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统计代写|高等概率论作业代写Advanced Probability Theory代考|Definition
DEFINITION 9.1.1
(a) A sequence of d.f.s $\left{F_{n}, n \geq 1\right}$ is said to converge weakly to a d.f. F, written as $F_{n} \Longrightarrow F$, if $F_{n}(x) \longrightarrow F(x)$, for all $x \in C(F)$.
(b) A sequence of random variables (r.v.s) $X_{n}$ is said to converge weakly or in distribution or in law to a limit $X$, written as $X_{n} \Longrightarrow X$ or $X_{n} \longrightarrow d X$, if their d.f.s $F_{n}(x)=P\left(X_{n} \leq x\right)$ converge weakly $F(x)=P(X \leq x)$.
Note that convergence in distribution is a property of distribution functions; the r.v.’s $Y_{n}$ ‘s are not reruired to he on the same prohahility space Furthermore, some authrors define weak convergence slightly differently, and eall the above definition complete convergece
EXAMPLE 9.1.1 Let $X \sim F$ and $X_{n}=X+n^{-1}$. Then,
$$
F_{n}(x)=P\left(X+n^{-1} \leq x\right)=F\left(x-n^{-1}\right) \rightarrow F(x-)
$$
Thus, we observe the following.
- The limit of d.f.s may not be a d.f.
In fact, in the current example, $F(x-)$ is left continuous. If we turn $F(x-)$ into a right-continuous function (in this case $F(s)$ ), then $F$ is a proper d.f. and hence we have $F_{n} \Longrightarrow F$. - $\lim {n \rightarrow \infty} F{n}(x)=F(x-)$ which equals to $F(x)$ iff $x \in C(F)$.
This is why we restrict attention to continuity points in the definition of weak convergence.
统计代写|高等概率论作业代写Advanced Probability Theory代考|Equivalent definitions of weak convergence
Proof of Theorem 9.2.1.
- “(a) $\Longrightarrow$ (b):” Let $Y, Y_{n}$ have the same d.f.’s as $X, X_{n}$ and $Y_{n} \rightarrow Y$ a.s. Since $G$ is open, we can show
$$
\lim {n} \inf I{G}\left(Y_{n}\right) \geq I_{G}(Y) \quad \text { a.s. }
$$
This can be seen as follows.
(i) If $I_{G}(Y)=0$, the proof is trivial;
(ii) If $I_{G}(Y)=1$, $\Longleftrightarrow Y \in G$. Since $G$ is open, for large enough $n$, we have $Y_{n} \in G$, $\Longleftrightarrow$ $I_{G_{n}}(Y)=1$. Hence, LHS $=1=I_{G}(Y)=$ RHS.
Now applying Fatou’s Lemma, we get
$$
P(Y \in G)=E I_{G}(Y) \leq E \liminf {n} I{G}\left(Y_{n}\right) \leq \lim {n} \inf E I{G}\left(Y_{n}\right)=\lim {n} \inf P\left(Y{n} \in G\right) .
$$ - “(b) $\Longleftrightarrow(\mathrm{c})^{“} . A$ is open $\Longleftrightarrow A^{c}$ is closed, and $P(A)=1-P\left(A^{c}\right)$.
- “(b) $+(\mathrm{c}) \Longrightarrow(\mathrm{d}) “$. Let $\bar{A}$ and $A^{0}$ be the closure and interior of $A$, respectively. Then, $\partial A=\bar{A}-A^{0}$, and $0=P(X \in \partial A)=P(\bar{A})-P\left(A^{0}\right)$, so
$$
P(X \in \bar{A})=P(X \in A)=P\left(X \in A^{0}\right)
$$
Using (b) and (c) now,
$$
\begin{aligned}
&P(X \in A)=P(X \in \bar{A}) \geq \operatorname{limsip}{n \rightarrow \infty} P\left(X{n} \in \bar{A}\right) \geq \limsup {n \rightarrow \infty} P\left(X{n} \in A\right) \
&P(X \in A)=P\left(X \in A^{0}\right) \leq \liminf {n \rightarrow \infty} P\left(X{n} \in A^{0}\right) \leq \liminf {n \rightarrow \infty} P\left(X{n} \in A\right)
\end{aligned}
$$
from which the proof follows. - “(d) $\Longrightarrow(\mathrm{a}) “$. Let $x \in C(F)$ and $A=(-\infty, x]$, so $P(X \in \partial A)=P(X=x)=0$. From (d), we have $P\left(X_{n} \leq x\right)=P\left(X_{n} \in A\right) \rightarrow P(X \in A)=P(X \leq x)$.
- “(a) $\Longrightarrow(e) “$. By Skorokhod representation theorem, let $Y_{n}={d} X{n}$ and $Y={ }{d} X$ with $Y{n} \rightarrow Y$ almost surely. Since $g$ is continuous $g\left(Y_{n}\right) \rightarrow g(Y)$ almost surely and the bounded convergence theorem implies
$$
E g\left(X_{n}\right)=E g\left(Y_{n}\right) \rightarrow E g(Y)=E g(X)
$$
统计代写|高等概率论作业代写Advanced Probability Theory代考|Skorokhod’s representation theorem
- “(e) $\Longrightarrow(f) “$. We will prove (f) for $g(x)=h(x) I_{(-\infty, b]}(x)$, where $h$ is bounded and continuous, and $b \in C(F)$; the general result follows similarly. To apply (e), we need to approximate $g$ by a continuous function $g_{1}$ defined by
$g_{1}(x)=g(x) \quad$ if $x \notin(b, b+\delta)$
$g(b)[1+(b-x) / \delta] \quad$ if $x \in(b, b+\delta)$.
Also define
$$
\begin{array}{rlr}
g_{2}(x) & =g(b)[1+(x-b) / \delta] & \text { if } x \in(b-\delta, b) \
& =g(b)[1+(b-x) / \delta] & \text { if } x \in[b, b+\delta) \
& =0 & \text { otherwise. }
\end{array}
$$
(Draw a picture here)
Now $\left|E\left[g\left(X_{n}\right)-g_{1}\left(X_{n}\right)\right]\right| \leq\left|E g_{2}\left(X_{n}\right)\right|$ and $\left|E\left[g(X)-g_{1}(X)\right]\right| \leq\left|E g_{2}(X)\right|$, so
$$
\begin{aligned}
\left|E\left[g\left(X_{n}\right)-g(X)\right]\right| & \leq\left|E\left[g\left(X_{n}\right)-g_{1}\left(X_{n}\right)\right]\right|+\left|E\left[g_{1}\left(X_{n}\right)-g_{1}(X)\right]\right|+\left|E\left[g_{1}(X)-g(X)\right]\right| \
& \leq\left|E g_{2}\left(X_{n}\right)\right|+\left|E\left[g_{1}\left(X_{n}\right)-g_{1}(X)\right]\right|+\left|E g_{2}(X)\right| \
& \rightarrow 2\left|E g_{2}(X)\right| \text { as } n \rightarrow \infty
\end{aligned}
$$
since by assumption $(\mathrm{e}), E\left[g_{1}\left(X_{n}\right)-g_{1}(X)\right] \rightarrow 0$ and $E g_{2}\left(X_{n}\right) \rightarrow E g_{2}(X)$. But observe that $\left|g_{2}(x)\right| \leq|g(b)| I_{{(b-\delta, b+\delta)}}$, we have
$$
\left|E g_{2}(X)\right| \leq|g(b)| P(b-\delta<X<b+\delta) \rightarrow 0 \quad \text { as } \delta \downarrow 0
$$
by the assumption that $b \in C$, i.e., $P(X=b)=0$. Hence (f) holds. $c \in C$,
$$
\begin{aligned}
P\left(X_{n} \leq b\right) & \geq P\left(a \leq X_{n} \leq b\right) \
& \longrightarrow P(a \leq X \leq b) \quad \text { as } n \rightarrow \infty \
& \longrightarrow(X \leq b) \quad \text { as } a \rightarrow-\infty \text { through } C .
\end{aligned}
$$
高等概率论代写
统计代写|高等概率论作业代写Advanced Probability Theory代考|Definition
定义 9.1.1
(a) 一个 dfs 序列\left{F_{n}, n \geq 1\right}\left{F_{n}, n \geq 1\right}据说弱收敛到一个 df F，写成Fn⟹F， 如果Fn(X)⟶F(X)， 对所有人X∈C(F).
(b) 一系列随机变量 (rvs)Xn据说弱收敛或在分布上或在法律上收敛到极限X，写为Xn⟹X要么Xn⟶dX, 如果他们的 dfsFn(X)=磷(Xn≤X)弱收敛F(X)=磷(X≤X).
请注意，分布收敛是分布函数的一个属性；房车的和n不会在同一个概率空间上再次出现。此外，一些作者对弱收敛的定义略有不同，并且上述定义都完全收敛
示例 9.1.1 让X∼F和Xn=X+n−1. 然后，
Fn(X)=磷(X+n−1≤X)=F(X−n−1)→F(X−)
因此，我们观察以下内容。
- dfs的极限可能不是一个df
其实在当前的例子中，F(X−)是连续的。如果我们转F(X−)成一个右连续函数（在这种情况下F(s)）， 然后F是一个适当的df，因此我们有Fn⟹F. - 林n→∞Fn(X)=F(X−)这等于F(X)当且当X∈C(F).
这就是为什么我们将注意力限制在弱收敛定义中的连续点上。
统计代写|高等概率论作业代写Advanced Probability Theory代考|Equivalent definitions of weak convergence
定理 9.2.1 的证明。
- “（一种）⟹(b):”让和,和n具有相同的dfX,Xn和和n→和由于G是开放的，我们可以展示
林n信息一世G(和n)≥一世G(和) 作为
这可以看如下。
(一) 如果一世G(和)=0，证明是微不足道的；
(ii) 如果一世G(和)=1,⟺和∈G. 自从G是开放的，足够大n， 我们有和n∈G,⟺ 一世Gn(和)=1. 因此，LHS=1=一世G(和)=RHS。
现在应用 Fatou 引理，我们得到
磷(和∈G)=和一世G(和)≤和林infn一世G(和n)≤林n信息和一世G(和n)=林n信息磷(和n∈G). - “（乙）⟺(C)“.一种开了⟺一种C已关闭，并且磷(一种)=1−磷(一种C).
- “（乙）+(C)⟹(d)“. 让一种¯和一种0成为的封闭和内部一种， 分别。然后，∂一种=一种¯−一种0， 和0=磷(X∈∂一种)=磷(一种¯)−磷(一种0)， 所以
磷(X∈一种¯)=磷(X∈一种)=磷(X∈一种0)
现在使用（b）和（c），
磷(X∈一种)=磷(X∈一种¯)≥限制n→∞磷(Xn∈一种¯)≥林汤n→∞磷(Xn∈一种) 磷(X∈一种)=磷(X∈一种0)≤林infn→∞磷(Xn∈一种0)≤林infn→∞磷(Xn∈一种)
证明由此而来。 - “(d)⟹(一种)“. 让X∈C(F)和一种=(−∞,X]， 所以磷(X∈∂一种)=磷(X=X)=0. 从（d），我们有磷(Xn≤X)=磷(Xn∈一种)→磷(X∈一种)=磷(X≤X).
- “（一种）⟹(和)“. 根据 Skorokhod 表示定理，让和n=dXn和和=dX和和n→和几乎可以肯定。自从G是连续的G(和n)→G(和)几乎可以肯定，并且有界收敛定理意味着
和G(Xn)=和G(和n)→和G(和)=和G(X)
统计代写|高等概率论作业代写Advanced Probability Theory代考|Skorokhod’s representation theorem
- “（和）⟹(F)“. 我们将证明 (f) 为G(X)=H(X)一世(−∞,b](X)， 在哪里H是有界且连续的，并且b∈C(F); 一般结果类似。要应用 (e)，我们需要近似G通过连续函数G1被定义为
G1(X)=G(X)如果X∉(b,b+d)
G(b)[1+(b−X)/d]如果X∈(b,b+d).
还定义
G2(X)=G(b)[1+(X−b)/d] 如果 X∈(b−d,b) =G(b)[1+(b−X)/d] 如果 X∈[b,b+d) =0 否则。
（在这里画图）
现在|和[G(Xn)−G1(Xn)]|≤|和G2(Xn)|和|和[G(X)−G1(X)]|≤|和G2(X)|， 所以
|和[G(Xn)−G(X)]|≤|和[G(Xn)−G1(Xn)]|+|和[G1(Xn)−G1(X)]|+|和[G1(X)−G(X)]| ≤|和G2(Xn)|+|和[G1(Xn)−G1(X)]|+|和G2(X)| →2|和G2(X)| 作为 n→∞
因为假设(和),和[G1(Xn)−G1(X)]→0和和G2(Xn)→和G2(X). 但请注意|G2(X)|≤|G(b)|一世(b−d,b+d)， 我们有
|和G2(X)|≤|G(b)|磷(b−d<X<b+d)→0 作为 d↓0
假设b∈C， IE，磷(X=b)=0. 因此 (f) 成立。C∈C,
磷(Xn≤b)≥磷(一种≤Xn≤b) ⟶磷(一种≤X≤b) 作为 n→∞ ⟶(X≤b) 作为 一种→−∞ 通过 C.
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随机过程代考
在概率论概念中，随机过程是随机变量的集合。 若一随机系统的样本点是随机函数，则称此函数为样本函数，这一随机系统全部样本函数的集合是一个随机过程。 实际应用中，样本函数的一般定义在时间域或者空间域。 随机过程的实例如股票和汇率的波动、语音信号、视频信号、体温的变化，随机运动如布朗运动、随机徘徊等等。
贝叶斯方法代考
贝叶斯统计概念及数据分析表示使用概率陈述回答有关未知参数的研究问题以及统计范式。后验分布包括关于参数的先验分布，和基于观测数据提供关于参数的信息似然模型。根据选择的先验分布和似然模型，后验分布可以解析或近似，例如，马尔科夫链蒙特卡罗 (MCMC) 方法之一。贝叶斯统计概念及数据分析使用后验分布来形成模型参数的各种摘要，包括点估计，如后验平均值、中位数、百分位数和称为可信区间的区间估计。此外，所有关于模型参数的统计检验都可以表示为基于估计后验分布的概率报表。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
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多元统计分析代考
基础数据: $N$ 个样本， $P$ 个变量数的单样本，组成的横列的数据表
变量定性: 分类和顺序；变量定量：数值
数学公式的角度分为: 因变量与自变量
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回归分析代写
多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。