theory代考|How to check independence

(i) $\mathcal{R} \in \mathcal{B}{1}$ by (2.2). (ii) If $A \subset B \in \mathcal{B}{1}$, then for all $t_{2}, \ldots, t_{n} \in \mathcal{R}$,
$$
\begin{aligned}
& P\left(X_{1} \in B-A, \cap_{j=2}^{n}\left{X_{j} \leq t_{j}\right}\right) \
=& P\left(X_{1} \in B, \cap_{j=2}^{n}\left{X_{j} \leq t_{j}\right}\right)-P\left(X_{1} \in A, \cap_{j=2}^{n}\left{X_{j} \leq t_{j}\right}\right) \
=& P\left(X_{1} \in B\right) \prod_{j=2}^{n} P\left(X_{j} \leq t_{j}\right)-P\left(X_{1} \in A\right) \prod_{j=2}^{n} P\left(X_{j} \leq t_{j}\right) \
=& P\left(X_{1} \in B-A\right) \prod_{j=2}^{n} P\left(X_{j} \leq t_{j}\right),
\end{aligned}
$$
which confirms that $B-A \in \mathcal{B}{1}$. (iii) If $B{k} \in \mathcal{B}{1}$ and $B{k} \nearrow B$, then for all $t_{2}, \ldots, t_{n} \in \mathcal{R}$,
$$
\begin{aligned}
P\left(X_{1} \in B, \cap_{j=2}^{n}\left{X_{j} \leq t_{j}\right}\right) &=\lim {k \rightarrow \infty} P\left(X{1} \in B_{k}, \cap_{j=2}^{n}\left{X_{j} \leq t_{j}\right}\right) \
&=\lim {k \rightarrow \infty} P\left(X{1} \in B_{k}\right) \prod_{j=2}^{n} P\left(X_{j} \leq t_{j}\right) \
&=P\left(X_{1} \in B\right) \prod_{j=2}^{n} P\left(X_{j} \leq t_{j}\right),
\end{aligned}
$$
which implies that $B \in \mathcal{B}{1}$. Combining (i)-(iii), we prove that $\mathcal{B}{1}$ is a $\lambda$-class.
We continue this procedure iteratively until the same extension has been accomplished for $X_{2}, \ldots, X_{n}$ For instance, the second step is as follows. Define
$$
\begin{aligned}
\mathcal{B}{2}=\left{B^{\prime} \in \mathcal{B}:\right.& P\left(X{1} \in B, X_{2} \in B^{\prime}, \cap_{j=3}^{n}\left{X_{j} \leq t_{n}\right}\right) \
=&\left.P\left(X_{1} \in B\right) P\left(X_{2} \in B^{\prime}\right) \prod_{j=3}^{n} P\left(X_{j} \leq t_{j}\right), B \in \mathcal{B}, t_{j} \in \mathcal{R}, 3 \leq j \leq n\right} .
\end{aligned}
$$
Using the similar arguments to the above, we can show that $\mathcal{B}{2}=\sigma(\mathcal{A})=\mathcal{B}$. Using the same techniques in the last theorem, we can show the next theorem. (Chow, p62.) 1HEOREM $5.2 .2$ If $\mathscr{G}$ and $\mathcal{V}$ are sndependent classes of events, and $\mathcal{V}$ is a $\pi$-class, then $Y$ and $\sigma(\mathcal{V})$ are independent. Proof. For any $B \in \mathcal{G}$, define $$ \mathcal{D}^{}={A: A \in \sigma(\mathcal{D}) \text { and } P(A \cap B)=P(A) P(B)} $$ Then it is easy to show that $\mathcal{D}^{}$ is a $\lambda$-class containing a $\pi$-class $\mathcal{D}$. By the Monotone Convergence Theorem, $\mathcal{D}^{*} \supset \sigma(\mathcal{D})$. This completes our proof.
Applying the above lemma, we get (Durrett, page 25.)
THEOREM 5.2.3 Suppose that $\mathcal{A}{1}, \ldots, \mathcal{A}{n}$ are independent and each $\mathcal{A}{i}$ is a $\pi$-class. Then $\sigma\left(\mathcal{A}{1}\right), \ldots, \sigma\left(\mathcal{A}{n}\right)$ are independent.
Question: Is the condition: “each , $\mathcal{A}_{i}$ is a $\pi$-class” really necessary in the last theorem?

统计代写|高等概率论作业代写Advanced Probability Theory代考|Discrete r.v.’s

THEOREM $5.2 .4$ Discrete r.v.’s $X_{1}, \ldots, X_{n}$, taking values in countable set $C$, are independent iff
$$
P\left(X_{1}=a_{1}, \ldots, X_{n}=a_{n}\right)=\prod_{i=1}^{n} P\left(X_{i}=a_{i}\right)
$$
for all $a_{1}, \ldots, a_{n} \in C$.
Proof. If $X_{1}, \ldots, X_{n}$ are independent, then (2.4) is obviously true.
On the other hand, if $(2.4)$ is true, then
$$
\begin{aligned}
F_{X_{1}, \ldots, X_{n}}\left(t_{1}, \ldots, t_{n}\right) &=P\left(X_{1} \leq t_{1}, \ldots, X_{n} \leq t_{n}\right) \
&=\sum_{\left{a_{1} \in C: a_{1} \leq t_{1}\right}} \ldots \sum_{\left{a_{n} \in C: a_{n} \leq t_{n}\right}} P\left(X_{1}=a_{1}, \ldots, X_{n}=a_{n}\right) \
&=\sum_{\left{a_{1} \in C: a_{1} \leq t_{1}\right}} \ldots \sum_{\left{a_{n} \in C: a_{n} \leq t_{n}\right}} P\left(X_{1}=a_{1}\right) \cdots P\left(X_{n}=a_{n}\right) \
&=\left(\sum_{\left{a_{1} \in C: a_{1} \leq t_{1}\right}} P\left(X_{1}=a_{1}\right)\right) \cdots\left(\sum_{\left{a_{n} \in C: a_{n} \leq t_{n}\right}} P\left(X_{n}=a_{n}\right)\right) \
&=P\left(X_{1} \leq t_{1}\right) \cdots P\left(X_{n} \leq t_{n}\right) \
&=F_{X_{1}\left(t_{1}\right) \ldots \ldots . \ldots X_{n}\left(t_{n}\right) .}
\end{aligned}
$$
Therefore, $X_{1}, \ldots, X_{n}$ are independent.

高等概率论代写

统计代写|高等概率论作业代写Advanced Probability Theory代考|Definition

定义：让(Ω,一种,磷)是一个概率空间。
(i) 活动一种1,…,一种n∈一种据说是独立的
磷(⋂一世∈Ĵ一种一世)=∏一世∈Ĵ磷(一种一世).
对于每个子集Ĵ的1,2,…,n.
(ii) 班级一种1,…,一种n据说是独立的
磷(⋂一世∈Ĵ一种一世)=∏一世∈Ĵ磷(一种一世)
对于每个子集Ĵ的1,2,…,n， 和一种一世∈一种一世. 特别是，σ-代数一种1,…,一种n据说是独立的磷(⋂一世=1n一种一世)=∏一世=1n磷(一种一世) 对于任何 一种一世∈一种一世−（注意我们可以选择一些一种一世=Ω∈一种一世) (iii) 房车的X1,…,Xn据说事件是独立的\left{X_{i} \in B_{i}\right}\left{X_{i} \in B_{i}\right}是独立的，即
P\left(\bigcap_{i \in J}\left{X_{i} \in B_{i}\right}\right)=\prod_{i \in J} P\left(\left{X_{i } \in B_{i}\right}\right)P\left(\bigcap_{i \in J}\left{X_{i} \in B_{i}\right}\right)=\prod_{i \in J} P\left(\left{X_{i } \in B_{i}\right}\right)
对于每个子集Ĵ的1,2,…,n. 这显然等同于
P\left(\bigcap_{i=1}^{n}\left{X_{i} \in B_{i}\right}\right)=\prod_{i=1}^{n} P\left( \left{X_{i} \in B_{i}\right}\right)P\left(\bigcap_{i=1}^{n}\left{X_{i} \in B_{i}\right}\right)=\prod_{i=1}^{n} P\left( \left{X_{i} \in B_{i}\right}\right)
对于任何 Borel 集乙一世∈乙（因为一个人可以采取一些乙一世=R一世）。
(iv) 无限（不一定可数）族的 rv 被称为是独立的，当且仅当当且仅当每个有限亚族中的那些都是独立的。

统计代写|高等概率论作业代写Advanced Probability Theory代考|How to check independence

（一世）R∈乙1由（2.2）。(ii) 如果一种⊂乙∈乙1, 那么对于所有吨2,…,吨n∈R,
\begin{aligned} & P\left(X_{1} \in BA, \cap_{j=2}^{n}\left{X_{j} \leq t_{j}\right}\right) \ = & P\left(X_{1} \in B, \cap_{j=2}^{n}\left{X_{j} \leq t_{j}\right}\right)-P\left(X_{ 1} \in A, \cap_{j=2}^{n}\left{X_{j} \leq t_{j}\right}\right) \ =& P\left(X_{1} \in B \right) \prod_{j=2}^{n} P\left(X_{j} \leq t_{j}\right)-P\left(X_{1} \in A\right) \prod_{j =2}^{n} P\left(X_{j} \leq t_{j}\right) \ =& P\left(X_{1} \in BA\right) \prod_{j=2}^{ n} P\left(X_{j} \leq t_{j}\right), \end{aligned}\begin{aligned} & P\left(X_{1} \in BA, \cap_{j=2}^{n}\left{X_{j} \leq t_{j}\right}\right) \ = & P\left(X_{1} \in B, \cap_{j=2}^{n}\left{X_{j} \leq t_{j}\right}\right)-P\left(X_{ 1} \in A, \cap_{j=2}^{n}\left{X_{j} \leq t_{j}\right}\right) \ =& P\left(X_{1} \in B \right) \prod_{j=2}^{n} P\left(X_{j} \leq t_{j}\right)-P\left(X_{1} \in A\right) \prod_{j =2}^{n} P\left(X_{j} \leq t_{j}\right) \ =& P\left(X_{1} \in BA\right) \prod_{j=2}^{ n} P\left(X_{j} \leq t_{j}\right), \end{aligned}
这证实了乙−一种∈乙1. (iii) 如果乙到∈乙1和乙到乙, 那么对于所有吨2,…,吨n∈R,
\begin{对齐} P\left(X_{1} \in B, \cap_{j=2}^{n}\left{X_{j} \leq t_{j}\right}\right) &=\ lim {k \rightarrow \infty} P\left(X{1} \in B_{k}, \cap_{j=2}^{n}\left{X_{j} \leq t_{j}\right} \right) \ &=\lim {k \rightarrow \infty} P\left(X{1} \in B_{k}\right) \prod_{j=2}^{n} P\left(X_{j } \leq t_{j}\right) \ &=P\left(X_{1} \in B\right) \prod_{j=2}^{n} P\left(X_{j} \leq t_{ j}\right), \end{对齐}\begin{对齐} P\left(X_{1} \in B, \cap_{j=2}^{n}\left{X_{j} \leq t_{j}\right}\right) &=\ lim {k \rightarrow \infty} P\left(X{1} \in B_{k}, \cap_{j=2}^{n}\left{X_{j} \leq t_{j}\right} \right) \ &=\lim {k \rightarrow \infty} P\left(X{1} \in B_{k}\right) \prod_{j=2}^{n} P\left(X_{j } \leq t_{j}\right) \ &=P\left(X_{1} \in B\right) \prod_{j=2}^{n} P\left(X_{j} \leq t_{ j}\right), \end{对齐}
这意味着乙∈乙1. 结合 (i)-(iii)，我们证明乙1是一个λ-班级。
我们迭代地继续这个过程，直到完成相同的扩展X2,…,Xn例如，第二步如下。定义
\begin{对齐} \mathcal{B}{2}=\left{B^{\prime} \in \mathcal{B}:\right.& P\left(X{1} \in B, X_{2 } \in B^{\prime}, \cap_{j=3}^{n}\left{X_{j} \leq t_{n}\right}\right) \ =&\left.P\left( X_{1} \in B\right) P\left(X_{2} \in B^{\prime}\right) \prod_{j=3}^{n} P\left(X_{j} \leq t_{j}\right), B \in \mathcal{B}, t_{j} \in \mathcal{R}, 3 \leq j \leq n\right} 。\end{对齐}\begin{对齐} \mathcal{B}{2}=\left{B^{\prime} \in \mathcal{B}:\right.& P\left(X{1} \in B, X_{2 } \in B^{\prime}, \cap_{j=3}^{n}\left{X_{j} \leq t_{n}\right}\right) \ =&\left.P\left( X_{1} \in B\right) P\left(X_{2} \in B^{\prime}\right) \prod_{j=3}^{n} P\left(X_{j} \leq t_{j}\right), B \in \mathcal{B}, t_{j} \in \mathcal{R}, 3 \leq j \leq n\right} 。\end{对齐}
使用与上述类似的论点，我们可以证明乙2=σ(一种)=乙. 使用上一个定理中的相同技术，我们可以展示下一个定理。（周，第 62 页。） 1HEOREM5.2.2如果G和五是事件的独立类别，并且五是一个圆周率-类，然后和和σ(五)是独立的。证明。对于任何乙∈G， 定义D=一种:一种∈σ(D) 和 磷(一种∩乙)=磷(一种)磷(乙)那么很容易证明D是一个λ- 类包含一个圆周率-班级D. 根据单调收敛定理，D∗⊃σ(D). 这完成了我们的证明。
应用上述引理，我们得到（Durrett，第 25 页）。
定理 5.2.3 假设一种1,…,一种n是独立的，每个一种一世是一个圆周率-班级。然后σ(一种1),…,σ(一种n)是独立的。
问题：条件是：“每个 ,一种一世是一个圆周率-class”在最后一个定理中真的有必要吗？

统计代写|高等概率论作业代写Advanced Probability Theory代考|Discrete r.v.’s

定理5.2.4离散型房车X1,…,Xn, 在可数集中取值C, 是独立的 iff
磷(X1=一种1,…,Xn=一种n)=∏一世=1n磷(X一世=一种一世)
对所有人一种1,…,一种n∈C.
证明。如果X1,…,Xn是独立的，那么（2.4）显然是正确的。
另一方面，如果(2.4)是真的，那么
\begin{aligned} F_{X_{1}, \ldots, X_{n}}\left(t_{1}, \ldots, t_{n}\right) &=P\left(X_{1} \leq t_{1}, \ldots, X_{n} \leq t_{n}\right) \ &=\sum_{\left{a_{1} \in C: a_{1} \leq t_{1}\right }} \ldots \sum_{\left{a_{n} \in C: a_{n} \leq t_{n}\right}} P\left(X_{1}=a_{1}, \ldots, X_ {n}=a_{n}\right) \ &=\sum_{\left{a_{1} \in C: a_{1} \leq t_{1}\right}} \ldots \sum_{\left{ a_{n} \in C: a_{n} \leq t_{n}\right}} P\left(X_{1}=a_{1}\right) \cdots P\left(X_{n}=a_ {n}\right) \ &=\left(\sum_{\left{a_{1} \in C: a_{1} \leq t_{1}\right}} P\left(X_{1}=a_ {1}\right)\right) \cdots\left(\sum_{\left{a_{n} \in C: a_{n} \leq t_{n}\right}} P\left(X_{n} =a_{n}\right)\right) \ &=P\left(X_{1} \leq t_{1}\right) \cdots P\left(X_{n} \leq t_{n}\right) \ &=F_{X_{1}\left(t_{1}\right) \ldots \ldots 。\ldots X_{n}\left(t_{n}\right) .} \end{aligned}\begin{aligned} F_{X_{1}, \ldots, X_{n}}\left(t_{1}, \ldots, t_{n}\right) &=P\left(X_{1} \leq t_{1}, \ldots, X_{n} \leq t_{n}\right) \ &=\sum_{\left{a_{1} \in C: a_{1} \leq t_{1}\right }} \ldots \sum_{\left{a_{n} \in C: a_{n} \leq t_{n}\right}} P\left(X_{1}=a_{1}, \ldots, X_ {n}=a_{n}\right) \ &=\sum_{\left{a_{1} \in C: a_{1} \leq t_{1}\right}} \ldots \sum_{\left{ a_{n} \in C: a_{n} \leq t_{n}\right}} P\left(X_{1}=a_{1}\right) \cdots P\left(X_{n}=a_ {n}\right) \ &=\left(\sum_{\left{a_{1} \in C: a_{1} \leq t_{1}\right}} P\left(X_{1}=a_ {1}\right)\right) \cdots\left(\sum_{\left{a_{n} \in C: a_{n} \leq t_{n}\right}} P\left(X_{n} =a_{n}\right)\right) \ &=P\left(X_{1} \leq t_{1}\right) \cdots P\left(X_{n} \leq t_{n}\right) \ &=F_{X_{1}\left(t_{1}\right) \ldots \ldots 。\ldots X_{n}\left(t_{n}\right) .} \end{aligned}
所以，X1,…,Xn是独立的。

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随机过程代考

在概率论概念中，随机过程是随机变量的集合。 若一随机系统的样本点是随机函数，则称此函数为样本函数，这一随机系统全部样本函数的集合是一个随机过程。 实际应用中，样本函数的一般定义在时间域或者空间域。 随机过程的实例如股票和汇率的波动、语音信号、视频信号、体温的变化，随机运动如布朗运动、随机徘徊等等。

贝叶斯方法代考

贝叶斯统计概念及数据分析表示使用概率陈述回答有关未知参数的研究问题以及统计范式。后验分布包括关于参数的先验分布，和基于观测数据提供关于参数的信息似然模型。根据选择的先验分布和似然模型，后验分布可以解析或近似，例如，马尔科夫链蒙特卡罗 (MCMC) 方法之一。贝叶斯统计概念及数据分析使用后验分布来形成模型参数的各种摘要，包括点估计，如后验平均值、中位数、百分位数和称为可信区间的区间估计。此外，所有关于模型参数的统计检验都可以表示为基于估计后验分布的概率报表。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

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多元统计分析代考

基础数据: $N$ 个样本， $P$ 个变量数的单样本，组成的横列的数据表
变量定性: 分类和顺序；变量定量：数值
数学公式的角度分为: 因变量与自变量

时间序列分析代写

随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

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MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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统计代写|高等概率论作业代写Advanced Probability Theory代考|Moments and Moment inequalities

Definition: Let $X$ be a r.v. and $r>0$,
(1) Define
$r$ th Moment: $E X^{r}$
$r$ th Abeolute Moment: $E|X|^{r}$
$r$ th Central Moment: $E(X-E X)^{r}$
$r$ th Absolute Central Moment: $E|X-E X|^{r}$
(2) $L^{r}$ Spaces $=\left{X: E|X|^{r}<\infty\right}$. Some very useful moment inequalities are given below. 4.6.1 Young’s inequality Let $h$ be continuous and strictly increasing function with $h(0)=0$ and $h(\infty)=\infty$. Let $g=h^{-1}($ the inverse of $h$ ). Then, for any $a>0$ and $b>0$, we have
$$
a b \leq \int_{0}^{a} h(t) d t+\int_{0}^{b} g(t) d t
$$
Proof. Try to give a direct proof. However, one picture is worth a thousand words.

统计代写|高等概率论作业代写Advanced Probability Theory代考|Holder’s inequality

Proof. Take $h(t)=t^{p-1}$ in Young’s inequality, then
$$
\begin{gathered}
g(s)=s^{1 /(p-1)}=s^{(1 / p) /(1-1 / p)}=s^{(1-1 / q) /(1 / q)}=s^{q-1}, \
\int_{0}^{a} h(t) d t=\frac{a^{p}}{p}, \quad \int_{0}^{b} g(s) d s=\frac{b^{q}}{q} .
\end{gathered}
$$
Thereforồ,
$$
a b \leq \frac{a^{p}}{p}+\frac{b^{q}}{q}
$$
(One could try to prove this directly without resort to Young’s inequality and use this as a starting point; see the Lemma below).
Setting $a=|X| /\left[E|X|^{p}\right]^{1 / p}, b=|Y| /\left[E|Y|^{q}\right]^{1 / q}$, we get
$$
\frac{|X Y|}{\left[E|X|^{p}\right]^{1 / p}\left[E|Y|^{q}\right]^{1 / q}} \leq \frac{|X|^{p}}{p E|X|^{p}}+\frac{|Y|^{q}}{q E|Y|^{q}}
$$
The result follows by taking expectations on both sides.
Remark. Holder’s inequality is one of the most important inequalities in analysis (including probability). For one thing, it can be used to derive a series of other important inequalities; see below. The inequality is very sharp and very flexible as one can choose $p$ (hence $q$ ) and $X, Y$ creatively to derive some powerful results.
Finally, let us prove the next inequality directly.
LEMMA 4.6.1 Let $a, b>0$, and $p, q \geq 1$ such that $1 / p+1 / q=1$, then
$$
\frac{1}{p} a^{p}+\frac{1}{q} b^{q} \geq a b
$$
with equality if and only if $a^{p}=b^{q}$.
Proof. Fix $b$, and consider the function
$$
g(a)=\frac{1}{p} a^{n}+\frac{1}{q} b^{2}-a b
$$
To minimixe $g(a)$, differentiate and set equal to 0 :
$$
\frac{d}{d a} g(a)=0, \quad \Longrightarrow a^{n-1}-b=0, \quad \Longrightarrow b=a^{p-1}
$$
A check on the second derivative will establish that this is indeed a minimum. The value of the function at the minimum is
$$
\frac{1}{p} a^{p}+\frac{1}{q}\left(a^{p-1}\right)^{q}-a\left(a^{p-1}\right)=\frac{1}{p} a^{p}+\frac{1}{q} a^{q}-a^{p}=0 .
$$

统计代写|高等概率论作业代写Advanced Probability Theory代考|Cauchy-Schwarz inequality

(1) For $x \leq t \leq y$.
$$
\frac{\psi(t)-\psi(x)}{t-x} \leq \frac{\psi(y)-\psi(x)}{y-x} \leq \frac{\psi(y)-\psi(t)}{y-t}
$$
(The geometric meaning of the inequalities is very clear, showing the relationships of the three slopes.) We only show the first part, which is equivalent to
$$
\psi(t)=\psi\left(\frac{y-t}{y-x} x+\frac{t-x}{y-x} y\right) \leq \psi(x)+\frac{t-x}{y-x}[\psi(y)-\psi(x)]=\frac{y-t}{y-x} \psi(x)+\frac{t-x}{y-x} \psi(y) .
$$
This is certainly true by taking $\lambda=\frac{y-t}{y-x}$ in (6.15).
(2) Since $t-h_{1} \leq t \leq t+h_{2}$ for $h_{1}, h_{2}>0$, from (1) we get
$$
\frac{p_{i}(t)-t_{i},\left(t-h_{1}\right)}{h_{1}} \leq \frac{t_{i}\left(t+h_{u}\right)-r_{i}(t)}{h_{2}} .
$$
LHS (or RHS) is an increasing (or decreasing) function of $h_{1}$ (or $h_{2}$ ) which is bounded from above (or below) by the RHS (or LHS). Letting $h_{1}, h_{2} \searrow 0$ results in
$$
\psi^{\prime}(t-) \leq \psi^{\prime}(t+) .
$$
(3) Let $t \searrow x$ and $t / y$ in (1), we get
$$
\frac{\psi(y)-\psi(x)}{y-x} \geq \psi^{\prime}(x+), \quad \frac{\psi(y)-\psi(x)}{y-x} \leq \psi^{\prime}(y-),
$$
Changing $x$ into $t$ in the first and $y$ into $t$ in the second, we get
$$
\frac{\psi(y)-\psi(t)}{y-t} \geq \psi^{\prime}(t+), \quad \frac{\psi(t)-\psi(x)}{t-x} \leq \psi^{\prime}(t-),
$$
Using (2), we have
$$
\frac{\psi(t)-\psi(x)}{t-x} \leq \psi^{\prime}(t-) \leq \psi^{\prime}(t+) \leq \frac{\psi(y)-\psi(t)}{y-t}
$$
(4) For any fixed $t$, choose $a$ so that $\psi^{\prime}(t-) \leq a \leq \phi^{\prime}(t+)$, and let
$$
l(z)=a(z-t)+\psi(t)
$$
then $l(t)=\psi(t)$, and $\psi(z) \geq l(z)$.
Proof. $l(t)=\psi(t)$ is trivial. The second part is equivalent to $l(z)=a(z-t)+\psi(t) \leq \psi(z)$ or
$$
\psi(z)-\psi(t) \geq a(z-t)
$$
This followe from (3). (If $z-t$, trivial. If $s>t$, from $(2),[\psi(s) \quad \psi(t)] /(a \quad t) \geq \phi^{\prime}(t) \geq a$. If $z<t$, from (2), $[\psi(z)-\psi(t)] /(z-t) \leq \phi^{\prime}(t-) \leq a$. )

高等概率论代写

统计代写|高等概率论作业代写Advanced Probability Theory代考|Moments and Moment inequalities

定义：让X成为房车和r>0,
(1) 定义
r时刻：和Xr
rAbeolute 时刻：和|X|r
r中心时刻：和(X−和X)r
rth 绝对中心矩：和|X−和X|r
(2)一世r空间=\left{X: E|X|^{r}<\infty\right}=\left{X: E|X|^{r}<\infty\right}. 下面给出了一些非常有用的矩不等式。4.6.1 杨氏不等式 LetH是连续且严格递增的函数H(0)=0和H(∞)=∞. 让G=H−1(的倒数H）。那么，对于任何一种>0和b>0， 我们有
一种b≤∫0一种H(吨)d吨+∫0bG(吨)d吨
证明。试着给出一个直接的证明。然而，一张图片胜过一千个字。

统计代写|高等概率论作业代写Advanced Probability Theory代考|Holder’s inequality

证明。拿H(吨)=吨p−1在杨氏不等式中，那么
G(s)=s1/(p−1)=s(1/p)/(1−1/p)=s(1−1/q)/(1/q)=sq−1, ∫0一种H(吨)d吨=一种pp,∫0bG(s)ds=bqq.
因此，
一种b≤一种pp+bqq
（可以尝试直接证明这一点，而不求助于杨不等式，并以此为起点；参见下面的引理）。
环境一种=|X|/[和|X|p]1/p,b=|和|/[和|和|q]1/q，我们得到
|X和|[和|X|p]1/p[和|和|q]1/q≤|X|pp和|X|p+|和|qq和|和|q
结果是对双方都抱有期望。
评论。Holder 不等式是分析（包括概率）中最重要的不等式之一。一方面，它可以用来推导一系列其他重要的不等式；见下文。不等式非常尖锐且非常灵活，可以选择p（因此q） 和X,和创造性地得出一些强有力的结果。
最后，让我们直接证明下一个不等式。
引理 4.6.1 让一种,b>0， 和p,q≥1这样1/p+1/q=1， 然后
1p一种p+1qbq≥一种b
当且仅当一种p=bq.
证明。使固定b, 并考虑函数
G(一种)=1p一种n+1qb2−一种b
小混音G(一种), 微分并设置等于 0 :
dd一种G(一种)=0,⟹一种n−1−b=0,⟹b=一种p−1
对二阶导数的检查将确定这确实是最小值。该函数的最小值为
1p一种p+1q(一种p−1)q−一种(一种p−1)=1p一种p+1q一种q−一种p=0.

统计代写|高等概率论作业代写Advanced Probability Theory代考|Cauchy-Schwarz inequality

(1) 对于X≤吨≤和.
ψ(吨)−ψ(X)吨−X≤ψ(和)−ψ(X)和−X≤ψ(和)−ψ(吨)和−吨
（不等式的几何意义很清楚，展示了三个斜率的关系。）我们只展示了第一部分，相当于
ψ(吨)=ψ(和−吨和−XX+吨−X和−X和)≤ψ(X)+吨−X和−X[ψ(和)−ψ(X)]=和−吨和−Xψ(X)+吨−X和−Xψ(和).
这当然是正确的λ=和−吨和−X在（6.15）中。
(2) 由于吨−H1≤吨≤吨+H2为了H1,H2>0, 从 (1) 我们得到
p一世(吨)−吨一世,(吨−H1)H1≤吨一世(吨+H你)−r一世(吨)H2.
LHS（或 RHS）是H1（要么H2) 从上方（或下方）以 RHS（或 LHS）为界。让H1,H20结果是
ψ′(吨−)≤ψ′(吨+).
(3) 让吨X和吨/和在（1）中，我们得到
ψ(和)−ψ(X)和−X≥ψ′(X+),ψ(和)−ψ(X)和−X≤ψ′(和−),
改变X进入吨在第一个和和进入吨第二，我们得到
ψ(和)−ψ(吨)和−吨≥ψ′(吨+),ψ(吨)−ψ(X)吨−X≤ψ′(吨−),
使用（2），我们有
ψ(吨)−ψ(X)吨−X≤ψ′(吨−)≤ψ′(吨+)≤ψ(和)−ψ(吨)和−吨
(4) 对于任何固定的吨， 选择一种以便ψ′(吨−)≤一种≤φ′(吨+)， 然后让
一世(和)=一种(和−吨)+ψ(吨)
然后一世(吨)=ψ(吨)， 和ψ(和)≥一世(和).
证明。一世(吨)=ψ(吨)是微不足道的。第二部分相当于一世(和)=一种(和−吨)+ψ(吨)≤ψ(和)要么
ψ(和)−ψ(吨)≥一种(和−吨)
这来自（3）。（如果和−吨， 琐碎的。如果s>吨， 从(2),[ψ(s)ψ(吨)]/(一种吨)≥φ′(吨)≥一种. 如果和<吨，从（2），[ψ(和)−ψ(吨)]/(和−吨)≤φ′(吨−)≤一种. )

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随机过程代考

在概率论概念中，随机过程是随机变量的集合。 若一随机系统的样本点是随机函数，则称此函数为样本函数，这一随机系统全部样本函数的集合是一个随机过程。 实际应用中，样本函数的一般定义在时间域或者空间域。 随机过程的实例如股票和汇率的波动、语音信号、视频信号、体温的变化，随机运动如布朗运动、随机徘徊等等。

贝叶斯方法代考

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广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

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机器学习代写

随着AI的大潮到来，Machine Learning逐渐成为一个新的学习热点。同时与传统CS相比，Machine Learning在其他领域也有着广泛的应用，因此这门学科成为不仅折磨CS专业同学的“小恶魔”，也是折磨生物、化学、统计等其他学科留学生的“大魔王”。学习Machine learning的一大绊脚石在于使用语言众多，跨学科范围广，所以学习起来尤其困难。但是不管你在学习Machine Learning时遇到任何难题，StudyGate专业导师团队都能为你轻松解决。

多元统计分析代考

基础数据: $N$ 个样本， $P$ 个变量数的单样本，组成的横列的数据表
变量定性: 分类和顺序；变量定量：数值
数学公式的角度分为: 因变量与自变量

时间序列分析代写

随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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PYTHON代写	回归分析与线性模型代写
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如果你也在 怎样代写高等概率论Advanced Probability Theory这个学科遇到相关的难题，请随时右上角联系我们的24/7代写客服。

在数学中，高等概率论Advanced Probability Theory对概率论的基础有更深入的了解。它提供了测量理论概率论中的重要概念、结果和证明，并强调统计学。它涵盖了概率空间和随机元素、积分和微分、分布及其特征、条件期望、渐进理论，以及大量的练习，包括许多额外的结果。

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我们提供的高等概率论Advanced Probability Theory及其相关学科的代写，服务范围广, 其中包括但不限于:

• Statistical Inference 统计推断
• Statistical Computing 统计计算
• Advanced Probability Theory 高等楖率论
• Advanced Mathematical Statistics 高等数理统计学
• (Generalized) Linear Models 广义线性模型
• Statistical Machine Learning 统计机器学习
• Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析
• Foundations of Data Science 数据科学基础

统计代写|高等概率论作业代写Advanced Probability Theory代考|How to compute expectation

Proof of the theorem:
Case I: Indicator functions. If $g=I_{B}$ with $B \in \mathcal{A}{0}$, then the relevant definitions show $$ \begin{aligned} F g(X) &=F I{B}(X)=P(X \in R)=P_{X}(R)=\int I_{B} d P_{X} \
&=\int_{\Omega_{0}} I_{B}(y) P_{X}(d y)=\int_{\Omega_{0}} g(y) P_{X}(d y)
\end{aligned}
$$
Case II: Simple functions. Let If $g=\sum_{i=1}^{n} b_{i} I_{B_{i}}$ with $B_{i} \in \mathcal{A}{0}$. The linearity of expected value, the result of Case $I$, and the linearity of integration imply $$ \begin{aligned} E g(X) &=E\left(\sum{i=1}^{n} b_{i} I_{B_{i}}(X)\right)=\sum_{i=1}^{n} b_{i} E I_{B_{i}}(X)=\sum_{i=1}^{n} b_{i} \int_{\Omega_{0}} I_{B_{i}}(y) P_{X}(d y) \
&=\int_{\Omega_{0}}\left(\sum_{i=1}^{n} b_{i} I_{B_{i}}(y)\right) P_{X}(d y)=\int_{\Omega_{0}} g(y) P_{X}(d y)
\end{aligned}
$$
Case III: Nonnegative functions. Now if $g \geq 0$, then there exists a sequence of simple functions $\left{g_{n}, n \geq 1\right}$ such that $0 \leq g_{n} / g$. For instance, we could choose
$$
g_{n}(x)=\left(\left[2^{n} g(x)\right] / 2^{n}\right) \wedge n
$$
where $[x]$ is the integer part of $x$. From Case II and the Monotone Convergence Theorem, we get
$$
E g(X)=\lim {n} E g{n}(X)=\lim {n} \int{\Omega_{0}} g_{n}(y) P_{X}(d y)=\int_{\Omega_{0}} g(y) P_{X}(d y)
$$

统计代写|高等概率论作业代写Advanced Probability Theory代考|Expected values of absolutely continuous r.v.’s

Method 1. Denote $\mu(B)=\int_{B} f(x) d x$. It is easy to show that both RHS $\mu(\cdot)$ and LHS $P_{X}(\cdot)$ of (4.8) are probability measures on $(\mathcal{R}, \mathcal{S})$. It follows from $(4.9)$ below that $P_{X}|s=\mu| s$ on the semialgebra $\mathcal{S}={(a, b]:-\infty<a<b<\infty}$. By the uniqueness of the extensions of measures from a semialgebra $\mathcal{S}$ to the $\sigma$-algebra $\mathcal{B}=\sigma(\mathcal{S})$, we prove (4.8).
Method 2. Let $\mathcal{A}=\left{A \in \mathcal{B}: P_{X}(A)=\int_{A} f(x) d x\right}$. It is easy to show that $\mathcal{A}$ is a $\sigma$-algebra, and $\mathcal{A} \supset \mathcal{S}:={(-\infty, x], x \in \mathcal{R}}$. Therefore, $\mathcal{A} \supset \sigma(\mathcal{S})=\mathcal{B}$. The proof is done. (In fact, we have $\mathcal{A}=\mathcal{B}$.)
THEOREM 4.4.2 Let $X$ be an absolutely continuous r.v. with density function $f$, i.e., $F_{X}(x)=\int_{-\infty}^{x} f(t) d t$. Assume further that $g$ is Borel. Then
$$
E g(X)=\int_{\mathcal{R}} g(x) f(x) d x
$$
provided that $\int_{\mathcal{R}}|g(x)| f(x) d x<\infty$.
(Thus, L-S integral is changed into L-integral, which equals R-integral if the later exists.)
Proof. Let $P_{X}$ be the unique probability measure corresponding to $F_{X}$ such that
$$
P_{X}((a, b])=F_{X}(b)-F_{X}(a)=\int_{(a, b]} f(t) d t .
$$
From the last lemma, we have
$$
P_{X}(B)=\int_{B} f(x) d x, \quad \forall B \in \mathcal{B} .
$$
From Theorem 4.4.1, we have $E g(X)=\int_{\mathcal{R}} g(x) P_{X}(d x)$. To complete our proof, we only need to show that
$$
\int_{\mathcal{R}} g(x) P_{X}(d x)=\int_{\mathcal{R}} g(x) f(x) d x .
$$
Proof of (4.10). We shall employ the same method used in the last theorem.
Case I: Indicator functions. If $g=I_{B}$ with $B \in \mathcal{B}$, then
$$
L H S=\int I_{B}(x) P_{X}(d x)=P(X \in B)=P_{X}(B)=\int_{\mathcal{R}} I_{B}(y) f(y) d y=R H S,
$$
where the second last equality comes from (4.8).

统计代写|高等概率论作业代写Advanced Probability Theory代考|Expected values of discrete r.v.’s

The expectation for discrete r.v.’s is easier to calculate.
THEOREM 4.4.3 Let $X$ be a discrete r.v. taking values $x_{1}, x_{2}, \ldots$, with probability $P\left(X=x_{k}\right)=p_{k}$ for $k \geq 1$, and $g$ be Borel. Then
$$
E g(X)=\sum_{k=1}^{\infty} g\left(x_{k}\right) P\left(X=x_{k}\right)=\sum_{k=1}^{\infty} p_{k} g\left(x_{k}\right)
$$
provided that $\sum_{k=1}^{\infty} p_{k}\left|g\left(x_{k}\right)\right|<\infty$.
Proof. Clearly, $g(X)$ is a r.v. taking values $g\left(x_{1}\right), g\left(x_{2}\right), \ldots$, and we can write
$$
g(X)=\sum_{k=1}^{\infty} g\left(x_{k}\right) I_{\left{X=x_{k}\right}}
$$
Case I: If $g(X) \geq 0$, then $g\left(x_{k}\right) \geq 0$ for all $k \geq 1$. Define
$$
Z_{n}=\sum_{k=1}^{n} g\left(x_{k}\right) I_{\left{X=x_{k}\right}}
$$
a form of truncated r.v.
87
Clearly, given $X$, we have $0 \leq Z_{n} / Z_{\infty} \equiv g(X)$, and $Z_{n}$ are simple r.v.’s. Either by the definition of expectation for nonnegative r.v., or simply applying the Monotone Convergence Theorem, we get
$$
E g(X)=\lim {n} E Z{n}=\lim {n} \sum{k=1}^{n} g\left(x_{k}\right) P\left(X=x_{k}\right)=\sum_{k=1}^{\infty} p_{k} g\left(x_{k}\right)
$$
Case II: Let us consider general $g$. It follows from Case I and the assumption that $E|g(X)|=$ $\sum_{k=1}^{\infty} p_{k}\left|g\left(x_{k}\right)\right|<\infty$. Therefore,
$$
\begin{aligned}
E g(X) &=E g(X)^{+}-E g(X)^{-}=\sum_{k=1}^{\infty} p_{k} g\left(x_{k}\right)^{+}-\sum_{k=1}^{\infty} p_{k} g\left(x_{k}\right)^{-} \
&=\sum_{k=1}^{\infty} p_{k}\left(g\left(x_{k}\right)^{+}-g\left(x_{k}\right)^{-}\right)=\sum_{k=1}^{\infty} p_{k} g\left(x_{k}\right)
\end{aligned}
$$

高等概率论代写

统计代写|高等概率论作业代写Advanced Probability Theory代考|How to compute expectation

定理证明：
案例 I：指标函数。如果G=一世乙和乙∈一种0，则相关定义显示FG(X)=F一世乙(X)=磷(X∈R)=磷X(R)=∫一世乙d磷X =∫Ω0一世乙(和)磷X(d和)=∫Ω0G(和)磷X(d和)
案例二：简单的功能。让如果G=∑一世=1nb一世一世乙一世和乙一世∈一种0. 期望值的线性，Case的结果一世，并且积分的线性意味着和G(X)=和(∑一世=1nb一世一世乙一世(X))=∑一世=1nb一世和一世乙一世(X)=∑一世=1nb一世∫Ω0一世乙一世(和)磷X(d和) =∫Ω0(∑一世=1nb一世一世乙一世(和))磷X(d和)=∫Ω0G(和)磷X(d和)
案例三：非负函数。现在如果G≥0，则存在一系列简单函数\left{g_{n}, n \geq 1\right}\left{g_{n}, n \geq 1\right}这样0≤Gn/G. 例如，我们可以选择
Gn(X)=([2nG(X)]/2n)∧n
在哪里[X]是整数部分X. 从案例 II 和单调收敛定理，我们得到
和G(X)=林n和Gn(X)=林n∫Ω0Gn(和)磷X(d和)=∫Ω0G(和)磷X(d和)

统计代写|高等概率论作业代写Advanced Probability Theory代考|Expected values of absolutely continuous r.v.’s

方法 1. 表示μ(乙)=∫乙F(X)dX. 很容易证明两个 RHSμ(⋅)和 LHS磷X(⋅)(4.8) 的概率是关于(R,小号). 它遵循从(4.9)在此之下磷X|s=μ|s在半代数上小号=(一种,b]:−∞<一种<b<∞. 由半代数的测度外延的唯一性小号到σ-代数乙=σ(小号)，我们证明（4.8）。
方法 2. 让\mathcal{A}=\left{A \in \mathcal{B}: P_{X}(A)=\int_{A} f(x) d x\right}\mathcal{A}=\left{A \in \mathcal{B}: P_{X}(A)=\int_{A} f(x) d x\right}. 很容易证明一种是一个σ-代数，和一种⊃小号:=(−∞,X],X∈R. 所以，一种⊃σ(小号)=乙. 证明完成了。（事实上​​，我们有一种=乙.)
定理 4.4.2 让X是具有密度函数的绝对连续 rvF， IE，FX(X)=∫−∞XF(吨)d吨. 进一步假设G是博雷尔。然后
和G(X)=∫RG(X)F(X)dX
前提是∫R|G(X)|F(X)dX<∞.
（因此，LS积分变为L-积分，如果后者存在则等于R-积分。）
证明。让磷X是对应于的唯一概率测度FX这样
磷X((一种,b])=FX(b)−FX(一种)=∫(一种,b]F(吨)d吨.
从最后一个引理，我们有
磷X(乙)=∫乙F(X)dX,∀乙∈乙.
从定理 4.4.1，我们有和G(X)=∫RG(X)磷X(dX). 为了完成我们的证明，我们只需要证明
∫RG(X)磷X(dX)=∫RG(X)F(X)dX.
(4.10) 的证明。我们将采用与上一个定理相同的方法。
案例一：指标函数。如果G=一世乙和乙∈乙， 然后
一世H小号=∫一世乙(X)磷X(dX)=磷(X∈乙)=磷X(乙)=∫R一世乙(和)F(和)d和=RH小号,
其中倒数第二个等式来自 (4.8)。

统计代写|高等概率论作业代写Advanced Probability Theory代考|Expected values of discrete r.v.’s

离散 rv 的期望值更容易计算。
定理 4.4.3 让X是一个离散的 rv 取值X1,X2,…, 有概率磷(X=X到)=p到为了到≥1， 和G成为博雷尔。然后
和G(X)=∑到=1∞G(X到)磷(X=X到)=∑到=1∞p到G(X到)
前提是∑到=1∞p到|G(X到)|<∞.
证明。清楚地，G(X)是一个取值的 rvG(X1),G(X2),…，我们可以写
g(X)=\sum_{k=1}^{\infty} g\left(x_{k}\right) I_{\left{X=x_{k}\right}}g(X)=\sum_{k=1}^{\infty} g\left(x_{k}\right) I_{\left{X=x_{k}\right}}
案例一：如果G(X)≥0， 然后G(X到)≥0对所有人到≥1. 定义
Z_{n}=\sum_{k=1}^{n} g\left(x_{k}\right) I_{\left{X=x_{k}\right}}Z_{n}=\sum_{k=1}^{n} g\left(x_{k}\right) I_{\left{X=x_{k}\right}}
一种截断的 rv
87
显然，给定X， 我们有0≤和n/和∞≡G(X)， 和和n是简单的房车。通过非负 rv 期望的定义，或者简单地应用单调收敛定理，我们得到
和G(X)=林n和和n=林n∑到=1nG(X到)磷(X=X到)=∑到=1∞p到G(X到)
案例二：让我们考虑一般情况G. 它遵循案例 I 和假设和|G(X)|= ∑到=1∞p到|G(X到)|<∞. 所以，
和G(X)=和G(X)+−和G(X)−=∑到=1∞p到G(X到)+−∑到=1∞p到G(X到)− =∑到=1∞p到(G(X到)+−G(X到)−)=∑到=1∞p到G(X到)

统计代写请认准statistics-lab™. statistics-lab™为您的留学生涯保驾护航。

随机过程代考

在概率论概念中，随机过程是随机变量的集合。 若一随机系统的样本点是随机函数，则称此函数为样本函数，这一随机系统全部样本函数的集合是一个随机过程。 实际应用中，样本函数的一般定义在时间域或者空间域。 随机过程的实例如股票和汇率的波动、语音信号、视频信号、体温的变化，随机运动如布朗运动、随机徘徊等等。

贝叶斯方法代考

贝叶斯统计概念及数据分析表示使用概率陈述回答有关未知参数的研究问题以及统计范式。后验分布包括关于参数的先验分布，和基于观测数据提供关于参数的信息似然模型。根据选择的先验分布和似然模型，后验分布可以解析或近似，例如，马尔科夫链蒙特卡罗 (MCMC) 方法之一。贝叶斯统计概念及数据分析使用后验分布来形成模型参数的各种摘要，包括点估计，如后验平均值、中位数、百分位数和称为可信区间的区间估计。此外，所有关于模型参数的统计检验都可以表示为基于估计后验分布的概率报表。

广义线性模型代考

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统计代写|高等概率论作业代写Advanced Probability Theory代考|Definition

Integration over a measure space $(\Omega, \mathcal{A}, \mu)$ is conceptually the same as expectation. The integral is defined
Definition: Let $f$ be Borel measurable on $(\Omega, \mathcal{A}, \mu)$. The integral of $f$ w.r.t. $\mu$ is denoted by
$$
\int f(\omega) \mu(d \omega)=\int f d \mu=\int f
$$
a) If $f=\sum_{1}^{n} a_{i} I_{A_{i}}$ with $a_{i} \geq 0$,
$$
\int f d \mu=\sum_{1}^{n} a_{i} \mu\left(A_{i}\right)
$$
b) If $f \geq 0$, define
$$
\int f d \mu=\lim {n} \int f{n} d \mu,
$$
where $f_{n} \geq 0$ are simple functions and $f_{n} \nearrow f$.
Remark: An equivalent definition is (see Shao, 1998, or Durrett)
$$
\int f d \mu:=\sup \left{\int \psi d \mu: \psi \in S_{f}\right},
$$
where $S_{f}=$ the collection of all nonnegative simple functions $\psi$ such that $\psi(\omega)<f(\omega)$ for any $\omega \in \Omega$.
c) For a general function $f=f^{+}-f^{-}$, define
$$
\int f d \mu:=\int f^{+} d \mu-\int f^{-} d \mu
$$
if either $\int f^{+} d \mu<\infty$ or $\int f^{-} d \mu<\infty$. If $\int f^{+} d \mu=\infty$ and $\int f^{-} d \mu=\infty$, then $\int f d \mu$ is not defined.
d) $f$ is said to be integrable w.r.t. $\mu$ if $\int|f| d \mu<\infty$ (or equivalently, $\int f^{+} d \mu<\infty$ and $\left.\int f^{-} d \mu<\infty\right)$. We shall use $L^{1}$ to denote all integrable functions.
e) If either $f \geq 0$ or $f \in L^{1}$, and $A \in A$, then the integral of $f$ w.r.t. $\mu$ over $A$ is defined by
$$
\int_{A} f d \mu=\int f I_{A} d \mu=\int f(\omega) I_{A}(\omega) \mu(d \omega)
$$
Remark: By taking $f=I_{A}$, then it follows from (a) and (e) that
$$
\mu(A)=\int I_{A} d \mu=\int_{A} d \mu
$$

统计代写|高等概率论作业代写Advanced Probability Theory代考|Some properties of integrals

Here are some properties. Proofs are similar to expectations and hence ommitted.
Assume that all functions below are Borel measurable on $(\Omega, \mathcal{A}, \mu)$.
(Absolute integrability). $\int f$ is finite if and only if $\int|f|$ is finite.
(Lineariity). If the RHS below is meaningful, namely not $+\infty-\infty$ or $-\infty-\infty$, (e.g. if $f, g \geq 0$ and $a, b \geq 0$, or if $f, g \in L^{1}$ and $a, b \in \mathcal{R}$ ), then
$$
\int(a f+b g) d \mu=a \int f d \mu+b \int g d \mu
$$
( $\sigma$-additivity over sets). If $A=\sum_{i=1}^{\infty} A_{i}$
$$
\int_{A} f d \mu=\sum_{i=1}^{\infty} \int_{A_{i}} f d \mu
$$
(Positivity). If $f \geq 0$ a.e., then
$$
\int f d \mu \geq 0
$$
(Monotonicity). If $f_{1} \leq f \leq f_{2}$ a.e., then
$$
\int f_{1} \leq \int f \leq \int f_{2}
$$
(Mean value theorem). If $a \leq f \leq b$ a.e. on $A \in \mathcal{A}$, then
$$
a \mu(A) \leq \int_{A} f d \mu \leq b \mu(A)
$$
(Modulus inequality).
$$
\left|\int f\right| \leq \int|f| .
$$
(Fatou’s Lemma). If $f_{n} \geq 0$ a.e., then
$$
\int \liminf {n} f{n} \leq \liminf {n} \int f{n} .
$$
(Monotone Convergence Theorem). If $0 \leq f_{n} \zeta f$, then
$$
\lim {n} \int f{n}=\int f=\int \lim {n} f{n} .
$$
(Dominated Convergence Theorem). If $f_{n} \rightarrow f$ a.e., $\left|f_{n}\right|<y$ a.e. for all $n$, and $\int y<\sim$, then
$$
\lim {n} \int f{r u}=\int f=\int \lim {n} f{r u}-
$$
(Integration term by term). If $\sum_{i=1}^{\infty} \int\left|f_{n}\right|<\infty$, then
$$
\sum_{i=1}^{\infty}\left|f_{n}\right|<\infty, \text { a.e. }
$$

统计代写|高等概率论作业代写Advanced Probability Theory代考|Lebesgue-Stieltjes integral and Lebesgue integral

Definition: $f$ is a Borel measurable function on $(\Omega, A, \mu)$.
(a). In the case of $(\Omega, \mathcal{A}, \mu)=(\mathcal{R}, \mathcal{B}, \mu)$, if we write $x=\omega \in \mathcal{R}$, then
$$
\int f(\omega) \mu(d u)=\int f(x) \mu(d x)
$$
is just the ordinary Lebesgue-Stieltjes integral of $f$ w.r.t. $\mu$.
(b). In the case of $(\Omega, \mathcal{A}, \mu)=(\mathcal{R}, \mathcal{B}, \lambda)$, where $\lambda$ is the Lebesgue measure, then
$$
\int f(x) \lambda(d x)=\int f(x) d x
$$
is just the ordinary Lebesgue integral of $f$ w.r.t. $\lambda .($ Note: $\lambda(d x)=d x$.)
Definition: Let $F$ be a nondecreasing and right-continuous function on $R$ (i.e. L-S measure function). It is known that there exists a unique measure $\mu$ on the measurable space $(\mathcal{R}, \mathcal{B})$ such that
$$
\mu((a, b])=F(b)-F(a)
$$
(a). Then we can define
$$
\int f d F:=\int f(x) d F(x):=\int f(x) \mu(d x)=\int f d \mu
$$
to be the L-S integral of $f$ w.r.t. $F$.
(b). In the special case $F(x)=x$, the unique measure $\mu$ determined from (2.3) reduces to the Lebesgue measure $\lambda$. As a consequence, the integral in (a) reduces to
$$
\int f(x) d x=\int f(x) \lambda(d x)=\int f d \lambda
$$
which is the Lebesgue integral of $f .($ Note: $\lambda(d x)=d x .)$
Remark: $X$ is a r.v. on $(\Omega, A, P)$.
(1) Expectations are special cases of integrals:
$$
E X=\int X(\omega) P(d \omega)=\int X(t) d F_{X}(t), \quad \text { where } F_{X}(t)=P(X \leq t)
$$
(2) For L-S integral, $\int_{(a, b)} f d \mu$ may not be the same as $\int_{(a, b)} f d \mu$ ect. So we don’t write $\int_{a}^{b} f d \mu$. For L-integral, it is OK to do this.
(3) We know (or do we really?) the relationship between Riemann integral and Lebesgue integral. Now there exist some similar relationship between Riemann-Stieltjes (R-S) integral [actually we have not discussed the $\mathrm{R}-\mathrm{S}$ integral in this course yet] and Lebesgue-Stieltjes (LS) integral. Now let us point out one more difference between them. Well, roughly speaking. the $\mathrm{R}-\mathrm{S}$ integral $\int f(x) d g(x)$ is defined as the limit of $\mathrm{R}-\mathrm{S}$ sums as the mesh goes to 0 . We must require that $f$ and $g$ do not have discontinuities at the same point in order for the limit to exist. On the other hand, no such requirement is necessary for the L-S integral.

高等概率论代写

统计代写|高等概率论作业代写Advanced Probability Theory代考|Definition

测量空间上的积分(Ω,一种,μ)在概念上与期望相同。定义积分
定义：让F是 Borel 可测量的(Ω,一种,μ). 的积分F写μ表示为
∫F(ω)μ(dω)=∫Fdμ=∫F
a) 如果F=∑1n一种一世一世一种一世和一种一世≥0,
∫Fdμ=∑1n一种一世μ(一种一世)
b) 如果F≥0， 定义
∫Fdμ=林n∫Fndμ,
在哪里Fn≥0是简单的功能和FnF.
备注：等效定义是（参见 Shao，1998 或 Durrett）
\int f d \mu:=\sup \left{\int \psi d \mu: \psi \in S_{f}\right},\int f d \mu:=\sup \left{\int \psi d \mu: \psi \in S_{f}\right},
在哪里小号F=所有非负简单函数的集合ψ这样ψ(ω)<F(ω)对于任何ω∈Ω.
c) 对于一般功能F=F+−F−， 定义
∫Fdμ:=∫F+dμ−∫F−dμ
如果有的话∫F+dμ<∞要么∫F−dμ<∞. 如果∫F+dμ=∞和∫F−dμ=∞， 然后∫Fdμ没有定义。
d)F据说是可积的μ如果∫|F|dμ<∞（或等效地，∫F+dμ<∞和∫F−dμ<∞). 我们将使用一世1表示所有可积函数。
e) 如果有F≥0要么F∈一世1， 和一种∈一种，然后积分F写μ超过一种定义为
∫一种Fdμ=∫F一世一种dμ=∫F(ω)一世一种(ω)μ(dω)
备注：通过服用F=一世一种, 那么从 (a) 和 (e) 可以得出
μ(一种)=∫一世一种dμ=∫一种dμ

统计代写|高等概率论作业代写Advanced Probability Theory代考|Some properties of integrals

这里有一些属性。证明类似于期望，因此被省略。
假设以下所有函数都是 Borel 可测量的(Ω,一种,μ).
（绝对可积性）。∫F是有限的当且仅当∫|F|是有限的。
（线性）。如果下面的 RHS 是有意义的，即不是+∞−∞要么−∞−∞, （例如，如果F,G≥0和一种,b≥0， 或者如果F,G∈一世1和一种,b∈R）， 然后
∫(一种F+bG)dμ=一种∫Fdμ+b∫Gdμ
(σ-集合上的可加性）。如果一种=∑一世=1∞一种一世
∫一种Fdμ=∑一世=1∞∫一种一世Fdμ
（积极性）。如果F≥0ae，那么
∫Fdμ≥0
（单调性）。如果F1≤F≤F2ae，那么
∫F1≤∫F≤∫F2
（中值定理）。如果一种≤F≤b啊十一种∈一种， 然后
一种μ(一种)≤∫一种Fdμ≤bμ(一种)
（模数不等式）。
|∫F|≤∫|F|.
（法图引理）。如果Fn≥0ae，那么
∫林infnFn≤林infn∫Fn.
（单调收敛定理）。如果0≤FnGF， 然后
林n∫Fn=∫F=∫林nFn.
（支配收敛定理）。如果Fn→Fae,|Fn|<和所有人的aen， 和∫和<∼， 然后
林n∫Fr你=∫F=∫林nFr你−
（逐项积分）。如果∑一世=1∞∫|Fn|<∞， 然后
∑一世=1∞|Fn|<∞, ae 

统计代写|高等概率论作业代写Advanced Probability Theory代考|Lebesgue-Stieltjes integral and Lebesgue integral

定义：F是一个 Borel 可测函数(Ω,一种,μ).
（一种）。如果是(Ω,一种,μ)=(R,乙,μ), 如果我们写X=ω∈R， 然后
∫F(ω)μ(d你)=∫F(X)μ(dX)
只是普通的 Lebesgue-Stieltjes 积分F写μ.
(b)。如果是(Ω,一种,μ)=(R,乙,λ)， 在哪里λ是勒贝格测度，那么
∫F(X)λ(dX)=∫F(X)dX
只是普通的勒贝格积分F写λ.(笔记：λ(dX)=dX.)
定义：让F是一个不减的右连续函数R（即LS测量功能）。已知存在唯一度量μ在可测量空间上(R,乙)这样
μ((一种,b])=F(b)−F(一种)
（一种）。然后我们可以定义
∫FdF:=∫F(X)dF(X):=∫F(X)μ(dX)=∫Fdμ
是的 LS 积分F写F.
(b)。在特殊情况下F(X)=X, 唯一测度μ由 (2.3) 确定的归约到 Lebesgue 测度λ. 因此，（a）中的积分减少为
∫F(X)dX=∫F(X)λ(dX)=∫Fdλ
这是 Lebesgue 积分F.(笔记：λ(dX)=dX.)
评论：X房车开着(Ω,一种,磷).
(1) 期望是积分的特例：
和X=∫X(ω)磷(dω)=∫X(吨)dFX(吨), 在哪里 FX(吨)=磷(X≤吨)
(2) 对于 LS 积分，∫(一种,b)Fdμ可能不一样∫(一种,b)Fdμ等等。所以我们不写∫一种bFdμ. 对于 L 积分，这样做是可以的。
(3) 我们知道（或者我们真的知道）黎曼积分和勒贝格积分之间的关​​系。现在Riemann-Stieltjes（RS）积分之间存在一些类似的关系[实际上我们没有讨论过R−小号本课程尚未积分] 和 Lebesgue-Stieltjes (LS) 积分。现在让我们指出它们之间的另一个区别。嗯，粗略地说。这R−小号不可缺少的∫F(X)dG(X)被定义为的极限R−小号当网格变为 0 时求和。我们必须要求F和G在同一点上没有不连续性以使极限存在。另一方面，LS 积分不需要这样的要求。

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随机过程代考

在概率论概念中，随机过程是随机变量的集合。 若一随机系统的样本点是随机函数，则称此函数为样本函数，这一随机系统全部样本函数的集合是一个随机过程。 实际应用中，样本函数的一般定义在时间域或者空间域。 随机过程的实例如股票和汇率的波动、语音信号、视频信号、体温的变化，随机运动如布朗运动、随机徘徊等等。

贝叶斯方法代考

贝叶斯统计概念及数据分析表示使用概率陈述回答有关未知参数的研究问题以及统计范式。后验分布包括关于参数的先验分布，和基于观测数据提供关于参数的信息似然模型。根据选择的先验分布和似然模型，后验分布可以解析或近似，例如，马尔科夫链蒙特卡罗 (MCMC) 方法之一。贝叶斯统计概念及数据分析使用后验分布来形成模型参数的各种摘要，包括点估计，如后验平均值、中位数、百分位数和称为可信区间的区间估计。此外，所有关于模型参数的统计检验都可以表示为基于估计后验分布的概率报表。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

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机器学习代写

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多元统计分析代考

基础数据: $N$ 个样本， $P$ 个变量数的单样本，组成的横列的数据表
变量定性: 分类和顺序；变量定量：数值
数学公式的角度分为: 因变量与自变量

时间序列分析代写

随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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统计代写|高等概率论作业代写Advanced Probability Theory代考|Expectation for simple r.v.’s

Definition: The expectation of a simple r.v. $X=\sum_{1}^{n} a_{i} I_{A_{i}}$ with $\sum_{1}^{n} A_{i}=\Omega, A_{i} \in \mathcal{A}$ is
$$
E X=\sum_{1}^{n} a_{i} P\left(A_{i}\right)
$$
In other words, given a (measurable) partition $\left{A_{i}\right}$ of $\Omega$, we assign value $a_{i}$ to $A_{i}$, then the $E X$ is simply the weighted average of $a_{i}$ with weights being the probability of $A_{i}$.
Remarks:
(i). Since probability measure is a finite measure, we won’t encounter the situation $\infty-\infty$. For general integrations w.r.t. some measure (not necessarily finite), we can define integrals for nonnegative measurable function, in order to avoid the possibility of $\infty-\infty$.
(ii). We have mentioned in the last chapter that if $X$ is a r.v. on $(\Omega, \mathcal{A}, P)$, then we require $P(|X|=\infty)=0$. For a simple r.v. $X=\sum_{1}^{n} a_{i} I_{A_{i}}$, this implies that $\left|a_{i}\right|<\infty$ if $P\left(A_{i}\right)>0$. Clearly, this implies that $E|X|<\infty$.
LEMMA 4.1.1 $E X$ is well defined in the sense: if $\sum_{i=1}^{n} a_{i} I_{A_{i}}=\sum_{j=1}^{m} b_{j} I_{B_{j}}$ with $\Omega=\sum_{i=1}^{n} A_{i}=$ $\sum_{j=1}^{m} B_{j}$, then
$$
\sum_{i=1}^{n} a_{i} P\left(A_{i}\right)=\sum_{j=1}^{m} b_{j} P\left(B_{j}\right)
$$
Proof. If $\sum_{i=1}^{n} a_{i} I_{A_{i}}=\sum_{j=1}^{m} b_{j} I_{B_{j}}$ with $\Omega=\sum_{i=1}^{n} A_{i}=\sum_{j=1}^{m} B_{j}$, then we have
$$
\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{m} a_{i} I_{A_{i} \cap B_{j}}=\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{m} b_{j} I_{A_{i} \cap B_{j}},
$$
which follows since
$$
\begin{aligned}
L H S &=\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{m} a_{i} I_{A_{i} \cap B_{j}}=\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{m} a_{i} I_{A_{i}} I_{B_{j}}=\left(\sum_{i=1}^{n} a_{i} I_{A_{i}}\right)\left(\sum_{j=1}^{m} I_{B_{j}}\right)=\sum_{i=1}^{n} a_{i} I_{A_{i}} \
R H S &=\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{m} b_{j} I_{A_{i} \cap B_{j}}=\sum_{j=1}^{m} \sum_{i=1}^{n} b_{j} I_{A_{i}} I_{B_{j}}=\left(\sum_{j=1}^{m} b_{j} I_{B_{j}}\right)\left(\sum_{i=1}^{n} I_{A_{i}}\right)=\sum_{j=1}^{m} b_{j} I_{B_{j}} .
\end{aligned}
$$

统计代写|高等概率论作业代写Advanced Probability Theory代考|Expectation for nonnegative r.v.’s

Any nonnegative r.v. $X$ can be approximated by an increasing sequence of simple r.v.’s whose expectations are already defined.

THEOREM 4.1.2 Given a nonnegative r.v. $X$, there exists simple r.v.’s $0 \leq X_{1} \leq X_{2} \leq \ldots$ such that $X_{n}(\omega) \nearrow X(\omega)$ for every $\omega .$
Proof. This has been shown in the last chapter. We just give a brief summary here. For each $n$, let
$$
X_{n}=\sum_{k=1}^{n 2^{n}} \frac{k-1}{2^{n}} I\left{\frac{k-1}{2^{n}} \leq X<\frac{k}{2^{n}}\right}+n I_{{X \geq n}}=\frac{\left\lfloor 2^{n} X(\omega)\right\rfloor}{2^{n}} \wedge n
$$
Since $X$ is a r.v. $\Longrightarrow I_{{a \leq X<b}}$ are indicator r.v.’s $\Longrightarrow X_{n}$ are simple r.v.’s.
On the measurable set (event) $\left{(k-1) / 2^{n} \leq X<k / 2^{n}\right}, X_{n}$ equals the left endpoint $(k-1) / 2^{n}$, which ensures
(a) $X_{n}(\omega) \leq X_{n+1}(\omega) \quad \forall \omega \in \Omega$. (Monotonicity)
(b) $0 \leq X(\omega)-X_{n}(\omega) \leq 1 / 2^{n} \quad \forall n \geq 1$.
Then $X_{n}(\omega)$ converges (from (a)) to $X(\omega)$ (from (b)).
Definition: $X \geq 0$ is a r.v. on $(\Omega, \mathcal{A}, P)$.
(a) The expectation of $X$ is $E X=\lim {n \rightarrow \infty} E X{n} \leq \infty$, where $X_{n}$ ‘s are simple, nonnegative, and $X_{n} \nearrow X$.
(b) The expectation of $X$ over the event $A \in \mathcal{A}$ is $E_{A} X:=E\left(X I_{A}\right)$.
(c) If $Y \leq 0$ is a r.v. on $(\Omega, \mathcal{A}, P)$, define $E Y:=-E(-Y)$.
REMARK 4.1.1 (1). The definition forces monotone continuity from below for simple r.v.’s $\left{X_{n}\right}: X_{n} \nearrow$ $X$ implies $E X_{n} \nearrow E X$.
(2). The following notation is often used (for $X \geq 0$ or otherwise):
$E X=\int_{\Omega} X(\omega) P(d \omega)=\int_{\Omega} X d P=\int X d P$,
$E_{A} X=\int_{A} X(\omega) P(d \omega)=\int_{A} X d P .$
$E X$ is well defined in the sense:
THEOREM 4.1.3 $X_{n} \geq 0, Y_{n} \geq 0$ are simple r.v.’s and $X_{n} \nearrow X, Y_{n} \nearrow X$. Then
(1) $\lim {n \rightarrow \infty} E X{n}$ and $\lim {n \rightarrow \infty} E Y{n}$ exist.
(2) $\lim {n \rightarrow \infty} E X{n}=\lim {n \rightarrow \infty} E Y{n}$.

统计代写|高等概率论作业代写Advanced Probability Theory代考|ALGEBRAIC OPERATIONS

THEOREM 4.1.4 $X, Y \geq 0$ are $r . v . ‘ s$.
(1). $X, Y \geq 0$, and $a b \geq 0$, then $E(a X+b Y)=a E X+b E Y$. (Linearity)
( “ab $\geq 0 ” \Longleftrightarrow ” a$ and $b$ have the same signs”, so to avoid the possibility $\infty-\infty$.)
(2). $X \geq 0, \Longrightarrow E X \geq 0$. (Nonnegativity)
(3). $X \geq Y \geq 0 \Longrightarrow E X \geq E Y \geq 0$. (Monotonicity)
Proof. Let $X_{n} \geq 0, Y_{n} \geq 0$ be simple r.v.’s and $X_{n} \nearrow X, Y_{n} \nearrow X$.
(1) Clearly, $a X_{n}+b Y_{n}$ are also simple from (1.1). Thus
$$
\begin{aligned}
E(a X+b Y) &=\lim {n} E\left(a X{n}+b Y_{n}\right)=\lim {n}\left(a E X{n}+b E Y_{n}\right) \
&=a \lim {n} E X{n}+b \lim {n} E Y{n}=a E X+b E Y .
\end{aligned}
$$
(2) $E X=\lim {n} E X{n} \geq 0$.
(3) $X-Y \geq 0$ and $(1) \Longrightarrow E X=E(Y+[X-Y])=E Y+E(X-Y) . \Longrightarrow E X-E Y=$ $E(X-Y) \geq 0$ from (2).
THEOREM 4.1.5 $X \geq 0$. Then $E X=0 \Longleftrightarrow X={ }{a . s .} 0$. Proof. ” $\Longrightarrow “$. Suppose that $X={ }{a . s .} 0$ is not true, i.e., $P(X=0)<1 \Longrightarrow F_{X}(0)=P(X \leq 0)=P(X=$ $0)<1, \Longrightarrow \exists \epsilon>0$ such that $F_{X}(\epsilon)<1$ since $F_{X}$ is right continuous, Therefore, $$ \begin{aligned} E X &=E\left(X I_{{X>\epsilon}}\right)+E\left(X I_{{X \leq \epsilon}}\right) \
& \geq \epsilon E\left(I_{{X>\epsilon}}\right)=\epsilon P(X>\epsilon)>0 .
\end{aligned}
$$
Contradiction. This proves that $X={ }{a . s .} 0$ $” \Longleftarrow “$. Noting $X \geq 0$, we have $$ \begin{aligned} 0 & \leq E X=E\left(X I{{X=0}}\right)+E\left(X I_{{X \neq 0}}\right)=E\left(X I_{{X>0}}\right) \
& \leq\left(\sup {\omega \in \Omega} X(\omega)\right) E I{{X>0}} \leq\left(\sup _{\omega \in \Omega} X(\omega)\right) P(X>0) \leq \infty \times 0=0
\end{aligned}
$$

高等概率论代写

统计代写|高等概率论作业代写Advanced Probability Theory代考|Expectation for simple r.v.’s

定义：简单 rv 的期望X=∑1n一种一世一世一种一世和∑1n一种一世=Ω,一种一世∈一种是
和X=∑1n一种一世磷(一种一世)
换句话说，给定一个（可测量的）分区\left{A_{i}\right}\left{A_{i}\right}的Ω，我们赋值一种一世到一种一世，那么和X只是加权平均值一种一世权重是概率一种一世.
备注：（
一）。由于概率测度是有限测度，我们不会遇到这种情况∞−∞. 对于某种度量的一般积分（不一定是有限的），我们可以为非负可测函数定义积分，以避免∞−∞.
(二)。我们在上一章已经提到，如果X房车开着(Ω,一种,磷)，那么我们要求磷(|X|=∞)=0. 对于一个简单的房车X=∑1n一种一世一世一种一世，这意味着|一种一世|<∞如果磷(一种一世)>0. 显然，这意味着和|X|<∞.
引理 4.1.1和X在这个意义上是明确定义的：如果∑一世=1n一种一世一世一种一世=∑j=1米bj一世乙j和Ω=∑一世=1n一种一世= ∑j=1米乙j， 然后
∑一世=1n一种一世磷(一种一世)=∑j=1米bj磷(乙j)
证明。如果∑一世=1n一种一世一世一种一世=∑j=1米bj一世乙j和Ω=∑一世=1n一种一世=∑j=1米乙j，那么我们有
∑一世=1n∑j=1米一种一世一世一种一世∩乙j=∑一世=1n∑j=1米bj一世一种一世∩乙j,
紧随其后的是
一世H小号=∑一世=1n∑j=1米一种一世一世一种一世∩乙j=∑一世=1n∑j=1米一种一世一世一种一世一世乙j=(∑一世=1n一种一世一世一种一世)(∑j=1米一世乙j)=∑一世=1n一种一世一世一种一世 RH小号=∑一世=1n∑j=1米bj一世一种一世∩乙j=∑j=1米∑一世=1nbj一世一种一世一世乙j=(∑j=1米bj一世乙j)(∑一世=1n一世一种一世)=∑j=1米bj一世乙j.

统计代写|高等概率论作业代写Advanced Probability Theory代考|Expectation for nonnegative r.v.’s

任何非负 rvX可以通过不断增加的简单 rv 序列来近似，其期望已经定义。

定理 4.1.2 给定一个非负 rvX, 存在简单的 rv0≤X1≤X2≤…这样Xn(ω)X(ω)对于每个ω.
证明。这已在上一章中展示。我们在这里只做一个简短的总结。对于每个n， 让
X_{n}=\sum_{k=1}^{n 2^{n}} \frac{k-1}{2^{n}} I\left{\frac{k-1}{2^{ n}} \leq X<\frac{k}{2^{n}}\right}+n I_{{X \geq n}}=\frac{\left\lfloor 2^{n} X(\omega )\right\rfloor}{2^{n}} \wedge nX_{n}=\sum_{k=1}^{n 2^{n}} \frac{k-1}{2^{n}} I\left{\frac{k-1}{2^{ n}} \leq X<\frac{k}{2^{n}}\right}+n I_{{X \geq n}}=\frac{\left\lfloor 2^{n} X(\omega )\right\rfloor}{2^{n}} \wedge n
自从X是房车⟹一世一种≤X<b是指示 rv 的⟹Xn是简单的房车。
在可测量集（事件）上\left{(k-1) / 2^{n} \leq X<k / 2^{n}\right}, X_{n}\left{(k-1) / 2^{n} \leq X<k / 2^{n}\right}, X_{n}等于左端点(到−1)/2n, 这确保
(a)Xn(ω)≤Xn+1(ω)∀ω∈Ω. (单调性)
(b)0≤X(ω)−Xn(ω)≤1/2n∀n≥1.
然后Xn(ω)收敛（从（a））到X(ω)（来自（b））。
定义：X≥0房车开着(Ω,一种,磷).
(a) 期望X是和X=林n→∞和Xn≤∞， 在哪里Xn是简单的，非负的，并且XnX.
(b) 期望X事件结束一种∈一种是和一种X:=和(X一世一种).
(c) 如果和≤0房车开着(Ω,一种,磷)， 定义和和:=−和(−和).
备注 4.1.1 (1)。对于简单的 rv，该定义从下面强制单调连续性\left{X_{n}\right}: X_{n} \narrow\left{X_{n}\right}: X_{n} \narrow X暗示和Xn和X.
(2)。经常使用以下符号（对于X≥0或其他）：
和X=∫ΩX(ω)磷(dω)=∫ΩXd磷=∫Xd磷,
和一种X=∫一种X(ω)磷(dω)=∫一种Xd磷.
和X在某种意义上定义良好：
定理 4.1.3Xn≥0,和n≥0是简单的房车和XnX,和nX. 那么
（一）林n→∞和Xn和林n→∞和和n存在。

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随机过程代考

在概率论概念中，随机过程是随机变量的集合。 若一随机系统的样本点是随机函数，则称此函数为样本函数，这一随机系统全部样本函数的集合是一个随机过程。 实际应用中，样本函数的一般定义在时间域或者空间域。 随机过程的实例如股票和汇率的波动、语音信号、视频信号、体温的变化，随机运动如布朗运动、随机徘徊等等。

贝叶斯方法代考

贝叶斯统计概念及数据分析表示使用概率陈述回答有关未知参数的研究问题以及统计范式。后验分布包括关于参数的先验分布，和基于观测数据提供关于参数的信息似然模型。根据选择的先验分布和似然模型，后验分布可以解析或近似，例如，马尔科夫链蒙特卡罗 (MCMC) 方法之一。贝叶斯统计概念及数据分析使用后验分布来形成模型参数的各种摘要，包括点估计，如后验平均值、中位数、百分位数和称为可信区间的区间估计。此外，所有关于模型参数的统计检验都可以表示为基于估计后验分布的概率报表。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

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机器学习代写

随着AI的大潮到来，Machine Learning逐渐成为一个新的学习热点。同时与传统CS相比，Machine Learning在其他领域也有着广泛的应用，因此这门学科成为不仅折磨CS专业同学的“小恶魔”，也是折磨生物、化学、统计等其他学科留学生的“大魔王”。学习Machine learning的一大绊脚石在于使用语言众多，跨学科范围广，所以学习起来尤其困难。但是不管你在学习Machine Learning时遇到任何难题，StudyGate专业导师团队都能为你轻松解决。

多元统计分析代考

基础数据: $N$ 个样本， $P$ 个变量数的单样本，组成的横列的数据表
变量定性: 分类和顺序；变量定量：数值
数学公式的角度分为: 因变量与自变量

时间序列分析代写

随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

R语言代写	问卷设计与分析代写
PYTHON代写	回归分析与线性模型代写
MATLAB代写	方差分析与试验设计代写
STATA代写	机器学习/统计学习代写
SPSS代写	计量经济学代写
EVIEWS代写	时间序列分析代写
EXCEL代写	深度学习代写
SQL代写	各种数据建模与可视化代写