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统计代写|高等概率论作业代写Advanced Probability Theory代考|Helly’s selection theorem and tightness
(i) We should note that the limit of a sequence of d.f.s may not be a d.f. (Consequently, the limit in Helly Selection Theorem may not be $a$ d.f. either.) For example, if $a+b+c=1$, and
$$
F_{n}(x)=a I_{{x \geq n}}+b I_{{x \geq-n}}+c G(x),
$$
where $G$ is a d.f., then $\lim {n} F{n}(x)=F(x):=b+c G(x)$. But, $F$ is $N O T$ a d.f. as $F(-\infty)=b$ and $F(\infty)=b+c=1-a$. In another words, an amount of mass a escapes to $\infty$, and mass $b$ escapes to $=\mathbf{\infty}$.
This type of convergence is sometimes called vague comvergence”, which is weaker than the weak convergence since it allows mass to escape. For convenience, we write $F_{n} \Rightarrow$ v $F$ $F_{n}(x) \longrightarrow F(x)$ for all $x \in C(F)$.
(ii) The last example raises a question: how do we make sure that the limit of d.f.s is still a d.f., or althernatively, when can we conclude that no mass is lost after taking the limit? To answer this question, we need a new concept tight, as given below.
DEFINITION 9.3.1 A sequence of d.f.’s $\left{F_{n}, n \geq 1\right}$ is said to be tight if, for all $\in>0$, there is an $M=M_{e}$ (free of $n$ ) so that
$$
\lim {n \rightarrow \infty} \operatorname{sip}{n \rightarrow \infty}\left[1-F_{n}(M)+F_{n}(-M)\right] \leq \epsilon_{,} \quad \text { or } \quad \limsup {n \rightarrow \infty} P\left(\left|X{n}\right|>M\right) \leq \epsilon
$$
That is, all of the probability measures give most of their mass to the same finite interval; mass does not “escape to infinity”.
THEOREM 9.3.2 Every subsequential limit is the d.f. of a probability measure iff the sequence $F_{n}$ is tight.
统计代写|高等概率论作业代写Advanced Probability Theory代考|corollary is an easy consequence of the above theorem
Proof. Suppose that the sequence is tight and $F_{n_{k}} \Longrightarrow_{v} F$. Let $r<-M_{c}$ and $s>M_{c}$ be continuity points of $F$. Since $F_{n_{k}}(r) \rightarrow F(r)$ and $F_{n_{k}}(s) \rightarrow F(s)$, we have
$$
\begin{aligned}
1-F(s)+F(r) &=\lim {k \rightarrow \infty}\left(1-F{n_{k}}(s)+F_{n_{k}}(r)\right) \
& \leq \limsup {k \rightarrow \infty}\left(1-F{n_{k}}\left(M_{\varepsilon}\right)+F_{n_{k}}\left(-M_{c}\right)\right) \
& \leq \limsup {n \rightarrow \infty}\left(1-F{n}\left(M_{c}\right)+F_{n}\left(-M_{c}\right)\right) \
& \leq \xi_{c}
\end{aligned}
$$
which in turn implies that
$$
\lim _{x \rightarrow \infty}[1-F(x)+F(-x)] \leq \varepsilon
$$
(LHS does have a limit since it is a non-increasing function of $x$ and also has lower bound 0 .) Since $\varepsilon$ is arbitrary, it follows $1-F(x)+F(-x) \rightarrow 0$ as $x \rightarrow \infty$. Hence, $1-F(x) \rightarrow 0$ and $F(-x) \rightarrow 0$ as $x \rightarrow \infty$. Therefore, $F$ is the d.f. of a probability measure.
To prove the converse, now suppose that $F_{n}$ is not tight. In this case, there is an $\varepsilon_{0}>0$ and a Eubsęuenee $n_{k} \rightarrow \infty$ eo that
$$
1-F_{n_{k}}(k)+F_{n_{k}}(-k) \geq \varepsilon_{0}
$$
for all $k$. By passing to a further subsequence $F_{n_{k_{j}}}$, we can suppose that $F_{n_{k_{j}}} \Longrightarrow v$. Let $r<0{j \rightarrow \infty}\left(1-F{n_{k_{j}}}(s)+F_{n_{k_{j}}}(r)\right) \ & \geq \liminf {j \rightarrow \infty}\left(1-F{n_{k_{j}}}\left(k_{j}\right)+F_{n_{k_{j}}}\left(-k_{j}\right)\right) \ & \geq \varepsilon_{0} \end{aligned} $$ which in turn implies that $$ \lim {x \rightarrow \infty}[1-F(x)+F(-x)] \geq \varepsilon{0}- $$ Hence, we can NOT have $1-F(x) \rightarrow 0$ and $F(-x) \rightarrow 0$ to hold true at the same time as $x \rightarrow \infty$. Therefore, $F$ is NOT the d.f. of a probability measure. The next corollary is an easy conseguence of the above theorem. COROLLARY 9.3.1 A sequence of d.f.’s $\left{F_{n}, n \geq 1\right}$ converges vaguely to $F(x)$, denoted by $F_{n} \Longrightarrow_{v} F$. Then $F$ is $a$ d.f. $\Longleftrightarrow F_{n}$ is tight. The following sufficient condition for tightness is often useful. THEOREM 9.3.3 If there is a $\psi \geq 0$ so that $\psi(x) \rightarrow \infty$ as $|x| \rightarrow \infty$ and $$ C:=\sup {u} \int \psi(x) d F{n}(x)=\sup {u} E \psi\left(X{n}\right)<\infty $$ then $F_{n}$ is tight. (Here we assume that $X_{n} \approx F_{n}$.) Proof. From $$ C=\sup {n} \int \psi(x) d F{n}(x) \geq \int_{[-M, M]} \psi(x) d F_{n}(x) \geq\left(\inf {|x| \geq M} \psi(x)\right) \int{[-M, M]} d F_{n}(x) $$ we get $$ 1-F_{n}(M)+F_{n}(-M) \leq \frac{C}{\inf _{|x|>M} \psi(x)} \longrightarrow 0 .
$$
统计代写|高等概率论作业代写Advanced Probability Theory代考|Polya Theorem
Pointwise weak convergence of $F_{n}$ to $F$ holds uniformly if $F$ is continuous.
THEOREM 9.4.1 (Polya Theorem) If $F_{n} \Longrightarrow F$, and $F$ is continuous, then
$$
\lim {n \rightarrow \infty} \sup {t}\left|F_{n}(t)-F(t)\right|=0 .
$$
Proof. Note that
$$
\lim {t \rightarrow \infty}\left[1-F{n}(t)\right]=\lim {t \rightarrow \infty}[1-F(t)]=0, \quad \lim {t \rightarrow-\infty} F_{n}(t)=\lim {t \rightarrow-\infty} F(t)=0 . $$ For any $\epsilon>0$, we can choose sufficiently large $M$ such that $$ \sup {t \in(-\infty, M]}\left|F_{n}(t)-F(t)\right| \leq \epsilon, \quad \sup {t \in[M, \infty]}\left|F{n}(t)-F(t)\right| \leq \epsilon .
$$
Since $F$ is continuous, it is uniformly continuous on $[-M, M]$. So choose $n$ sufficiently large to get
$$
\sup {t \in M-M, M]}\left|F{n}(t)-F(t)\right| \leq \epsilon .
$$
Combining the above results, for $n$ sufficiently large, we get
$$
\sup {t \in M-M, M]}\left|F{n}(t)-F(t)\right| \leq 3 \epsilon
$$
This proves our theorem.
Remark: For another proof, see Petrov (1995).
高等概率论代写
统计代写|高等概率论作业代写Advanced Probability Theory代考|Helly’s selection theorem and tightness
(i) 我们应该注意，dfs 序列的极限可能不是 df（因此，Helly 选择定理中的极限可能不是一种df 或者。）例如，如果一种+b+C=1， 和
Fn(X)=一种一世X≥n+b一世X≥−n+CG(X),
在哪里G是一个df，那么林nFn(X)=F(X):=b+CG(X). 但，F是ñ○吨一个df作为F(−∞)=b和F(∞)=b+C=1−一种. 换句话说，质量 a 逃逸到∞, 和质量b逃到=∞.
这种类型的收敛有时被称为模糊收敛”，它比弱收敛要弱，因为它允许质量逃逸。为了方便，我们写Fn⇒vF Fn(X)⟶F(X)对所有人X∈C(F).
(ii) 最后一个例子提出了一个问题：我们如何确保 dfs 的极限仍然是 df，或者，我们什么时候可以得出在取极限后没有质量损失的结论？要回答这个问题，我们需要一个新的概念，如下所示。
定义 9.3.1 df 的序列\left{F_{n}, n \geq 1\right}\left{F_{n}, n \geq 1\right}据说是紧的，如果，对于所有∈>0， 有一个米=米和（不含n） 以便
林n→∞啜n→∞[1−Fn(米)+Fn(−米)]≤ε, 要么 林汤n→∞磷(|Xn|>米)≤ε
也就是说，所有概率测度都将它们的大部分质量赋予相同的有限区间；质量不会“逃到无穷大”。
定理 9.3.2 每个后续极限都是概率测度的 df，当且仅当序列Fn很紧。
统计代写|高等概率论作业代写Advanced Probability Theory代考|corollary is an easy consequence of the above theorem
证明。假设序列是紧的并且Fn到⟹vF. 让r<−米C和s>米C成为的连续点F. 自从Fn到(r)→F(r)和Fn到(s)→F(s)， 我们有
1−F(s)+F(r)=林到→∞(1−Fn到(s)+Fn到(r)) ≤林汤到→∞(1−Fn到(米e)+Fn到(−米C)) ≤林汤n→∞(1−Fn(米C)+Fn(−米C)) ≤XC
这反过来意味着
林X→∞[1−F(X)+F(−X)]≤e
（LHS 确实有一个限制，因为它是X并且也有下限 0 。）因为e是任意的，它遵循1−F(X)+F(−X)→0作为X→∞. 因此，1−F(X)→0和F(−X)→0作为X→∞. 所以，F是概率测度的 df。
为了证明反之，现在假设Fn不紧。在这种情况下，有一个e0>0和一个 Eubsęueneen到→∞事实是
1−Fn到(到)+Fn到(−到)≥e0
对所有人到. 通过传递到另一个子序列Fn到j, 我们可以假设Fn到j⟹v. 让r<0{j \rightarrow \infty}\left(1-F{n_{k_{j}}}(s)+F_{n_{k_{j}}}(r)\right) \ & \geq \ liminf {j \rightarrow \infty}\left(1-F{n_{k_{j}}}\left(k_{j}\right)+F_{n_{k_{j}}}\left(-k_{ j}\right)\right) \ & \geq \varepsilon_{0} \end{对齐}r<0{j \rightarrow \infty}\left(1-F{n_{k_{j}}}(s)+F_{n_{k_{j}}}(r)\right) \ & \geq \ liminf {j \rightarrow \infty}\left(1-F{n_{k_{j}}}\left(k_{j}\right)+F_{n_{k_{j}}}\left(-k_{ j}\right)\right) \ & \geq \varepsilon_{0} \end{对齐}在H一世CH一世n吨你rn一世米p一世一世和s吨H一种吨林X→∞[1−F(X)+F(−X)]≥e0−H和nC和,在和C一种nñ○吨H一种v和1-F(x) \rightarrow 0一种ndF(-x) \rightarrow 0吨○H○一世d吨r你和一种吨吨H和s一种米和吨一世米和一种sx \rightarrow \infty.吨H和r和F○r和,F一世sñ○吨吨H和d.F.○F一种pr○b一种b一世一世一世吨和米和一种s你r和.吨H和n和X吨C○r○一世一世一种r和一世s一种n和一种s和C○ns和G你和nC和○F吨H和一种b○v和吨H和○r和米.C○R○一世一世一种R和9.3.1一种s和q你和nC和○Fd.F.′s\left{F_{n}, n \geq 1\right}C○nv和rG和sv一种G你和一世和吨○F(x),d和n○吨和db和F_{n} \Longrightarrow_{v} F.吨H和nF一世s一种d.F.\Longleftrightarrow F_{n}一世s吨一世GH吨.吨H和F○一世一世○在一世nGs你FF一世C一世和n吨C○nd一世吨一世○nF○r吨一世GH吨n和ss一世s○F吨和n你s和F你一世.吨H和○R和米9.3.3一世F吨H和r和一世s一种\ psi \ geq 0s○吨H一种吨\psi(x) \rightarrow \infty一种s|x| \rightarrow \infty一种ndC:=支持你∫ψ(X)dFn(X)=支持你和ψ(Xn)<∞吨H和nF_{n}一世s吨一世GH吨.(H和r和在和一种ss你米和吨H一种吨X_{n} \约 F_{n}.)磷r○○F.Fr○米C=支持n∫ψ(X)dFn(X)≥∫[−米,米]ψ(X)dFn(X)≥(信息|X|≥米ψ(X))∫[−米,米]dFn(X)在和G和吨1−Fn(米)+Fn(−米)≤C信息|X|>米ψ(X)⟶0.$
统计代写|高等概率论作业代写Advanced Probability Theory代考|Polya Theorem
的逐点弱收敛Fn到F一致地成立，如果F是连续的。
定理 9.4.1（波利亚定理）如果Fn⟹F， 和F是连续的，那么
林n→∞支持吨|Fn(吨)−F(吨)|=0.
证明。注意
林吨→∞[1−Fn(吨)]=林吨→∞[1−F(吨)]=0,林吨→−∞Fn(吨)=林吨→−∞F(吨)=0.对于任何ε>0，我们可以选择足够大的米这样支持吨∈(−∞,米]|Fn(吨)−F(吨)|≤ε,支持吨∈[米,∞]|Fn(吨)−F(吨)|≤ε.
自从F是连续的，它是一致连续的[−米,米]. 所以选择n足够大以获得
支持吨∈米−米,米]|Fn(吨)−F(吨)|≤ε.
综合以上结果，为n足够大，我们得到
支持吨∈米−米,米]|Fn(吨)−F(吨)|≤3ε
这证明了我们的定理。
备注：另一个证明见 Petrov (1995)。
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随机过程代考
在概率论概念中，随机过程是随机变量的集合。 若一随机系统的样本点是随机函数，则称此函数为样本函数，这一随机系统全部样本函数的集合是一个随机过程。 实际应用中，样本函数的一般定义在时间域或者空间域。 随机过程的实例如股票和汇率的波动、语音信号、视频信号、体温的变化，随机运动如布朗运动、随机徘徊等等。
贝叶斯方法代考
贝叶斯统计概念及数据分析表示使用概率陈述回答有关未知参数的研究问题以及统计范式。后验分布包括关于参数的先验分布，和基于观测数据提供关于参数的信息似然模型。根据选择的先验分布和似然模型，后验分布可以解析或近似，例如，马尔科夫链蒙特卡罗 (MCMC) 方法之一。贝叶斯统计概念及数据分析使用后验分布来形成模型参数的各种摘要，包括点估计，如后验平均值、中位数、百分位数和称为可信区间的区间估计。此外，所有关于模型参数的统计检验都可以表示为基于估计后验分布的概率报表。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
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机器学习代写
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多元统计分析代考
基础数据: $N$ 个样本， $P$ 个变量数的单样本，组成的横列的数据表
变量定性: 分类和顺序；变量定量：数值
数学公式的角度分为: 因变量与自变量
时间序列分析代写
随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。
回归分析代写
多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。