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统计代写|高等概率论作业代写Advanced Probability Theory代考|Definition of uniform integrability
First definition of u.i.
For a single r.v. $X$, it can be easily shown from the DCT that
$$
\begin{gathered}
X \text { is integrable, i.e., } X \in L^{1}=L^{1}(\Omega, \mathcal{F}, P) \
\Longleftrightarrow E|X| I{|X|>K} \rightarrow 0 \text { as } K \rightarrow \infty, \
\left(\text { as } P(|X| I{|X|>K}>\epsilon)=P(|X|>K) \leq E|X| / K \rightarrow 0 \text { and }|X| I{|X|>K} \leq|X| \in L^{1}\right. \text {.) } \
\Longleftrightarrow \forall \varepsilon>0, \exists K>0 \text { such that } E|X| I{|X|>K} \leq \varepsilon \text { as } K \rightarrow \infty,
\end{gathered}
$$
This motivates the notion of uniform integrability for a collection of r.v.s $Y_{n}, n \geq 1$ by requiring $E\left{\left|Y_{n}\right| I_{\left{\left|Y_{n}\right|>C\right}}\right} \rightarrow 0$ as $C \rightarrow \infty$ uniformly in $n$ :
DEFINITION 6.5.1 A sequence of $r . v$.’s $\left{Y_{n}, n \geq 1\right}$ on $(\Omega, \mathcal{A}, P)$ is u.i. if and only if
$$
\lim {C \rightarrow \infty} \sup {n \geq 1} E\left{\left|Y_{n}\right| I_{\left{\left|Y_{n}\right|>C\right}}\right}=0 .
$$
REMARK $6.5 .1$
- As can be seen from Theorem 6.5.1 below, Definition 6.5.1 implies
$$
\sup {n} E\left|Y{n}\right| \leq M<\infty,
$$
which means that $Y_{n}$ are all “integrable together”. But this does not mean “uniform integrable”; see Theorem 6.5.1 below. - A more general definition than Definition 6.5.1 can be given as follows: A collection of r.v.s $\left{X_{i}, i \in\right.$ $I}$ is said to be u.i. if $\lim {C \rightarrow \infty} \sup {i \in I} E\left{\left|X_{i}\right| I_{\left{\left|X_{i}\right|>C\right}}\right}=0$.
Second definition of u.i.
We will give an alternative definition of u.i. below, which is sometimes very useful. To motivate us, we give the following lemma first, which proves a stronger statement than $E|X| I{|X|>K} \rightarrow 0$ as $K \rightarrow \infty$, given earlier.
LEMMA 6.5.1 (An “absolute continuity” property) If $X$ is integrable, i.e., $X \in L^{1}$, then, $Q(A):=$ $E_{A}|X|$ is absolutely continuous, i.e., $\forall \varepsilon>0, \exists \delta>0$ such that for any $A \in \mathcal{A}$,
$$
Q(A):=E_{A}|X| \equiv E|X| I_{A}<\epsilon, \quad \text { whenever } \quad P(A)<\delta \text {. } $$ Proof. If the conclusion is false, then for some $\varepsilon_{0}>\overline{0}$, we can find a sequence $\left(A_{n}\right)$ of r.v.s such that
$$
P\left(A_{n}\right)<2^{-n}, \quad \text { and } \quad E|X| I_{A_{n}} \geq \epsilon 0 .
$$
Let $H:=\lim \sup A_{n}$. Since $\sum_{n} P\left(A_{n}\right)<\infty$, then by the Borel-Contelli lemma, we have
$$
P(H)=P\left(\lim \sup A_{n}\right)=P\left(A_{n}, i . o\right)=0,
$$
which implies that
$$
E_{H}|X|=E|X| I_{H}=0 .
$$
统计代写|高等概率论作业代写Advanced Probability Theory代考|Convergence in prob. + u.i. =⇒ convergence in mean
The next theorem weakens the dominance condition in Theorem $6.4 .2$ to u.i. condition.
THEOREM 6.5.3 (Vitali’s Theorem) Suppose that $X_{n} \rightarrow_{p} X$, and $E\left|X_{n}\right|^{r}<\infty$ all $n$ (i.e. $X_{n} \in L_{r}$ ). Then the following three statements are equivalent. (i) $\left{X_{n}^{r}\right}$ is u.i.; (ii) $X_{n} \rightarrow X$ in $L_{r}$; and $E|X|^{r}<\infty$. (iii) $E\left|X_{n}\right|^{r} \rightarrow E|X|^{r}<\infty$. Proof. $”(i) \Longrightarrow(i i)^{\top}$. Suppose (i) holds. We show (ii) in 3 steps. (a). We first show that $E|X|^{r}<\infty$. Proof. Since $X_{n} \rightarrow p, X, \exists$ a subsequence $\left{n_{k}\right}$ such that $\lim {k \rightarrow \infty} X{n_{k}}=X$ a.s., thus $\lim {k \rightarrow \infty}\left|X{n_{k}}\right|^{r}=|X|^{r}$ a.s. (See Theorem 6.6.2.) By Fatou’s Lemma, $$ E|X|^{r}=E \lim {k \rightarrow \infty}\left|X{n_{k}}\right|^{r}=E \liminf {k}\left|X{n_{k}}\right|^{r} \leq \liminf {k} E\left|X{n_{k}}\right|^{r} \leq \sup {n} E\left|X{n}\right|^{r}<\infty, $$ where the last inequality follows from assumption (i): $\left{X_{n}^{r}\right}$ is u.i. (b). Secondly, we show that $\left{\left|X_{n}-X\right|^{r}\right}$ is u.i. Proof. We will use $C_{r}$ inequality $\left|X_{n}-X\right|^{r} \leq C_{r}\left(\left|X_{n}\right|^{r}+|X|^{r}\right)$. See Lemma $6.6 .1$ later on. Then apply Theorem $6.5 .2$, part 2 . (c). Finally, we show that $X_{n} \rightarrow X$ in $L_{r}$. Proof. Fix $\epsilon_{0}>0$, we have $E\left|X_{n}-X\right|^{r} I_{\left{\left|X_{n}-X\right|>\epsilon_{0}\right}} \rightarrow 0$ as $P\left(\left|X_{w}-X\right|>\epsilon_{0}\right) \rightarrow 0$. Hence,
$$
\begin{aligned}
E\left|X_{n}-X\right|^{r} &=E\left|X_{n}-X\right|^{r} I_{\left{\left|X_{n}-X\right| \leq \epsilon_{0}\right}}+E\left|X_{n}-X\right|^{r} I_{\left{\left|X_{n}-X\right|>c_{0}\right}} \
& \leq \epsilon_{0}^{r}+E\left|X_{n}-X\right|^{r} I_{\left{\left|X_{n}-X\right|>\epsilon_{0}\right}} \
& \rightarrow \epsilon_{0}^{r} .
\end{aligned}
$$
Thus, $X_{n} \rightarrow X$ in $L_{r}$.
$”(i i) \Longrightarrow($ iii $) “$. See Theorem $6.5 .4$ below.
$”(i i i) \Longrightarrow(i) ” .$
统计代写|高等概率论作业代写Advanced Probability Theory代考|Relationship between Lr convergence and convergence of moments
THEOREM 6.5.4 Suppose that $X_{n} \rightarrow X$ in $L_{r}(r>0)$, and $E|X|^{r}<\infty$. Then (i). $\lim {n} E\left|X{n}\right|^{r}=E|X|^{r}$, (ii). $\lim {n} E X{n}^{r}=E X^{r}$. Proof. (i). For $01$, apply Minkowski’s inequality to obtain
$$
\left|\left(E\left|X_{n}\right|^{r}\right)^{1 / r}-\left(E|X|^{r}\right)^{1 / r}\right| \leq\left(E\left|X_{n}-X\right|^{r}\right)^{1 / r}
$$
From the assumptions, we get $\lim {n}\left(E\left|X{n}\right|^{r}\right)^{1 / r}=\left(E|X|^{r}\right)^{1 / r}$, i.e. $\lim {n} E\left|X{n}\right|^{r}=E|X|^{r}$.
(ii). It follows from (i) and Vitali Theorem that $\left{X_{n}^{r}\right}$ is u.i. Also from the assumptions, we
Remarks.
(i). The mean convergence $X_{n} \rightarrow X$ in $L_{r}(r>0)$ does not imply $X_{n} \in L_{r}$ or $X \in L_{r}$. For example, take $X_{n} \equiv X=$ Cauchy, then $X_{n} \rightarrow X$ in $L^{1}$, but $X_{n}=X \notin L_{1}$
(ii). If $X_{n} \rightarrow X$ in $L_{r}$, then the mean convergence $X_{n} \rightarrow X$ in $L_{r}$ implies convergence in moments (from the last theorem).
The converse may not be true. Take $r=2, X_{2 n+1}=X$, and $X_{2 n}=-X$ with $0<E X^{2}<\infty$. Clearly, $X_{n} \rightarrow X$ in $L_{r}$, but $X_{n} \neq X$ in $L_{r}$
高等概率论代写
统计代写|高等概率论作业代写Advanced Probability Theory代考|Definition of uniform integrability
ui的第一个定义
对于单个rvX，从 DCT 可以很容易地证明
X 是可积的，即 X∈一世1=一世1(Ω,F,磷) ⟺和|X|一世|X|>到→0 作为 到→∞, ( 作为 磷(|X|一世|X|>到>ε)=磷(|X|>到)≤和|X|/到→0 和 |X|一世|X|>到≤|X|∈一世1.) ⟺∀e>0,∃到>0 这样 和|X|一世|X|>到≤e 作为 到→∞,
这激发了 rvs 集合的统一可积性的概念和n,n≥1通过要求E\left{\left|Y_{n}\right| I_{\left{\left|Y_{n}\right|>C\right}}\right} \rightarrow 0E\left{\left|Y_{n}\right| I_{\left{\left|Y_{n}\right|>C\right}}\right} \rightarrow 0作为C→∞均匀地在n:
定义 6.5.1 一个序列r.v.的\left{Y_{n}, n \geq 1\right}\left{Y_{n}, n \geq 1\right}在(Ω,一种,磷)是 ui 当且仅当
\lim {C \rightarrow \infty} \sup {n \geq 1} E\left{\left|Y_{n}\right| I_{\left{\left|Y_{n}\right|>C\right}}\right}=0 。\lim {C \rightarrow \infty} \sup {n \geq 1} E\left{\left|Y_{n}\right| I_{\left{\left|Y_{n}\right|>C\right}}\right}=0 。
评论6.5.1
- 从下面的定理 6.5.1 可以看出，定义 6.5.1 意味着
支持n和|和n|≤米<∞,
意思就是和n都是“可集成的”。但这并不意味着“一致可积”；见下面的定理 6.5.1。 - 比定义 6.5.1 更一般的定义如下： rvs 的集合\left{X_{i}, 我 \in\right.$ $I}\left{X_{i}, 我 \in\right.$ $I}据说是ui if\lim {C \rightarrow \infty} \sup {i \in I} E\left{\left|X_{i}\right| I_{\left{\left|X_{i}\right|>C\right}}\right}=0\lim {C \rightarrow \infty} \sup {i \in I} E\left{\left|X_{i}\right| I_{\left{\left|X_{i}\right|>C\right}}\right}=0.
ui 的第二种定义
下面我们将给出ui 的另一种定义，它有时非常有用。为了激励我们，我们首先给出以下引理，这证明了比和|X|一世|X|>到→0作为到→∞，前面给出。
LEMMA 6.5.1（“绝对连续性”属性）如果X是可积的，即X∈一世1， 然后，问(一种):= 和一种|X|是绝对连续的，即∀e>0,∃d>0这样对于任何一种∈一种,
问(一种):=和一种|X|≡和|X|一世一种<ε, 每当 磷(一种)<d. 证明。如果结论是错误的，那么对于某些e0>0¯，我们可以找到一个序列(一种n)房车这样
磷(一种n)<2−n, 和 和|X|一世一种n≥ε0.
让H:=林支持一种n. 自从∑n磷(一种n)<∞，那么根据 Borel-Contelli 引理，我们有
磷(H)=磷(林支持一种n)=磷(一种n,一世.○)=0,
这意味着
和H|X|=和|X|一世H=0.
统计代写|高等概率论作业代写Advanced Probability Theory代考|Convergence in prob. + u.i. =⇒ convergence in mean
下一个定理削弱了定理中的优势条件6.4.2到 ui 条件。
定理 6.5.3（维塔利定理）假设Xn→pX， 和和|Xn|r<∞全部n（IEXn∈一世r）。那么下面三个语句是等价的。（一世）\left{X_{n}^{r}\right}\left{X_{n}^{r}\right}是ui；(二)Xn→X在一世r; 和和|X|r<∞. ㈢和|Xn|r→和|X|r<∞. 证明。”(一世)⟹(一世一世)⊤. 假设 (i) 成立。我们分 3 步展示 (ii)。（一种）。我们首先证明和|X|r<∞. 证明。自从Xn→p,X,∃一个子序列\左{n_{k}\右}\左{n_{k}\右}这样林到→∞Xn到=X作为，因此林到→∞|Xn到|r=|X|r如（参见定理 6.6.2。）由 Fatou 引理，和|X|r=和林到→∞|Xn到|r=和林inf到|Xn到|r≤林inf到和|Xn到|r≤支持n和|Xn|r<∞,其中最后一个不等式来自假设 (i)：\left{X_{n}^{r}\right}\left{X_{n}^{r}\right}是 ui (b)。其次，我们证明\left{\left|X_{n}-X\right|^{r}\right}\left{\left|X_{n}-X\right|^{r}\right}是ui证明。我们将使用Cr不等式|Xn−X|r≤Cr(|Xn|r+|X|r). 见引理6.6.1稍后的。然后应用定理6.5.2， 第2部分 。（C）。最后，我们证明Xn→X在一世r. 证明。使固定ε0>0， 我们有E\left|X_{n}-X\right|^{r} I_{\left{\left|X_{n}-X\right|>\epsilon_{0}\right}} \rightarrow 0E\left|X_{n}-X\right|^{r} I_{\left{\left|X_{n}-X\right|>\epsilon_{0}\right}} \rightarrow 0作为磷(|X在−X|>ε0)→0. 因此，
\begin{aligned} E\left|X_{n}-X\right|^{r} &=E\left|X_{n}-X\right|^{r} I_{\left{\left|X_ {n}-X\右| \leq \epsilon_{0}\right}}+E\left|X_{n}-X\right|^{r} I_{\left{\left|X_{n}-X\right|>c_{0 }\right}} \ & \leq \epsilon_{0}^{r}+E\left|X_{n}-X\right|^{r} I_{\left{\left|X_{n}-X \right|>\epsilon_{0}\right}} \ & \rightarrow \epsilon_{0}^{r} 。\end{对齐}\begin{aligned} E\left|X_{n}-X\right|^{r} &=E\left|X_{n}-X\right|^{r} I_{\left{\left|X_ {n}-X\右| \leq \epsilon_{0}\right}}+E\left|X_{n}-X\right|^{r} I_{\left{\left|X_{n}-X\right|>c_{0 }\right}} \ & \leq \epsilon_{0}^{r}+E\left|X_{n}-X\right|^{r} I_{\left{\left|X_{n}-X \right|>\epsilon_{0}\right}} \ & \rightarrow \epsilon_{0}^{r} 。\end{对齐}
因此，Xn→X在一世r.
”(一世一世)⟹(三)“. 见定理6.5.4以下。
”(一世一世一世)⟹(一世)”.
统计代写|高等概率论作业代写Advanced Probability Theory代考|Relationship between Lr convergence and convergence of moments
定理 6.5.4 假设Xn→X在一世r(r>0)， 和和|X|r<∞. 然后我）。林n和|Xn|r=和|X|r，（二）。林n和Xnr=和Xr. 证明。（一世）。为了01, 应用 Minkowski 不等式得到
|(和|Xn|r)1/r−(和|X|r)1/r|≤(和|Xn−X|r)1/r
根据假设，我们得到林n(和|Xn|r)1/r=(和|X|r)1/r， IE林n和|Xn|r=和|X|r.
(二)。从 (i) 和 Vitali 定理得出\left{X_{n}^{r}\right}\left{X_{n}^{r}\right}是 ui 也是从假设出发，我们
备注。
（一世）。平均收敛Xn→X在一世r(r>0)并不意味着Xn∈一世r要么X∈一世r. 例如，取Xn≡X=那么柯西Xn→X在一世1， 但Xn=X∉一世1
(二)。如果Xn→X在一世r, 那么平均收敛Xn→X在一世r意味着瞬间收敛（从最后一个定理）。
反过来可能不是真的。拿r=2,X2n+1=X， 和X2n=−X和0<和X2<∞. 清楚地，Xn→X在一世r， 但Xn≠X在一世r
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随机过程代考
在概率论概念中，随机过程是随机变量的集合。 若一随机系统的样本点是随机函数，则称此函数为样本函数，这一随机系统全部样本函数的集合是一个随机过程。 实际应用中，样本函数的一般定义在时间域或者空间域。 随机过程的实例如股票和汇率的波动、语音信号、视频信号、体温的变化，随机运动如布朗运动、随机徘徊等等。
贝叶斯方法代考
贝叶斯统计概念及数据分析表示使用概率陈述回答有关未知参数的研究问题以及统计范式。后验分布包括关于参数的先验分布，和基于观测数据提供关于参数的信息似然模型。根据选择的先验分布和似然模型，后验分布可以解析或近似，例如，马尔科夫链蒙特卡罗 (MCMC) 方法之一。贝叶斯统计概念及数据分析使用后验分布来形成模型参数的各种摘要，包括点估计，如后验平均值、中位数、百分位数和称为可信区间的区间估计。此外，所有关于模型参数的统计检验都可以表示为基于估计后验分布的概率报表。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
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机器学习代写
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多元统计分析代考
基础数据: $N$ 个样本， $P$ 个变量数的单样本，组成的横列的数据表
变量定性: 分类和顺序；变量定量：数值
数学公式的角度分为: 因变量与自变量
时间序列分析代写
随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。
回归分析代写
多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。