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统计代写|高等概率论作业代写Advanced Probability Theory代考|Several useful lemmas
LEMMA 8.3.1 (Cesaro’s Lemma). Given two sequences $\left{b_{n}\right}$ and $\left{x_{n}\right}$, assume that
(i) $b_{n} \geq 0$ and $a_{n}=\sum_{k=1}^{n} b_{k} / \infty$,
(ii) $x_{n} \rightarrow x,|x|<\infty$. Then $$ \frac{1}{a_{n}} \sum_{k=1}^{n} b_{k} x_{k} \equiv \frac{\sum_{k=1}^{n} b_{k} x_{k}}{\sum_{k=1}^{n 1} b_{k}} \rightarrow x $$ (i.e., weighted average of a convergent sequence converges to the same value.) Proof. $\forall \in>0, \exists n_{0}$ such that $\left|x_{n}-x\right|<\epsilon$ for $n \geq n_{0}$. Therefore,
$$
\begin{aligned}
\frac{1}{a_{n}} \sum_{k=1}^{n} b_{k} x_{k}-x \mid &=\left|\frac{\sum_{k=1}^{n} b_{k}\left(x_{k}-x\right)}{\sum_{k=1}^{n} b_{k}}\right| \leq \frac{\sum_{k=1}^{n_{0}} b_{k}\left|x_{k}-x\right|}{\sum_{k=1}^{n} b_{k}}+\frac{\sum_{k=n_{0}}^{n} b_{k}\left|x_{k}-x^{n}\right|}{\sum_{k=1}^{n} b_{k}} \
& \leq \frac{\sum_{k=1}^{n_{0}} b_{k}\left|x_{k}-x\right|}{\sum_{k=1}^{n} b_{k}}+\frac{\sum_{k=n_{0}}^{n} b_{k}}{\sum_{k-1}^{n} b_{k}} \leq \frac{C\left(n_{0}\right)}{a_{n}}+\epsilon_{.}
\end{aligned}
$$
Letting $n \rightarrow \infty$, and noting $a_{n} \rightarrow \infty$, we obtain the theorem.
COROLLARY 8.3.1 If $x_{n} \rightarrow x$ (finite), then $\bar{x}=n^{-1} \sum_{k=1}^{n} x_{k} \rightarrow x$.
LEMMA 8.3.2 (Abel’s method of summation, “integration by parts”) .
$\left{a_{n}\right}$ and $\left{x_{n}\right}$ are two sequences with $a_{0}=0, S_{k}=\sum_{j=1}^{k} x_{k}$, and $S_{0}=0$. Then
$$
\sum_{k=1}^{n} a_{k} x_{k}=a_{n} S_{n}-\sum_{k=1}^{n}\left(a_{k}-a_{k-1}\right) S_{k-1} .
$$
or more vividly, by denoting $\Delta S_{k}=S_{k}-S_{k-1}$ etc.,
$$
\sum_{k=1}^{n} a_{k} \Delta S_{k}=a_{n} S_{n}-\sum_{k=1}^{n} S_{k} \Delta a_{k}
$$
(Compare with $\int_{0}^{n} f(s) d s=\left.s f(s)\right|{0} ^{n}-\int{0}^{n} s d f(s)$ )
Proof.
$$
\begin{aligned}
\sum_{k=1}^{n} a_{k} x_{k} &=\sum_{k=1}^{n} a_{k}\left(S_{k}-S_{k-1}\right)=\sum_{k=1}^{n} a_{k} S_{k}-\sum_{k=1}^{n} a_{k} S_{k-1} \
&=\sum_{k=0}^{n} a_{k} S_{k}-\sum_{k=0}^{n-1} a_{k+1} S_{k}=\left(a_{n} S_{n}+\sum_{k=0}^{n-1} a_{k} S_{k}\right)-\sum_{k=0}^{n-1} a_{k+1} S_{k} \
&=a_{n} S_{n}-\sum_{k=1}^{n-1}\left(a_{k+1}-a_{k}\right) S_{k}=a_{n} S_{n}-\sum_{k=1}^{n}\left(a_{k}-a_{k-1}\right) S_{k-1}
\end{aligned}
$$
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Proof of (3.5). We shall look at it under assumptions (i)-(iii) separately.
If (i) holds, then $\left|X_{n}\right|0$. Thus, $\left|X_{n}\right|<a_{n}$ implies
$$
\frac{X_{n}^{2}}{g_{n}\left(X_{n}\right)} \leq \frac{a_{n}^{2}}{g_{n}\left(a_{n}\right)}, \quad \Longrightarrow \quad \frac{X_{n}^{2}}{a_{n}^{2}} \leq \frac{g_{n}\left(X_{n}\right)}{g_{n}\left(a_{n}\right)}
$$
This proves $(3.5)$.
Now it follows easily from (3.5) that
$$
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{E Y_{n}^{2}}{a_{n}^{2}} \leq \sum_{n=1}^{\infty} E\left(\frac{X_{n}^{2}}{a_{n}^{2}} I\left{\left|X_{n}\right|<a_{n}\right}\right) \leq \sum_{n=1}^{\infty} E\left(\frac{g\left(X_{n}\right)}{g\left(a_{n}\right)} I_{\left{\left|X_{n}\right|<a_{n}\right}}\right) \leq \sum_{n=1}^{\infty} E\left(\frac{g\left(X_{n}\right)}{g\left(a_{n}\right)}\right)<\infty
$$
Proof of (b). We shall look at it under assumptions (i)-(iii) separately.
Assume first (i) holds. Noting $\left|Y_{n}\right|<a_{n}$, it follows from (3.6) that
$$
\left|\sum_{n=1}^{\infty} \frac{E Y_{n}}{a_{n}}\right| \leq \sum_{n=1}^{\infty} \frac{E g_{n}\left(Y_{n}\right)}{g_{n}\left(a_{n}\right)}
$$
Assume now that (ii) holds. If $\left|X_{n}\right| \geq a_{n}$, then
$$
\frac{\left|X_{n}\right|}{g_{n}\left(X_{n}\right)} \leq \frac{a_{n}}{g_{n}\left(a_{n}\right)}, \quad \Longrightarrow \quad \frac{\left|X_{n}\right|}{a_{n}} \leq \frac{g_{n}\left(X_{n}\right)}{g_{n}\left(a_{n}\right)}
$$
But from $E X_{n}=0$,
$$
\left|\sum_{n=1}^{\infty} \frac{E Y_{n}}{a_{n}}\right|=\left|\sum_{n=1}^{\infty} E \frac{X_{n}}{a_{n}} I_{\left{\left|X_{n}\right|<a_{n}\right}}\right|=\left|-\sum_{n=1}^{\infty} E \frac{X_{n}}{a_{n}} I_{\left{\left|X_{n}\right| \geq a_{n}\right}}\right| \leq \sum_{n=1}^{\infty} \frac{E g_{n}\left(Y_{n}\right)}{g_{n}\left(a_{n}\right)}<\infty .
$$
Finally assume that (iii) holds, then $E Y_{n}=\overline{0}$. Naturally, $\left|\sum_{n=1}^{\infty} E Y_{n} / a_{n}\right|<\infty$.
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Proof of (a). Now
$$
\begin{aligned}
E Y_{n} &=E X_{n} I_{\left{\left|X_{n}\right| \leq n\right}}=E X_{1} I_{\left{\left|X_{1}\right| \leq n\right}}=E\left(X_{1}^{+}-X_{1}^{-}\right) I_{\left{\left|X_{1}\right| \leq n\right}} \
=& E X_{1}^{+} I_{\left{\left|X_{1}\right| \leq n\right}}-E X_{1}^{+} I_{\left{\left|X_{1}\right| \leq n\right}} \
& \longrightarrow X_{1}^{+}-E X_{1}^{-}=E X_{1},
\end{aligned}
$$
where in the last line we have used the Monotone Convergence Theorem or the Dominated Convergence Theorem. Thus, $n^{-1} \sum_{j=1}^{n} E Y_{j} \rightarrow E X_{1}$.
Proof of (b). Applying Corollary 8.3.3 with $a_{n}=n$ to $\left{Y_{n}\right}$, we get
$$
\begin{aligned}
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{E Y_{n}^{2}}{n^{2}} &=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}} E X_{n}^{2} I_{\left{\left|X_{n}\right| \leq n\right}}^{\infty} \
&=\sum_{n=1}^{\infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{n^{2}} E\left|X_{1}\right|^{2} I_{\left{k-1<\left|X_{1}\right| \leq k\right}} \ &=\sum_{k=1}^{\infty} \sum_{n=k}^{\infty} \frac{1}{n^{2}} E X_{1}^{2} I_{\left{k-1<\left|X_{1}\right| \leq k\right}} \ &=\sum_{k=1}^{\infty}\left[E\left(X_{1}^{2} I_{\left{k-1<\left|X_{1}\right| \leq k\right}}\right)\left(\sum_{n=k}^{\infty} \frac{1}{n^{2}}\right)\right] \ & \leq \sum_{k=1}^{\infty}\left[k E\left(\left|X_{1}\right| I_{\left{k-1<\left|X_{1}\right| \leq k\right}}\right)\left(\frac{C}{k}\right)\right] \ &=C \sum_{k=1}^{\infty} E\left(\left|X_{1}\right| I_{\left{k-1<\left|X_{1}\right| \leq k\right}}\right) \ & \leq C E\left|X_{1}\right|<\infty, \end{aligned} $$ alternatively, we could also carry on from (3.10) as follows $$ \begin{aligned} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{E Y_{n}^{2}}{n^{2}} & \leq \sum_{k=1}^{\infty}\left[k^{2} P\left(k-1<\left|X_{1}\right| \leq k\right)\left(\frac{C}{k}\right)\right] \ & \leq C \sum_{k=1}^{\infty} k P\left(k-1<\left|X_{1}\right| \leq k\right) \ & \leq C\left(1+E\left|X_{1}\right|\right)<\infty \end{aligned} $$ where we used the elementary estimate $\sum_{n=k}^{\infty} \frac{1}{n^{2}} \leq C / k$ for some $C>0$ and all $k \geq 1$. (For instance, if $k \geq 2$, then $\sum_{n=k}^{\infty} \frac{1}{n^{2}} \leq \sum_{n=k}^{\infty} \frac{1}{(n-1) n} \leq 1 /(k-1) \leq 2 / k$.) Then it follows from Corollary 8.3.3 that (ii) holds.
高等概率论代写
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引理 8.3.1（塞萨罗引理）。给定两个序列\左{b_{n}\右}\左{b_{n}\右}和\左{x_{n}\右}\左{x_{n}\右}, 假设
(i)bn≥0和一种n=∑到=1nb到/∞,
(ii)Xn→X,|X|<∞. 然后1一种n∑到=1nb到X到≡∑到=1nb到X到∑到=1n1b到→X（即，收敛序列的加权平均收敛到相同的值。）证明。∀∈>0,∃n0这样|Xn−X|<ε为了n≥n0. 所以，
1一种n∑到=1nb到X到−X∣=|∑到=1nb到(X到−X)∑到=1nb到|≤∑到=1n0b到|X到−X|∑到=1nb到+∑到=n0nb到|X到−Xn|∑到=1nb到 ≤∑到=1n0b到|X到−X|∑到=1nb到+∑到=n0nb到∑到−1nb到≤C(n0)一种n+ε.
让n→∞，并注意到一种n→∞，我们得到定理。
推论 8.3.1 如果Xn→X（有限），那么X¯=n−1∑到=1nX到→X.
LEMMA 8.3.2（Abel 求和方法，“按部分积分”）。
\left{a_{n}\right}\left{a_{n}\right}和\左{x_{n}\右}\左{x_{n}\右}是两个序列一种0=0,小号到=∑j=1到X到， 和小号0=0. 然后
∑到=1n一种到X到=一种n小号n−∑到=1n(一种到−一种到−1)小号到−1.
或更形象地说，通过表示Δ小号到=小号到−小号到−1等等。，
∑到=1n一种到Δ小号到=一种n小号n−∑到=1n小号到Δ一种到
（与之比较∫0nF(s)ds=sF(s)|0n−∫0nsdF(s))
证明。
∑到=1n一种到X到=∑到=1n一种到(小号到−小号到−1)=∑到=1n一种到小号到−∑到=1n一种到小号到−1 =∑到=0n一种到小号到−∑到=0n−1一种到+1小号到=(一种n小号n+∑到=0n−1一种到小号到)−∑到=0n−1一种到+1小号到 =一种n小号n−∑到=1n−1(一种到+1−一种到)小号到=一种n小号n−∑到=1n(一种到−一种到−1)小号到−1
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(3.5) 的证明。我们将分别在假设 (i)-(iii) 下研究它。
如果 (i) 成立，那么|Xn|0. 因此，|Xn|<一种n暗示
Xn2Gn(Xn)≤一种n2Gn(一种n),⟹Xn2一种n2≤Gn(Xn)Gn(一种n)
这证明(3.5).
现在很容易从（3.5）得出
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{E Y_{n}^{2}}{a_{n}^{2}} \leq \sum_{n=1}^{\infty} E \left(\frac{X_{n}^{2}}{a_{n}^{2}} I\left{\left|X_{n}\right|<a_{n}\right}\right) \leq \sum_{n=1}^{\infty} E\left(\frac{g\left(X_{n}\right)}{g\left(a_{n}\right)} I_{\left {\left|X_{n}\right|<a_{n}\right}}\right) \leq \sum_{n=1}^{\infty} E\left(\frac{g\left(X_{ n}\right)}{g\left(a_{n}\right)}\right)<\infty\sum_{n=1}^{\infty} \frac{E Y_{n}^{2}}{a_{n}^{2}} \leq \sum_{n=1}^{\infty} E \left(\frac{X_{n}^{2}}{a_{n}^{2}} I\left{\left|X_{n}\right|<a_{n}\right}\right) \leq \sum_{n=1}^{\infty} E\left(\frac{g\left(X_{n}\right)}{g\left(a_{n}\right)} I_{\left {\left|X_{n}\right|<a_{n}\right}}\right) \leq \sum_{n=1}^{\infty} E\left(\frac{g\left(X_{ n}\right)}{g\left(a_{n}\right)}\right)<\infty
(b) 的证明。我们将分别在假设 (i)-(iii) 下研究它。
假设首先 (i) 成立。注意到|和n|<一种n, 由 (3.6) 得出
|∑n=1∞和和n一种n|≤∑n=1∞和Gn(和n)Gn(一种n)
现在假设 (ii) 成立。如果|Xn|≥一种n， 然后
|Xn|Gn(Xn)≤一种nGn(一种n),⟹|Xn|一种n≤Gn(Xn)Gn(一种n)
但从和Xn=0,
\left|\sum_{n=1}^{\infty} \frac{E Y_{n}}{a_{n}}\right|=\left|\sum_{n=1}^{\infty} E \frac{X_{n}}{a_{n}} I_{\left{\left|X_{n}\right|<a_{n}\right}}\right|=\left|-\sum_{n =1}^{\infty} E \frac{X_{n}}{a_{n}} I_{\left{\left|X_{n}\right| \geq a_{n}\right}}\right| \leq \sum_{n=1}^{\infty} \frac{E g_{n}\left(Y_{n}\right)}{g_{n}\left(a_{n}\right)}< \infty 。\left|\sum_{n=1}^{\infty} \frac{E Y_{n}}{a_{n}}\right|=\left|\sum_{n=1}^{\infty} E \frac{X_{n}}{a_{n}} I_{\left{\left|X_{n}\right|<a_{n}\right}}\right|=\left|-\sum_{n =1}^{\infty} E \frac{X_{n}}{a_{n}} I_{\left{\left|X_{n}\right| \geq a_{n}\right}}\right| \leq \sum_{n=1}^{\infty} \frac{E g_{n}\left(Y_{n}\right)}{g_{n}\left(a_{n}\right)}< \infty 。
最后假设 (iii) 成立，那么和和n=0¯. 自然，|∑n=1∞和和n/一种n|<∞.
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(a) 的证明。现在
\begin{aligned} E Y_{n} &=E X_{n} I_{\left{\left|X_{n}\right| \leq n\right}}=E X_{1} I_{\left{\left|X_{1}\right| \leq n\right}}=E\left(X_{1}^{+}-X_{1}^{-}\right) I_{\left{\left|X_{1}\right| \leq n\right}} \ =& E X_{1}^{+} I_{\left{\left|X_{1}\right| \leq n\right}}-E X_{1}^{+} I_{\left{\left|X_{1}\right| \leq n\right}} \ & \longrightarrow X_{1}^{+}-E X_{1}^{-}=E X_{1}, \end{aligned}\begin{aligned} E Y_{n} &=E X_{n} I_{\left{\left|X_{n}\right| \leq n\right}}=E X_{1} I_{\left{\left|X_{1}\right| \leq n\right}}=E\left(X_{1}^{+}-X_{1}^{-}\right) I_{\left{\left|X_{1}\right| \leq n\right}} \ =& E X_{1}^{+} I_{\left{\left|X_{1}\right| \leq n\right}}-E X_{1}^{+} I_{\left{\left|X_{1}\right| \leq n\right}} \ & \longrightarrow X_{1}^{+}-E X_{1}^{-}=E X_{1}, \end{aligned}
在最后一行中，我们使用了单调收敛定理或支配收敛定理。因此，n−1∑j=1n和和j→和X1.
(b) 的证明。应用推论 8.3.3一种n=n到\left{Y_{n}\right}\left{Y_{n}\right}，我们得到
\begin{对齐} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{E Y_{n}^{2}}{n^{2}} &=\sum_{n=1}^{\infty } \frac{1}{n^{2}} E X_{n}^{2} I_{\left{\left|X_{n}\right| \leq n\right}}^{\infty} \ &=\sum_{n=1}^{\infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{n^{2}} E\left|X_{1}\right|^{2} I_{\left{k-1<\left|X_{1}\right| \leq k\right}} \ &=\sum_{k=1}^{\infty} \sum_{n=k}^{\infty} \frac{1}{n^{2}} E X_{1 }^{2} I_{\left{k-1<\left|X_{1}\right| \leq k\right}} \ &=\sum_{k=1}^{\infty}\left[E\left(X_{1}^{2} I_{\left{k-1<\left|X_ {1}\right| \leq k\right}}\right)\left(\sum_{n=k}^{\infty} \frac{1}{n^{2}}\right)\right] \ & \leq \sum_{k=1}^{\infty}\left[k E\left(\left|X_{1}\right| I_{\left{k-1<\left|X_{1}\右| \leq k\right}}\right)\left(\frac{C}{k}\right)\right] \ &=C \sum_{k=1}^{\infty} E\left(\左|X_{1}\右| I_{\左{k-1< \left|X_{1}\right| \leq k\right}}\right) \ & \leq C E\left|X_{1}\right|<\infty, \end{aligned}\begin{aligned} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{E Y_{n}^{2}}{n^{2}} &=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}} E X_{n}^{2} I_{\left{\left|X_{n}\right| \leq n\right}}^{\infty} \ &=\sum_{n=1}^{\infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{n^{2}} E\left|X_{1}\right|^{2} I_{\left{k-1<\left|X_{1}\right| \leq k\right}} \ &=\sum_{k=1}^{\infty} \sum_{n=k}^{\infty} \frac{1}{n^{2}} E X_{1}^{2} I_{\left{k-1<\left|X_{1}\right| \leq k\right}} \ &=\sum_{k=1}^{\infty}\left[E\left(X_{1}^{2} I_{\left{k-1<\left|X_{1}\right| \leq k\right}}\right)\left(\sum_{n=k}^{\infty} \frac{1}{n^{2}}\right)\right] \ & \leq \sum_{k=1}^{\infty}\left[k E\left(\left|X_{1}\right| I_{\left{k-1<\left|X_{1}\right| \leq k\right}}\right)\left(\frac{C}{k}\right)\right] \ &=C \sum_{k=1}^{\infty} E\left(\left|X_{1}\right| I_{\left{k-1<\left|X_{1}\right| \leq k\right}}\right) \ & \leq C E\left|X_{1}\right|<\infty, \end{aligned}或者，我们也可以从（3.10）继续如下∑n=1∞和和n2n2≤∑到=1∞[到2磷(到−1<|X1|≤到)(C到)] ≤C∑到=1∞到磷(到−1<|X1|≤到) ≤C(1+和|X1|)<∞我们使用基本估计的地方∑n=到∞1n2≤C/到对于一些C>0和所有到≥1. （例如，如果到≥2， 然后∑n=到∞1n2≤∑n=到∞1(n−1)n≤1/(到−1)≤2/到.) 然后从推论 8.3.3 得出 (ii) 成立。
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随机过程代考
在概率论概念中，随机过程是随机变量的集合。 若一随机系统的样本点是随机函数，则称此函数为样本函数，这一随机系统全部样本函数的集合是一个随机过程。 实际应用中，样本函数的一般定义在时间域或者空间域。 随机过程的实例如股票和汇率的波动、语音信号、视频信号、体温的变化，随机运动如布朗运动、随机徘徊等等。
贝叶斯方法代考
贝叶斯统计概念及数据分析表示使用概率陈述回答有关未知参数的研究问题以及统计范式。后验分布包括关于参数的先验分布，和基于观测数据提供关于参数的信息似然模型。根据选择的先验分布和似然模型，后验分布可以解析或近似，例如，马尔科夫链蒙特卡罗 (MCMC) 方法之一。贝叶斯统计概念及数据分析使用后验分布来形成模型参数的各种摘要，包括点估计，如后验平均值、中位数、百分位数和称为可信区间的区间估计。此外，所有关于模型参数的统计检验都可以表示为基于估计后验分布的概率报表。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
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机器学习代写
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多元统计分析代考
基础数据: $N$ 个样本， $P$ 个变量数的单样本，组成的横列的数据表
变量定性: 分类和顺序；变量定量：数值
数学公式的角度分为: 因变量与自变量
时间序列分析代写
随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。
回归分析代写
多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。