MATH 4681. Probability and Risks - 统计代写答疑辅导

标签： MATH 4681. Probability and Risks

统计代写|高等概率论作业代写Advanced Probability Theory代考| Characteristic Functions

Posted on 2022年4月7日2022年4月7日 by statistics-lab

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在数学中，高等概率论Advanced Probability Theory对概率论的基础有更深入的了解。它提供了测量理论概率论中的重要概念、结果和证明，并强调统计学。它涵盖了概率空间和随机元素、积分和微分、分布及其特征、条件期望、渐进理论，以及大量的练习，包括许多额外的结果。

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Statistical Machine Learning 统计机器学习
Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析
Foundations of Data Science 数据科学基础

统计代写|高等概率论作业代写Advanced Probability Theory代考| Characteristic Functions

统计代写|高等概率论作业代写Advanced Probability Theory代考|Some examples of characteristic functions

For ease of reference we give a table of the c.f’s of some common densities and describe the method of deriving them. For more details, see Feller (1971, page 502 ).

Standard normal:
$\begin{array}{ll}\text { p.d.f. } & f(x)=\frac{e^{-x^{2} / 2}}{\sqrt{2 \pi}} \ \text { c.f. } & \psi(t)=e^{-t^{2} / 2}\end{array}$
Proof.
$$
\dot{b}(t)=\int_{-\infty}^{\infty} e^{i t x} \frac{e^{-x^{2} / 2}}{\sqrt{2 \pi}} d x=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{\infty} \cos (t x) e^{-x^{2} / 2} d x
$$
Therefore,
$$
\begin{gathered}
\psi^{\prime}(t)=-\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{\infty} x \sin (t x) e^{-x^{2} / 2} d x=\frac{t}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{\infty} \sin (t x) d e^{-x^{2} / 2} \
=\frac{t}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{\infty} \cos (t x) e^{-x^{2} / 2} d x=-t \psi(t) .
\end{gathered}
$$
Then, $\psi^{\prime}(t) / \psi(t)=\frac{d}{d t} \ln \psi(t)=-t$, resulting in $\ln \psi(t)=-t^{2} / 2+C$. Setting $t=0$, we get $C=0$. Finally, we get $\psi(t)=e^{-t^{2} / 2}$.
Uniform $[0, a]$.
$$
\begin{array}{ll}
\text { p.d.f. } \quad f(x)=\frac{1}{a} I{0 \leq x \leq a} \
\text { c.f. } & \psi(t)=\int_{0}^{a} e^{i t x} \frac{1}{a} d x=\left.\frac{1}{a} \frac{e^{i t x}}{i t}\right|{x=0} ^{a}=\frac{e^{i a t}-1}{i a t} \end{array} $$ Uniform $[-a, a]$. p.d.f. $\quad f(x)=\frac{1}{2 a} I{-a \leq x \leq a}$ c.f. $\psi(t)=\int{-a}^{a} e^{i t x} \frac{1}{2 a} d x=\left.\frac{1}{2 a} \frac{e^{i t x}}{i t}\right|_{a=-a} ^{a}=\frac{\sin (a t)}{a t}$.

统计代写|高等概率论作业代写Advanced Probability Theory代考|Triangular

Triangular $[-a, a]$ :
p.d.f. $f(x)=\frac{1}{a}\left(1-\frac{|x|}{a}\right) I{|x|<a}=\frac{1}{a}\left(1-\frac{|x|}{a}\right)^{+}$
c.f. $\psi(t)=\frac{2(1-\cos (a t))}{a^{2} t^{2}}$.
Proof. Let $X, Y$ be i.i.d. r.v.’s from Uniform $(-b, b)$ with $b=a / 2$. Then,
$$
\psi_{X}(t)=\psi_{Y}(t)=\frac{\sin (b t)}{b t} .
$$
It is easy to show that the convolution of $X$ and $Y$ (or the d.f. of $X+Y$ ) is Triangular $[-a, a]$, whose c.f. is
$$
\psi_{X+Y}(t)=\psi_{X}(t) \psi_{Y}(t)=\frac{\sin ^{2}(b t)}{b^{2} t^{2}}=2 \frac{2 \sin ^{2}(a t / 2)}{a^{2} t^{2}}=\frac{2(1-\cos (a t))}{a^{2} t^{2}}
$$
Direct proof. By definition,
$$
\begin{aligned}
\psi(t) &=\int_{-\infty}^{\infty} e^{i t x} f(x) d x \
&=\frac{2}{a} \int_{0}^{a}\left(1-\frac{x}{a}\right) \cos (t x) d x \
&=\frac{2}{a t} \int_{x=0}^{a}\left(1-\frac{x}{a}\right) d \sin (t x) \
&=\left.\frac{2}{2 t}\left[\left(1-\frac{x}{a}\right) \sin (t x)\right]\right|{x=0} ^{a}+\frac{2}{a^{2} t} \int{x=0}^{a} \sin (t x) d x \
&=\frac{1-\cos (a x)}{a^{2} t^{2}} .
\end{aligned}
$$

统计代写|高等概率论作业代写Advanced Probability Theory代考|Inverse Triangular

p.d.f. $f(x)=\frac{1}{\pi} \frac{1-\cos (a x)}{a x^{2}}$
c.f. $\quad \psi(t)=\left(1-\frac{|t|}{a}\right) I{|t|<a}=\left(1-\frac{|t|}{a}\right)^{+}$.
Note: Here $\psi(t)$ has a bounded support, which proves useful later on. See the section on Esseen’s smooth lemma.

Proof. Apply Theorem 10.3.4 below (i.e. $\left.f(y)=\frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-i t y} \psi(t) d t\right)$ to the triangular distribution above to get
$$
\frac{1}{a}\left(1-\frac{|x|}{a}\right)^{+}=\frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-i t x} \frac{2(1-\cos (a t))}{a^{2} t^{2}} d t=\frac{1}{a} \int_{-\infty}^{\infty} e^{i s(-x)}\left(\frac{1}{\pi} \frac{(1-\cos (a s))}{a s^{2}}\right) d s .
$$
Let $s=y$, and $x=-t$, we have
$$
\left(1-\frac{|t|}{a}\right)^{+}=\int_{-\mathrm{n}}^{\infty} e^{i t y}\left(\frac{1}{\pi} \frac{(1-\cos (a y))}{a y^{2}}\right) d y=\int_{=\mathrm{n}}^{\infty} e^{i t y} f(y) d y
$$

高等概率论代写

统计代写|高等概率论作业代写Advanced Probability Theory代考|Some examples of characteristic functions

为了便于参考，我们给出了一些常见密度的 c.f 表，并描述了推导它们的方法。有关更多详细信息，请参阅 Feller (1971，第 502 页)。

标准正常：
pdf F(X)=和−X2/22圆周率参考 ψ(吨)=和−吨2/2
证明。
b˙(吨)=∫−∞∞和一世吨X和−X2/22圆周率dX=12圆周率∫−∞∞某物⁡(吨X)和−X2/2dX
所以，
ψ′(吨)=−12圆周率∫−∞∞X没有⁡(吨X)和−X2/2dX=吨2圆周率∫−∞∞没有⁡(吨X)d和−X2/2 =吨2圆周率∫−∞∞某物⁡(吨X)和−X2/2dX=−吨ψ(吨).
然后，ψ′(吨)/ψ(吨)=dd吨ln⁡ψ(吨)=−吨，导致ln⁡ψ(吨)=−吨2/2+C. 环境吨=0，我们得到C=0. 最后，我们得到ψ(吨)=和−吨2/2.
制服[0,一种].
pdf F(X)=1一种一世0≤X≤一种参考 ψ(吨)=∫0一种和一世吨X1一种dX=1一种和一世吨X一世吨|X=0一种=和一世一种吨−1一世一种吨制服[−一种,一种]. pdfF(X)=12一种一世−一种≤X≤一种参考ψ(吨)=∫−一种一种和一世吨X12一种dX=12一种和一世吨X一世吨|一种=−一种一种=没有⁡(一种吨)一种吨.

统计代写|高等概率论作业代写Advanced Probability Theory代考|Triangular

三角形[−一种,一种]:
pdfF(X)=1一种(1−|X|一种)一世|X|<一种=1一种(1−|X|一种)+
参考ψ(吨)=2(1−某物⁡(一种吨))一种2吨2.
证明。让X,和是 iidrv 的制服(−b,b)和b=一种/2. 然后，
ψX(吨)=ψ和(吨)=没有⁡(b吨)b吨.
很容易证明卷积X和和（或 df 的X+和) 是三角形的[−一种,一种], 其 cf 是
ψX+和(吨)=ψX(吨)ψ和(吨)=没有2⁡(b吨)b2吨2=22没有2⁡(一种吨/2)一种2吨2=2(1−某物⁡(一种吨))一种2吨2
直接证明。根据定义，
ψ(吨)=∫−∞∞和一世吨XF(X)dX =2一种∫0一种(1−X一种)某物⁡(吨X)dX =2一种吨∫X=0一种(1−X一种)d没有⁡(吨X) =22吨[(1−X一种)没有⁡(吨X)]|X=0一种+2一种2吨∫X=0一种没有⁡(吨X)dX =1−某物⁡(一种X)一种2吨2.

统计代写|高等概率论作业代写Advanced Probability Theory代考|Inverse Triangular

pdfF(X)=1圆周率1−某物⁡(一种X)一种X2
参考ψ(吨)=(1−|吨|一种)一世|吨|<一种=(1−|吨|一种)+.
注意：这里ψ(吨)有一个有限的支持，这在以后证明是有用的。请参阅 Esseen 的平滑引理部分。

证明。应用下面的定理 10.3.4（即F(和)=12圆周率∫−∞∞和−一世吨和ψ(吨)d吨)到上面的三角分布得到
1一种(1−|X|一种)+=12圆周率∫−∞∞和−一世吨X2(1−某物⁡(一种吨))一种2吨2d吨=1一种∫−∞∞和一世s(−X)(1圆周率(1−某物⁡(一种s))一种s2)ds.
让s=和，和X=−吨，我们有
(1−|吨|一种)+=∫−n∞和一世吨和(1圆周率(1−某物⁡(一种和))一种和2)d和=∫=n∞和一世吨和F(和)d和

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随机过程代考

在概率论概念中，随机过程是随机变量的集合。若一随机系统的样本点是随机函数，则称此函数为样本函数，这一随机系统全部样本函数的集合是一个随机过程。实际应用中，样本函数的一般定义在时间域或者空间域。 随机过程的实例如股票和汇率的波动、语音信号、视频信号、体温的变化，随机运动如布朗运动、随机徘徊等等。

贝叶斯方法代考

贝叶斯统计概念及数据分析表示使用概率陈述回答有关未知参数的研究问题以及统计范式。后验分布包括关于参数的先验分布，和基于观测数据提供关于参数的信息似然模型。根据选择的先验分布和似然模型，后验分布可以解析或近似，例如，马尔科夫链蒙特卡罗 (MCMC) 方法之一。贝叶斯统计概念及数据分析使用后验分布来形成模型参数的各种摘要，包括点估计，如后验平均值、中位数、百分位数和称为可信区间的区间估计。此外，所有关于模型参数的统计检验都可以表示为基于估计后验分布的概率报表。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

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机器学习代写

随着AI的大潮到来，Machine Learning逐渐成为一个新的学习热点。同时与传统CS相比，Machine Learning在其他领域也有着广泛的应用，因此这门学科成为不仅折磨CS专业同学的“小恶魔”，也是折磨生物、化学、统计等其他学科留学生的“大魔王”。学习Machine learning的一大绊脚石在于使用语言众多，跨学科范围广，所以学习起来尤其困难。但是不管你在学习Machine Learning时遇到任何难题，StudyGate专业导师团队都能为你轻松解决。

多元统计分析代考

基础数据: $N$ 个样本， $P$ 个变量数的单样本，组成的横列的数据表
变量定性: 分类和顺序；变量定量：数值
数学公式的角度分为: 因变量与自变量

时间序列分析代写

随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

R语言代写	问卷设计与分析代写
PYTHON代写	回归分析与线性模型代写
MATLAB代写	方差分析与试验设计代写
STATA代写	机器学习/统计学习代写
SPSS代写	计量经济学代写
EVIEWS代写	时间序列分析代写
EXCEL代写	深度学习代写
SQL代写	各种数据建模与可视化代写

统计代写|高等概率论作业代写Advanced Probability Theory代考| Additional topic: Stable convergence and mixing*

Posted on 2022年4月7日2022年4月7日 by statistics-lab

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Statistical Inference 统计推断
Statistical Computing 统计计算
Advanced Probability Theory 高等楖率论
Advanced Mathematical Statistics 高等数理统计学
(Generalized) Linear Models 广义线性模型
Statistical Machine Learning 统计机器学习
Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析
Foundations of Data Science 数据科学基础

统计代写|高等概率论作业代写Advanced Probability Theory代考|Additional topic: Stable convergence and mixing*

Renyi introduced and developed the ideas of limit theorems which are mixing or stable. These concepts are a strengthening of the idea of weak convergence of r.v.s. In this expository note we point out some equivalent definitions of mixing and stability and discuss the use of these concepts in several contexts. Further, we show how a central limit theorem for martingales can be obtained directly using stability.
Recall that, if $\left{Y_{u}\right}$ is a sequence of r.v.’s with d.f. $F_{u}$, then $Y_{u}$ is said to converge in distribution to $Y$. a r.v. with d.f. $F$. if
$$
\lim {n \rightarrow \infty} F{n}(x)=F(x), \quad x \in C(F),
$$
where $C(F)$ is the continuity points of $F$. We shall write this as
$$
Y_{n} \longrightarrow d Y, \quad \text { or } \quad F_{n} \Longrightarrow F
$$
A strengthening of convergence in distribution is stable convergence in distribution, which is a property of the sequence of $r v^{\prime} s\left{Y_{n}\right}$ on the same probability space rather than of the corresponding sequence of d.f.s.

DEFINITION 9.5.1 Suppose that $Y_{n} \longrightarrow \mathcal{Q}$, where all the $Y_{n}$ are on the same probability space $(\Omega, \mathcal{F}, P)$, we say that the convergence is stable if
(a) for all continuity points of $Y$ and all events $E \in \mathcal{F}, \lim {n \rightarrow \infty} P\left(\left{Y{n} \leq y\right} \cap E\right)=Q_{y}(E)$ erists, and
(b) $Q_{y}(E) \rightarrow P(E)$ as $y \rightarrow \infty$.
We write this as
$$
Y_{n} \longrightarrow d Y(s t a b l y), \quad \text { or } \quad F_{n} \Longrightarrow F \quad(\text { stably })
$$
In other words, the first part of the definition is equivalent to saying: for all events $E$ such that $P(E)>0$, the distribution of $Y$, conditional on B, converges in law to some distribution which may depend on B and which must, as the $\left{Y_{n}\right}$ are tight, be proper.

统计代写|高等概率论作业代写Advanced Probability Theory代考|the distribution of Y , conditional

In other words, the first part of the definition is equivalent to saying: for all events $E$ such that $P(E)>0$, the distribution of $Y$, conditional on $\mathrm{B}$, converges in law to some distribution which may depend on B and which must, as the $\left{Y_{n}\right}$ are tight, be proper.
We now give an example of convergence in distribution but not stably.
EXAMPLE 9.5.1 Let $X$ and $X^{\prime}$ be i.i.d. non-degenerate r.v.’s. Let
$$
\begin{aligned}
Z_{n}=& \text { for } n \text { odd } \
X^{\prime} & \text { for } n \text { even. }
\end{aligned}
$$
Then we have $Z_{n} \longrightarrow{ }{d} X$, but we don’t have $Z{n} \longrightarrow{ }{d} X$ (stably). Proof. Now $Z{n} \longrightarrow d X$ holds since
$\digamma^{\prime}\left(Z_{n} \leq x\right)=Y(X \leq x) \quad$ for $n$ odd
$P\left(X^{\prime} \leq x\right) \quad$ for $n$ even
$=P(X \leq x)=F(x)$.
To see why we don’t have $Z_{n} \longrightarrow d X$ (stably), take $E={X \leq y}$. Then,
$$
\begin{aligned}
P\left(Z_{n} \leq x, E\right)=& P(X \leq x, X \leq y) \quad \text { for } n \text { odd } \
& P\left(X^{\prime} \leq x, X \leq y\right) \quad \text { for } n \text { even } \
=& P(X \leq x \wedge y) \quad \text { for } n \text { odd } \
& P\left(X^{\prime} \leq x\right) P(X \leq y) \quad \text { for } n \text { even } \
=& F(x \wedge y) \quad \text { for } n \text { odd } \
& F(x) F(y) \quad \text { for } n \text { even. }
\end{aligned}
$$
Sincé $F(x \wedge y)>F(x) F(y)$ whenéver $0<F(x) \vee F(y)<1$, thé limit $P\left(Z_{n} \leq x, E\right)$ does not exist, which proves our claim.

统计代写|高等概率论作业代写Advanced Probability Theory代考|Some useful theorems

THEOREM 9.7.1 (Continuous mapping theorem) Let $g$ be a measurable function and $D_{g}={x$ : $g$ is discontinuous at $x}$. If $X_{n} \Longrightarrow X_{\infty}$ and $P\left(X_{n} \in D_{g}\right)=0$ then $g\left(X_{n}\right) \Longrightarrow g(X)$. If in addition $g$ is bounded then $\operatorname{Eg}\left(X_{n}\right) \rightarrow E g\left(X_{\infty}\right)$.
Remark. $D_{g}$ is always a Borel set.
Proof We wish to apply Theorem ??. Let $f$ be any bounded continuous function. By Skorokhod representation theorem, let $Y_{n}={d} X{n}$ with $Y_{n} \rightarrow Y_{\infty}$ almost surely. Since $f$ is continuous, then $D_{f \circ g} \subset$ $D_{g}$ so $P\left(Y_{\infty} \in D_{f \circ g}\right)=0$. Then, for $\omega \in\left{\omega: Y_{\infty}(\omega) \notin D_{f \circ g}\right} \cap\left{\omega: Y_{n}(\omega) \rightarrow Y_{\infty}(\omega)\right}:=A_{1} \cap A_{2}$, we have $f\left(g\left(Y_{n}(\omega)\right)\right) \rightarrow f\left(g\left(Y_{\infty}(\omega)\right)\right)$. Since $P\left(A_{1} \cap A_{2}\right)=1-P\left(A_{1}^{c} \cup A_{2}^{c}\right) \geq 1-P\left(A_{1}^{c}\right)-P\left(A_{2}^{c}\right)=1$, we have
$$
f\left(g\left(Y_{n}\right)\right) \rightarrow f\left(g\left(Y_{\infty}\right)\right) \quad \text { a.s. }
$$
Since $f$ is also bounded then the bounded convergence theorem implies $E f\left(g\left(Y_{n}\right) \rightarrow E f\left(g\left(Y_{\infty}\right)\right)\right)$. Then we apply Theorem ?? to get the desired result.

The second conclusion is easier. Since $P\left(Y_{\infty} \in D_{g}\right)=0, f\left(g\left(Y_{n}\right)\right) \rightarrow f\left(g\left(Y_{\infty}\right)\right)$ almost surely, and desired result follows from the bounded convergence theorem.

高等概率论代写

任义介绍并发展了混合或稳定极限定理的思想。这些概念是对 rvs 弱收敛思想的加强。在本说明性说明中，我们指出了混合和稳定性的一些等效定义，并讨论了这些概念在几种情况下的使用。此外，我们展示了如何使用稳定性直接获得鞅的中心极限定理。
回想一下，如果\left{Y_{u}\right}\left{Y_{u}\right}是带有 df 的 rv 序列Fu，然后Yu据说在分布上收敛到Y. 带 df 的房车F. 如果
limn→∞Fn(x)=F(x),x∈C(F),
在哪里C(F)是的连续点F. 我们将把它写成
Yn⟶dY, or Fn⟹F
分布收敛的加强是分布的稳定收敛，这是r v^{\prime} s\left{Y_{n}\right}r v^{\prime} s\left{Y_{n}\right}在相同的概率空间上，而不是在相应的 dfs 序列上

定义 9.5.1 假设Yn⟶Q, 其中所有Yn在同一个概率空间上(Ω,F,P)，我们说收敛是稳定的，如果
（a）对于所有的连续点Y和所有事件E \in \mathcal{F}, \lim {n \rightarrow \infty} P\left(\left{Y{n} \leq y\right} \cap E\right)=Q_{y}(E)E \in \mathcal{F}, \lim {n \rightarrow \infty} P\left(\left{Y{n} \leq y\right} \cap E\right)=Q_{y}(E)erists，和
（b）Qy(E)→P(E)作为y→∞.
我们把它写成
Yn⟶dY(stably), or Fn⟹F( stably )
换句话说，定义的第一部分相当于说：对于所有事件E这样P(E)>0, 的分布Y, 以 B 为条件，在法律上收敛到某个分布，该分布可能取决于 B 并且必须，因为\left{Y_{n}\right}\left{Y_{n}\right}紧，适当。

统计代写|高等概率论作业代写Advanced Probability Theory代考|the distribution of Y , conditional

换句话说，定义的第一部分相当于说：对于所有事件E这样P(E)>0, 的分布Y, 条件是B, 在法律上收敛到某个分布，该分布可能取决于 B 并且必须，因为\left{Y_{n}\right}\left{Y_{n}\right}紧，适当。
我们现在给出一个分布收敛但不稳定的例子。
例 9.5.1 让X和X′是独立同居的非退化房车。让
Zn= for n odd X′ for n even.
然后我们有Zn⟶dX，但我们没有Zn⟶dX（稳定）。证明。现在Zn⟶dX自成立以来
ϝ′(Zn≤x)=Y(X≤x)为了n奇怪的
P(X′≤x)为了n甚至
=P(X≤x)=F(x).
看看为什么我们没有Zn⟶dX（稳定地），采取E=X≤y. 然后，
P(Zn≤x,E)=P(X≤x,X≤y) for n odd P(X′≤x,X≤y) for n even =P(X≤x∧y) for n odd P(X′≤x)P(X≤y) for n even =F(x∧y) for n odd F(x)F(y) for n even.
自从F(x∧y)>F(x)F(y)每当0<F(x)∨F(y)<1, 限量茶P(Zn≤x,E)不存在，这证明了我们的主张。

统计代写|高等概率论作业代写Advanced Probability Theory代考|Some useful theorems

定理 9.7.1（连续映射定理）让g是一个可测量的函数，并且Dg=x$:$g$isdiscontinuousat$x. 如果Xn⟹X∞和P(Xn∈Dg)=0然后g(Xn)⟹g(X). 如果另外g那么有界Eg⁡(Xn)→Eg(X∞).
评论。Dg始终是 Borel 集。
证明我们希望应用定理??。让f是任何有界连续函数。根据 Skorokhod 表示定理，让Yn=dXn和Yn→Y∞几乎可以肯定。自从f是连续的，那么Df∘g⊂ Dg所以P(Y∞∈Df∘g)=0. 那么，对于\omega \in\left{\omega: Y_{\infty}(\omega) \notin D_{f \circ g}\right} \cap\left{\omega: Y_{n}(\omega) \rightarrow Y_ {\infty}(\omega)\right}:=A_{1} \cap A_{2}\omega \in\left{\omega: Y_{\infty}(\omega) \notin D_{f \circ g}\right} \cap\left{\omega: Y_{n}(\omega) \rightarrow Y_{\infty}(\omega)\right}:=A_{1} \cap A_{2}，我们有f(g(Yn(ω)))→f(g(Y∞(ω))). 自从P(A1∩A2)=1−P(A1c∪A2c)≥1−P(A1c)−P(A2c)=1，我们有
f(g(Yn))→f(g(Y∞)) a.s.
自从f也是有界的，那么有界收敛定理意味着Ef(g(Yn)→Ef(g(Y∞))). 然后我们应用定理？？得到想要的结果。

第二个结论比较简单。自从P(Y∞∈Dg)=0,f(g(Yn))→f(g(Y∞))几乎可以肯定，并且期望的结果来自有界收敛定理。

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随机过程代考

贝叶斯方法代考

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

机器学习代写

多元统计分析代考

基础数据: $N$ 个样本， $P$ 个变量数的单样本，组成的横列的数据表
变量定性: 分类和顺序；变量定量：数值
数学公式的角度分为: 因变量与自变量

时间序列分析代写

回归分析代写

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统计代写|高等概率论作业代写Advanced Probability Theory代考| Helly’s selection theorem and tightness

Posted on 2022年4月7日2022年4月7日 by statistics-lab

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Polya's Enumeration Theorem — 统计代写|高等概率论作业代写Advanced Probability Theory代考| Helly’s selection theorem and tightness

统计代写|高等概率论作业代写Advanced Probability Theory代考|Helly’s selection theorem and tightness

(i) We should note that the limit of a sequence of d.f.s may not be a d.f. (Consequently, the limit in Helly Selection Theorem may not be $a$ d.f. either.) For example, if $a+b+c=1$, and
$$
F_{n}(x)=a I_{{x \geq n}}+b I_{{x \geq-n}}+c G(x),
$$
where $G$ is a d.f., then $\lim {n} F{n}(x)=F(x):=b+c G(x)$. But, $F$ is $N O T$ a d.f. as $F(-\infty)=b$ and $F(\infty)=b+c=1-a$. In another words, an amount of mass a escapes to $\infty$, and mass $b$ escapes to $=\mathbf{\infty}$.

This type of convergence is sometimes called vague comvergence”, which is weaker than the weak convergence since it allows mass to escape. For convenience, we write $F_{n} \Rightarrow$ v $F$ $F_{n}(x) \longrightarrow F(x)$ for all $x \in C(F)$.
(ii) The last example raises a question: how do we make sure that the limit of d.f.s is still a d.f., or althernatively, when can we conclude that no mass is lost after taking the limit? To answer this question, we need a new concept tight, as given below.
DEFINITION 9.3.1 A sequence of d.f.’s $\left{F_{n}, n \geq 1\right}$ is said to be tight if, for all $\in>0$, there is an $M=M_{e}$ (free of $n$ ) so that
$$
\lim {n \rightarrow \infty} \operatorname{sip}{n \rightarrow \infty}\left[1-F_{n}(M)+F_{n}(-M)\right] \leq \epsilon_{,} \quad \text { or } \quad \limsup {n \rightarrow \infty} P\left(\left|X{n}\right|>M\right) \leq \epsilon
$$
That is, all of the probability measures give most of their mass to the same finite interval; mass does not “escape to infinity”.

THEOREM 9.3.2 Every subsequential limit is the d.f. of a probability measure iff the sequence $F_{n}$ is tight.

统计代写|高等概率论作业代写Advanced Probability Theory代考|corollary is an easy consequence of the above theorem

Proof. Suppose that the sequence is tight and $F_{n_{k}} \Longrightarrow_{v} F$. Let $r<-M_{c}$ and $s>M_{c}$ be continuity points of $F$. Since $F_{n_{k}}(r) \rightarrow F(r)$ and $F_{n_{k}}(s) \rightarrow F(s)$, we have
$$
\begin{aligned}
1-F(s)+F(r) &=\lim {k \rightarrow \infty}\left(1-F{n_{k}}(s)+F_{n_{k}}(r)\right) \
& \leq \limsup {k \rightarrow \infty}\left(1-F{n_{k}}\left(M_{\varepsilon}\right)+F_{n_{k}}\left(-M_{c}\right)\right) \
& \leq \limsup {n \rightarrow \infty}\left(1-F{n}\left(M_{c}\right)+F_{n}\left(-M_{c}\right)\right) \
& \leq \xi_{c}
\end{aligned}
$$
which in turn implies that
$$
\lim _{x \rightarrow \infty}[1-F(x)+F(-x)] \leq \varepsilon
$$
(LHS does have a limit since it is a non-increasing function of $x$ and also has lower bound 0 .) Since $\varepsilon$ is arbitrary, it follows $1-F(x)+F(-x) \rightarrow 0$ as $x \rightarrow \infty$. Hence, $1-F(x) \rightarrow 0$ and $F(-x) \rightarrow 0$ as $x \rightarrow \infty$. Therefore, $F$ is the d.f. of a probability measure.

To prove the converse, now suppose that $F_{n}$ is not tight. In this case, there is an $\varepsilon_{0}>0$ and a Eubsęuenee $n_{k} \rightarrow \infty$ eo that
$$
1-F_{n_{k}}(k)+F_{n_{k}}(-k) \geq \varepsilon_{0}
$$
for all $k$. By passing to a further subsequence $F_{n_{k_{j}}}$, we can suppose that $F_{n_{k_{j}}} \Longrightarrow v$. Let $r<0{j \rightarrow \infty}\left(1-F{n_{k_{j}}}(s)+F_{n_{k_{j}}}(r)\right) \ & \geq \liminf {j \rightarrow \infty}\left(1-F{n_{k_{j}}}\left(k_{j}\right)+F_{n_{k_{j}}}\left(-k_{j}\right)\right) \ & \geq \varepsilon_{0} \end{aligned} $$ which in turn implies that $$ \lim {x \rightarrow \infty}[1-F(x)+F(-x)] \geq \varepsilon{0}- $$ Hence, we can NOT have $1-F(x) \rightarrow 0$ and $F(-x) \rightarrow 0$ to hold true at the same time as $x \rightarrow \infty$. Therefore, $F$ is NOT the d.f. of a probability measure. The next corollary is an easy conseguence of the above theorem. COROLLARY 9.3.1 A sequence of d.f.’s $\left{F_{n}, n \geq 1\right}$ converges vaguely to $F(x)$, denoted by $F_{n} \Longrightarrow_{v} F$. Then $F$ is $a$ d.f. $\Longleftrightarrow F_{n}$ is tight. The following sufficient condition for tightness is often useful. THEOREM 9.3.3 If there is a $\psi \geq 0$ so that $\psi(x) \rightarrow \infty$ as $|x| \rightarrow \infty$ and $$ C:=\sup {u} \int \psi(x) d F{n}(x)=\sup {u} E \psi\left(X{n}\right)<\infty $$ then $F_{n}$ is tight. (Here we assume that $X_{n} \approx F_{n}$.) Proof. From $$ C=\sup {n} \int \psi(x) d F{n}(x) \geq \int_{[-M, M]} \psi(x) d F_{n}(x) \geq\left(\inf {|x| \geq M} \psi(x)\right) \int{[-M, M]} d F_{n}(x) $$ we get $$ 1-F_{n}(M)+F_{n}(-M) \leq \frac{C}{\inf _{|x|>M} \psi(x)} \longrightarrow 0 .
$$

统计代写|高等概率论作业代写Advanced Probability Theory代考|Polya Theorem

Pointwise weak convergence of $F_{n}$ to $F$ holds uniformly if $F$ is continuous.
THEOREM 9.4.1 (Polya Theorem) If $F_{n} \Longrightarrow F$, and $F$ is continuous, then
$$
\lim {n \rightarrow \infty} \sup {t}\left|F_{n}(t)-F(t)\right|=0 .
$$
Proof. Note that
$$
\lim {t \rightarrow \infty}\left[1-F{n}(t)\right]=\lim {t \rightarrow \infty}[1-F(t)]=0, \quad \lim {t \rightarrow-\infty} F_{n}(t)=\lim {t \rightarrow-\infty} F(t)=0 . $$ For any $\epsilon>0$, we can choose sufficiently large $M$ such that $$ \sup {t \in(-\infty, M]}\left|F_{n}(t)-F(t)\right| \leq \epsilon, \quad \sup {t \in[M, \infty]}\left|F{n}(t)-F(t)\right| \leq \epsilon .
$$
Since $F$ is continuous, it is uniformly continuous on $[-M, M]$. So choose $n$ sufficiently large to get
$$
\sup {t \in M-M, M]}\left|F{n}(t)-F(t)\right| \leq \epsilon .
$$
Combining the above results, for $n$ sufficiently large, we get
$$
\sup {t \in M-M, M]}\left|F{n}(t)-F(t)\right| \leq 3 \epsilon
$$
This proves our theorem.
Remark: For another proof, see Petrov (1995).

高等概率论代写

统计代写|高等概率论作业代写Advanced Probability Theory代考|Helly’s selection theorem and tightness

(i) 我们应该注意，dfs 序列的极限可能不是 df（因此，Helly 选择定理中的极限可能不是一种df 或者。）例如，如果一种+b+C=1，和
Fn(X)=一种一世X≥n+b一世X≥−n+CG(X),
在哪里G是一个df，那么林nFn(X)=F(X):=b+CG(X). 但，F是ñ○吨一个df作为F(−∞)=b和F(∞)=b+C=1−一种. 换句话说，质量 a 逃逸到∞, 和质量b逃到=∞.

这种类型的收敛有时被称为模糊收敛”，它比弱收敛要弱，因为它允许质量逃逸。为了方便，我们写Fn⇒vF Fn(X)⟶F(X)对所有人X∈C(F).
(ii) 最后一个例子提出了一个问题：我们如何确保 dfs 的极限仍然是 df，或者，我们什么时候可以得出在取极限后没有质量损失的结论？要回答这个问题，我们需要一个新的概念，如下所示。
定义 9.3.1 df 的序列\left{F_{n}, n \geq 1\right}\left{F_{n}, n \geq 1\right}据说是紧的，如果，对于所有∈>0，有一个米=米和（不含n）以便
林n→∞啜⁡n→∞[1−Fn(米)+Fn(−米)]≤ε, 要么林汤n→∞磷(|Xn|>米)≤ε
也就是说，所有概率测度都将它们的大部分质量赋予相同的有限区间；质量不会“逃到无穷大”。

定理 9.3.2 每个后续极限都是概率测度的 df，当且仅当序列Fn很紧。

统计代写|高等概率论作业代写Advanced Probability Theory代考|corollary is an easy consequence of the above theorem

证明。假设序列是紧的并且Fn到⟹vF. 让r<−米C和s>米C成为的连续点F. 自从Fn到(r)→F(r)和Fn到(s)→F(s)，我们有
1−F(s)+F(r)=林到→∞(1−Fn到(s)+Fn到(r)) ≤林汤到→∞(1−Fn到(米e)+Fn到(−米C)) ≤林汤n→∞(1−Fn(米C)+Fn(−米C)) ≤XC
这反过来意味着
林X→∞[1−F(X)+F(−X)]≤e
（LHS 确实有一个限制，因为它是X并且也有下限 0 。）因为e是任意的，它遵循1−F(X)+F(−X)→0作为X→∞. 因此，1−F(X)→0和F(−X)→0作为X→∞. 所以，F是概率测度的 df。

为了证明反之，现在假设Fn不紧。在这种情况下，有一个e0>0和一个 Eubsęueneen到→∞事实是
1−Fn到(到)+Fn到(−到)≥e0
对所有人到. 通过传递到另一个子序列Fn到j, 我们可以假设Fn到j⟹v. 让r<0{j \rightarrow \infty}\left(1-F{n_{k_{j}}}(s)+F_{n_{k_{j}}}(r)\right) \ & \geq \ liminf {j \rightarrow \infty}\left(1-F{n_{k_{j}}}\left(k_{j}\right)+F_{n_{k_{j}}}\left(-k_{ j}\right)\right) \ & \geq \varepsilon_{0} \end{对齐}r<0{j \rightarrow \infty}\left(1-F{n_{k_{j}}}(s)+F_{n_{k_{j}}}(r)\right) \ & \geq \ liminf {j \rightarrow \infty}\left(1-F{n_{k_{j}}}\left(k_{j}\right)+F_{n_{k_{j}}}\left(-k_{ j}\right)\right) \ & \geq \varepsilon_{0} \end{对齐}在H一世CH一世n吨你rn一世米p一世一世和s吨H一种吨林X→∞[1−F(X)+F(−X)]≥e0−H和nC和,在和C一种nñ○吨H一种v和1-F(x) \rightarrow 0一种ndF(-x) \rightarrow 0吨○H○一世d吨r你和一种吨吨H和s一种米和吨一世米和一种sx \rightarrow \infty.吨H和r和F○r和,F一世sñ○吨吨H和d.F.○F一种pr○b一种b一世一世一世吨和米和一种s你r和.吨H和n和X吨C○r○一世一世一种r和一世s一种n和一种s和C○ns和G你和nC和○F吨H和一种b○v和吨H和○r和米.C○R○一世一世一种R和9.3.1一种s和q你和nC和○Fd.F.′s\left{F_{n}, n \geq 1\right}C○nv和rG和sv一种G你和一世和吨○F(x),d和n○吨和db和F_{n} \Longrightarrow_{v} F.吨H和nF一世s一种d.F.\Longleftrightarrow F_{n}一世s吨一世GH吨.吨H和F○一世一世○在一世nGs你FF一世C一世和n吨C○nd一世吨一世○nF○r吨一世GH吨n和ss一世s○F吨和n你s和F你一世.吨H和○R和米9.3.3一世F吨H和r和一世s一种\ psi \ geq 0s○吨H一种吨\psi(x) \rightarrow \infty一种s|x| \rightarrow \infty一种ndC:=支持你∫ψ(X)dFn(X)=支持你和ψ(Xn)<∞吨H和nF_{n}一世s吨一世GH吨.(H和r和在和一种ss你米和吨H一种吨X_{n} \约 F_{n}.)磷r○○F.Fr○米C=支持n∫ψ(X)dFn(X)≥∫[−米,米]ψ(X)dFn(X)≥(信息|X|≥米ψ(X))∫[−米,米]dFn(X)在和G和吨1−Fn(米)+Fn(−米)≤C信息|X|>米ψ(X)⟶0.$

统计代写|高等概率论作业代写Advanced Probability Theory代考|Polya Theorem

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统计代写|高等概率论作业代写Advanced Probability Theory代考| Weak convergence

Posted on 2022年4月7日2022年4月7日 by statistics-lab

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Persistence and extinction of a stochastic SIS epidemic model with regime switching and Lévy jumps — 统计代写|高等概率论作业代写Advanced Probability Theory代考| Weak convergence

统计代写|高等概率论作业代写Advanced Probability Theory代考|Definition

DEFINITION 9.1.1
(a) A sequence of d.f.s $\left{F_{n}, n \geq 1\right}$ is said to converge weakly to a d.f. F, written as $F_{n} \Longrightarrow F$, if $F_{n}(x) \longrightarrow F(x)$, for all $x \in C(F)$.
(b) A sequence of random variables (r.v.s) $X_{n}$ is said to converge weakly or in distribution or in law to a limit $X$, written as $X_{n} \Longrightarrow X$ or $X_{n} \longrightarrow d X$, if their d.f.s $F_{n}(x)=P\left(X_{n} \leq x\right)$ converge weakly $F(x)=P(X \leq x)$.
Note that convergence in distribution is a property of distribution functions; the r.v.’s $Y_{n}$ ‘s are not reruired to he on the same prohahility space Furthermore, some authrors define weak convergence slightly differently, and eall the above definition complete convergece
EXAMPLE 9.1.1 Let $X \sim F$ and $X_{n}=X+n^{-1}$. Then,
$$
F_{n}(x)=P\left(X+n^{-1} \leq x\right)=F\left(x-n^{-1}\right) \rightarrow F(x-)
$$
Thus, we observe the following.

The limit of d.f.s may not be a d.f.
In fact, in the current example, $F(x-)$ is left continuous. If we turn $F(x-)$ into a right-continuous function (in this case $F(s)$ ), then $F$ is a proper d.f. and hence we have $F_{n} \Longrightarrow F$.
$\lim {n \rightarrow \infty} F{n}(x)=F(x-)$ which equals to $F(x)$ iff $x \in C(F)$.
This is why we restrict attention to continuity points in the definition of weak convergence.

统计代写|高等概率论作业代写Advanced Probability Theory代考|Equivalent definitions of weak convergence

Proof of Theorem 9.2.1.

“(a) $\Longrightarrow$ (b):” Let $Y, Y_{n}$ have the same d.f.’s as $X, X_{n}$ and $Y_{n} \rightarrow Y$ a.s. Since $G$ is open, we can show
$$
\lim {n} \inf I{G}\left(Y_{n}\right) \geq I_{G}(Y) \quad \text { a.s. }
$$
This can be seen as follows.
(i) If $I_{G}(Y)=0$, the proof is trivial;
(ii) If $I_{G}(Y)=1$, $\Longleftrightarrow Y \in G$. Since $G$ is open, for large enough $n$, we have $Y_{n} \in G$, $\Longleftrightarrow$ $I_{G_{n}}(Y)=1$. Hence, LHS $=1=I_{G}(Y)=$ RHS.
Now applying Fatou’s Lemma, we get
$$
P(Y \in G)=E I_{G}(Y) \leq E \liminf {n} I{G}\left(Y_{n}\right) \leq \lim {n} \inf E I{G}\left(Y_{n}\right)=\lim {n} \inf P\left(Y{n} \in G\right) .
$$
“(b) $\Longleftrightarrow(\mathrm{c})^{“} . A$ is open $\Longleftrightarrow A^{c}$ is closed, and $P(A)=1-P\left(A^{c}\right)$.
“(b) $+(\mathrm{c}) \Longrightarrow(\mathrm{d}) “$. Let $\bar{A}$ and $A^{0}$ be the closure and interior of $A$, respectively. Then, $\partial A=\bar{A}-A^{0}$, and $0=P(X \in \partial A)=P(\bar{A})-P\left(A^{0}\right)$, so
$$
P(X \in \bar{A})=P(X \in A)=P\left(X \in A^{0}\right)
$$
Using (b) and (c) now,
$$
\begin{aligned}
&P(X \in A)=P(X \in \bar{A}) \geq \operatorname{limsip}{n \rightarrow \infty} P\left(X{n} \in \bar{A}\right) \geq \limsup {n \rightarrow \infty} P\left(X{n} \in A\right) \
&P(X \in A)=P\left(X \in A^{0}\right) \leq \liminf {n \rightarrow \infty} P\left(X{n} \in A^{0}\right) \leq \liminf {n \rightarrow \infty} P\left(X{n} \in A\right)
\end{aligned}
$$
from which the proof follows.
“(d) $\Longrightarrow(\mathrm{a}) “$. Let $x \in C(F)$ and $A=(-\infty, x]$, so $P(X \in \partial A)=P(X=x)=0$. From (d), we have $P\left(X_{n} \leq x\right)=P\left(X_{n} \in A\right) \rightarrow P(X \in A)=P(X \leq x)$.
“(a) $\Longrightarrow(e) “$. By Skorokhod representation theorem, let $Y_{n}={d} X{n}$ and $Y={ }{d} X$ with $Y{n} \rightarrow Y$ almost surely. Since $g$ is continuous $g\left(Y_{n}\right) \rightarrow g(Y)$ almost surely and the bounded convergence theorem implies
$$
E g\left(X_{n}\right)=E g\left(Y_{n}\right) \rightarrow E g(Y)=E g(X)
$$

统计代写|高等概率论作业代写Advanced Probability Theory代考|Skorokhod’s representation theorem

“(e) $\Longrightarrow(f) “$. We will prove (f) for $g(x)=h(x) I_{(-\infty, b]}(x)$, where $h$ is bounded and continuous, and $b \in C(F)$; the general result follows similarly. To apply (e), we need to approximate $g$ by a continuous function $g_{1}$ defined by
$g_{1}(x)=g(x) \quad$ if $x \notin(b, b+\delta)$
$g(b)[1+(b-x) / \delta] \quad$ if $x \in(b, b+\delta)$.
Also define
$$
\begin{array}{rlr}
g_{2}(x) & =g(b)[1+(x-b) / \delta] & \text { if } x \in(b-\delta, b) \
& =g(b)[1+(b-x) / \delta] & \text { if } x \in[b, b+\delta) \
& =0 & \text { otherwise. }
\end{array}
$$
(Draw a picture here)
Now $\left|E\left[g\left(X_{n}\right)-g_{1}\left(X_{n}\right)\right]\right| \leq\left|E g_{2}\left(X_{n}\right)\right|$ and $\left|E\left[g(X)-g_{1}(X)\right]\right| \leq\left|E g_{2}(X)\right|$, so
$$
\begin{aligned}
\left|E\left[g\left(X_{n}\right)-g(X)\right]\right| & \leq\left|E\left[g\left(X_{n}\right)-g_{1}\left(X_{n}\right)\right]\right|+\left|E\left[g_{1}\left(X_{n}\right)-g_{1}(X)\right]\right|+\left|E\left[g_{1}(X)-g(X)\right]\right| \
& \leq\left|E g_{2}\left(X_{n}\right)\right|+\left|E\left[g_{1}\left(X_{n}\right)-g_{1}(X)\right]\right|+\left|E g_{2}(X)\right| \
& \rightarrow 2\left|E g_{2}(X)\right| \text { as } n \rightarrow \infty
\end{aligned}
$$
since by assumption $(\mathrm{e}), E\left[g_{1}\left(X_{n}\right)-g_{1}(X)\right] \rightarrow 0$ and $E g_{2}\left(X_{n}\right) \rightarrow E g_{2}(X)$. But observe that $\left|g_{2}(x)\right| \leq|g(b)| I_{{(b-\delta, b+\delta)}}$, we have
$$
\left|E g_{2}(X)\right| \leq|g(b)| P(b-\delta<X<b+\delta) \rightarrow 0 \quad \text { as } \delta \downarrow 0
$$
by the assumption that $b \in C$, i.e., $P(X=b)=0$. Hence (f) holds. $c \in C$,
$$
\begin{aligned}
P\left(X_{n} \leq b\right) & \geq P\left(a \leq X_{n} \leq b\right) \
& \longrightarrow P(a \leq X \leq b) \quad \text { as } n \rightarrow \infty \
& \longrightarrow(X \leq b) \quad \text { as } a \rightarrow-\infty \text { through } C .
\end{aligned}
$$

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高等概率论代写

统计代写|高等概率论作业代写Advanced Probability Theory代考|Definition

定义 9.1.1
(a) 一个 dfs 序列\left{F_{n}, n \geq 1\right}\left{F_{n}, n \geq 1\right}据说弱收敛到一个 df F，写成Fn⟹F，如果Fn(X)⟶F(X)，对所有人X∈C(F).
(b) 一系列随机变量 (rvs)Xn据说弱收敛或在分布上或在法律上收敛到极限X，写为Xn⟹X要么Xn⟶dX, 如果他们的 dfsFn(X)=磷(Xn≤X)弱收敛F(X)=磷(X≤X).
请注意，分布收敛是分布函数的一个属性；房车的和n不会在同一个概率空间上再次出现。此外，一些作者对弱收敛的定义略有不同，并且上述定义都完全收敛
示例 9.1.1 让X∼F和Xn=X+n−1. 然后，
Fn(X)=磷(X+n−1≤X)=F(X−n−1)→F(X−)
因此，我们观察以下内容。

dfs的极限可能不是一个df
其实在当前的例子中，F(X−)是连续的。如果我们转F(X−)成一个右连续函数（在这种情况下F(s)），然后F是一个适当的df，因此我们有Fn⟹F.
林n→∞Fn(X)=F(X−)这等于F(X)当且当X∈C(F).
这就是为什么我们将注意力限制在弱收敛定义中的连续点上。

统计代写|高等概率论作业代写Advanced Probability Theory代考|Equivalent definitions of weak convergence

定理 9.2.1 的证明。

“（一种）⟹(b):”让和,和n具有相同的dfX,Xn和和n→和由于G是开放的，我们可以展示
林n信息一世G(和n)≥一世G(和) 作为
这可以看如下。
(一) 如果一世G(和)=0，证明是微不足道的；
(ii) 如果一世G(和)=1,⟺和∈G. 自从G是开放的，足够大n，我们有和n∈G,⟺ 一世Gn(和)=1. 因此，LHS=1=一世G(和)=RHS。
现在应用 Fatou 引理，我们得到
磷(和∈G)=和一世G(和)≤和林infn一世G(和n)≤林n信息和一世G(和n)=林n信息磷(和n∈G).
“（乙）⟺(C)“.一种开了⟺一种C已关闭，并且磷(一种)=1−磷(一种C).
“（乙）+(C)⟹(d)“. 让一种¯和一种0成为的封闭和内部一种，分别。然后，∂一种=一种¯−一种0，和0=磷(X∈∂一种)=磷(一种¯)−磷(一种0)，所以
磷(X∈一种¯)=磷(X∈一种)=磷(X∈一种0)
现在使用（b）和（c），
磷(X∈一种)=磷(X∈一种¯)≥限制⁡n→∞磷(Xn∈一种¯)≥林汤n→∞磷(Xn∈一种) 磷(X∈一种)=磷(X∈一种0)≤林infn→∞磷(Xn∈一种0)≤林infn→∞磷(Xn∈一种)
证明由此而来。
“(d)⟹(一种)“. 让X∈C(F)和一种=(−∞,X]，所以磷(X∈∂一种)=磷(X=X)=0. 从（d），我们有磷(Xn≤X)=磷(Xn∈一种)→磷(X∈一种)=磷(X≤X).
“（一种）⟹(和)“. 根据 Skorokhod 表示定理，让和n=dXn和和=dX和和n→和几乎可以肯定。自从G是连续的G(和n)→G(和)几乎可以肯定，并且有界收敛定理意味着
和G(Xn)=和G(和n)→和G(和)=和G(X)

统计代写|高等概率论作业代写Advanced Probability Theory代考|Skorokhod’s representation theorem

“（和）⟹(F)“. 我们将证明 (f) 为G(X)=H(X)一世(−∞,b](X)，在哪里H是有界且连续的，并且b∈C(F); 一般结果类似。要应用 (e)，我们需要近似G通过连续函数G1被定义为
G1(X)=G(X)如果X∉(b,b+d)
G(b)[1+(b−X)/d]如果X∈(b,b+d).
还定义
G2(X)=G(b)[1+(X−b)/d] 如果 X∈(b−d,b) =G(b)[1+(b−X)/d] 如果 X∈[b,b+d) =0 否则。
（在这里画图）
现在|和[G(Xn)−G1(Xn)]|≤|和G2(Xn)|和|和[G(X)−G1(X)]|≤|和G2(X)|，所以
|和[G(Xn)−G(X)]|≤|和[G(Xn)−G1(Xn)]|+|和[G1(Xn)−G1(X)]|+|和[G1(X)−G(X)]| ≤|和G2(Xn)|+|和[G1(Xn)−G1(X)]|+|和G2(X)| →2|和G2(X)| 作为 n→∞
因为假设(和),和[G1(Xn)−G1(X)]→0和和G2(Xn)→和G2(X). 但请注意|G2(X)|≤|G(b)|一世(b−d,b+d)，我们有
|和G2(X)|≤|G(b)|磷(b−d<X<b+d)→0 作为 d↓0
假设b∈C， IE，磷(X=b)=0. 因此 (f) 成立。C∈C,
磷(Xn≤b)≥磷(一种≤Xn≤b) ⟶磷(一种≤X≤b) 作为 n→∞ ⟶(X≤b) 作为一种→−∞ 通过 C.

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What is a simplified explanation and proof of the Johnson-Lindenstrauss lemma? - Quora — 统计代写|高等概率论作业代写Advanced Probability Theory代考| Strong Laws of Large Numbers (SLLN)

统计代写|高等概率论作业代写Advanced Probability Theory代考|Several useful lemmas

LEMMA 8.3.1 (Cesaro’s Lemma). Given two sequences $\left{b_{n}\right}$ and $\left{x_{n}\right}$, assume that
(i) $b_{n} \geq 0$ and $a_{n}=\sum_{k=1}^{n} b_{k} / \infty$,
(ii) $x_{n} \rightarrow x,|x|<\infty$. Then $$ \frac{1}{a_{n}} \sum_{k=1}^{n} b_{k} x_{k} \equiv \frac{\sum_{k=1}^{n} b_{k} x_{k}}{\sum_{k=1}^{n 1} b_{k}} \rightarrow x $$ (i.e., weighted average of a convergent sequence converges to the same value.) Proof. $\forall \in>0, \exists n_{0}$ such that $\left|x_{n}-x\right|<\epsilon$ for $n \geq n_{0}$. Therefore,
$$
\begin{aligned}
\frac{1}{a_{n}} \sum_{k=1}^{n} b_{k} x_{k}-x \mid &=\left|\frac{\sum_{k=1}^{n} b_{k}\left(x_{k}-x\right)}{\sum_{k=1}^{n} b_{k}}\right| \leq \frac{\sum_{k=1}^{n_{0}} b_{k}\left|x_{k}-x\right|}{\sum_{k=1}^{n} b_{k}}+\frac{\sum_{k=n_{0}}^{n} b_{k}\left|x_{k}-x^{n}\right|}{\sum_{k=1}^{n} b_{k}} \
& \leq \frac{\sum_{k=1}^{n_{0}} b_{k}\left|x_{k}-x\right|}{\sum_{k=1}^{n} b_{k}}+\frac{\sum_{k=n_{0}}^{n} b_{k}}{\sum_{k-1}^{n} b_{k}} \leq \frac{C\left(n_{0}\right)}{a_{n}}+\epsilon_{.}
\end{aligned}
$$
Letting $n \rightarrow \infty$, and noting $a_{n} \rightarrow \infty$, we obtain the theorem.
COROLLARY 8.3.1 If $x_{n} \rightarrow x$ (finite), then $\bar{x}=n^{-1} \sum_{k=1}^{n} x_{k} \rightarrow x$.
LEMMA 8.3.2 (Abel’s method of summation, “integration by parts”) .
$\left{a_{n}\right}$ and $\left{x_{n}\right}$ are two sequences with $a_{0}=0, S_{k}=\sum_{j=1}^{k} x_{k}$, and $S_{0}=0$. Then
$$
\sum_{k=1}^{n} a_{k} x_{k}=a_{n} S_{n}-\sum_{k=1}^{n}\left(a_{k}-a_{k-1}\right) S_{k-1} .
$$
or more vividly, by denoting $\Delta S_{k}=S_{k}-S_{k-1}$ etc.,
$$
\sum_{k=1}^{n} a_{k} \Delta S_{k}=a_{n} S_{n}-\sum_{k=1}^{n} S_{k} \Delta a_{k}
$$
(Compare with $\int_{0}^{n} f(s) d s=\left.s f(s)\right|{0} ^{n}-\int{0}^{n} s d f(s)$ )
Proof.
$$
\begin{aligned}
\sum_{k=1}^{n} a_{k} x_{k} &=\sum_{k=1}^{n} a_{k}\left(S_{k}-S_{k-1}\right)=\sum_{k=1}^{n} a_{k} S_{k}-\sum_{k=1}^{n} a_{k} S_{k-1} \
&=\sum_{k=0}^{n} a_{k} S_{k}-\sum_{k=0}^{n-1} a_{k+1} S_{k}=\left(a_{n} S_{n}+\sum_{k=0}^{n-1} a_{k} S_{k}\right)-\sum_{k=0}^{n-1} a_{k+1} S_{k} \
&=a_{n} S_{n}-\sum_{k=1}^{n-1}\left(a_{k+1}-a_{k}\right) S_{k}=a_{n} S_{n}-\sum_{k=1}^{n}\left(a_{k}-a_{k-1}\right) S_{k-1}
\end{aligned}
$$

统计代写|高等概率论作业代写Advanced Probability Theory代考|SLLN for independent r.v.’s

Proof of (3.5). We shall look at it under assumptions (i)-(iii) separately.
If (i) holds, then $\left|X_{n}\right|0$. Thus, $\left|X_{n}\right|<a_{n}$ implies
$$
\frac{X_{n}^{2}}{g_{n}\left(X_{n}\right)} \leq \frac{a_{n}^{2}}{g_{n}\left(a_{n}\right)}, \quad \Longrightarrow \quad \frac{X_{n}^{2}}{a_{n}^{2}} \leq \frac{g_{n}\left(X_{n}\right)}{g_{n}\left(a_{n}\right)}
$$
This proves $(3.5)$.
Now it follows easily from (3.5) that
$$
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{E Y_{n}^{2}}{a_{n}^{2}} \leq \sum_{n=1}^{\infty} E\left(\frac{X_{n}^{2}}{a_{n}^{2}} I\left{\left|X_{n}\right|<a_{n}\right}\right) \leq \sum_{n=1}^{\infty} E\left(\frac{g\left(X_{n}\right)}{g\left(a_{n}\right)} I_{\left{\left|X_{n}\right|<a_{n}\right}}\right) \leq \sum_{n=1}^{\infty} E\left(\frac{g\left(X_{n}\right)}{g\left(a_{n}\right)}\right)<\infty
$$
Proof of (b). We shall look at it under assumptions (i)-(iii) separately.
Assume first (i) holds. Noting $\left|Y_{n}\right|<a_{n}$, it follows from (3.6) that
$$
\left|\sum_{n=1}^{\infty} \frac{E Y_{n}}{a_{n}}\right| \leq \sum_{n=1}^{\infty} \frac{E g_{n}\left(Y_{n}\right)}{g_{n}\left(a_{n}\right)}
$$
Assume now that (ii) holds. If $\left|X_{n}\right| \geq a_{n}$, then
$$
\frac{\left|X_{n}\right|}{g_{n}\left(X_{n}\right)} \leq \frac{a_{n}}{g_{n}\left(a_{n}\right)}, \quad \Longrightarrow \quad \frac{\left|X_{n}\right|}{a_{n}} \leq \frac{g_{n}\left(X_{n}\right)}{g_{n}\left(a_{n}\right)}
$$
But from $E X_{n}=0$,
$$
\left|\sum_{n=1}^{\infty} \frac{E Y_{n}}{a_{n}}\right|=\left|\sum_{n=1}^{\infty} E \frac{X_{n}}{a_{n}} I_{\left{\left|X_{n}\right|<a_{n}\right}}\right|=\left|-\sum_{n=1}^{\infty} E \frac{X_{n}}{a_{n}} I_{\left{\left|X_{n}\right| \geq a_{n}\right}}\right| \leq \sum_{n=1}^{\infty} \frac{E g_{n}\left(Y_{n}\right)}{g_{n}\left(a_{n}\right)}<\infty .
$$
Finally assume that (iii) holds, then $E Y_{n}=\overline{0}$. Naturally, $\left|\sum_{n=1}^{\infty} E Y_{n} / a_{n}\right|<\infty$.

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Proof of (a). Now
$$
\begin{aligned}
E Y_{n} &=E X_{n} I_{\left{\left|X_{n}\right| \leq n\right}}=E X_{1} I_{\left{\left|X_{1}\right| \leq n\right}}=E\left(X_{1}^{+}-X_{1}^{-}\right) I_{\left{\left|X_{1}\right| \leq n\right}} \
=& E X_{1}^{+} I_{\left{\left|X_{1}\right| \leq n\right}}-E X_{1}^{+} I_{\left{\left|X_{1}\right| \leq n\right}} \
& \longrightarrow X_{1}^{+}-E X_{1}^{-}=E X_{1},
\end{aligned}
$$
where in the last line we have used the Monotone Convergence Theorem or the Dominated Convergence Theorem. Thus, $n^{-1} \sum_{j=1}^{n} E Y_{j} \rightarrow E X_{1}$.
Proof of (b). Applying Corollary 8.3.3 with $a_{n}=n$ to $\left{Y_{n}\right}$, we get
$$
\begin{aligned}
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{E Y_{n}^{2}}{n^{2}} &=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}} E X_{n}^{2} I_{\left{\left|X_{n}\right| \leq n\right}}^{\infty} \
&=\sum_{n=1}^{\infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{n^{2}} E\left|X_{1}\right|^{2} I_{\left{k-1<\left|X_{1}\right| \leq k\right}} \ &=\sum_{k=1}^{\infty} \sum_{n=k}^{\infty} \frac{1}{n^{2}} E X_{1}^{2} I_{\left{k-1<\left|X_{1}\right| \leq k\right}} \ &=\sum_{k=1}^{\infty}\left[E\left(X_{1}^{2} I_{\left{k-1<\left|X_{1}\right| \leq k\right}}\right)\left(\sum_{n=k}^{\infty} \frac{1}{n^{2}}\right)\right] \ & \leq \sum_{k=1}^{\infty}\left[k E\left(\left|X_{1}\right| I_{\left{k-1<\left|X_{1}\right| \leq k\right}}\right)\left(\frac{C}{k}\right)\right] \ &=C \sum_{k=1}^{\infty} E\left(\left|X_{1}\right| I_{\left{k-1<\left|X_{1}\right| \leq k\right}}\right) \ & \leq C E\left|X_{1}\right|<\infty, \end{aligned} $$ alternatively, we could also carry on from (3.10) as follows $$ \begin{aligned} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{E Y_{n}^{2}}{n^{2}} & \leq \sum_{k=1}^{\infty}\left[k^{2} P\left(k-1<\left|X_{1}\right| \leq k\right)\left(\frac{C}{k}\right)\right] \ & \leq C \sum_{k=1}^{\infty} k P\left(k-1<\left|X_{1}\right| \leq k\right) \ & \leq C\left(1+E\left|X_{1}\right|\right)<\infty \end{aligned} $$ where we used the elementary estimate $\sum_{n=k}^{\infty} \frac{1}{n^{2}} \leq C / k$ for some $C>0$ and all $k \geq 1$. (For instance, if $k \geq 2$, then $\sum_{n=k}^{\infty} \frac{1}{n^{2}} \leq \sum_{n=k}^{\infty} \frac{1}{(n-1) n} \leq 1 /(k-1) \leq 2 / k$.) Then it follows from Corollary 8.3.3 that (ii) holds.

On the Generation of Quantified Lemmas | SpringerLink — 统计代写|高等概率论作业代写Advanced Probability Theory代考| Strong Laws of Large Numbers (SLLN)

高等概率论代写

统计代写|高等概率论作业代写Advanced Probability Theory代考|Several useful lemmas

引理 8.3.1（塞萨罗引理）。给定两个序列\左{b_{n}\右}\左{b_{n}\右}和\左{x_{n}\右}\左{x_{n}\右}, 假设
(i)bn≥0和一种n=∑到=1nb到/∞,
(ii)Xn→X,|X|<∞. 然后1一种n∑到=1nb到X到≡∑到=1nb到X到∑到=1n1b到→X（即，收敛序列的加权平均收敛到相同的值。）证明。∀∈>0,∃n0这样|Xn−X|<ε为了n≥n0. 所以，
1一种n∑到=1nb到X到−X∣=|∑到=1nb到(X到−X)∑到=1nb到|≤∑到=1n0b到|X到−X|∑到=1nb到+∑到=n0nb到|X到−Xn|∑到=1nb到 ≤∑到=1n0b到|X到−X|∑到=1nb到+∑到=n0nb到∑到−1nb到≤C(n0)一种n+ε.
让n→∞，并注意到一种n→∞，我们得到定理。
推论 8.3.1 如果Xn→X（有限），那么X¯=n−1∑到=1nX到→X.
LEMMA 8.3.2（Abel 求和方法，“按部分积分”）。
\left{a_{n}\right}\left{a_{n}\right}和\左{x_{n}\右}\左{x_{n}\右}是两个序列一种0=0,小号到=∑j=1到X到，和小号0=0. 然后
∑到=1n一种到X到=一种n小号n−∑到=1n(一种到−一种到−1)小号到−1.
或更形象地说，通过表示Δ小号到=小号到−小号到−1等等。，
∑到=1n一种到Δ小号到=一种n小号n−∑到=1n小号到Δ一种到
（与之比较∫0nF(s)ds=sF(s)|0n−∫0nsdF(s))
证明。
∑到=1n一种到X到=∑到=1n一种到(小号到−小号到−1)=∑到=1n一种到小号到−∑到=1n一种到小号到−1 =∑到=0n一种到小号到−∑到=0n−1一种到+1小号到=(一种n小号n+∑到=0n−1一种到小号到)−∑到=0n−1一种到+1小号到 =一种n小号n−∑到=1n−1(一种到+1−一种到)小号到=一种n小号n−∑到=1n(一种到−一种到−1)小号到−1

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(3.5) 的证明。我们将分别在假设 (i)-(iii) 下研究它。
如果 (i) 成立，那么|Xn|0. 因此，|Xn|<一种n暗示
Xn2Gn(Xn)≤一种n2Gn(一种n),⟹Xn2一种n2≤Gn(Xn)Gn(一种n)
这证明(3.5).
现在很容易从（3.5）得出
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{E Y_{n}^{2}}{a_{n}^{2}} \leq \sum_{n=1}^{\infty} E \left(\frac{X_{n}^{2}}{a_{n}^{2}} I\left{\left|X_{n}\right|<a_{n}\right}\right) \leq \sum_{n=1}^{\infty} E\left(\frac{g\left(X_{n}\right)}{g\left(a_{n}\right)} I_{\left {\left|X_{n}\right|<a_{n}\right}}\right) \leq \sum_{n=1}^{\infty} E\left(\frac{g\left(X_{ n}\right)}{g\left(a_{n}\right)}\right)<\infty\sum_{n=1}^{\infty} \frac{E Y_{n}^{2}}{a_{n}^{2}} \leq \sum_{n=1}^{\infty} E \left(\frac{X_{n}^{2}}{a_{n}^{2}} I\left{\left|X_{n}\right|<a_{n}\right}\right) \leq \sum_{n=1}^{\infty} E\left(\frac{g\left(X_{n}\right)}{g\left(a_{n}\right)} I_{\left {\left|X_{n}\right|<a_{n}\right}}\right) \leq \sum_{n=1}^{\infty} E\left(\frac{g\left(X_{ n}\right)}{g\left(a_{n}\right)}\right)<\infty
(b) 的证明。我们将分别在假设 (i)-(iii) 下研究它。
假设首先 (i) 成立。注意到|和n|<一种n, 由 (3.6) 得出
|∑n=1∞和和n一种n|≤∑n=1∞和Gn(和n)Gn(一种n)
现在假设 (ii) 成立。如果|Xn|≥一种n，然后
|Xn|Gn(Xn)≤一种nGn(一种n),⟹|Xn|一种n≤Gn(Xn)Gn(一种n)
但从和Xn=0,
\left|\sum_{n=1}^{\infty} \frac{E Y_{n}}{a_{n}}\right|=\left|\sum_{n=1}^{\infty} E \frac{X_{n}}{a_{n}} I_{\left{\left|X_{n}\right|<a_{n}\right}}\right|=\left|-\sum_{n =1}^{\infty} E \frac{X_{n}}{a_{n}} I_{\left{\left|X_{n}\right| \geq a_{n}\right}}\right| \leq \sum_{n=1}^{\infty} \frac{E g_{n}\left(Y_{n}\right)}{g_{n}\left(a_{n}\right)}< \infty 。\left|\sum_{n=1}^{\infty} \frac{E Y_{n}}{a_{n}}\right|=\left|\sum_{n=1}^{\infty} E \frac{X_{n}}{a_{n}} I_{\left{\left|X_{n}\right|<a_{n}\right}}\right|=\left|-\sum_{n =1}^{\infty} E \frac{X_{n}}{a_{n}} I_{\left{\left|X_{n}\right| \geq a_{n}\right}}\right| \leq \sum_{n=1}^{\infty} \frac{E g_{n}\left(Y_{n}\right)}{g_{n}\left(a_{n}\right)}< \infty 。
最后假设 (iii) 成立，那么和和n=0¯. 自然，|∑n=1∞和和n/一种n|<∞.

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(a) 的证明。现在
\begin{aligned} E Y_{n} &=E X_{n} I_{\left{\left|X_{n}\right| \leq n\right}}=E X_{1} I_{\left{\left|X_{1}\right| \leq n\right}}=E\left(X_{1}^{+}-X_{1}^{-}\right) I_{\left{\left|X_{1}\right| \leq n\right}} \ =& E X_{1}^{+} I_{\left{\left|X_{1}\right| \leq n\right}}-E X_{1}^{+} I_{\left{\left|X_{1}\right| \leq n\right}} \ & \longrightarrow X_{1}^{+}-E X_{1}^{-}=E X_{1}, \end{aligned}\begin{aligned} E Y_{n} &=E X_{n} I_{\left{\left|X_{n}\right| \leq n\right}}=E X_{1} I_{\left{\left|X_{1}\right| \leq n\right}}=E\left(X_{1}^{+}-X_{1}^{-}\right) I_{\left{\left|X_{1}\right| \leq n\right}} \ =& E X_{1}^{+} I_{\left{\left|X_{1}\right| \leq n\right}}-E X_{1}^{+} I_{\left{\left|X_{1}\right| \leq n\right}} \ & \longrightarrow X_{1}^{+}-E X_{1}^{-}=E X_{1}, \end{aligned}
在最后一行中，我们使用了单调收敛定理或支配收敛定理。因此，n−1∑j=1n和和j→和X1.
(b) 的证明。应用推论 8.3.3一种n=n到\left{Y_{n}\right}\left{Y_{n}\right}，我们得到
\begin{对齐} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{E Y_{n}^{2}}{n^{2}} &=\sum_{n=1}^{\infty } \frac{1}{n^{2}} E X_{n}^{2} I_{\left{\left|X_{n}\right| \leq n\right}}^{\infty} \ &=\sum_{n=1}^{\infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{n^{2}} E\left|X_{1}\right|^{2} I_{\left{k-1<\left|X_{1}\right| \leq k\right}} \ &=\sum_{k=1}^{\infty} \sum_{n=k}^{\infty} \frac{1}{n^{2}} E X_{1 }^{2} I_{\left{k-1<\left|X_{1}\right| \leq k\right}} \ &=\sum_{k=1}^{\infty}\left[E\left(X_{1}^{2} I_{\left{k-1<\left|X_ {1}\right| \leq k\right}}\right)\left(\sum_{n=k}^{\infty} \frac{1}{n^{2}}\right)\right] \ & \leq \sum_{k=1}^{\infty}\left[k E\left(\left|X_{1}\right| I_{\left{k-1<\left|X_{1}\右| \leq k\right}}\right)\left(\frac{C}{k}\right)\right] \ &=C \sum_{k=1}^{\infty} E\left(\左|X_{1}\右| I_{\左{k-1< \left|X_{1}\right| \leq k\right}}\right) \ & \leq C E\left|X_{1}\right|<\infty, \end{aligned}\begin{aligned} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{E Y_{n}^{2}}{n^{2}} &=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}} E X_{n}^{2} I_{\left{\left|X_{n}\right| \leq n\right}}^{\infty} \ &=\sum_{n=1}^{\infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{n^{2}} E\left|X_{1}\right|^{2} I_{\left{k-1<\left|X_{1}\right| \leq k\right}} \ &=\sum_{k=1}^{\infty} \sum_{n=k}^{\infty} \frac{1}{n^{2}} E X_{1}^{2} I_{\left{k-1<\left|X_{1}\right| \leq k\right}} \ &=\sum_{k=1}^{\infty}\left[E\left(X_{1}^{2} I_{\left{k-1<\left|X_{1}\right| \leq k\right}}\right)\left(\sum_{n=k}^{\infty} \frac{1}{n^{2}}\right)\right] \ & \leq \sum_{k=1}^{\infty}\left[k E\left(\left|X_{1}\right| I_{\left{k-1<\left|X_{1}\right| \leq k\right}}\right)\left(\frac{C}{k}\right)\right] \ &=C \sum_{k=1}^{\infty} E\left(\left|X_{1}\right| I_{\left{k-1<\left|X_{1}\right| \leq k\right}}\right) \ & \leq C E\left|X_{1}\right|<\infty, \end{aligned}或者，我们也可以从（3.10）继续如下∑n=1∞和和n2n2≤∑到=1∞[到2磷(到−1<|X1|≤到)(C到)] ≤C∑到=1∞到磷(到−1<|X1|≤到) ≤C(1+和|X1|)<∞我们使用基本估计的地方∑n=到∞1n2≤C/到对于一些C>0和所有到≥1. （例如，如果到≥2，然后∑n=到∞1n2≤∑n=到∞1(n−1)n≤1/(到−1)≤2/到.) 然后从推论 8.3.3 得出 (ii) 成立。

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广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

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基础数据: $N$ 个样本， $P$ 个变量数的单样本，组成的横列的数据表
变量定性: 分类和顺序；变量定量：数值
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统计代写|高等概率论作业代写Advanced Probability Theory代考| The a.s. convergence of series; three-series theorem

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如果你也在怎样代写高等概率论Advanced Probability Theory这个学科遇到相关的难题，请随时右上角联系我们的24/7代写客服。

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Statistical Inference 统计推断
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Advanced Probability Theory 高等楖率论
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(Generalized) Linear Models 广义线性模型
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Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析
Foundations of Data Science 数据科学基础

统计代写|高等概率论作业代写Advanced Probability Theory代考| The a.s. convergence of series; three-series theorem

统计代写|高等概率论作业代写Advanced Probability Theory代考|Review: Cauchy convergent a.s. or in probability

THEOREM 8.2.1 $X_{n} \rightarrow X$ a.s. $\Longleftrightarrow X_{n}$ is a.s. Cauchy convergent.
Proof. ” $\Longrightarrow ” . \exists \mathrm{N}$ : a $P$-null set such that $\forall \omega \in N^{c}, \lim {n} X{n}(\omega)=X(\omega)$. Therefore,
$$
0 \leq\left|X_{n}(\omega)-X_{m}(\omega)\right| \leq\left|X_{n}(\omega)-X(\omega)\right|+\left|X_{n}(\omega)-X(\omega)\right| \rightarrow 0,
$$
i.e. $X_{n}$ is Cauchy convergent on $N^{c}$.
$” \Longleftarrow ” . \exists N_{0}$ : a $P$-null set such that $\forall \omega \in N_{0}^{c}, \lim {m, n \rightarrow \infty}\left|X{n}(\omega)-X_{m}(\omega)\right|=X(\omega)$. Since $X_{n}(\omega)$ is a real sequence, then $\lim {n} X{n}(\omega)=X(\omega), \forall \omega \in N_{0}^{c}$, where $X_{n}$ is a r.v.
THEOREM 8.2.2 $X_{n} \rightarrow X$ in probability $\Longleftrightarrow\left{X_{n}\right}$ is Cauchy convergent in probability.
$$
0 \leq P\left(\left|X_{n}-X_{m}\right|>2 \epsilon\right) \leq P\left(\left|X_{n}-X\right|>\epsilon\right)+P\left(\left|X_{m}-X\right|>\epsilon\right) \rightarrow 0 .
$$
i.e. $X_{n}$ is Cauchy convergent in probability.
$” \Longleftarrow ” .\left{X_{n}\right}$ is Cauchy convergent in probability. Then, $\forall \epsilon>0$, we have $\lim {n \rightarrow \infty} \sup {m>n} P\left(\left|X_{m}-X_{n}\right|>\right.$
$\epsilon)=0$. Then for any integer $k \geq 1, \exists$ an integer $m_{k}$ such that
$$
P\left(\left|X_{m}-X_{n}\right|>2^{-k}\right) \leq 2^{-k}, \quad \text { for all } m>n \geq m_{k-}
$$
W.L.O.G, we can assume that $m_{k}$ is strictly increasing sequence. Then setting,
$$
Y_{k}:=X_{n_{k}}, \quad A_{k}:=\left{\left|X_{n_{k+1}}-X_{n_{k}}\right|>2^{-k}\right}=\left{\left|Y_{k+1}-Y_{k}\right|>2^{-k}\right},
$$
we have
$$
P\left(A_{k}\right):=P\left(\left|Y_{k+1}-Y_{k}\right|>2^{-k}\right) \leq 2^{-k}, \quad \text { for all } m>n \geq m_{k} .
$$
Since $\sum_{k=1}^{\infty} P\left(A_{k}\right)<\infty$, by the Borel-Cantelli Lemma, $P\left(A_{k}\right.$, i.o. $)=0$ or $P\left(A_{k}^{c}, u l t .\right)=1$. That is, apart from an $\omega$-set $N$ of measure zero, we have
$$
\left|Y_{k+1}(\omega)-Y_{k}(\omega)\right| \leq 2^{-k}
$$
provided $k \geq$ some integer $k_{0}(\omega)$. Hence, for $\omega \in N^{c}$, as $n \rightarrow \infty$, we have
$$
\sup {m>n}\left|Y{m}(\omega)-Y_{n}(\omega)\right| \leq \sum_{k=n}^{\infty}\left|Y_{k+1}(\omega)-Y_{k}(\omega)\right| \leq \sum_{k=n}^{\infty} 2^{-k}=2^{-(n-1)} \rightarrow 0 .
$$
Then,
$$
P\left(\limsup {n \rightarrow \infty} Y{k}=\liminf {n \rightarrow \infty} Y{k}=\lim {n \rightarrow \infty} Y{k}:=X\right)=1 .
$$
That is, $Y_{k}=X_{n_{k+1}} \rightarrow X$ a.s., hence in probability as well. Then, as $k \rightarrow \infty$,
$$
P\left(\left|X_{k}-X\right| \geq 2 \epsilon\right) \leq P\left(\left|X_{k}-X_{n_{k+1}}\right| \geq \epsilon\right)+P\left(\left|X_{n_{k+1}}-X\right| \geq \epsilon\right)=o(1)
$$
So $X_{k} \rightarrow_{p} X$.

统计代写|高等概率论作业代写Advanced Probability Theory代考|Variance criterion for random series

THEOrEM 8.2.4 (Variance criterion for series, due to Khinchin and Kolmogorov) Let $X_{1}, X_{2}, \ldots$ be independent with $E X_{k}=0$ and $\sigma_{k}^{2}=\operatorname{Var}\left(X_{k}\right)<\infty$. If $\sum_{k=1}^{\infty} \operatorname{Var}\left(X_{k}\right)<\infty$, then $\sum_{k=1}^{\infty} X_{k}$ converges a.s. (i.e., $L_{2}$ convergence implies a.s. convergence for independent series) Proof. We shall give two different proofs, both of which use Kolmogorov inequality. Method 1: Direct approach. Write $S_{n}=\sum_{k-1}^{n} X_{k}$. By Kolmogorov inequality, $$ P\left(\left{\max {{m: M\epsilon\right) \leq \frac{\operatorname{Var}\left(S{m}-S_{M}\right)}{\epsilon^{2}}=\frac{\sum_{k=M+1}^{n} \operatorname{Var}\left(X_{k}\right)}{\epsilon^{2}} $$ Let $n \rightarrow \infty$, $$ P\left(\left{\sup {{m: m>M}}\left|S{m}-S_{M}\right|\right}>\epsilon\right) \leq \frac{\sum_{k=M+1}^{\infty} \operatorname{Var}\left(X_{k}\right)}{\epsilon^{2}}
$$
Therefore,
$$
\lim {M \rightarrow \infty} P\left(\left{\sup {{m: m>M}}\left|S_{m}-S_{M}\right|\right}>\epsilon\right)=0 .
$$
Note that $\sup {m, n>M}\left|S{m}-S_{n}\right| \searrow$ as $M \nearrow$, and
$$
\begin{aligned}
P\left(\left{\sup {m, n>M}\left|S{m}-S_{n}\right|\right}>2 \epsilon\right) & \leq P\left(\sup {m>M}\left|S{m}-S_{M}\right|>\epsilon\right)+P\left(\sup {n>M}\left|S{n}-S_{M}\right|>\epsilon\right) \
&=2 P\left(\sup {m>M}\left|S{m}-S_{M}\right|>\epsilon\right) \rightarrow 0, \quad \text { as } M \rightarrow \infty .
\end{aligned}
$$
Therefore, $S_{n}$ is a Cauchy sequence a.s., hence $\lim {n \rightarrow \infty} S{n}$ exists.

统计代写|高等概率论作业代写Advanced Probability Theory代考|Subsequence method

Method 2: Subsequence method. Write $S_{n}=\sum_{k=1}^{n} X_{k}$. By Chebyshve’s inequality, for $m\epsilon\right}\right) \leq \frac{\sum_{k=m+1}^{n} \operatorname{Var}\left(X_{k}\right)}{\epsilon^{2}} \rightarrow 0, \quad \text { as } m \rightarrow \infty .
$$
Therefore, $S_{n}$ is a Cauchy sequence in probability, i.e., $S_{n} \rightarrow_{p} S_{\infty}$, say. Hence, $\exists$ a subsequence $\left{n_{k}\right}>\infty$ such that $S_{n_{k}} \rightarrow$ a.s. $S_{\infty}$ as $k \rightarrow \infty$.
Now $\forall n \geq 1, \exists k \geq 1$, such that $n_{k}<n \leq n_{k+1}$, and
$$
\begin{aligned}
0 & \leq\left|S_{n}-S_{\infty}\right| \leq\left|S_{n_{k+1}}-S_{\infty}\right|+\left|S_{n_{k+1}}-S_{n}\right| \
& \leq\left|S_{n_{k+1}}-S_{\infty}\right|+\max {n{k}<j \leq n_{k+1}}\left|S_{n_{k+1}}-S_{j}\right| \
&=A_{k}+B_{k} .
\end{aligned}
$$
We have shown that $A_{k} \rightarrow 0$ a.s. To show $B_{k} \rightarrow 0$ a.s., we apply Kolmogorov inequality,
$$
\sum_{k=1}^{\infty} P\left(\left|B_{k}\right| \geq \epsilon\right) \leq \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{\epsilon^{2}} E\left(S_{n_{k+1}}-S_{n_{k}}\right)^{2}=\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{\epsilon^{2}} \sum_{j=n_{k}+1}^{n_{k+1}} E X_{j}^{2} \leq \frac{\sum_{i=1}^{\infty} E X_{i}^{2}}{\epsilon^{2}}<\infty
$$
which implies that $B_{k} \rightarrow 0$ a.s. Hence, $S_{n} \rightarrow S_{\infty}$ a.s.
COROLLARY 8.2.1 (Kolmogorov SLLN) Let $X_{1}, X_{2}, \ldots$ be independent with $\mu_{k}=E X_{k}$ and $\sigma_{k}^{2}=$ $E X_{k}^{2}<\infty$. Let $\bar{X}=n^{-1} \sum_{i=1}^{n} X_{i}$ and $\bar{\mu}=n^{-1} \sum_{i=1}^{n} \mu_{i}$ If $\sum_{k=1}^{\infty} E X_{k}^{2} / k^{2}<\infty$, then $\bar{X}-\bar{\mu} \rightarrow 0$ a.s.
Proof. Method 1. Use Hajek-Renyi’s inequality and Kronecker Lemma.
Method 2. Let $Y_{k}=\left(X_{k} \quad E X_{k}\right) / k$. Since $\sum_{k=1}^{\infty} \operatorname{var}\left(Y_{k}\right)<\infty$, from the last theorem, we get $\sum_{k=1}^{\infty}\left(X_{k}-E X_{k}\right) / k$ converges a.s. By the Kronecker Lemma, $n^{-1} \sum_{k=1}^{n}\left(X_{k}-E X_{k}\right) \rightarrow 0$ a.s.
Remark: More general theorems like the last one will be given later.
Remark: Let $X, X_{1}, X_{2}, \ldots$ be i.i.d. r.v.’s with $\mu=E X$.
(1) If $E X^{4}<\infty$, by Chebyshev’s inequality, we can show $\bar{X} \rightarrow \mu$ a.s.
(2) If $E X^{2}<\infty$, by Kolmogorov’s SLLN (Theorem 8.2.1) or more directly Hajek-Renyi’s inequality, we ean show that $\bar{X} \rightarrow \mu$ a.s.
(3) If $E|X|<\infty$, we can apply Kolmogorov’s three series theorem (see the next section) or equivalently the truncation method to show that $\bar{X} \rightarrow \mu$ a.s.

It can be seen that the weaker the condition, the more sofisticated techniques will be required.

高等概率论代写

统计代写|高等概率论作业代写Advanced Probability Theory代考|Review: Cauchy convergent a.s. or in probability

定理 8.2.1Xn→X作为⟺Xn是作为柯西收敛的。
证明。”⟹”.∃ñ：一种磷-null 设置这样∀ω∈ñC,林nXn(ω)=X(ω). 所以，
0≤|Xn(ω)−X米(ω)|≤|Xn(ω)−X(ω)|+|Xn(ω)−X(ω)|→0,
IEXn柯西收敛于ñC.
”⟸”.∃ñ0：一种磷-null 设置这样∀ω∈ñ0C,林米,n→∞|Xn(ω)−X米(ω)|=X(ω). 自从Xn(ω)是一个实数序列，那么林nXn(ω)=X(ω),∀ω∈ñ0C，在哪里Xn是 rv
定理 8.2.2Xn→X概率\Longleftrightarrow\left{X_{n}\right}\Longleftrightarrow\left{X_{n}\right}在概率上是柯西收敛的。
0≤磷(|Xn−X米|>2ε)≤磷(|Xn−X|>ε)+磷(|X米−X|>ε)→0.
IEXn在概率上是柯西收敛的。
” \Longleftarrow ” .\left{X_{n}\right}” \Longleftarrow ” .\left{X_{n}\right}在概率上是柯西收敛的。然后，∀ε>0，我们有林n→∞支持米>n磷(|X米−Xn|>
ε)=0. 那么对于任何整数到≥1,∃一个整数米到这样
磷(|X米−Xn|>2−到)≤2−到, 对所有人米>n≥米到−
WLOG，我们可以假设米到是严格递增的序列。然后设置，
Y_{k}:=X_{n_{k}}, \quad A_{k}:=\left{\left|X_{n_{k+1}}-X_{n_{k}}\right|>2 ^{-k}\right}=\left{\left|Y_{k+1}-Y_{k}\right|>2^{-k}\right},Y_{k}:=X_{n_{k}}, \quad A_{k}:=\left{\left|X_{n_{k+1}}-X_{n_{k}}\right|>2 ^{-k}\right}=\left{\left|Y_{k+1}-Y_{k}\right|>2^{-k}\right},
我们有
磷(一种到):=磷(|和到+1−和到|>2−到)≤2−到, 对所有人米>n≥米到.
自从∑到=1∞磷(一种到)<∞, 由 Borel-Cantelli 引理,磷(一种到, io)=0要么磷(一种到C,你一世吨.)=1. 也就是说，除了一个ω-放ñ测量为零，我们有
|和到+1(ω)−和到(ω)|≤2−到
假如到≥一些整数到0(ω). 因此，对于ω∈ñC，作为n→∞，我们有
支持米>n|和米(ω)−和n(ω)|≤∑到=n∞|和到+1(ω)−和到(ω)|≤∑到=n∞2−到=2−(n−1)→0.
然后，
磷(林汤n→∞和到=林infn→∞和到=林n→∞和到:=X)=1.
那是，和到=Xn到+1→X因为，因此在概率上也是如此。那么，作为到→∞,
磷(|X到−X|≥2ε)≤磷(|X到−Xn到+1|≥ε)+磷(|Xn到+1−X|≥ε)=○(1)
所以X到→pX.

统计代写|高等概率论作业代写Advanced Probability Theory代考|Variance criterion for random series

THEOrEM 8.2.4（序列的方差标准，由于 Khinchin 和 Kolmogorov）让X1,X2,…独立于和X到=0和σ到2=在哪里⁡(X到)<∞. 如果∑到=1∞在哪里⁡(X到)<∞，然后∑到=1∞X到收敛为（即，一世2收敛意味着作为独立级数的收敛）证明。我们将给出两个不同的证明，它们都使用 Kolmogorov 不等式。方法1：直接方法。写小号n=∑到−1nX到. 由 Kolmogorov 不等式，$$ P\left(\left{\max {{m: M\epsilon\right) \leq \frac{\operatorname{Var}\left(S{m}-S_{M}\right) }{\epsilon^{2}}=\frac{\sum_{k=M+1}^{n} \operatorname{Var}\left(X_{k}\right)}{\epsilon^{2}}一世和吨$n→∞$,P\left(\left{\sup {{m: m>M}}\left|S{m}-S_{M}\right|\right}>\epsilon\right) \leq \frac{\sum_{ k=M+1}^{\infty} \operatorname{Var}\left(X_{k}\right)}{\epsilon^{2}}
吨H和r和F○r和,
\lim {M \rightarrow \infty} P\left(\left{\sup {{m: m>M}}\left|S_{m}-S_{M}\right|\right}>\epsilon\right )=0 。
ñ○吨和吨H一种吨$支持米,n>米|小号米−小号n|$一种s$米$,一种nd
\begin{对齐} P\left(\left{\sup {m, n>M}\left|S{m}-S_{n}\right|\right}>2 \epsilon\right) & \leq P \left(\sup {m>M}\left|S{m}-S_{M}\right|>\epsilon\right)+P\left(\sup {n>M}\left|S{n} -S_{M}\right|>\epsilon\right) \ &=2 P\left(\sup {m>M}\left|S{m}-S_{M}\right|>\epsilon\right) \rightarrow 0, \quad \text { as } M \rightarrow \infty 。\end{对齐}\begin{对齐} P\left(\left{\sup {m, n>M}\left|S{m}-S_{n}\right|\right}>2 \epsilon\right) & \leq P \left(\sup {m>M}\left|S{m}-S_{M}\right|>\epsilon\right)+P\left(\sup {n>M}\left|S{n} -S_{M}\right|>\epsilon\right) \ &=2 P\left(\sup {m>M}\left|S{m}-S_{M}\right|>\epsilon\right) \rightarrow 0, \quad \text { as } M \rightarrow \infty 。\end{对齐}
$$
因此，小号n是一个柯西序列，因此林n→∞小号n存在。

统计代写|高等概率论作业代写Advanced Probability Theory代考|Subsequence method

方法二：子序列法。写小号n=∑到=1nX到. 由 Chebyshve 不等式，对于m\epsilon\right}\right) \leq \frac{\sum_{k=m+1}^{n} \operatorname{Var}\left(X_{k}\right)}{\epsilon^{2} } \rightarrow 0, \quad \text { as } m \rightarrow \infty 。m\epsilon\right}\right) \leq \frac{\sum_{k=m+1}^{n} \operatorname{Var}\left(X_{k}\right)}{\epsilon^{2} } \rightarrow 0, \quad \text { as } m \rightarrow \infty 。吨H和r和F○r和,S_{n}一世s一种C一种你CH和s和q你和nC和一世npr○b一种b一世一世一世吨和,一世.和.,S_{n} \rightarrow_{p} S_{\infty},s一种和.H和nC和,\存在一种s你bs和q你和nC和\left{n_{k}\right}>\inftys你CH吨H一种吨S_{n_{k}} \rightarrow一种.s.S_{\infty}一种sk \rightarrow \infty.ñ○在\forall n \geq 1, \exists k \geq 1,s你CH吨H一种吨n_{k}<n \leq n_{k+1},一种nd0≤|小号n−小号∞|≤|小号n到+1−小号∞|+|小号n到+1−小号n| ≤|小号n到+1−小号∞|+最大限度n到<j≤n到+1|小号n到+1−小号j| =一种到+乙到.在和H一种v和sH○在n吨H一种吨A_{k} \rightarrow 0一种.s.吨○sH○在B_{k} \rightarrow 0一种.s.,在和一种pp一世和到○一世米○G○r○v一世n和q你一种一世一世吨和,∑到=1∞磷(|乙到|≥ε)≤∑到=1∞1ε2和(小号n到+1−小号n到)2=∑到=1∞1ε2∑j=n到+1n到+1和Xj2≤∑一世=1∞和X一世2ε2<∞在H一世CH一世米p一世一世和s吨H一种吨B_{k} \rightarrow 0一种.s.H和nC和,S_{n} \rightarrow S_{\infty}一种.s.C○R○一世一世一种R和8.2.1(到○一世米○G○r○v小号一世一世ñ)一世和吨X_{1}, X_{2}, \ldotsb和一世nd和p和nd和n吨在一世吨H\mu_{k}=E X_{k}一种nd\sigma_{k}^{2}=E X_{k}^{2}<\infty.一世和吨\bar{X}=n^{-1} \sum_{i=1}^{n} X_{i}一种nd\bar{\mu}=n^{-1} \sum_{i=1}^{n} \mu_{i}一世F\sum_{k=1}^{\infty} E X_{k}^{2} / k^{2}<\infty,吨H和n\ bar {X} – \ bar {\ mu} \ rightarrow 0一种.s.磷r○○F.米和吨H○d1.üs和H一种j和到−R和n和一世′s一世n和q你一种一世一世吨和一种nd到r○n和C到和r一世和米米一种.米和吨H○d2.一世和吨Y_{k}=\left(X_{k} \quad E X_{k}\right) / k.小号一世nC和\sum_{k=1}^{\infty} \operatorname{var}\left(Y_{k}\right)<\infty,Fr○米吨H和一世一种s吨吨H和○r和米,在和G和吨\sum_{k=1}^{\infty}\left(X_{k}-E X_{k}\right) / kC○nv和rG和s一种.s.乙和吨H和到r○n和C到和r一世和米米一种,n^{-1} \sum_{k=1}^{n}\left(X_{k}-E X_{k}\right) \rightarrow 0一种.s.R和米一种r到:米○r和G和n和r一种一世吨H和○r和米s一世一世到和吨H和一世一种s吨○n和在一世一世一世b和G一世v和n一世一种吨和r.R和米一种r到:一世和吨X, X_{1}, X_{2}, \ldotsb和一世.一世.d.r.v.′s在一世吨H\mu=E X.(1)一世FEX^{4}<\infty,b和CH和b和sH和v′s一世n和q你一种一世一世吨和,在和C一种nsH○在\bar{X} \rightarrow \mu一种.s.(2)一世FEX^{2}<\infty,b和到○一世米○G○r○v′s小号一世一世ñ(吨H和○r和米8.2.1)○r米○r和d一世r和C吨一世和H一种j和到−R和n和一世′s一世n和q你一种一世一世吨和,在和和一种nsH○在吨H一种吨\bar{X} \rightarrow \mu一种.s.(3)一世FE|X|<\infty,在和C一种n一种pp一世和到○一世米○G○r○v′s吨Hr和和s和r一世和s吨H和○r和米(s和和吨H和n和X吨s和C吨一世○n)○r和q你一世v一种一世和n吨一世和吨H和吨r你nC一种吨一世○n米和吨H○d吨○sH○在吨H一种吨\bar{X} \rightarrow \mu$ 为

可以看出，条件越弱，需要的技术就越复杂。

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广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

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基础数据: $N$ 个样本， $P$ 个变量数的单样本，组成的横列的数据表
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统计代写|高等概率论作业代写Advanced Probability Theory代考| Strong Convergence

Posted on 2022年4月7日2022年4月7日 by statistics-lab

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Foundations of Data Science 数据科学基础

Bell nonlocality with a single shot – Quantum — 统计代写|高等概率论作业代写Advanced Probability Theory代考| Strong Convergence

统计代写|高等概率论作业代写Advanced Probability Theory代考|Some maximal inequalities

Note that $E S_{k}^{2}=\sum_{j=1}^{\mathrm{N}} \sigma_{j}^{2} E_{j}$ “s are mutually exclusive. It suffices to show that
$$
P(A)=P\left(\sum_{j=m}^{n} E_{j}\right)=\sum_{j=m}^{n} P\left(E_{j}\right) \leq \frac{1}{\epsilon^{2}} E Y .
$$
Now we can rewrite
$$
\begin{aligned}
Y &=c_{m}^{2} S_{m}^{2}+\sum_{k=m+1}^{n} c_{k}^{2} S_{k}^{2}-\sum_{k=m+1}^{n} c_{k}^{2} S_{k-1}^{2} \
&=\sum_{k=m}^{n} c_{k}^{2} S_{k}^{2}-\sum_{k=m+1}^{n} r_{k}^{2} S_{k-1}^{2} \
&=\sum_{k=m}^{n} c_{k}^{2} S_{k}^{2}-\sum_{k=m}^{n-1} c_{k+1}^{2} S_{k}^{2} \
&=\sum_{k=m}^{n-1}\left(c_{k}^{2}-c_{k+1}^{2}\right) S_{k}^{2}+c_{n}^{2} S_{n}^{2} \
& \geq 0, \quad \text { as } c_{k} \searrow
\end{aligned}
$$
So
$$
E Y \geq E\left(Y I_{A}\right)=E\left(Y I_{j=m}^{n} E_{j}\right)=\sum_{j=m}^{n} E Y I_{E_{j}}
$$
For $m \leq j \leq n$, we have
$$
\begin{aligned}
E Y I_{E_{j}} &=\sum_{k=m}^{n-1}\left(c_{k}^{2}-c_{k+1}^{2}\right) E S_{k}^{2} I_{E_{j}}+c_{n}^{2} E S_{n}^{2} I_{E_{j}} \
& \geq \sum_{k=j}^{n-1}\left(c_{k}^{2}-c_{k+1}^{2}\right) E S_{k}^{2} I_{E_{j}}+c_{n}^{2} E S_{n}^{2} I_{E_{j}} .
\end{aligned}
$$
But for $j \leq k \leq n$, we have
$$
\begin{aligned}
E S_{k}^{2} I_{E_{j}}=& E\left[\left(S_{j}+\left(S_{k}-S_{j}\right)\right]^{2} I_{E_{j}}\right.\
=& E S_{j}^{2} I_{E_{j}}+E\left(S_{k}-S_{j}\right)^{2} I_{E_{j}}+2 E S_{j}\left(S_{k}-S_{j}\right) I_{E_{j}} \
=& E S_{j}^{2} I_{E_{j}}+E\left(S_{k}-S_{j}\right)^{2} I_{E_{j}} \
&\left(\text { as } E\left[S_{j} I_{E_{j}}\left(S_{k}-S_{j}\right)\right]=E\left[S_{j} I_{E_{j}}\right] E\left[\left(S_{k}-S_{j}\right)\right]=0,\right.\
& \text { since } S_{j} I_{E_{j}} \text { and } S_{k}-S_{j} \text { are independent) } \
\geq & E S_{j}^{2} I_{E_{j}} \
\geq &\left.\epsilon^{2} P\left(E_{j}\right) / c_{j}^{2}, \quad \text { (as }\left|c_{j} S_{j}\right| \geq \epsilon \text { on } E_{j}\right)
\end{aligned}
$$
Thus,
$$
E Y I_{E_{j}} \geq\left[\sum_{k=j}^{n-1}\left(c_{k}^{2}-c_{k+1}^{2}\right)+c_{n}^{2}\right] \frac{\epsilon^{2} P\left(E_{j}\right)}{c_{j}^{2}}=\epsilon^{2} P\left(E_{j}\right)
$$
Finally, we get
$$
E Y \geq E Y I_{A}=\sum_{j=m}^{n} \epsilon^{2} P\left(E_{j}\right)=\epsilon^{2} P\left(\sum_{j=m}^{n} E_{j}\right)=\epsilon^{2} P(A) .
$$

统计代写|高等概率论作业代写Advanced Probability Theory代考|Kolmogorov maximal inequality

This completes our proof.
One important special case is the following.
THEOREM 8.1.2 (Kolmogorov maximal inequality) Let $X_{1}, X_{2}, \ldots$ be independent with $E X_{k}=$ and $\sigma_{k}^{2}=\operatorname{Var}\left(X_{i}\right)<\infty$. Write $S_{k}=\sum_{i=1}^{k} X_{i} .$ Let $t>0$.
(a) (Upper bound)
$$
P\left(\max {1 \leq k \leq n}\left|S{k}\right| \geq \epsilon\right) \leq \frac{\operatorname{Var}\left(S_{n}\right)}{\epsilon^{2}}
$$
(b) (Lower bound). If $\left|X_{k}\right| \leq C \leq \infty$, then $\forall k \geq 1$,
$$
P\left(\max {1 \leq k \leq n}\left|S{k}\right| \geq \epsilon\right) \geq 1-\frac{(\epsilon+C)^{2}}{\operatorname{Var}\left(S_{n}\right)}
$$
(Note that the RHS $=-\infty$ when $C=\infty$.)
Proof. (a) Take $m=1$ and $c_{k}=1, k \geq 1$ in Hajek-Renyi maximal inequality.
Direct proof. Let
$$
\begin{aligned}
E_{1} &=\left{\left|S_{1}\right| \geq \epsilon\right}, \
E_{j} &=\left{\left{\max {1 \leq k{k}\right|\right}<\epsilon,\left|S_{j}\right| \geq \epsilon\right}, \quad \text { for } 2 \leq j \leq n . \ A &=\sum_{j=1}^{n} E_{j}=\left{\left{\max {1 \leq k \leq n}\left|S{k}\right|\right} \geq \epsilon\right}, \end{aligned} $$ So $$ \begin{aligned} \operatorname{Var}\left(S_{n}\right)=& E S_{n}^{2} \geq E S_{n}^{2} I_{A}=\sum_{j=1}^{n} E S_{n}^{2} I_{E_{j}}=\sum_{j=1}^{n} E\left[\left(S_{j}+\left(S_{n}-S_{j}\right)\right]^{2} I_{E_{j}}\right.\ =& \sum_{j=1}^{n} E S_{j}^{2} I_{E_{j}}+\sum_{j=1}^{n} E\left(S_{n}-S_{j}\right)^{2} I_{E_{j}}+2 \sum_{j=1}^{n} E S_{j}\left(S_{n}-S_{j}\right) I_{E_{j}} \ \geq & \sum_{j=1}^{n} E S_{j}^{2} I_{E_{j}} \ &\left(\text { as } E\left[S_{j} I_{E_{j}}\left(S_{n}-S_{j}\right)\right]=E\left[S_{j} I_{E_{j}}\right] E\left[\left(S_{n}-S_{j}\right)\right]=0\right.\ & \operatorname{since} S_{j} I_{E_{j}} \text { and } S_{k}-S_{j} \text { are independent) } \ \geq & \sum_{j=1}^{n} \epsilon^{2} P\left(E_{j}\right) \quad\left(\text { as }\left|c_{j} S_{j}\right|>\epsilon \text { on } E_{j}\right) \
=& \epsilon^{2} P(A) \
=& \epsilon^{2} P\left(\max {1 \leq k \leq n}\left|S{k}\right| \geq \epsilon\right)
\end{aligned}
$$
(b). From (a), we have
$$
\begin{aligned}
E S_{n}^{2} I_{A} &=\sum_{j=1}^{n} E S_{j}^{2} I_{E_{j}}+\sum_{j=1}^{n} E\left(S_{n}-S_{j}\right)^{2} I_{E_{j}} \
& \leq \sum_{j=1}^{n} E\left(\left|S_{j-1}\right|+C\right)^{2} I_{E_{j}}+\sum_{j=1}^{n} \sum_{k=j+1}^{n}\left(E X_{k}^{2}\right) P\left(E_{j}\right)
\end{aligned}
$$

统计代写|高等概率论作业代写Advanced Probability Theory代考|Remark

$$
\begin{aligned}
&\quad\left(\text { since }\left(S_{n}-S_{j}\right) \text { and } I_{E_{j}}\right. \text { are independent.) } \
&\leq \sum_{j=1}^{n} E(\epsilon+C)^{2} I_{E_{j}}+\left(E S_{n}^{2}\right) \sum_{j=1}^{n} P\left(E_{j}\right) \
&=\left((\epsilon+C)^{2}+E S_{n}^{2}\right) P(A) .
\end{aligned}
$$
On the other hand,
$$
\begin{aligned}
E S_{n}^{2} I_{A} &=E S_{n}^{2}-E S_{n}^{2} I_{A^{c}} \
& \geq E S_{n}^{2}-\epsilon^{2} P\left(A^{c}\right) \quad \text { as } A^{c}=\left{\left{\max {1 \leq k \leq n}\left|S{k}\right|\right}<\epsilon\right} \ &=E S_{n}^{2}-\epsilon^{2}+\epsilon^{2} P(A) \end{aligned} $$ Combining the above, we get $$ E S_{n}^{2}-\epsilon^{2}+\epsilon^{2} P(A) \leq E S_{n}^{2} I_{A} \leq\left((\epsilon+C)^{2}+E S_{n}^{2}\right) P(A) $$ Hence, $$ P(A) \geq \frac{E S_{n}^{2}-\epsilon^{2}}{E S_{n}^{2}-\epsilon^{2}+(\epsilon+C)^{2}}=1-\frac{(\epsilon+C)^{2}}{E S_{n}^{2}-\epsilon^{2}+(\epsilon+C)^{2}} \geq 1-\frac{(\epsilon+C)^{2}}{E S_{n}^{2}} $$ COROLLARY 8.1.1 Let $X_{1}, X_{2}, \ldots$ be independent with $E X_{k}=0$ and $\sigma_{k}^{2}=\operatorname{Var}\left(X_{i}\right)<\infty$. Write $S_{k}=$ $\sum_{i=1}^{k} X_{i}$. If $\left|X_{k}\right| \leq C \leq \infty$, then $\forall k \geq 1$ and $\epsilon>0$,
$$
1-\frac{(\epsilon+C)^{2}}{\operatorname{Var}\left(S_{n}\right)} \leq P\left(\max {1 \leq k \leq n}\left|S{k}\right| \geq \epsilon\right) \leq \frac{\operatorname{Var}\left(S_{n}\right)}{\epsilon^{2}}
$$
Remark. Chebyshev inequality is a special case of Kolmogorov maximal inequality by taking $n=1 .$
$$
P(|X-\mu| \geq \epsilon) \leq \frac{E(X-\mu)^{2}}{\epsilon^{2}}
$$

Robotics | Free Full-Text | Viability and Feasibility of Constrained Kinematic Control of Manipulators | HTML — 统计代写|高等概率论作业代写Advanced Probability Theory代考| Strong Convergence

高等概率论代写

统计代写|高等概率论作业代写Advanced Probability Theory代考|Some maximal inequalities

注意和小号到2=∑j=1ñσj2和j“s 是互斥的。足以证明
磷(一种)=磷(∑j=米n和j)=∑j=米n磷(和j)≤1ε2和和.
现在我们可以重写
和=C米2小号米2+∑到=米+1nC到2小号到2−∑到=米+1nC到2小号到−12 =∑到=米nC到2小号到2−∑到=米+1nr到2小号到−12 =∑到=米nC到2小号到2−∑到=米n−1C到+12小号到2 =∑到=米n−1(C到2−C到+12)小号到2+Cn2小号n2 ≥0, 作为 C到
所以
和和≥和(和一世一种)=和(和一世j=米n和j)=∑j=米n和和一世和j
为了米≤j≤n，我们有
和和一世和j=∑到=米n−1(C到2−C到+12)和小号到2一世和j+Cn2和小号n2一世和j ≥∑到=jn−1(C到2−C到+12)和小号到2一世和j+Cn2和小号n2一世和j.
但对于j≤到≤n，我们有
和小号到2一世和j=和[(小号j+(小号到−小号j)]2一世和j =和小号j2一世和j+和(小号到−小号j)2一世和j+2和小号j(小号到−小号j)一世和j =和小号j2一世和j+和(小号到−小号j)2一世和j ( 作为和[小号j一世和j(小号到−小号j)]=和[小号j一世和j]和[(小号到−小号j)]=0, 自从小号j一世和j 和小号到−小号j 是独立的） ≥和小号j2一世和j ≥ε2磷(和j)/Cj2, （作为 |Cj小号j|≥ε 在和j)
因此，
和和一世和j≥[∑到=jn−1(C到2−C到+12)+Cn2]ε2磷(和j)Cj2=ε2磷(和j)
最后，我们得到
和和≥和和一世一种=∑j=米nε2磷(和j)=ε2磷(∑j=米n和j)=ε2磷(一种).

统计代写|高等概率论作业代写Advanced Probability Theory代考|Kolmogorov maximal inequality

这完成了我们的证明。
一个重要的特殊情况如下。
定理 8.1.2 (Kolmogorov 最大不等式) 让X1,X2,…独立于和X到=和σ到2=在哪里⁡(X一世)<∞. 写小号到=∑一世=1到X一世.让吨>0.
(a) (上限)
磷(最大限度1≤到≤n|小号到|≥ε)≤在哪里⁡(小号n)ε2
(b) (下限)。如果|X到|≤C≤∞，然后∀到≥1,
磷(最大限度1≤到≤n|小号到|≥ε)≥1−(ε+C)2在哪里⁡(小号n)
（请注意，RHS=−∞什么时候C=∞.)
证明。（一）采取米=1和C到=1,到≥1在 Hajek-Renyi 最大不等式中。
直接证明。让
$$
\begin{aligned}
E_{1} &=\left{\left|S_{1}\right| \geq \epsilon\right}, \
E_{j} &=\left{\left{\max {1 \leq k{k}\right|\right}<\epsilon,\left|S_{j}\right | \geq \epsilon\right}, \quad \text { 对于 } 2 \leq j \leq n 。\ A &=\sum_{j=1}^{n} E_{j}=\left{\left{\max {1 \leq k \leq n}\left|S{k}\right|\right} \geq \epsilon\right}, \end{对齐}小号○在哪里⁡(小号n)=和小号n2≥和小号n2一世一种=∑j=1n和小号n2一世和j=∑j=1n和[(小号j+(小号n−小号j)]2一世和j =∑j=1n和小号j2一世和j+∑j=1n和(小号n−小号j)2一世和j+2∑j=1n和小号j(小号n−小号j)一世和j ≥∑j=1n和小号j2一世和j ( 作为和[小号j一世和j(小号n−小号j)]=和[小号j一世和j]和[(小号n−小号j)]=0 自从⁡小号j一世和j 和小号到−小号j 是独立的） ≥∑j=1nε2磷(和j)( 作为 |Cj小号j|>ε 在和j) =ε2磷(一种) =ε2磷(最大限度1≤到≤n|小号到|≥ε)
(b).Fr○米(一种),在和H一种v和
和小号n2一世一种=∑j=1n和小号j2一世和j+∑j=1n和(小号n−小号j)2一世和j ≤∑j=1n和(|小号j−1|+C)2一世和j+∑j=1n∑到=j+1n(和X到2)磷(和j)
$$

统计代写|高等概率论作业代写Advanced Probability Theory代考|Remark

( 自从 (小号n−小号j) 和一世和j 是独立的。） ≤∑j=1n和(ε+C)2一世和j+(和小号n2)∑j=1n磷(和j) =((ε+C)2+和小号n2)磷(一种).
另一方面，
\begin{对齐} E S_{n}^{2} I_{A} &=E S_{n}^{2}-E S_{n}^{2} I_{A^{c}} \ & \ geq E S_{n}^{2}-\epsilon^{2} P\left(A^{c}\right) \quad \text { as } A^{c}=\left{\left{\max {1 \leq k \leq n}\left|S{k}\right|\right}<\epsilon\right} \ &=E S_{n}^{2}-\epsilon^{2}+\epsilon ^{2} P(A) \end{对齐}\begin{对齐} E S_{n}^{2} I_{A} &=E S_{n}^{2}-E S_{n}^{2} I_{A^{c}} \ & \ geq E S_{n}^{2}-\epsilon^{2} P\left(A^{c}\right) \quad \text { as } A^{c}=\left{\left{\max {1 \leq k \leq n}\left|S{k}\right|\right}<\epsilon\right} \ &=E S_{n}^{2}-\epsilon^{2}+\epsilon ^{2} P(A) \end{对齐}综合以上，我们得到和小号n2−ε2+ε2磷(一种)≤和小号n2一世一种≤((ε+C)2+和小号n2)磷(一种)因此，磷(一种)≥和小号n2−ε2和小号n2−ε2+(ε+C)2=1−(ε+C)2和小号n2−ε2+(ε+C)2≥1−(ε+C)2和小号n2推论 8.1.1 让X1,X2,…独立于和X到=0和σ到2=在哪里⁡(X一世)<∞. 写小号到= ∑一世=1到X一世. 如果|X到|≤C≤∞，然后∀到≥1和ε>0,
1−(ε+C)2在哪里⁡(小号n)≤磷(最大限度1≤到≤n|小号到|≥ε)≤在哪里⁡(小号n)ε2
评论。Chebyshev 不等式是 Kolmogorov 极大不等式的一个特例n=1.
磷(|X−μ|≥ε)≤和(X−μ)2ε2

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统计代写|高等概率论作业代写Advanced Probability Theory代考| Weak Law of Large Numbers

Posted on 2022年4月7日2022年4月7日 by statistics-lab

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统计代写|高等概率论作业代写Advanced Probability Theory代考|Equivalent sequences; truncation

Definition: Two sequences of r.v.’s $\left{X_{n}\right}$ and $\left{Y_{n}\right}$ on $(\Omega, \mathcal{A}, P)$ are said to be equivalent iff
$$
\sum_{n=1}^{\infty} P\left(X_{n} \neq Y_{n}\right)<\infty
$$
THEOREM 7.1.1 Suppose that $\left{X_{n}\right}$ and $\left{Y_{n}\right}$ are equivalent.
134
(a) $\sum_{n=1}^{\infty}\left(X_{n}-Y_{n}\right)$ converges a.s.;
(b) If $a_{n} \uparrow \infty$, then $\frac{1}{a_{n}} \sum_{j=1}^{n}\left(X_{j}-Y_{j}\right) \rightarrow 0$ a.s.
Proof. By the Borel-Cantelli lemma, the assumption of equivalence implies
$$
P\left(\left{\omega: X_{n}(\omega) \neq Y_{n}(\omega)\right}, \text { i.o. }\right)=P\left(X_{n} \neq Y_{n}, i . o .\right)=0 .
$$
Hence.
$$
P\left(\left{\omega: X_{n}(\omega)=Y_{n}(\omega)\right}, u l t_{-}\right)=1-P\left(\left{X_{n} \neq Y_{n}\right}^{c}, i . o .\right)=1-P\left(X_{n} \neq Y_{n}, \text { i.o. }\right)=1 .
$$
Thus, $\exists$ a $P$-null set $N$ with the property: if $\omega \in \Omega-N, \exists n_{0}(\omega)$ such that
$$
n \geq n_{0}(\omega) \quad \Longrightarrow \quad X_{n}(\omega)=Y_{n}(\omega)
$$
For such an $\omega$, the two numerical sequences $\left{X_{n}(\omega)\right}$ and $\left{Y_{n}(\omega)\right}$ differ only in a finite number of terms (how many depending on $\omega$ ). In other words, the series $\sum_{n=1}^{\infty}\left(X_{n}(\omega)-Y_{n}(\omega)\right.$ ) consists of zeros from a certain point on. Both (a) and (b) of the theorem follow from this fact.
An easy and useful consequence of the last theorem is the following.
COROLLARY 7.1.1 Suppose that $\left{X_{n}\right}$ and $\left{Y_{n}\right}$ are equivalent, and $a_{n} \uparrow$. Then with probability one (a.s.)
(a) $\rangle_{u j=1}^{n} X_{3}$ or $\frac{1}{a_{n}} \sum_{j=1}^{n} X_{7}$ converges, divergey to $+\infty$ or -os, or fuetuatey in the aame way as $\sum_{j=1}^{n} Y_{j}$ or $\frac{1}{a_{n}} \sum_{j=1}^{n} Y_{j}$.
(b) In particular, if $a_{n}^{-1} \sum_{j=1}^{n} X_{j}$ converges in probability, so does $a_{n}^{-1} \sum_{j=1}^{n} Y_{j}$.
Proof. (a) follows from the proof of the last theorem. To show (b), if $a_{n}^{-1} \sum_{j=1}^{n} X_{j} \rightarrow_{p} X_{\text {, then }}$
$$
\frac{1}{a_{n}} \sum_{j=1}^{n} Y_{j}=\frac{1}{a_{n}} \sum_{j=1}^{n} X_{j}+\frac{1}{a_{n}} \sum_{j=1}^{n}\left(Y_{j}-X_{j}\right) \rightarrow_{P} X
$$

统计代写|高等概率论作业代写Advanced Probability Theory代考|Weak Law of Large Numbers

Proof of (ii). It is equivalent to show $\operatorname{Var}\left(\sum_{i=1}^{n} Y_{i}\right)=o\left(n^{2}\right)$. Note that $Y_{n}$ are independent (as functions of $X_{n}$ ) and bounded. Thus
$$
\operatorname{Var}\left(\sum_{i=1}^{n} Y_{i}\right)=\sum_{k=1}^{n} \operatorname{Var}\left(Y_{k}\right) \leq \sum_{k=1}^{n} E Y_{k}^{2}=\sum_{k=1}^{n} E X_{k}^{2} I_{\left{\left|X_{k}\right| \leq k\right}}=\sum_{k=1}^{n} E X_{1}^{2} I_{\left{\left|X_{1}\right| \leq k\right}}
$$
The crudest estimate of this is for all $k=1, \ldots, n$. But when $k$ is small, this bound may be too rough. This suggests that we should per. haps consider $k$ to be small and large separately.) To improve upon it, we shall use another level o) truncation. Let $\left{a_{n}\right}$ be a sequence of integers such that $0a_{n}\right.}\right}$
$\left.\leftrightharpoons n a_{n} E\left|X_{1}\right|+n^{2} E\left|X_{1}\right| I_{\left{\left|X_{1}\right|>a_{n}\right}}\right}$
which implies that
$$
0 \leq \operatorname{Var}(\bar{Y})=\frac{1}{n^{2}} \operatorname{Var}\left(\sum_{i=1}^{n} Y_{i}\right) \leq \frac{a_{n}}{n} E\left|X_{1}\right|+E\left|X_{1}\right| I_{\left{\left|X_{1}\right|>a_{n}\right}} \rightarrow 0
$$

统计代写|高等概率论作业代写Advanced Probability Theory代考|Classical forms of the WLLN

THEOREM $7.3 .1$ (Kolmogorov $(n)$-Feller $\left(a_{n}\right)$ ) Let $\left{X_{n}\right}$ be independent r.v.’s with $F_{n}(x)=P\left(X_{n} \leq\right.$ $x)$. Let $a_{n}>0$ and $a_{n} \uparrow \infty$. Then
$$
\frac{1}{a_{n}} \sum_{k=1}^{n} X_{k} \rightarrow p 0
$$
if and only if, as $n \rightarrow \infty$,
(i) $\sum_{k=1}^{n} P\left(\left|X_{1}\right| \geq a_{n}\right) \longrightarrow 0$
(ii) $E\left(\sum_{k=1}^{n} \frac{X_{1}}{a_{n}} I_{\left{\left|X_{1}\right|<a_{n}\right}}\right) \rightarrow 0$
(iii) $\operatorname{Var}\left(\sum_{k=1}^{n} \frac{X_{1}}{a_{n}} I_{\left{\left|X_{1}\right|<a_{n}\right}}\right) \rightarrow 0$
if and only if, by writing $Y_{n k}=\frac{X_{1}}{a_{n}} I\left{\frac{X_{1}}{a_{n}}<1\right}$, as $n \rightarrow \infty$,
(i) $\sum_{k=1}^{n} P\left(\left|X_{1}\right| \geq a_{n}\right) \longrightarrow 0$
(ii) $E\left(\sum_{k=1}^{n} Y_{n k}\right) \longrightarrow 0$
(iii) $\operatorname{Var}\left(\sum_{k=1}^{n} Y_{n k}\right) \rightarrow 0$.
Proof. Omitted. For details, please refer to Petrov (1995, p132), and Chung, who give two different treatments.
REMARK 7.3.1.
(1) Compare this with Kolmogorov’s three series theorem in the next chapter.
(2) For illustration, take $a_{n}=n$. Let $Y_{1}=X_{1} I\left{\left|X_{1}\right|<n\right}$, then (ii)-(iii) become
$$
E(\bar{Y}) \rightarrow 0, \quad \operatorname{var}(\bar{Y}) \rightarrow 0
$$

Probability - The Markov and Chebyshev Inequalities — 统计代写|高等概率论作业代写Advanced Probability Theory代考| Weak Law of Large Numbers

高等概率论代写

统计代写|高等概率论作业代写Advanced Probability Theory代考|Equivalent sequences; truncation

定义：两个 rv 序列\left{X_{n}\right}\left{X_{n}\right}和\left{Y_{n}\right}\left{Y_{n}\right}在(Ω,一种,磷)据说是等价的
∑n=1∞磷(Xn≠和n)<∞
定理 7.1.1 假设\left{X_{n}\right}\left{X_{n}\right}和\left{Y_{n}\right}\left{Y_{n}\right}是等价的。
134
（一）∑n=1∞(Xn−和n)收敛为；
(b) 如果一种n↑∞，然后1一种n∑j=1n(Xj−和j)→0作为
证明。根据 Borel-Cantelli 引理，等价假设意味着
P\left(\left{\omega: X_{n}(\omega) \neq Y_{n}(\omega)\right}, \text { io }\right)=P\left(X_{n} \ neq Y_{n}, i . o .\right)=0 .P\left(\left{\omega: X_{n}(\omega) \neq Y_{n}(\omega)\right}, \text { io }\right)=P\left(X_{n} \ neq Y_{n}, i . o .\right)=0 .
因此。
P\left(\left{\omega: X_{n}(\omega)=Y_{n}(\omega)\right}, ul t_{-}\right)=1-P\left(\left{X_ {n} \neq Y_{n}\right}^{c}, i . o .\right)=1-P\left(X_{n} \neq Y_{n}, \text { io }\right) =1。P\left(\left{\omega: X_{n}(\omega)=Y_{n}(\omega)\right}, ul t_{-}\right)=1-P\left(\left{X_ {n} \neq Y_{n}\right}^{c}, i . o .\right)=1-P\left(X_{n} \neq Y_{n}, \text { io }\right) =1。
因此，∃一种磷-空集ñ与属性：如果ω∈Ω−ñ,∃n0(ω)这样
n≥n0(ω)⟹Xn(ω)=和n(ω)
对于这样一个ω, 两个数字序列\left{X_{n}(\omega)\right}\left{X_{n}(\omega)\right}和\left{Y_{n}(\omega)\right}\left{Y_{n}(\omega)\right}仅在有限数量的项上有所不同（多少取决于ω）。换句话说，系列∑n=1∞(Xn(ω)−和n(ω)) 从某一点开始由零组成。定理的 (a) 和 (b) 都是从这个事实得出的。
最后一个定理的一个简单而有用的结果如下。
推论 7.1.1 假设\left{X_{n}\right}\left{X_{n}\right}和\left{Y_{n}\right}\left{Y_{n}\right}是等价的，并且一种n↑. 然后以概率一 (as)
(a)⟩你j=1nX3要么1一种n∑j=1nX7收敛，发散到+∞或 -os 或 fuetuatey 以 aame 方式作为∑j=1n和j要么1一种n∑j=1n和j.
(b) 特别是，如果一种n−1∑j=1nXj在概率上收敛，所以也是一种n−1∑j=1n和j.
证明。(a) 来自最后定理的证明。为了显示 (b)，如果一种n−1∑j=1nXj→pX，然后
1一种n∑j=1n和j=1一种n∑j=1nXj+1一种n∑j=1n(和j−Xj)→磷X

统计代写|高等概率论作业代写Advanced Probability Theory代考|Weak Law of Large Numbers

(ii) 的证明。相当于显示在哪里⁡(∑一世=1n和一世)=○(n2). 注意和n是独立的（作为Xn) 和有界的。因此
\operatorname{Var}\left(\sum_{i=1}^{n} Y_{i}\right)=\sum_{k=1}^{n} \operatorname{Var}\left(Y_{k} \right) \leq \sum_{k=1}^{n} E Y_{k}^{2}=\sum_{k=1}^{n} E X_{k}^{2} I_{\left {\left|X_{k}\right| \leq k\right}}=\sum_{k=1}^{n} E X_{1}^{2} I_{\left{\left|X_{1}\right| \leq k\right}}\operatorname{Var}\left(\sum_{i=1}^{n} Y_{i}\right)=\sum_{k=1}^{n} \operatorname{Var}\left(Y_{k} \right) \leq \sum_{k=1}^{n} E Y_{k}^{2}=\sum_{k=1}^{n} E X_{k}^{2} I_{\left {\left|X_{k}\right| \leq k\right}}=\sum_{k=1}^{n} E X_{1}^{2} I_{\left{\left|X_{1}\right| \leq k\right}}
对所有人的最粗略估计到=1,…,n. 但当到很小，这个界限可能太粗糙了。这表明我们应该遵守。可能考虑到分别为小和大。）为了改进它，我们将使用另一个级别 o）截断。让\left{a_{n}\right}\left{a_{n}\right}是一个整数序列，使得0a_{n}\right.}\right}0a_{n}\right.}\right}
\left.\leftrightharpoons n a_{n} E\left|X_{1}\right|+n^{2} E\left|X_{1}\right| I_{\left{\left|X_{1}\right|>a_{n}\right}}\right}\left.\leftrightharpoons n a_{n} E\left|X_{1}\right|+n^{2} E\left|X_{1}\right| I_{\left{\left|X_{1}\right|>a_{n}\right}}\right}
这意味着
0 \leq \operatorname{Var}(\bar{Y})=\frac{1}{n^{2}} \operatorname{Var}\left(\sum_{i=1}^{n} Y_{i }\right) \leq \frac{a_{n}}{n} E\left|X_{1}\right|+E\left|X_{1}\right| I_{\left{\left|X_{1}\right|>a_{n}\right}} \rightarrow 00 \leq \operatorname{Var}(\bar{Y})=\frac{1}{n^{2}} \operatorname{Var}\left(\sum_{i=1}^{n} Y_{i }\right) \leq \frac{a_{n}}{n} E\left|X_{1}\right|+E\left|X_{1}\right| I_{\left{\left|X_{1}\right|>a_{n}\right}} \rightarrow 0

统计代写|高等概率论作业代写Advanced Probability Theory代考|Classical forms of the WLLN

定理7.3.1（科尔莫哥罗夫(n)-费勒(一种n)）让\left{X_{n}\right}\left{X_{n}\right}独立房车Fn(X)=磷(Xn≤ X). 让一种n>0和一种n↑∞. 然后
1一种n∑到=1nX到→p0
当且仅当，如n→∞,
(一)∑到=1n磷(|X1|≥一种n)⟶0
(二)E\left(\sum_{k=1}^{n} \frac{X_{1}}{a_{n}} I_{\left{\left|X_{1}\right|<a_{n}\对}}\right) \rightarrow 0E\left(\sum_{k=1}^{n} \frac{X_{1}}{a_{n}} I_{\left{\left|X_{1}\right|<a_{n}\对}}\right) \rightarrow 0
㈢\operatorname{Var}\left(\sum_{k=1}^{n} \frac{X_{1}}{a_{n}} I_{\left{\left|X_{1}\right|<a_ {n}\right}}\right) \rightarrow 0\operatorname{Var}\left(\sum_{k=1}^{n} \frac{X_{1}}{a_{n}} I_{\left{\left|X_{1}\right|<a_ {n}\right}}\right) \rightarrow 0
当且仅当，通过写作Y_{n k}=\frac{X_{1}}{a_{n}} I\left{\frac{X_{1}}{a_{n}}<1\right}Y_{n k}=\frac{X_{1}}{a_{n}} I\left{\frac{X_{1}}{a_{n}}<1\right}，作为n→∞,
(一)∑到=1n磷(|X1|≥一种n)⟶0
(二)和(∑到=1n和n到)⟶0
㈢在哪里⁡(∑到=1n和n到)→0.
证明。省略。详情请参考 Petrov (1995, p132) 和 Chung，他们给出了两种不同的处理方法。
备注 7.3.1。
(1) 将此与下一章中的 Kolmogorov 的三级数定理进行比较。
(2) 为了说明，取一种n=n. 让Y_{1}=X_{1} I\left{\left|X_{1}\right|<n\right}Y_{1}=X_{1} I\left{\left|X_{1}\right|<n\right}, 那么 (ii)-(iii) 变成
和(和¯)→0,在哪里⁡(和¯)→0

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统计代写|高等概率论作业代写Advanced Probability Theory代考| Convergence of moments; uniform integrability

Posted on 2022年4月7日2022年4月7日 by statistics-lab

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统计代写|高等概率论作业代写Advanced Probability Theory代考| Convergence of moments; uniform integrability

统计代写|高等概率论作业代写Advanced Probability Theory代考|Definition of uniform integrability

First definition of u.i.
For a single r.v. $X$, it can be easily shown from the DCT that
$$
\begin{gathered}
X \text { is integrable, i.e., } X \in L^{1}=L^{1}(\Omega, \mathcal{F}, P) \
\Longleftrightarrow E|X| I{|X|>K} \rightarrow 0 \text { as } K \rightarrow \infty, \
\left(\text { as } P(|X| I{|X|>K}>\epsilon)=P(|X|>K) \leq E|X| / K \rightarrow 0 \text { and }|X| I{|X|>K} \leq|X| \in L^{1}\right. \text {.) } \
\Longleftrightarrow \forall \varepsilon>0, \exists K>0 \text { such that } E|X| I{|X|>K} \leq \varepsilon \text { as } K \rightarrow \infty,
\end{gathered}
$$
This motivates the notion of uniform integrability for a collection of r.v.s $Y_{n}, n \geq 1$ by requiring $E\left{\left|Y_{n}\right| I_{\left{\left|Y_{n}\right|>C\right}}\right} \rightarrow 0$ as $C \rightarrow \infty$ uniformly in $n$ :
DEFINITION 6.5.1 A sequence of $r . v$.’s $\left{Y_{n}, n \geq 1\right}$ on $(\Omega, \mathcal{A}, P)$ is u.i. if and only if
$$
\lim {C \rightarrow \infty} \sup {n \geq 1} E\left{\left|Y_{n}\right| I_{\left{\left|Y_{n}\right|>C\right}}\right}=0 .
$$
REMARK $6.5 .1$

As can be seen from Theorem 6.5.1 below, Definition 6.5.1 implies
$$
\sup {n} E\left|Y{n}\right| \leq M<\infty,
$$
which means that $Y_{n}$ are all “integrable together”. But this does not mean “uniform integrable”; see Theorem 6.5.1 below.
A more general definition than Definition 6.5.1 can be given as follows: A collection of r.v.s $\left{X_{i}, i \in\right.$ $I}$ is said to be u.i. if $\lim {C \rightarrow \infty} \sup {i \in I} E\left{\left|X_{i}\right| I_{\left{\left|X_{i}\right|>C\right}}\right}=0$.
Second definition of u.i.
We will give an alternative definition of u.i. below, which is sometimes very useful. To motivate us, we give the following lemma first, which proves a stronger statement than $E|X| I{|X|>K} \rightarrow 0$ as $K \rightarrow \infty$, given earlier.

LEMMA 6.5.1 (An “absolute continuity” property) If $X$ is integrable, i.e., $X \in L^{1}$, then, $Q(A):=$ $E_{A}|X|$ is absolutely continuous, i.e., $\forall \varepsilon>0, \exists \delta>0$ such that for any $A \in \mathcal{A}$,
$$
Q(A):=E_{A}|X| \equiv E|X| I_{A}<\epsilon, \quad \text { whenever } \quad P(A)<\delta \text {. } $$ Proof. If the conclusion is false, then for some $\varepsilon_{0}>\overline{0}$, we can find a sequence $\left(A_{n}\right)$ of r.v.s such that
$$
P\left(A_{n}\right)<2^{-n}, \quad \text { and } \quad E|X| I_{A_{n}} \geq \epsilon 0 .
$$
Let $H:=\lim \sup A_{n}$. Since $\sum_{n} P\left(A_{n}\right)<\infty$, then by the Borel-Contelli lemma, we have
$$
P(H)=P\left(\lim \sup A_{n}\right)=P\left(A_{n}, i . o\right)=0,
$$
which implies that
$$
E_{H}|X|=E|X| I_{H}=0 .
$$

统计代写|高等概率论作业代写Advanced Probability Theory代考|Convergence in prob. + u.i. =⇒ convergence in mean

The next theorem weakens the dominance condition in Theorem $6.4 .2$ to u.i. condition.
THEOREM 6.5.3 (Vitali’s Theorem) Suppose that $X_{n} \rightarrow_{p} X$, and $E\left|X_{n}\right|^{r}<\infty$ all $n$ (i.e. $X_{n} \in L_{r}$ ). Then the following three statements are equivalent. (i) $\left{X_{n}^{r}\right}$ is u.i.; (ii) $X_{n} \rightarrow X$ in $L_{r}$; and $E|X|^{r}<\infty$. (iii) $E\left|X_{n}\right|^{r} \rightarrow E|X|^{r}<\infty$. Proof. $”(i) \Longrightarrow(i i)^{\top}$. Suppose (i) holds. We show (ii) in 3 steps. (a). We first show that $E|X|^{r}<\infty$. Proof. Since $X_{n} \rightarrow p, X, \exists$ a subsequence $\left{n_{k}\right}$ such that $\lim {k \rightarrow \infty} X{n_{k}}=X$ a.s., thus $\lim {k \rightarrow \infty}\left|X{n_{k}}\right|^{r}=|X|^{r}$ a.s. (See Theorem 6.6.2.) By Fatou’s Lemma, $$ E|X|^{r}=E \lim {k \rightarrow \infty}\left|X{n_{k}}\right|^{r}=E \liminf {k}\left|X{n_{k}}\right|^{r} \leq \liminf {k} E\left|X{n_{k}}\right|^{r} \leq \sup {n} E\left|X{n}\right|^{r}<\infty, $$ where the last inequality follows from assumption (i): $\left{X_{n}^{r}\right}$ is u.i. (b). Secondly, we show that $\left{\left|X_{n}-X\right|^{r}\right}$ is u.i. Proof. We will use $C_{r}$ inequality $\left|X_{n}-X\right|^{r} \leq C_{r}\left(\left|X_{n}\right|^{r}+|X|^{r}\right)$. See Lemma $6.6 .1$ later on. Then apply Theorem $6.5 .2$, part 2 . (c). Finally, we show that $X_{n} \rightarrow X$ in $L_{r}$. Proof. Fix $\epsilon_{0}>0$, we have $E\left|X_{n}-X\right|^{r} I_{\left{\left|X_{n}-X\right|>\epsilon_{0}\right}} \rightarrow 0$ as $P\left(\left|X_{w}-X\right|>\epsilon_{0}\right) \rightarrow 0$. Hence,
$$
\begin{aligned}
E\left|X_{n}-X\right|^{r} &=E\left|X_{n}-X\right|^{r} I_{\left{\left|X_{n}-X\right| \leq \epsilon_{0}\right}}+E\left|X_{n}-X\right|^{r} I_{\left{\left|X_{n}-X\right|>c_{0}\right}} \
& \leq \epsilon_{0}^{r}+E\left|X_{n}-X\right|^{r} I_{\left{\left|X_{n}-X\right|>\epsilon_{0}\right}} \
& \rightarrow \epsilon_{0}^{r} .
\end{aligned}
$$
Thus, $X_{n} \rightarrow X$ in $L_{r}$.
$”(i i) \Longrightarrow($ iii $) “$. See Theorem $6.5 .4$ below.
$”(i i i) \Longrightarrow(i) ” .$

统计代写|高等概率论作业代写Advanced Probability Theory代考|Relationship between Lr convergence and convergence of moments

THEOREM 6.5.4 Suppose that $X_{n} \rightarrow X$ in $L_{r}(r>0)$, and $E|X|^{r}<\infty$. Then (i). $\lim {n} E\left|X{n}\right|^{r}=E|X|^{r}$, (ii). $\lim {n} E X{n}^{r}=E X^{r}$. Proof. (i). For $01$, apply Minkowski’s inequality to obtain
$$
\left|\left(E\left|X_{n}\right|^{r}\right)^{1 / r}-\left(E|X|^{r}\right)^{1 / r}\right| \leq\left(E\left|X_{n}-X\right|^{r}\right)^{1 / r}
$$
From the assumptions, we get $\lim {n}\left(E\left|X{n}\right|^{r}\right)^{1 / r}=\left(E|X|^{r}\right)^{1 / r}$, i.e. $\lim {n} E\left|X{n}\right|^{r}=E|X|^{r}$.
(ii). It follows from (i) and Vitali Theorem that $\left{X_{n}^{r}\right}$ is u.i. Also from the assumptions, we
Remarks.
(i). The mean convergence $X_{n} \rightarrow X$ in $L_{r}(r>0)$ does not imply $X_{n} \in L_{r}$ or $X \in L_{r}$. For example, take $X_{n} \equiv X=$ Cauchy, then $X_{n} \rightarrow X$ in $L^{1}$, but $X_{n}=X \notin L_{1}$
(ii). If $X_{n} \rightarrow X$ in $L_{r}$, then the mean convergence $X_{n} \rightarrow X$ in $L_{r}$ implies convergence in moments (from the last theorem).
The converse may not be true. Take $r=2, X_{2 n+1}=X$, and $X_{2 n}=-X$ with $0<E X^{2}<\infty$. Clearly, $X_{n} \rightarrow X$ in $L_{r}$, but $X_{n} \neq X$ in $L_{r}$

高等概率论代写

统计代写|高等概率论作业代写Advanced Probability Theory代考|Definition of uniform integrability

ui的第一个定义
对于单个rvX，从 DCT 可以很容易地证明
X 是可积的，即 X∈一世1=一世1(Ω,F,磷) ⟺和|X|一世|X|>到→0 作为到→∞, ( 作为磷(|X|一世|X|>到>ε)=磷(|X|>到)≤和|X|/到→0 和 |X|一世|X|>到≤|X|∈一世1.) ⟺∀e>0,∃到>0 这样和|X|一世|X|>到≤e 作为到→∞,
这激发了 rvs 集合的统一可积性的概念和n,n≥1通过要求E\left{\left|Y_{n}\right| I_{\left{\left|Y_{n}\right|>C\right}}\right} \rightarrow 0E\left{\left|Y_{n}\right| I_{\left{\left|Y_{n}\right|>C\right}}\right} \rightarrow 0作为C→∞均匀地在n:
定义 6.5.1 一个序列r.v.的\left{Y_{n}, n \geq 1\right}\left{Y_{n}, n \geq 1\right}在(Ω,一种,磷)是 ui 当且仅当
\lim {C \rightarrow \infty} \sup {n \geq 1} E\left{\left|Y_{n}\right| I_{\left{\left|Y_{n}\right|>C\right}}\right}=0 。\lim {C \rightarrow \infty} \sup {n \geq 1} E\left{\left|Y_{n}\right| I_{\left{\left|Y_{n}\right|>C\right}}\right}=0 。
评论6.5.1

从下面的定理 6.5.1 可以看出，定义 6.5.1 意味着
支持n和|和n|≤米<∞,
意思就是和n都是“可集成的”。但这并不意味着“一致可积”；见下面的定理 6.5.1。
比定义 6.5.1 更一般的定义如下： rvs 的集合\left{X_{i}, 我 \in\right.$ $I}\left{X_{i}, 我 \in\right.$ $I}据说是ui if\lim {C \rightarrow \infty} \sup {i \in I} E\left{\left|X_{i}\right| I_{\left{\left|X_{i}\right|>C\right}}\right}=0\lim {C \rightarrow \infty} \sup {i \in I} E\left{\left|X_{i}\right| I_{\left{\left|X_{i}\right|>C\right}}\right}=0.
ui 的第二种定义
下面我们将给出ui 的另一种定义，它有时非常有用。为了激励我们，我们首先给出以下引理，这证明了比和|X|一世|X|>到→0作为到→∞，前面给出。

LEMMA 6.5.1（“绝对连续性”属性）如果X是可积的，即X∈一世1，然后，问(一种):= 和一种|X|是绝对连续的，即∀e>0,∃d>0这样对于任何一种∈一种,
问(一种):=和一种|X|≡和|X|一世一种<ε, 每当磷(一种)<d. 证明。如果结论是错误的，那么对于某些e0>0¯，我们可以找到一个序列(一种n)房车这样
磷(一种n)<2−n, 和和|X|一世一种n≥ε0.
让H:=林支持一种n. 自从∑n磷(一种n)<∞，那么根据 Borel-Contelli 引理，我们有
磷(H)=磷(林支持一种n)=磷(一种n,一世.○)=0,
这意味着
和H|X|=和|X|一世H=0.

统计代写|高等概率论作业代写Advanced Probability Theory代考|Convergence in prob. + u.i. =⇒ convergence in mean

下一个定理削弱了定理中的优势条件6.4.2到 ui 条件。
定理 6.5.3（维塔利定理）假设Xn→pX，和和|Xn|r<∞全部n（IEXn∈一世r）。那么下面三个语句是等价的。（一世）\left{X_{n}^{r}\right}\left{X_{n}^{r}\right}是ui；(二)Xn→X在一世r; 和和|X|r<∞. ㈢和|Xn|r→和|X|r<∞. 证明。”(一世)⟹(一世一世)⊤. 假设 (i) 成立。我们分 3 步展示 (ii)。（一种）。我们首先证明和|X|r<∞. 证明。自从Xn→p,X,∃一个子序列\左{n_{k}\右}\左{n_{k}\右}这样林到→∞Xn到=X作为，因此林到→∞|Xn到|r=|X|r如（参见定理 6.6.2。）由 Fatou 引理，和|X|r=和林到→∞|Xn到|r=和林inf到|Xn到|r≤林inf到和|Xn到|r≤支持n和|Xn|r<∞,其中最后一个不等式来自假设 (i)：\left{X_{n}^{r}\right}\left{X_{n}^{r}\right}是 ui (b)。其次，我们证明\left{\left|X_{n}-X\right|^{r}\right}\left{\left|X_{n}-X\right|^{r}\right}是ui证明。我们将使用Cr不等式|Xn−X|r≤Cr(|Xn|r+|X|r). 见引理6.6.1稍后的。然后应用定理6.5.2，第2部分。（C）。最后，我们证明Xn→X在一世r. 证明。使固定ε0>0，我们有E\left|X_{n}-X\right|^{r} I_{\left{\left|X_{n}-X\right|>\epsilon_{0}\right}} \rightarrow 0E\left|X_{n}-X\right|^{r} I_{\left{\left|X_{n}-X\right|>\epsilon_{0}\right}} \rightarrow 0作为磷(|X在−X|>ε0)→0. 因此，
\begin{aligned} E\left|X_{n}-X\right|^{r} &=E\left|X_{n}-X\right|^{r} I_{\left{\left|X_ {n}-X\右| \leq \epsilon_{0}\right}}+E\left|X_{n}-X\right|^{r} I_{\left{\left|X_{n}-X\right|>c_{0 }\right}} \ & \leq \epsilon_{0}^{r}+E\left|X_{n}-X\right|^{r} I_{\left{\left|X_{n}-X \right|>\epsilon_{0}\right}} \ & \rightarrow \epsilon_{0}^{r} 。\end{对齐}\begin{aligned} E\left|X_{n}-X\right|^{r} &=E\left|X_{n}-X\right|^{r} I_{\left{\left|X_ {n}-X\右| \leq \epsilon_{0}\right}}+E\left|X_{n}-X\right|^{r} I_{\left{\left|X_{n}-X\right|>c_{0 }\right}} \ & \leq \epsilon_{0}^{r}+E\left|X_{n}-X\right|^{r} I_{\left{\left|X_{n}-X \right|>\epsilon_{0}\right}} \ & \rightarrow \epsilon_{0}^{r} 。\end{对齐}
因此，Xn→X在一世r.
”(一世一世)⟹(三)“. 见定理6.5.4以下。
”(一世一世一世)⟹(一世)”.

统计代写|高等概率论作业代写Advanced Probability Theory代考|Relationship between Lr convergence and convergence of moments

定理 6.5.4 假设Xn→X在一世r(r>0)，和和|X|r<∞. 然后我）。林n和|Xn|r=和|X|r，（二）。林n和Xnr=和Xr. 证明。（一世）。为了01, 应用 Minkowski 不等式得到
|(和|Xn|r)1/r−(和|X|r)1/r|≤(和|Xn−X|r)1/r
根据假设，我们得到林n(和|Xn|r)1/r=(和|X|r)1/r， IE林n和|Xn|r=和|X|r.
(二)。从 (i) 和 Vitali 定理得出\left{X_{n}^{r}\right}\left{X_{n}^{r}\right}是 ui 也是从假设出发，我们
备注。
（一世）。平均收敛Xn→X在一世r(r>0)并不意味着Xn∈一世r要么X∈一世r. 例如，取Xn≡X=那么柯西Xn→X在一世1，但Xn=X∉一世1
(二)。如果Xn→X在一世r, 那么平均收敛Xn→X在一世r意味着瞬间收敛（从最后一个定理）。
反过来可能不是真的。拿r=2,X2n+1=X，和X2n=−X和0<和X2<∞. 清楚地，Xn→X在一世r，但Xn≠X在一世r

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广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

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基础数据: $N$ 个样本， $P$ 个变量数的单样本，组成的横列的数据表
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数学公式的角度分为: 因变量与自变量

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统计代写|高等概率论作业代写Advanced Probability Theory代考| Partial converses

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Normal Distribution | Gaussian | Normal random variables | PDF — 统计代写|高等概率论作业代写Advanced Probability Theory代考| Partial converses

统计代写|高等概率论作业代写Advanced Probability Theory代考|The converse may not hold

Proof. Denote $F_{n}(x)=P\left(X_{n} \leq x\right)$ and $F(x)=P(X \leq x)$. First we have
$$
\begin{aligned}
F_{n}(x) &=P\left(X_{n} \leq x,\left|X_{n}-X\right| \leq \epsilon\right)+P\left(X_{n} \leq x,\left|X_{n}-X\right|>\epsilon\right) \
& \leq P\left(X \leq x-\left(X_{n}-X\right),\left|X_{n}-X\right| \leq \epsilon\right)+P\left(\left|X_{n}-X\right|>\epsilon\right) \
& \leq P(X \leq x+\epsilon)+P\left(\left|X_{n}-X\right|>\epsilon\right) \
&=F(x+\epsilon)+P\left(\left|X_{n}-X\right|>\epsilon\right) .
\end{aligned}
$$
On the other hand,
$$
\begin{aligned}
F_{n}(x) &=1-P\left(X_{n}>x\right) \
&=1-P\left(X_{n}>x,\left|X_{n}-X\right| \leq \epsilon\right)-P\left(X_{n}>x,\left|X_{n}-X\right|>\epsilon\right) \
& \geq 1-P\left(X>x-\left(X_{n}-X\right),\left|X_{n}-X\right| \leq \epsilon\right)-P\left(\left|X_{n}-X\right|>\epsilon\right) \
& \geq 1-P(X>x-\epsilon)-P\left(\left|X_{n}-X\right|>\epsilon\right) \
&=F(x-\epsilon)-P\left(\left|X_{n}-X\right|>\epsilon\right) .
\end{aligned}
$$
Combining the two, we have
$$
F(x-\epsilon)-P\left(\left|X_{n}-X\right|>\epsilon\right) \leq F_{n}(x) \leq F(x+\epsilon)+P\left(\left|X_{n}-X\right|>\epsilon\right)
$$
Letting $n \rightarrow \infty$, we obtain
$$
F(x-\epsilon) \leq \liminf {n} F{n}(x) \leq \lim {n} \sup F{n}(x) \leq F(x+\epsilon) .
$$
If $F(x)$ is continuous at $x$, then as $\epsilon \downarrow 0$, we have $F(x-\epsilon) \uparrow F(x)$ and $F(x+\epsilon) \downarrow F(x)$, the result is proved.

The converse may not hold: Let $X \sim N(0,1)$ and $X_{n}=-X \sim N(0,1)$. Then $X_{n}={ }{d} X{\text {, }}$. but $X_{n} \neq p X$ as $P\left(\left|X_{n}-X\right| \geq \epsilon\right)=P(2|X| \geq \epsilon) \neq 0$.
(2). Trivial since $0 \leq\left(E\left|X_{n}-X\right|^{s}\right)^{1 / s} \leq\left(E\left|X_{n}-X\right|^{r}\right)^{1 / r} \rightarrow 0$ as $n \rightarrow \infty$.
The converse may not hold: Let $P\left(X_{n}=0\right)=1-n^{-2}$ and $P\left(X_{n}=n\right)=n^{-2}$. Then $X_{n} \rightarrow 0$ in $L^{1}$ as $E\left|X_{n}-0\right|-1 / n \rightarrow 0$, but $X_{n}+0$ in $L^{2}$ as $E\left|X_{n}-0\right|^{2}-1 \neq 0$.
(3). We now show that “a.s. convergence” and “mean convergence” do not imply each other.
Example $(\mathrm{a})$ : Let $P\left(X_{n}=0\right)=1-n^{-2}$ and $P\left(X_{n}=n^{3}\right)=n^{-2}$. Then $X_{n} \rightarrow 0$ a.s. but $X_{n} \neq 0$ in $L^{1}$.
Proof. $X_{n} \rightarrow 0$ a.s. since $\sum_{n=1}^{\infty} P\left(\left|X_{n}-0\right| \geq \epsilon\right)=\sum_{n=1}^{\infty} n^{-2}<\infty$, by a criterion presented later.
However, $X_{n} \neq 0$ in $L^{1}$ as $E\left|X_{n}-0\right|=n \rightarrow \infty$.
Example $(b)$ : Let $P\left(X_{n}=0\right)=1-n^{-1}$ and $P\left(X_{n}=1\right)=n^{-1}$, and they are independent. Then $X_{n} \rightarrow 0$ in $L^{1}$, but $X_{n} \neq 0$ a.s.
Proof. Then $X_{n} \rightarrow 0$ in $L^{1}$ as $E\left|X_{n}-0\right|=1 / n \rightarrow 0$.
However, it was shown earlier that $X_{n} \neq 0$ a.s.

统计代写|高等概率论作业代写Advanced Probability Theory代考|Convergence in probability

THEOREM 6.4.1 $X_{n} \rightarrow_{d} C \Longleftrightarrow X_{n} \rightarrow_{p} C$, where $C$ is a constant.
115
Proof. We only need to show the part ” $\Longrightarrow$ “. Given $\epsilon>0$, we have
$$
\begin{aligned}
P\left(\left|X_{n}-C\right|>\epsilon\right) &=P\left(X_{n}>C+\epsilon\right)+P\left(X_{n}C+\epsilon\right)+P\left(X_{n} \leq C-\epsilon\right) \
&=\left[1-F_{X_{n}}(C+\epsilon)\right]+F_{X_{n}}(C-\epsilon) \
& \rightarrow\left[1-F_{C}(C+\epsilon)\right]+F_{C}(C-\epsilon)=1-1+0 \
&=0 .
\end{aligned}
$$
where we used that $C \pm \epsilon$ are continuity points of $F_{C}(x)$, which is degenerate at $C$.

统计代写|高等概率论作业代写Advanced Probability Theory代考|Dominated convergence

We first prove two useful lemmas, which are also interesting in their own right.
LEMMA 6.4.1 If $X_{n} \rightarrow_{p} X,\left|X_{n}\right| \leq Y$ a.s. (i.e. $\left.P\left(\left|X_{n}\right| \leq Y\right)=1\right)$ for all $n$, then $|X| \leq Y$ a.s.
Proof. Given $\delta>0$, as $n \rightarrow \infty$, we have
$$
\begin{aligned}
P(|X|>Y+\delta) &-P\left(|X|>Y+\delta,\left|X_{n}\right| \leq Y\right)+P\left(|X|>Y+\delta,\left|X_{n}\right|>Y\right) \
& \leq P\left(|X|>\left|X_{n}\right|+\delta,\left|X_{n}\right| \leq Y\right)+P\left(\left|X_{n}\right|>Y\right) \
& \leq P\left(\left|X_{n}-X\right|>\delta\right)+0 .
\end{aligned}
$$
Letting $n \rightarrow \infty$, we get $P(|X|>Y+\delta)=0$, i.e., $|X| \leq Y+\delta$ a.s. for any $\delta>0$. Letting $\delta=0$, we get the desired result.
LEMMA 6.4.2 If $E|Y|<\infty$, and $P\left(A_{n}\right) \rightarrow 0, n \rightarrow \infty$, then $E_{A . n}|Y| \rightarrow 0$. (In particular, $E\left[|Y| I_{{|Y|>n}}\right] \rightarrow 0$ by the Monotone Convergence Theorem. The result is also trivial by using u.i. of $X$ to be introduced later.)
Proof. Since $E|Y|<\infty, \forall \epsilon>0, \exists A_{e}>0$ s.t. $E\left[|Y| I_{\left{|Y|>A_{e}\right}}\right] \leq \epsilon$. We thus have
$$
\begin{aligned}
E_{A_{n}}|Y| &=E\left[|Y| I_{\left{|Y|>A_{c}\right}} I_{A_{n}}\right]+E\left[|Y| I_{\left{|Y| \leq A_{\epsilon}\right}} I_{A_{n}}\right] \
& \leq E\left[|Y| I_{\left{|Y|>A_{c}\right}}\right]+A_{c} E I_{A_{n}} \
& \leq \epsilon+A_{c} P\left(A_{n}\right) .
\end{aligned}
$$
Since $P\left(A_{n}\right) \rightarrow 0, n \rightarrow \infty$, the RHS $\leq 2 \epsilon$ for sufficiently large $n$.
We are ready to state the main result of this section.
Theonsm 6.4.2 (Lebesgue Dominated Convergence Theorem) If $X_{n} \rightarrow p,\left|X_{n}\right| \leq Y$ a.s. for all $n$, and EY $<\infty$ for $r>0$, then $X_{n} \rightarrow X$ in $L_{r}$, which in turn implies that EX$X_{n}^{r} \rightarrow E X^{r}$.
Proof. We shall give three proofs.
Method 1: via u.i.. It is special case of Theorem 6.5.5.
Method 2: direct approach.

Random variable - Wikipedia — 统计代写|高等概率论作业代写Advanced Probability Theory代考| Partial converses

高等概率论代写

统计代写|高等概率论作业代写Advanced Probability Theory代考|The converse may not hold

证明。表示Fn(X)=磷(Xn≤X)和F(X)=磷(X≤X). 首先我们有
Fn(X)=磷(Xn≤X,|Xn−X|≤ε)+磷(Xn≤X,|Xn−X|>ε) ≤磷(X≤X−(Xn−X),|Xn−X|≤ε)+磷(|Xn−X|>ε) ≤磷(X≤X+ε)+磷(|Xn−X|>ε) =F(X+ε)+磷(|Xn−X|>ε).
另一方面，
Fn(X)=1−磷(Xn>X) =1−磷(Xn>X,|Xn−X|≤ε)−磷(Xn>X,|Xn−X|>ε) ≥1−磷(X>X−(Xn−X),|Xn−X|≤ε)−磷(|Xn−X|>ε) ≥1−磷(X>X−ε)−磷(|Xn−X|>ε) =F(X−ε)−磷(|Xn−X|>ε).
结合两者，我们有
F(X−ε)−磷(|Xn−X|>ε)≤Fn(X)≤F(X+ε)+磷(|Xn−X|>ε)
让n→∞，我们获得
F(X−ε)≤林infnFn(X)≤林n支持Fn(X)≤F(X+ε).
如果F(X)是连续的X，然后作为ε↓0，我们有F(X−ε)↑F(X)和F(X+ε)↓F(X)，结果证明。

反过来可能不成立：让X∼ñ(0,1)和Xn=−X∼ñ(0,1). 然后Xn=dX, . 但Xn≠pX作为磷(|Xn−X|≥ε)=磷(2|X|≥ε)≠0.
(2)。微不足道0≤(和|Xn−X|s)1/s≤(和|Xn−X|r)1/r→0作为n→∞.
反过来可能不成立：让磷(Xn=0)=1−n−2和磷(Xn=n)=n−2. 然后Xn→0在一世1作为和|Xn−0|−1/n→0，但Xn+0在一世2作为和|Xn−0|2−1≠0.
(3)。我们现在证明“作为收敛”和“平均收敛”并不相互暗示。
例子(一种)：让磷(Xn=0)=1−n−2和磷(Xn=n3)=n−2. 然后Xn→0但是Xn≠0在一世1.
证明。Xn→0自从∑n=1∞磷(|Xn−0|≥ε)=∑n=1∞n−2<∞，由稍后提出的标准。
然而，Xn≠0在一世1作为和|Xn−0|=n→∞.
例子(b)：让磷(Xn=0)=1−n−1和磷(Xn=1)=n−1，并且它们是独立的。然后Xn→0在一世1，但Xn≠0作为
证明。然后Xn→0在一世1作为和|Xn−0|=1/n→0.
然而，前面已经表明Xn≠0作为

统计代写|高等概率论作业代写Advanced Probability Theory代考|Convergence in probability

定理 6.4.1Xn→dC⟺Xn→pC，在哪里C是一个常数。
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证明。我们只需要展示部分”⟹“。给定ε>0，我们有
磷(|Xn−C|>ε)=磷(Xn>C+ε)+磷(XnC+ε)+磷(Xn≤C−ε) =[1−FXn(C+ε)]+FXn(C−ε) →[1−FC(C+ε)]+FC(C−ε)=1−1+0 =0.
我们用的地方C±ε是的连续点FC(X), 退化为C.

统计代写|高等概率论作业代写Advanced Probability Theory代考|Dominated convergence

我们首先证明两个有用的引理，它们本身也很有趣。
引理 6.4.1 如果Xn→pX,|Xn|≤和作为（即磷(|Xn|≤和)=1)对所有人n，然后|X|≤和作为
证明。给定d>0，作为n→∞，我们有
磷(|X|>和+d)−磷(|X|>和+d,|Xn|≤和)+磷(|X|>和+d,|Xn|>和) ≤磷(|X|>|Xn|+d,|Xn|≤和)+磷(|Xn|>和) ≤磷(|Xn−X|>d)+0.
让n→∞，我们得到磷(|X|>和+d)=0， IE，|X|≤和+d至于任何d>0. 让d=0，我们得到了想要的结果。
引理 6.4.2 如果和|和|<∞，和磷(一种n)→0,n→∞，然后和一种.n|和|→0. （特别是，和[|和|一世|和|>n]→0由单调收敛定理。使用 ui 的结果也很简单X稍后介绍。）
证明。自从和|和|<∞,∀ε>0,∃一种和>0英石E\左[|Y| I_{\left{|Y|>A_{e}\right}}\right] \leq \epsilonE\左[|Y| I_{\left{|Y|>A_{e}\right}}\right] \leq \epsilon. 因此我们有
\begin{对齐} E_{A_{n}}|Y| &=E\左[|Y| I_{\left{|Y|>A_{c}\right}} I_{A_{n}}\right]+E\left[|Y| 我_{\左{|Y| \leq A_{\epsilon}\right}} I_{A_{n}}\right] \ & \leq E\left[|Y| I_{\left{|Y|>A_{c}\right}}\right]+A_{c} E I_{A_{n}} \ & \leq \epsilon+A_{c} P\left(A_{ n}\右）。\end{对齐}\begin{对齐} E_{A_{n}}|Y| &=E\左[|Y| I_{\left{|Y|>A_{c}\right}} I_{A_{n}}\right]+E\left[|Y| 我_{\左{|Y| \leq A_{\epsilon}\right}} I_{A_{n}}\right] \ & \leq E\left[|Y| I_{\left{|Y|>A_{c}\right}}\right]+A_{c} E I_{A_{n}} \ & \leq \epsilon+A_{c} P\left(A_{ n}\右）。\end{对齐}
自从磷(一种n)→0,n→∞, RHS≤2ε对于足够大n.
我们准备好说明本节的主要结果。
Theonsm 6.4.2（勒贝格支配收敛定理）如果Xn→p,|Xn|≤和至于所有n, 和安永<∞为了r>0，然后Xn→X在一世r，这反过来意味着 EXXnr→和Xr.
证明。我们将给出三个证明。
方法1：通过ui。它是定理 6.5.5 的特例。
方法二：直接进场。

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