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• Foundations of Data Science 数据科学基础

统计代写|高等概率论作业代写Advanced Probability Theory代考|Equivalent sequences; truncation

Definition: Two sequences of r.v.’s $\left{X_{n}\right}$ and $\left{Y_{n}\right}$ on $(\Omega, \mathcal{A}, P)$ are said to be equivalent iff
$$
\sum_{n=1}^{\infty} P\left(X_{n} \neq Y_{n}\right)<\infty
$$
THEOREM 7.1.1 Suppose that $\left{X_{n}\right}$ and $\left{Y_{n}\right}$ are equivalent.
134
(a) $\sum_{n=1}^{\infty}\left(X_{n}-Y_{n}\right)$ converges a.s.;
(b) If $a_{n} \uparrow \infty$, then $\frac{1}{a_{n}} \sum_{j=1}^{n}\left(X_{j}-Y_{j}\right) \rightarrow 0$ a.s.
Proof. By the Borel-Cantelli lemma, the assumption of equivalence implies
$$
P\left(\left{\omega: X_{n}(\omega) \neq Y_{n}(\omega)\right}, \text { i.o. }\right)=P\left(X_{n} \neq Y_{n}, i . o .\right)=0 .
$$
Hence.
$$
P\left(\left{\omega: X_{n}(\omega)=Y_{n}(\omega)\right}, u l t_{-}\right)=1-P\left(\left{X_{n} \neq Y_{n}\right}^{c}, i . o .\right)=1-P\left(X_{n} \neq Y_{n}, \text { i.o. }\right)=1 .
$$
Thus, $\exists$ a $P$-null set $N$ with the property: if $\omega \in \Omega-N, \exists n_{0}(\omega)$ such that
$$
n \geq n_{0}(\omega) \quad \Longrightarrow \quad X_{n}(\omega)=Y_{n}(\omega)
$$
For such an $\omega$, the two numerical sequences $\left{X_{n}(\omega)\right}$ and $\left{Y_{n}(\omega)\right}$ differ only in a finite number of terms (how many depending on $\omega$ ). In other words, the series $\sum_{n=1}^{\infty}\left(X_{n}(\omega)-Y_{n}(\omega)\right.$ ) consists of zeros from a certain point on. Both (a) and (b) of the theorem follow from this fact.
An easy and useful consequence of the last theorem is the following.
COROLLARY 7.1.1 Suppose that $\left{X_{n}\right}$ and $\left{Y_{n}\right}$ are equivalent, and $a_{n} \uparrow$. Then with probability one (a.s.)
(a) $\rangle_{u j=1}^{n} X_{3}$ or $\frac{1}{a_{n}} \sum_{j=1}^{n} X_{7}$ converges, divergey to $+\infty$ or -os, or fuetuatey in the aame way as $\sum_{j=1}^{n} Y_{j}$ or $\frac{1}{a_{n}} \sum_{j=1}^{n} Y_{j}$.
(b) In particular, if $a_{n}^{-1} \sum_{j=1}^{n} X_{j}$ converges in probability, so does $a_{n}^{-1} \sum_{j=1}^{n} Y_{j}$.
Proof. (a) follows from the proof of the last theorem. To show (b), if $a_{n}^{-1} \sum_{j=1}^{n} X_{j} \rightarrow_{p} X_{\text {, then }}$
$$
\frac{1}{a_{n}} \sum_{j=1}^{n} Y_{j}=\frac{1}{a_{n}} \sum_{j=1}^{n} X_{j}+\frac{1}{a_{n}} \sum_{j=1}^{n}\left(Y_{j}-X_{j}\right) \rightarrow_{P} X
$$

统计代写|高等概率论作业代写Advanced Probability Theory代考|Weak Law of Large Numbers

Proof of (ii). It is equivalent to show $\operatorname{Var}\left(\sum_{i=1}^{n} Y_{i}\right)=o\left(n^{2}\right)$. Note that $Y_{n}$ are independent (as functions of $X_{n}$ ) and bounded. Thus
$$
\operatorname{Var}\left(\sum_{i=1}^{n} Y_{i}\right)=\sum_{k=1}^{n} \operatorname{Var}\left(Y_{k}\right) \leq \sum_{k=1}^{n} E Y_{k}^{2}=\sum_{k=1}^{n} E X_{k}^{2} I_{\left{\left|X_{k}\right| \leq k\right}}=\sum_{k=1}^{n} E X_{1}^{2} I_{\left{\left|X_{1}\right| \leq k\right}}
$$
The crudest estimate of this is for all $k=1, \ldots, n$. But when $k$ is small, this bound may be too rough. This suggests that we should per. haps consider $k$ to be small and large separately.) To improve upon it, we shall use another level o) truncation. Let $\left{a_{n}\right}$ be a sequence of integers such that $0a_{n}\right.}\right}$
$\left.\leftrightharpoons n a_{n} E\left|X_{1}\right|+n^{2} E\left|X_{1}\right| I_{\left{\left|X_{1}\right|>a_{n}\right}}\right}$
which implies that
$$
0 \leq \operatorname{Var}(\bar{Y})=\frac{1}{n^{2}} \operatorname{Var}\left(\sum_{i=1}^{n} Y_{i}\right) \leq \frac{a_{n}}{n} E\left|X_{1}\right|+E\left|X_{1}\right| I_{\left{\left|X_{1}\right|>a_{n}\right}} \rightarrow 0
$$

统计代写|高等概率论作业代写Advanced Probability Theory代考|Classical forms of the WLLN

THEOREM $7.3 .1$ (Kolmogorov $(n)$-Feller $\left(a_{n}\right)$ ) Let $\left{X_{n}\right}$ be independent r.v.’s with $F_{n}(x)=P\left(X_{n} \leq\right.$ $x)$. Let $a_{n}>0$ and $a_{n} \uparrow \infty$. Then
$$
\frac{1}{a_{n}} \sum_{k=1}^{n} X_{k} \rightarrow p 0
$$
if and only if, as $n \rightarrow \infty$,
(i) $\sum_{k=1}^{n} P\left(\left|X_{1}\right| \geq a_{n}\right) \longrightarrow 0$
(ii) $E\left(\sum_{k=1}^{n} \frac{X_{1}}{a_{n}} I_{\left{\left|X_{1}\right|<a_{n}\right}}\right) \rightarrow 0$
(iii) $\operatorname{Var}\left(\sum_{k=1}^{n} \frac{X_{1}}{a_{n}} I_{\left{\left|X_{1}\right|<a_{n}\right}}\right) \rightarrow 0$
if and only if, by writing $Y_{n k}=\frac{X_{1}}{a_{n}} I\left{\frac{X_{1}}{a_{n}}<1\right}$, as $n \rightarrow \infty$,
(i) $\sum_{k=1}^{n} P\left(\left|X_{1}\right| \geq a_{n}\right) \longrightarrow 0$
(ii) $E\left(\sum_{k=1}^{n} Y_{n k}\right) \longrightarrow 0$
(iii) $\operatorname{Var}\left(\sum_{k=1}^{n} Y_{n k}\right) \rightarrow 0$.
Proof. Omitted. For details, please refer to Petrov (1995, p132), and Chung, who give two different treatments.
REMARK 7.3.1.
(1) Compare this with Kolmogorov’s three series theorem in the next chapter.
(2) For illustration, take $a_{n}=n$. Let $Y_{1}=X_{1} I\left{\left|X_{1}\right|<n\right}$, then (ii)-(iii) become
$$
E(\bar{Y}) \rightarrow 0, \quad \operatorname{var}(\bar{Y}) \rightarrow 0
$$

高等概率论代写

统计代写|高等概率论作业代写Advanced Probability Theory代考|Equivalent sequences; truncation

定义：两个 rv 序列\left{X_{n}\right}\left{X_{n}\right}和\left{Y_{n}\right}\left{Y_{n}\right}在(Ω,一种,磷)据说是等价的
∑n=1∞磷(Xn≠和n)<∞
定理 7.1.1 假设\left{X_{n}\right}\left{X_{n}\right}和\left{Y_{n}\right}\left{Y_{n}\right}是等价的。
134
（一）∑n=1∞(Xn−和n)收敛为；
(b) 如果一种n↑∞， 然后1一种n∑j=1n(Xj−和j)→0作为
证明。根据 Borel-Cantelli 引理，等价假设意味着
P\left(\left{\omega: X_{n}(\omega) \neq Y_{n}(\omega)\right}, \text { io }\right)=P\left(X_{n} \ neq Y_{n}, i . o .\right)=0 .P\left(\left{\omega: X_{n}(\omega) \neq Y_{n}(\omega)\right}, \text { io }\right)=P\left(X_{n} \ neq Y_{n}, i . o .\right)=0 .
因此。
P\left(\left{\omega: X_{n}(\omega)=Y_{n}(\omega)\right}, ul t_{-}\right)=1-P\left(\left{X_ {n} \neq Y_{n}\right}^{c}, i . o .\right)=1-P\left(X_{n} \neq Y_{n}, \text { io }\right) =1。P\left(\left{\omega: X_{n}(\omega)=Y_{n}(\omega)\right}, ul t_{-}\right)=1-P\left(\left{X_ {n} \neq Y_{n}\right}^{c}, i . o .\right)=1-P\left(X_{n} \neq Y_{n}, \text { io }\right) =1。
因此，∃一种磷-空集ñ与属性：如果ω∈Ω−ñ,∃n0(ω)这样
n≥n0(ω)⟹Xn(ω)=和n(ω)
对于这样一个ω, 两个数字序列\left{X_{n}(\omega)\right}\left{X_{n}(\omega)\right}和\left{Y_{n}(\omega)\right}\left{Y_{n}(\omega)\right}仅在有限数量的项上有所不同（多少取决于ω）。换句话说，系列∑n=1∞(Xn(ω)−和n(ω)) 从某一点开始由零组成。定理的 (a) 和 (b) 都是从这个事实得出的。
最后一个定理的一个简单而有用的结果如下。
推论 7.1.1 假设\left{X_{n}\right}\left{X_{n}\right}和\left{Y_{n}\right}\left{Y_{n}\right}是等价的，并且一种n↑. 然后以概率一 (as)
(a)⟩你j=1nX3要么1一种n∑j=1nX7收敛，发散到+∞或 -os 或 fuetuatey 以 aame 方式作为∑j=1n和j要么1一种n∑j=1n和j.
(b) 特别是，如果一种n−1∑j=1nXj在概率上收敛，所以也是一种n−1∑j=1n和j.
证明。(a) 来自最后定理的证明。为了显示 (b)，如果一种n−1∑j=1nXj→pX， 然后 
1一种n∑j=1n和j=1一种n∑j=1nXj+1一种n∑j=1n(和j−Xj)→磷X

统计代写|高等概率论作业代写Advanced Probability Theory代考|Weak Law of Large Numbers

(ii) 的证明。相当于显示在哪里⁡(∑一世=1n和一世)=○(n2). 注意和n是独立的（作为Xn) 和有界的。因此
\operatorname{Var}\left(\sum_{i=1}^{n} Y_{i}\right)=\sum_{k=1}^{n} \operatorname{Var}\left(Y_{k} \right) \leq \sum_{k=1}^{n} E Y_{k}^{2}=\sum_{k=1}^{n} E X_{k}^{2} I_{\left {\left|X_{k}\right| \leq k\right}}=\sum_{k=1}^{n} E X_{1}^{2} I_{\left{\left|X_{1}\right| \leq k\right}}\operatorname{Var}\left(\sum_{i=1}^{n} Y_{i}\right)=\sum_{k=1}^{n} \operatorname{Var}\left(Y_{k} \right) \leq \sum_{k=1}^{n} E Y_{k}^{2}=\sum_{k=1}^{n} E X_{k}^{2} I_{\left {\left|X_{k}\right| \leq k\right}}=\sum_{k=1}^{n} E X_{1}^{2} I_{\left{\left|X_{1}\right| \leq k\right}}
对所有人的最粗略估计到=1,…,n. 但当到很小，这个界限可能太粗糙了。这表明我们应该遵守。可能考虑到分别为小和大。）为了改进它，我们将使用另一个级别 o）截断。让\left{a_{n}\right}\left{a_{n}\right}是一个整数序列，使得0a_{n}\right.}\right}0a_{n}\right.}\right}
\left.\leftrightharpoons n a_{n} E\left|X_{1}\right|+n^{2} E\left|X_{1}\right| I_{\left{\left|X_{1}\right|>a_{n}\right}}\right}\left.\leftrightharpoons n a_{n} E\left|X_{1}\right|+n^{2} E\left|X_{1}\right| I_{\left{\left|X_{1}\right|>a_{n}\right}}\right}
这意味着
0 \leq \operatorname{Var}(\bar{Y})=\frac{1}{n^{2}} \operatorname{Var}\left(\sum_{i=1}^{n} Y_{i }\right) \leq \frac{a_{n}}{n} E\left|X_{1}\right|+E\left|X_{1}\right| I_{\left{\left|X_{1}\right|>a_{n}\right}} \rightarrow 00 \leq \operatorname{Var}(\bar{Y})=\frac{1}{n^{2}} \operatorname{Var}\left(\sum_{i=1}^{n} Y_{i }\right) \leq \frac{a_{n}}{n} E\left|X_{1}\right|+E\left|X_{1}\right| I_{\left{\left|X_{1}\right|>a_{n}\right}} \rightarrow 0

统计代写|高等概率论作业代写Advanced Probability Theory代考|Classical forms of the WLLN

定理7.3.1（科尔莫哥罗夫(n)-费勒(一种n)） 让\left{X_{n}\right}\left{X_{n}\right}独立房车Fn(X)=磷(Xn≤ X). 让一种n>0和一种n↑∞. 然后
1一种n∑到=1nX到→p0
当且仅当，如n→∞,
(一)∑到=1n磷(|X1|≥一种n)⟶0
(二)E\left(\sum_{k=1}^{n} \frac{X_{1}}{a_{n}} I_{\left{\left|X_{1}\right|<a_{n}\对}}\right) \rightarrow 0E\left(\sum_{k=1}^{n} \frac{X_{1}}{a_{n}} I_{\left{\left|X_{1}\right|<a_{n}\对}}\right) \rightarrow 0
㈢\operatorname{Var}\left(\sum_{k=1}^{n} \frac{X_{1}}{a_{n}} I_{\left{\left|X_{1}\right|<a_ {n}\right}}\right) \rightarrow 0\operatorname{Var}\left(\sum_{k=1}^{n} \frac{X_{1}}{a_{n}} I_{\left{\left|X_{1}\right|<a_ {n}\right}}\right) \rightarrow 0
当且仅当，通过写作Y_{n k}=\frac{X_{1}}{a_{n}} I\left{\frac{X_{1}}{a_{n}}<1\right}Y_{n k}=\frac{X_{1}}{a_{n}} I\left{\frac{X_{1}}{a_{n}}<1\right}， 作为n→∞,
(一)∑到=1n磷(|X1|≥一种n)⟶0
(二)和(∑到=1n和n到)⟶0
㈢在哪里⁡(∑到=1n和n到)→0.
证明。省略。详情请参考 Petrov (1995, p132) 和 Chung，他们给出了两种不同的处理方法。
备注 7.3.1。
(1) 将此与下一章中的 Kolmogorov 的三级数定理进行比较。
(2) 为了说明，取一种n=n. 让Y_{1}=X_{1} I\left{\left|X_{1}\right|<n\right}Y_{1}=X_{1} I\left{\left|X_{1}\right|<n\right}, 那么 (ii)-(iii) 变成
和(和¯)→0,在哪里⁡(和¯)→0

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随机过程代考

在概率论概念中，随机过程是随机变量的集合。 若一随机系统的样本点是随机函数，则称此函数为样本函数，这一随机系统全部样本函数的集合是一个随机过程。 实际应用中，样本函数的一般定义在时间域或者空间域。 随机过程的实例如股票和汇率的波动、语音信号、视频信号、体温的变化，随机运动如布朗运动、随机徘徊等等。

贝叶斯方法代考

贝叶斯统计概念及数据分析表示使用概率陈述回答有关未知参数的研究问题以及统计范式。后验分布包括关于参数的先验分布，和基于观测数据提供关于参数的信息似然模型。根据选择的先验分布和似然模型，后验分布可以解析或近似，例如，马尔科夫链蒙特卡罗 (MCMC) 方法之一。贝叶斯统计概念及数据分析使用后验分布来形成模型参数的各种摘要，包括点估计，如后验平均值、中位数、百分位数和称为可信区间的区间估计。此外，所有关于模型参数的统计检验都可以表示为基于估计后验分布的概率报表。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

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机器学习代写

随着AI的大潮到来，Machine Learning逐渐成为一个新的学习热点。同时与传统CS相比，Machine Learning在其他领域也有着广泛的应用，因此这门学科成为不仅折磨CS专业同学的“小恶魔”，也是折磨生物、化学、统计等其他学科留学生的“大魔王”。学习Machine learning的一大绊脚石在于使用语言众多，跨学科范围广，所以学习起来尤其困难。但是不管你在学习Machine Learning时遇到任何难题，StudyGate专业导师团队都能为你轻松解决。

多元统计分析代考

基础数据: $N$ 个样本， $P$ 个变量数的单样本，组成的横列的数据表
变量定性: 分类和顺序；变量定量：数值
数学公式的角度分为: 因变量与自变量

时间序列分析代写

随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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