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统计代写|高等概率论作业代写Advanced Probability Theory代考|Additional topic: Stable convergence and mixing*
Renyi introduced and developed the ideas of limit theorems which are mixing or stable. These concepts are a strengthening of the idea of weak convergence of r.v.s. In this expository note we point out some equivalent definitions of mixing and stability and discuss the use of these concepts in several contexts. Further, we show how a central limit theorem for martingales can be obtained directly using stability.
Recall that, if $\left{Y_{u}\right}$ is a sequence of r.v.’s with d.f. $F_{u}$, then $Y_{u}$ is said to converge in distribution to $Y$. a r.v. with d.f. $F$. if
$$
\lim {n \rightarrow \infty} F{n}(x)=F(x), \quad x \in C(F),
$$
where $C(F)$ is the continuity points of $F$. We shall write this as
$$
Y_{n} \longrightarrow d Y, \quad \text { or } \quad F_{n} \Longrightarrow F
$$
A strengthening of convergence in distribution is stable convergence in distribution, which is a property of the sequence of $r v^{\prime} s\left{Y_{n}\right}$ on the same probability space rather than of the corresponding sequence of d.f.s.
DEFINITION 9.5.1 Suppose that $Y_{n} \longrightarrow \mathcal{Q}$, where all the $Y_{n}$ are on the same probability space $(\Omega, \mathcal{F}, P)$, we say that the convergence is stable if
(a) for all continuity points of $Y$ and all events $E \in \mathcal{F}, \lim {n \rightarrow \infty} P\left(\left{Y{n} \leq y\right} \cap E\right)=Q_{y}(E)$ erists, and
(b) $Q_{y}(E) \rightarrow P(E)$ as $y \rightarrow \infty$.
We write this as
$$
Y_{n} \longrightarrow d Y(s t a b l y), \quad \text { or } \quad F_{n} \Longrightarrow F \quad(\text { stably })
$$
In other words, the first part of the definition is equivalent to saying: for all events $E$ such that $P(E)>0$, the distribution of $Y$, conditional on B, converges in law to some distribution which may depend on B and which must, as the $\left{Y_{n}\right}$ are tight, be proper.
统计代写|高等概率论作业代写Advanced Probability Theory代考|the distribution of Y , conditional
In other words, the first part of the definition is equivalent to saying: for all events $E$ such that $P(E)>0$, the distribution of $Y$, conditional on $\mathrm{B}$, converges in law to some distribution which may depend on B and which must, as the $\left{Y_{n}\right}$ are tight, be proper.
We now give an example of convergence in distribution but not stably.
EXAMPLE 9.5.1 Let $X$ and $X^{\prime}$ be i.i.d. non-degenerate r.v.’s. Let
$$
\begin{aligned}
Z_{n}=& \text { for } n \text { odd } \
X^{\prime} & \text { for } n \text { even. }
\end{aligned}
$$
Then we have $Z_{n} \longrightarrow{ }{d} X$, but we don’t have $Z{n} \longrightarrow{ }{d} X$ (stably). Proof. Now $Z{n} \longrightarrow d X$ holds since
$\digamma^{\prime}\left(Z_{n} \leq x\right)=Y(X \leq x) \quad$ for $n$ odd
$P\left(X^{\prime} \leq x\right) \quad$ for $n$ even
$=P(X \leq x)=F(x)$.
To see why we don’t have $Z_{n} \longrightarrow d X$ (stably), take $E={X \leq y}$. Then,
$$
\begin{aligned}
P\left(Z_{n} \leq x, E\right)=& P(X \leq x, X \leq y) \quad \text { for } n \text { odd } \
& P\left(X^{\prime} \leq x, X \leq y\right) \quad \text { for } n \text { even } \
=& P(X \leq x \wedge y) \quad \text { for } n \text { odd } \
& P\left(X^{\prime} \leq x\right) P(X \leq y) \quad \text { for } n \text { even } \
=& F(x \wedge y) \quad \text { for } n \text { odd } \
& F(x) F(y) \quad \text { for } n \text { even. }
\end{aligned}
$$
Sincé $F(x \wedge y)>F(x) F(y)$ whenéver $0<F(x) \vee F(y)<1$, thé limit $P\left(Z_{n} \leq x, E\right)$ does not exist, which proves our claim.
统计代写|高等概率论作业代写Advanced Probability Theory代考|Some useful theorems
THEOREM 9.7.1 (Continuous mapping theorem) Let $g$ be a measurable function and $D_{g}={x$ : $g$ is discontinuous at $x}$. If $X_{n} \Longrightarrow X_{\infty}$ and $P\left(X_{n} \in D_{g}\right)=0$ then $g\left(X_{n}\right) \Longrightarrow g(X)$. If in addition $g$ is bounded then $\operatorname{Eg}\left(X_{n}\right) \rightarrow E g\left(X_{\infty}\right)$.
Remark. $D_{g}$ is always a Borel set.
Proof We wish to apply Theorem ??. Let $f$ be any bounded continuous function. By Skorokhod representation theorem, let $Y_{n}={d} X{n}$ with $Y_{n} \rightarrow Y_{\infty}$ almost surely. Since $f$ is continuous, then $D_{f \circ g} \subset$ $D_{g}$ so $P\left(Y_{\infty} \in D_{f \circ g}\right)=0$. Then, for $\omega \in\left{\omega: Y_{\infty}(\omega) \notin D_{f \circ g}\right} \cap\left{\omega: Y_{n}(\omega) \rightarrow Y_{\infty}(\omega)\right}:=A_{1} \cap A_{2}$, we have $f\left(g\left(Y_{n}(\omega)\right)\right) \rightarrow f\left(g\left(Y_{\infty}(\omega)\right)\right)$. Since $P\left(A_{1} \cap A_{2}\right)=1-P\left(A_{1}^{c} \cup A_{2}^{c}\right) \geq 1-P\left(A_{1}^{c}\right)-P\left(A_{2}^{c}\right)=1$, we have
$$
f\left(g\left(Y_{n}\right)\right) \rightarrow f\left(g\left(Y_{\infty}\right)\right) \quad \text { a.s. }
$$
Since $f$ is also bounded then the bounded convergence theorem implies $E f\left(g\left(Y_{n}\right) \rightarrow E f\left(g\left(Y_{\infty}\right)\right)\right)$. Then we apply Theorem ?? to get the desired result.
The second conclusion is easier. Since $P\left(Y_{\infty} \in D_{g}\right)=0, f\left(g\left(Y_{n}\right)\right) \rightarrow f\left(g\left(Y_{\infty}\right)\right)$ almost surely, and desired result follows from the bounded convergence theorem.
高等概率论代写
任义介绍并发展了混合或稳定极限定理的思想。这些概念是对 rvs 弱收敛思想的加强。在本说明性说明中，我们指出了混合和稳定性的一些等效定义，并讨论了这些概念在几种情况下的使用。此外，我们展示了如何使用稳定性直接获得鞅的中心极限定理。
回想一下，如果\left{Y_{u}\right}\left{Y_{u}\right}是带有 df 的 rv 序列Fu， 然后Yu据说在分布上收敛到Y. 带 df 的房车F. 如果
limn→∞Fn(x)=F(x),x∈C(F),
在哪里C(F)是的连续点F. 我们将把它写成
Yn⟶dY, or Fn⟹F
分布收敛的加强是分布的稳定收敛，这是r v^{\prime} s\left{Y_{n}\right}r v^{\prime} s\left{Y_{n}\right}在相同的概率空间上，而不是在相应的 dfs 序列上
定义 9.5.1 假设Yn⟶Q, 其中所有Yn在同一个概率空间上(Ω,F,P)，我们说收敛是稳定的，如果
（a）对于所有的连续点Y和所有事件E \in \mathcal{F}, \lim {n \rightarrow \infty} P\left(\left{Y{n} \leq y\right} \cap E\right)=Q_{y}(E)E \in \mathcal{F}, \lim {n \rightarrow \infty} P\left(\left{Y{n} \leq y\right} \cap E\right)=Q_{y}(E)erists，和
（b）Qy(E)→P(E)作为y→∞.
我们把它写成
Yn⟶dY(stably), or Fn⟹F( stably )
换句话说，定义的第一部分相当于说：对于所有事件E这样P(E)>0, 的分布Y, 以 B 为条件，在法律上收敛到某个分布，该分布可能取决于 B 并且必须，因为\left{Y_{n}\right}\left{Y_{n}\right}紧，适当。
统计代写|高等概率论作业代写Advanced Probability Theory代考|the distribution of Y , conditional
换句话说，定义的第一部分相当于说：对于所有事件E这样P(E)>0, 的分布Y, 条件是B, 在法律上收敛到某个分布，该分布可能取决于 B 并且必须，因为\left{Y_{n}\right}\left{Y_{n}\right}紧，适当。
我们现在给出一个分布收敛但不稳定的例子。
例 9.5.1 让X和X′是独立同居的非退化房车。让
Zn= for n odd X′ for n even.
然后我们有Zn⟶dX，但我们没有Zn⟶dX（稳定）。证明。现在Zn⟶dX自成立以来
ϝ′(Zn≤x)=Y(X≤x)为了n奇怪的
P(X′≤x)为了n甚至
=P(X≤x)=F(x).
看看为什么我们没有Zn⟶dX（稳定地），采取E=X≤y. 然后，
P(Zn≤x,E)=P(X≤x,X≤y) for n odd P(X′≤x,X≤y) for n even =P(X≤x∧y) for n odd P(X′≤x)P(X≤y) for n even =F(x∧y) for n odd F(x)F(y) for n even.
自从F(x∧y)>F(x)F(y)每当0<F(x)∨F(y)<1, 限量茶P(Zn≤x,E)不存在，这证明了我们的主张。
统计代写|高等概率论作业代写Advanced Probability Theory代考|Some useful theorems
定理 9.7.1（连续映射定理）让g是一个可测量的函数，并且Dg=x$:$g$isdiscontinuousat$x. 如果Xn⟹X∞和P(Xn∈Dg)=0然后g(Xn)⟹g(X). 如果另外g那么有界Eg(Xn)→Eg(X∞).
评论。Dg始终是 Borel 集。
证明 我们希望应用定理??。让f是任何有界连续函数。根据 Skorokhod 表示定理，让Yn=dXn和Yn→Y∞几乎可以肯定。自从f是连续的，那么Df∘g⊂ Dg所以P(Y∞∈Df∘g)=0. 那么，对于\omega \in\left{\omega: Y_{\infty}(\omega) \notin D_{f \circ g}\right} \cap\left{\omega: Y_{n}(\omega) \rightarrow Y_ {\infty}(\omega)\right}:=A_{1} \cap A_{2}\omega \in\left{\omega: Y_{\infty}(\omega) \notin D_{f \circ g}\right} \cap\left{\omega: Y_{n}(\omega) \rightarrow Y_{\infty}(\omega)\right}:=A_{1} \cap A_{2}， 我们有f(g(Yn(ω)))→f(g(Y∞(ω))). 自从P(A1∩A2)=1−P(A1c∪A2c)≥1−P(A1c)−P(A2c)=1， 我们有
f(g(Yn))→f(g(Y∞)) a.s.
自从f也是有界的，那么有界收敛定理意味着Ef(g(Yn)→Ef(g(Y∞))). 然后我们应用定理？？得到想要的结果。
第二个结论比较简单。自从P(Y∞∈Dg)=0,f(g(Yn))→f(g(Y∞))几乎可以肯定，并且期望的结果来自有界收敛定理。
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随机过程代考
在概率论概念中，随机过程是随机变量的集合。 若一随机系统的样本点是随机函数，则称此函数为样本函数，这一随机系统全部样本函数的集合是一个随机过程。 实际应用中，样本函数的一般定义在时间域或者空间域。 随机过程的实例如股票和汇率的波动、语音信号、视频信号、体温的变化，随机运动如布朗运动、随机徘徊等等。
贝叶斯方法代考
贝叶斯统计概念及数据分析表示使用概率陈述回答有关未知参数的研究问题以及统计范式。后验分布包括关于参数的先验分布，和基于观测数据提供关于参数的信息似然模型。根据选择的先验分布和似然模型，后验分布可以解析或近似，例如，马尔科夫链蒙特卡罗 (MCMC) 方法之一。贝叶斯统计概念及数据分析使用后验分布来形成模型参数的各种摘要，包括点估计，如后验平均值、中位数、百分位数和称为可信区间的区间估计。此外，所有关于模型参数的统计检验都可以表示为基于估计后验分布的概率报表。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
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机器学习代写
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多元统计分析代考
基础数据: $N$ 个样本， $P$ 个变量数的单样本，组成的横列的数据表
变量定性: 分类和顺序；变量定量：数值
数学公式的角度分为: 因变量与自变量
时间序列分析代写
随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。
回归分析代写
多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。