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数论Number theory是一门有着极其悠久和丰富历史的学科。研究数论，并适当关注它的历史提醒我们，这门学科一直是一个激烈的竞争人类活动。许多其他的数学学科，例如微积分，毫无疑问会像今天这样发展，完全独立于参与实际发展的个人，但数论的发展却奇妙而离奇，这在很大程度上取决于多年来发展这门学科的人的特殊兴趣。

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数学代写|数论作业代写number theory代考|Sums of Powers

We now apply the general method of the preceding section to the case when the polynomial $F$ is equal to a sum of powers of the variables, i.e.,
$$
F\left(x_1, \ldots, x_n\right)=a_1 x_1^{r_1}+\cdots+a_n x_n^{r_n}, \quad a_i \not \equiv 0(\bmod p) .
$$
We shall assume that $n \geqslant 3$, since for $n=1$ and $n=2$ the number of solutions of the congruence $F \equiv 0(\bmod p)$ can be found by an elementary method.
By formula (2.4) the number $N$ of solutions to the congruence $a_1 x_1{ }^{r_1}+\cdots$ $+a_n x_n{ }^{r_n} \equiv 0(\bmod p)$ is given by the expression
$$
N=p^{n-1}+\frac{1}{p} \sum_x^{\prime} \sum_{x_1 \ldots . . x_n} \zeta^{x\left(a_1 x_1 r_1+\cdots+a_n x_n n_n\right)},
$$
which can be written in the form
$$
N=p^{n-1}+\frac{1}{p} \sum_x^{\prime} \prod_{i=1}^n \sum_{x_i} \zeta^{a_i x x_i r_i} .
$$
Hence we must investigate sums of the form
$$
\sum_y \zeta^{a y^r}(a \not \equiv 0(\bmod p))
$$

Clearly,
$$
\sum_y \zeta^{a y^r}=\sum_x m(x) \zeta^{a x},
$$
where $m(x)$ is the number of solutions to the congruence $y^r \equiv x(\bmod p)$. It is clear that $m(0)=1$. We shall find an explicit formula for $m(x)$ when $x \not \equiv 0$ $(\bmod p)$.
If $g$ is a primitive root modulo $p$, then
$$
x \equiv g^k(\bmod p),
$$
where the exponent $k$ is uniquely determined modulo $p-1$. Let $y \equiv g^4$ $(\bmod p)$. The congruence $y^r \equiv x(\bmod p)$ is then equivalent to the congruence
$$
r u \equiv k(\bmod p-1) .
$$

数学代写|数论作业代写number theory代考|The Absolute Value of Gaussian Sums

Consider the set $\mathfrak{F}$ of all complex functions $f(x)$, defined for rational integers $x$, and satisfying the condition: $f(x)=f(y)$ if $x \equiv y(\bmod p)$. Since each function $f(x) \in \mathbb{F}$ is determined by its values on a full system of residues modulo $p, \mathfrak{F}$ is a $p$-dimensional linear space over the field of complex numbers. We introduce a Hermitian inner product on $\mathfrak{F}$ by setting
$$
(f, g)=\frac{1}{p} \sum_x f(x) \overline{g(x)} \quad(f, g \in \mathfrak{F}) .
$$

It is easily checked that with respect to this inner product the $p$ functions
$$
f_a(x)=\zeta^{-a x} \quad(a \text { a residue }(\bmod p))
$$
form an orthonormal basis for $\mathfrak{F}$. Indeed, by (2.2),
$$
\left(f_a, f_{a^{\prime}}\right)=\frac{1}{p} \sum_x \zeta^{\left(a^{\prime}-a\right) x}=\left{\begin{array}{lll}
1 & \text { for } & a \equiv a^{\prime}(\bmod p), \
0 & \text { for } & a \neq a^{\prime}(\bmod p) .
\end{array}\right.
$$
The functions (2.17), which satisfy
$$
f_a(x+y)=f_a(x) f_a(y),
$$
are called additive characters modulo $p$. We shall find the coordinates of a multiplicative character $\chi$ with respect to the basis (2.17). Let
$$
\chi=\sum_a \alpha_a f_a .
$$
Then
$$
\alpha_a=\left(\chi, f_a\right)=\frac{1}{p} \sum_x \chi(x) \zeta^{a x}=\frac{1}{p} \tau_a(\chi) .
$$

数论作业代写

数学代写|数论作业代写number theory代考|Sums of Powers

现在，我们将上一节的一般方法应用于多项式$F$等于变量的幂和的情况，即:
$$
F\left(x_1, \ldots, x_n\right)=a_1 x_1^{r_1}+\cdots+a_n x_n^{r_n}, \quad a_i \not \equiv 0(\bmod p) .
$$
我们假定为$n \geqslant 3$，因为对于$n=1$和$n=2$，同余$F \equiv 0(\bmod p)$的解的个数可以用初等方法求出。
由式(2.4)，同余式$a_1 x_1{ }^{r_1}+\cdots$$+a_n x_n{ }^{r_n} \equiv 0(\bmod p)$的解的个数$N$由式给出
$$
N=p^{n-1}+\frac{1}{p} \sum_x^{\prime} \sum_{x_1 \ldots . . x_n} \zeta^{x\left(a_1 x_1 r_1+\cdots+a_n x_n n_n\right)},
$$
哪个可以写成这种形式
$$
N=p^{n-1}+\frac{1}{p} \sum_x^{\prime} \prod_{i=1}^n \sum_{x_i} \zeta^{a_i x x_i r_i} .
$$
因此我们必须研究这种形式的和
$$
\sum_y \zeta^{a y^r}(a \not \equiv 0(\bmod p))
$$

显然，
$$
\sum_y \zeta^{a y^r}=\sum_x m(x) \zeta^{a x},
$$
$m(x)$是同余式的解的个数$y^r \equiv x(\bmod p)$。很明显，$m(0)=1$。当$x \not \equiv 0$$(\bmod p)$时，我们将找到$m(x)$的显式公式。
如果$g$是一个原始根模$p$，则
$$
x \equiv g^k(\bmod p),
$$
其中指数$k$是唯一确定模$p-1$。让$y \equiv g^4$$(\bmod p)$。同余$y^r \equiv x(\bmod p)$就等价于同余
$$
r u \equiv k(\bmod p-1) .
$$

数学代写|数论作业代写number theory代考|The Absolute Value of Gaussian Sums

考虑所有复函数$f(x)$的集合$\mathfrak{F}$，为有理数$x$定义，并且满足条件:$f(x)=f(y)$ if $x \equiv y(\bmod p)$。因为每个函数$f(x) \in \mathbb{F}$是由它在一个完整的残数模系统上的值决定的，所以$p, \mathfrak{F}$是复数域上的一个$p$维线性空间。我们通过设置引入$\mathfrak{F}$上的厄米内积
$$
(f, g)=\frac{1}{p} \sum_x f(x) \overline{g(x)} \quad(f, g \in \mathfrak{F}) .
$$

对于这个内积，很容易检验$p$函数
$$
f_a(x)=\zeta^{-a x} \quad(a \text { a residue }(\bmod p))
$$
形成$\mathfrak{F}$的标准正交基。事实上，在(2.2)中，
$$
\left(f_a, f_{a^{\prime}}\right)=\frac{1}{p} \sum_x \zeta^{\left(a^{\prime}-a\right) x}=\left{\begin{array}{lll}
1 & \text { for } & a \equiv a^{\prime}(\bmod p), \
0 & \text { for } & a \neq a^{\prime}(\bmod p) .
\end{array}\right.
$$
函数(2.17)，满足
$$
f_a(x+y)=f_a(x) f_a(y),
$$
称为加性字符模$p$。我们将找到关于基(2.17)的乘法字符$\chi$的坐标。让
$$
\chi=\sum_a \alpha_a f_a .
$$
然后
$$
\alpha_a=\left(\chi, f_a\right)=\frac{1}{p} \sum_x \chi(x) \zeta^{a x}=\frac{1}{p} \tau_a(\chi) .
$$

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写

随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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数学代写|数论作业代写number theory代考|Roots of Unity

The theorems of this section give us some information about which roots of unity can belong to the ring of integers $O_K$ of an algebraic number field $K$.
We recall that if $\zeta_k$ is a primitive $k$ th root of unity then
$$
\left[\mathbb{Q}\left(\zeta_k\right): \mathbb{Q}\right]=\phi(k),
$$
where Euler’s phi function $\phi$ is defined by
$$
\begin{gathered}
\phi(k)=\text { number of integers } m \text { satisfying } \
1 \leq m \leq k \text { with }(m, k)=1 .
\end{gathered}
$$
that $\phi$ is multiplicative; that is,
$$
\phi(k l)=\phi(k) \phi(l)
$$
whenever $k$ and $l$ are coprime positive integers. If $p$ is a prime there are $p^a-1$ positive integers less than $p^a(a \geq 1)$ of which $p^{a-1}-1$ are multiples of $p$ and the remainder coprime with $p$. Hence
$$
\phi\left(p^a\right)=\left(p^a-1\right)-\left(p^{a-1}-1\right)=p^a-p^{a-1}=p^{a-1}(p-1) .
$$
Thus if $k=p_1^{a_1} \cdots p_r^{a_r}$ is the factorization of $k$ into powers of distinct primes $p_1, \ldots, p_r$ then by (13.5.3) and (13.5.4) we deduce that
$$
\phi(k)=p_1^{a_1-1} \cdots p_r^{a_r-1}\left(p_1-1\right) \cdots\left(p_r-1\right) .
$$
Using the prime power decompositions of the positive integers up to 40 in conjunction with (13.5.5), we obtain the following table of values of $\phi(k), k=1,2, \ldots, 40$.

数学代写|数论作业代写number theory代考|Fundamental Units in Cubic Fields

Let $K$ be a cubic field with exactly one real embedding. By Theorem 13.4 .2 we know that $K$ possesses a fundamental unit $\eta$. Suppose further that $K$ is a real field. Then $\eta \in \mathbb{R}$. By Theorem 13.5.3 the only roots of unity in $K$ are \pm 1 . Hence the only fundamental units are $\pm \eta$ and $\pm \eta^{-1}$. Exactly one of these four units is greater than 1. Thus $K$ has a unique fundamental unit $\eta>1$. We determine $\eta$ for $K=\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})$ and $K=\mathbb{Q}(\sqrt[3]{3})$. The main tool is Theorem 13.6.3, which gives a lower bound for the fundamental unit in terms of the discriminant of the field $K$.

We first prove two elementary inequalities needed in the proof of Theorem 13.6.3.
Lemma 13.6.1 For all $x \in \mathbb{R}$ and all $\theta \in \mathbb{R}$
$$
\sin ^2 \theta(x-2 \cos \theta)^2<x^2+4 .
$$
Proof: For all $\theta \in \mathbb{R}$ we have
$$
\begin{aligned}
1-\sin ^2 \theta \cos ^2 \theta-\sin ^4 \theta & =1-\sin ^2 \theta\left(\cos ^2 \theta+\sin ^2 \theta\right) \
& =1-\sin ^2 \theta=\cos ^2 \theta \geq 0
\end{aligned}
$$

with equality if and only if $\theta=(2 k+1) \pi / 2, k \in \mathbb{Z}$. Thus, for all $x \in \mathbb{R}$ and all $\theta \in \mathbb{R}$, we have
$$
\left(x \cos \theta+2 \sin ^2 \theta\right)^2+4\left(1-\sin ^2 \theta \cos ^2 \theta-\sin ^4 \theta\right)>0
$$
as
$$
x \cos \left(\frac{(2 k+1) \pi}{2}\right)+2 \sin ^2\left(\frac{(2 k+1) \pi}{2}\right)=2 .
$$
Expanding the square in (13.6.1), we obtain
$$
x^2 \cos ^2 \theta+4 x \sin ^2 \theta \cos \theta+4-4 \sin ^2 \theta \cos ^2 \theta>0,
$$
so that
$$
-4 x \sin ^2 \theta \cos \theta+4 \sin ^2 \theta \cos ^2 \theta<x^2 \cos ^2 \theta+4 .
$$
Thus
$$
\begin{aligned}
\sin ^2 \theta(x-2 \cos \theta)^2 & =x^2 \sin ^2 \theta-4 x \sin ^2 \theta \cos \theta+4 \sin ^2 \theta \cos ^2 \theta \
& <x^2 \sin ^2 \theta+x^2 \cos ^2 \theta+4=x^2+4
\end{aligned}
$$

数论作业代写

数学代写|数论作业代写number theory代考|Roots of Unity

本节的定理给了我们一些信息，关于哪些单位根可以属于代数数域$K$的整数环$O_K$。
我们回想一下，如果$\zeta_k$是一个原始的$k$统一的根，那么
$$
\left[\mathbb{Q}\left(\zeta_k\right): \mathbb{Q}\right]=\phi(k),
$$
欧拉函数$\phi$的定义是
$$
\begin{gathered}
\phi(k)=\text { number of integers } m \text { satisfying } \
1 \leq m \leq k \text { with }(m, k)=1 .
\end{gathered}
$$
表明$\phi$是可乘的;也就是说，
$$
\phi(k l)=\phi(k) \phi(l)
$$
当$k$和$l$是正素数时。如果$p$是素数，则有$p^a-1$个小于$p^a(a \geq 1)$的正整数，其中$p^{a-1}-1$是$p$的倍数，其余数是$p$的质数。因此
$$
\phi\left(p^a\right)=\left(p^a-1\right)-\left(p^{a-1}-1\right)=p^a-p^{a-1}=p^{a-1}(p-1) .
$$
因此，如果$k=p_1^{a_1} \cdots p_r^{a_r}$是$k$的因数分解成不同质数$p_1, \ldots, p_r$的幂，那么由(13.5.3)和(13.5.4)我们可以推断出
$$
\phi(k)=p_1^{a_1-1} \cdots p_r^{a_r-1}\left(p_1-1\right) \cdots\left(p_r-1\right) .
$$
结合式(13.5.5)，利用40以内的正整数的素数幂分解，我们得到$\phi(k), k=1,2, \ldots, 40$的下表值。

数学代写|数论作业代写number theory代考|Fundamental Units in Cubic Fields

设$K$是一个只有一个实嵌入的三次场。根据定理13.4 .2，我们知道$K$拥有一个基本单位$\eta$。进一步假设$K$是一个实域。然后$\eta \in \mathbb{R}$。根据定理13.5.3,$K$中唯一的统一根是\pm 1。因此，唯一的基本单位是$\pm \eta$和$\pm \eta^{-1}$。这四个单位中正好有一个大于1。因此$K$有一个独特的基本单位$\eta>1$。我们为$K=\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})$和$K=\mathbb{Q}(\sqrt[3]{3})$确定$\eta$。主要的工具是定理13.6.3，它给出了根据域$K$的判别式的基本单位的下界。

我们首先证明定理13.6.3中需要的两个初等不等式。
引理13.6.1 For all $x \in \mathbb{R}$ and all $\theta \in \mathbb{R}$
$$
\sin ^2 \theta(x-2 \cos \theta)^2<x^2+4 .
$$
证明:为所有$\theta \in \mathbb{R}$我们拥有
$$
\begin{aligned}
1-\sin ^2 \theta \cos ^2 \theta-\sin ^4 \theta & =1-\sin ^2 \theta\left(\cos ^2 \theta+\sin ^2 \theta\right) \
& =1-\sin ^2 \theta=\cos ^2 \theta \geq 0
\end{aligned}
$$

相等当且仅当$\theta=(2 k+1) \pi / 2, k \in \mathbb{Z}$。因此，对于所有$x \in \mathbb{R}$和所有$\theta \in \mathbb{R}$，我们有
$$
\left(x \cos \theta+2 \sin ^2 \theta\right)^2+4\left(1-\sin ^2 \theta \cos ^2 \theta-\sin ^4 \theta\right)>0
$$
as
$$
x \cos \left(\frac{(2 k+1) \pi}{2}\right)+2 \sin ^2\left(\frac{(2 k+1) \pi}{2}\right)=2 .
$$
展开式(13.6.1)中的平方，得到
$$
x^2 \cos ^2 \theta+4 x \sin ^2 \theta \cos \theta+4-4 \sin ^2 \theta \cos ^2 \theta>0,
$$
如此……以至于……
$$
-4 x \sin ^2 \theta \cos \theta+4 \sin ^2 \theta \cos ^2 \theta<x^2 \cos ^2 \theta+4 .
$$
因此
$$
\begin{aligned}
\sin ^2 \theta(x-2 \cos \theta)^2 & =x^2 \sin ^2 \theta-4 x \sin ^2 \theta \cos \theta+4 \sin ^2 \theta \cos ^2 \theta \
& <x^2 \sin ^2 \theta+x^2 \cos ^2 \theta+4=x^2+4
\end{aligned}
$$

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金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

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非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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如果你也在 怎样代写数论Number theory 学科遇到相关的难题，请随时右上角联系我们的24/7代写客服。数论Number theory很美。这很有趣。这就是为什么人们几千年来一直这样做，为什么人们今天仍然这样做。数论是如此自然地吸引人，它为数学专业的学生或非专业的学生提供了一个完美的介绍，让他们了解为了数学本身而做数学的想法，以及从中获得的乐趣。

数论Number theory是一门有着极其悠久和丰富历史的学科。研究数论，并适当关注它的历史提醒我们，这门学科一直是一个激烈的竞争人类活动。许多其他的数学学科，例如微积分，毫无疑问会像今天这样发展，完全独立于参与实际发展的个人，但数论的发展却奇妙而离奇，这在很大程度上取决于多年来发展这门学科的人的特殊兴趣。

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数学代写|数论作业代写number theory代考|Valuations of an Element of a Number Field

Let $K$ be an algebraic number field of degree $n \geq 2$ over $\mathbb{Q}$. Let $\left{\sigma_1, \ldots, \sigma_n\right}$ be the set of all monomorphisms : $K \rightarrow \mathbb{C}$. If $\sigma_i(K) \subseteq \mathbb{R}$ we say that $\sigma_i$ is a real embedding; otherwise $\sigma_i$ is said to be a complex embedding. As usual $\bar{\alpha}$ denotes the complex conjugate of $\alpha \in \mathbb{C}$. We define for all $\alpha \in K$
$$
\bar{\sigma}i(\alpha)=\overline{\sigma_i(\alpha)} . $$ Since complex conjugation is an automorphism of $\mathbb{C}, \overline{\sigma_i}$ is a monomorphism: $K \rightarrow$ $\mathbb{C}$. Hence $\bar{\sigma}_i=\sigma_j$ for some $j$. Now $\sigma_i=\bar{\sigma}_i$ if and only if $\sigma_i$ is real, and $\overline{\bar{\sigma}}_i=$ $\sigma_i$ so that complex monomorphisms occur as conjugate pairs. We enumerate the monomorphisms in such a way that $\sigma_1, \ldots, \sigma_r$ are real, $\sigma{r+1}, \ldots, \sigma_{r+s}$ are complex, and $\sigma_{r+s+1}=\overline{\sigma_{r+1}}, \ldots, \sigma_n=\sigma_{r+2 s}=\overline{\sigma_{r+s}}$. The conjugate fields of $K$ are $K^{(i)}=$ $\sigma_i(K), i=1,2, \ldots, n$. The $r$ conjugate fields $K^{(1)}, \ldots, K^{(r)}$ are real and the $n-r$ fields $K^{(r+1)}, \ldots, K^{(n)}$ are nonreal with $K^{(r+s+1)}=\overline{K^{(r+1)}}, \ldots, K^{(n)}=K^{(r+2 s)}=$ $\overline{K^{(r+s)}}$. We note that
$$
n=r+2 s
$$
and
$$
r+s \geq \frac{1}{2}(r+2 s)=\frac{n}{2} \geq 1 .
$$
If $s=0$ then all the conjugate fields of $K$ are real and $K$ is said to be a totally real field. If $r=0$ then $K$ and all its conjugate fields are nonreal and $K$ is said to be a totally complex or totally imaginary field. If $K$ is a normal field then $K$ is either totally real or totally complex, since all the conjugate fields of $K$ coincide.

数学代写|数论作业代写number theory代考|Properties of Valuations

In this section we develop the properties of valuations that we shall need to prove Dirichlet’s unit theorem. We fix once and for all an integral basis $\left{\omega_1, \ldots, \omega_n\right}$ for $K$. If $a \in O_K$ the coordinates of $a$ are the uniquely determined rational integers $c_1, \ldots, c_n$ given by
$$
a=c_1 \omega_1+\cdots+c_n \omega_n .
$$
We set
$$
M=\max _{1 \leq i, j \leq n}\left|\sigma_i\left(\omega_j\right)\right|
$$
and
$$
D=\operatorname{det}\left(\sigma_i\left(\omega_j\right)\right) .
$$
As $\left{\omega_1, \ldots, \omega_n\right}$ is an integral basis for $K$, we have
$$
D^2=d(K)
$$

so that
$$
|D|=|d(K)|^{1 / 2}
$$
and
$$
D \neq 0 .
$$

数论作业代写

数学代写|数论作业代写number theory代考|Valuations of an Element of a Number Field

让 $K$ 是一个次的代数数域 $n \geq 2$ 结束 $\mathbb{Q}$． 让 $\left{\sigma_1, \ldots, \sigma_n\right}$ 是所有单态的集合: $K \rightarrow \mathbb{C}$． 如果 $\sigma_i(K) \subseteq \mathbb{R}$ 我们说 $\sigma_i$ 是一种真实的嵌入;否则 $\sigma_i$ 据说是一个复嵌入。像往常一样 $\bar{\alpha}$ 表示的复共轭 $\alpha \in \mathbb{C}$． 我们为所有人定义 $\alpha \in K$

$$
\bar{\sigma}i(\alpha)=\overline{\sigma_i(\alpha)} . $$ 因为复共轭是的自同构 $\mathbb{C}, \overline{\sigma_i}$ 是单态: $K \rightarrow$ $\mathbb{C}$． 因此 $\bar{\sigma}i=\sigma_j$ 对一些人来说 $j$． 现在 $\sigma_i=\bar{\sigma}_i$ 当且仅当 $\sigma_i$ 是真实的，并且 $\overline{\bar{\sigma}}_i=$ $\sigma_i$ 所以复单态是共轭对。我们以这样的方式列举单态 $\sigma_1, \ldots, \sigma_r$ 都是真实的， $\sigma{r+1}, \ldots, \sigma{r+s}$ 都是复杂的 $\sigma_{r+s+1}=\overline{\sigma_{r+1}}, \ldots, \sigma_n=\sigma_{r+2 s}=\overline{\sigma_{r+s}}$． 的共轭场 $K$ 是 $K^{(i)}=$ $\sigma_i(K), i=1,2, \ldots, n$． The $r$ 共轭场 $K^{(1)}, \ldots, K^{(r)}$ 都是真实的 $n-r$ 字段 $K^{(r+1)}, \ldots, K^{(n)}$ 是非实的 $K^{(r+s+1)}=\overline{K^{(r+1)}}, \ldots, K^{(n)}=K^{(r+2 s)}=$ $\overline{K^{(r+s)}}$． 我们注意到
$$
n=r+2 s
$$
和
$$
r+s \geq \frac{1}{2}(r+2 s)=\frac{n}{2} \geq 1 .
$$
如果 $s=0$ 然后所有的共轭场 $K$ 都是真实的 $K$ 据说是一个完全真实的场。如果 $r=0$ 然后 $K$ 它所有的共轭场都是非实的 $K$ 是一个完全复杂或完全想象的场。如果 $K$ 那是正常的场吗 $K$ 是完全实的还是完全复的，因为所有的共轭场 $K$ 巧合。

数学代写|数论作业代写number theory代考|Properties of Valuations

在本节中，我们将推导出证明狄利克雷单位定理所需的赋值的性质。我们一劳永逸地确定了$K$的积分基$\left{\omega_1, \ldots, \omega_n\right}$。如果$a \in O_K$, $a$的坐标是唯一确定的有理数$c_1, \ldots, c_n$，由
$$
a=c_1 \omega_1+\cdots+c_n \omega_n .
$$
我们设定
$$
M=\max _{1 \leq i, j \leq n}\left|\sigma_i\left(\omega_j\right)\right|
$$
和
$$
D=\operatorname{det}\left(\sigma_i\left(\omega_j\right)\right) .
$$
因为$\left{\omega_1, \ldots, \omega_n\right}$是$K$的一个整体基础，我们有
$$
D^2=d(K)
$$

如此……以至于……
$$
|D|=|d(K)|^{1 / 2}
$$
和
$$
D \neq 0 .
$$

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

tatistics-lab作为专业的留学生服务机构，多年来已为美国、英国、加拿大、澳洲等留学热门地的学生提供专业的学术服务，包括但不限于Essay代写，Assignment代写，Dissertation代写，Report代写，小组作业代写，Proposal代写，Paper代写，Presentation代写，计算机作业代写，论文修改和润色，网课代做，exam代考等等。写作范围涵盖高中，本科，研究生等海外留学全阶段，辐射金融，经济学，会计学，审计学，管理学等全球99%专业科目。写作团队既有专业英语母语作者，也有海外名校硕博留学生，每位写作老师都拥有过硬的语言能力，专业的学科背景和学术写作经验。我们承诺100%原创，100%专业，100%准时，100%满意。

随机分析代写

随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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数论Number theory是一门有着极其悠久和丰富历史的学科。研究数论，并适当关注它的历史提醒我们，这门学科一直是一个激烈的竞争人类活动。许多其他的数学学科，例如微积分，毫无疑问会像今天这样发展，完全独立于参与实际发展的个人，但数论的发展却奇妙而离奇，这在很大程度上取决于多年来发展这门学科的人的特殊兴趣。

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数学代写|数论作业代写number theory代考|The Fundamental Unit

Theorems 11.3.2 and 11.4.1 show that all the units of $O_{\mathbb{Q}(\sqrt{m})}$ are given by $\pm \epsilon^n(n \in$ $\mathbb{Z})$ or by $\pm \sigma^n(n \in \mathbb{Z})$ depending on whether $O_{\mathbb{Q}(\sqrt{m})}$ has only units of norm 1 or not. This enables us to define the “fundamental unit” of $O_{\mathbb{Q}(\sqrt{m})}$.

Definition 11.5.1 (Fundamental unit) Let $m$ be a positive squarefree integer. The fundamental unit $\eta$ of $O_{\mathbb{Q}(\sqrt{m})}$ is defined to be $\sigma$ if $O_{\mathbb{Q}(\sqrt{m})}$ contains units of norm -1 and to be $\epsilon$ otherwise. We note that $\eta>1$.
By Theorems 11.3.2 and 11.4.1 we have
Theorem 11.5.1 Let $m$ be a positive squarefree integer. Then every unit of $O_{\mathbb{Q}(\sqrt{m})}$ is of the form $\pm \eta^n(n \in \mathbb{Z})$, where $\eta$ is the fundamental unit of $O_{\mathbb{Q}(\sqrt{m})}$. If $O_{\mathbb{Q}(\sqrt{m})}$ contains units of norm -1 these are given by $\pm \eta^n$ with $n$ odd and the ones of norm 1 by $\pm \eta^n$ with $n$ even.
From Theorem 11.5.1 we have immediately Theorem 11.5.2 Let $K$ be a real quadratic field. Then
$$
U\left(O_K\right) \simeq \mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z} .
$$
The following analogue of Theorem 11.3.2(a) is a simple consequence of Theorem 11.5.1.

Theorem 11.5.3 Let $K$ be a real quadratic field. The fundamental unit of $O_K$ is the smallest unit of $O_K$ greater than 1.

Proof: Let $\eta$ be the fundamental unit of $O_K$ and suppose that there exists a unit $\theta$ of $O_K$ with
$$
1<\theta<\eta
$$
By Theorem 11.5.1 we have
$$
\theta= \pm \eta^n
$$
for some $n \in \mathbb{Z}$. As $\theta$ and $\eta$ are both positive, the positive sign must hold and we have
$$
\theta=\eta^n .
$$

数学代写|数论作业代写number theory代考|Calculating the Fundamental Unit

Let $m$ be a positive squarefree integer. The standard method of calculating the fundamental unit $\eta$ of $O_{\mathbb{Q}(\sqrt{m})}$ is by means of the continued fraction expansion of $\sqrt{m}$. We assume that the reader is familiar with the basic properties of continued fractions as found for example in Chapter 7 of the book on elementary number theory by Niven, Zuckerman, and Montgomery [2]. We just recall the basic facts that we shall need and refer the reader to [2] for proofs.

Given a positive squarefree integer $m$, we define a sequence $\alpha_0, \alpha_1, \alpha_2, \ldots$ of real numbers by
$$
\alpha_0=\sqrt{m}
$$
and
$$
\alpha_{n+1}=\frac{1}{\alpha_n-\left[\alpha_n\right]}, n=0,1,2, \ldots
$$

Example 11.6.1 If $m=31$ we find that
$$
\begin{aligned}
& \alpha_0=\sqrt{31}, \
& \alpha_1=\frac{1}{\alpha_0-\left[\alpha_0\right]}=\frac{1}{\sqrt{31}-5}=\frac{5+\sqrt{31}}{6} \text {, } \
& \alpha_2=\frac{1}{\alpha_1-\left[\alpha_1\right]}=\frac{1}{\frac{5+\sqrt{31}}{6}-1}=\frac{1+\sqrt{31}}{5} \text {, } \
& \alpha_3=\frac{1}{\alpha_2-\left[\alpha_2\right]}=\frac{1}{\frac{1+\sqrt{31}}{5}-1}=\frac{4+\sqrt{31}}{3} \text {, } \
& \alpha_4=\frac{1}{\alpha_3-\left[\alpha_3\right]}=\frac{1}{\frac{4+\sqrt{31}}{3}-3}=\frac{5+\sqrt{31}}{2} \text {, } \
& \alpha_5=\frac{1}{\alpha_4-\left[\alpha_4\right]}=\frac{1}{\frac{5+\sqrt{31}}{2}-5}=\frac{5+\sqrt{31}}{3} \text {, } \
& \alpha_6=\frac{1}{\alpha_5-\left[\alpha_5\right]}=\frac{1}{\frac{5+\sqrt{31}}{3}-3}=\frac{4+\sqrt{31}}{5} \text {, } \
& \alpha_7=\frac{1}{\alpha_6-\left[\alpha_6\right]}=\frac{1}{\frac{4+\sqrt{31}}{5}-1}=\frac{1+\sqrt{31}}{6} \text {, } \
& \alpha_8=\frac{1}{\alpha_7-\left[\alpha_7\right]}=\frac{1}{\frac{1+\sqrt{31}}{6}-1}=\frac{5+\sqrt{31}}{1} \text {, } \
& \alpha_9=\frac{1}{\alpha_8-\left[\alpha_8\right]}=\frac{1}{5+\sqrt{31}-10}=\frac{5+\sqrt{31}}{6}=\alpha_1 \text {, } \
& \alpha_{10}=\alpha_2, \alpha_{11}=\alpha_3, \ldots \
&
\end{aligned}
$$

数论作业代写

数学代写|数论作业代写number theory代考|The Fundamental Unit

定理11.3.2和11.4.1表明$O_{\mathbb{Q}(\sqrt{m})}$的所有单位都由$\pm \epsilon^n(n \in$$\mathbb{Z})$或$\pm \sigma^n(n \in \mathbb{Z})$给出，这取决于$O_{\mathbb{Q}(\sqrt{m})}$是否只有范数1的单位。这使我们能够定义$O_{\mathbb{Q}(\sqrt{m})}$的“基本单位”。

定义11.5.1(基本单位)设$m$为一个正的无平方整数。如果$O_{\mathbb{Q}(\sqrt{m})}$包含norm -1的单位，则定义$O_{\mathbb{Q}(\sqrt{m})}$的基本单位$\eta$为$\sigma$，否则定义为$\epsilon$。我们注意到$\eta>1$。
根据定理11.3.2和11.4.1，我们有
定理11.5.1设$m$为无平方正整数。那么$O_{\mathbb{Q}(\sqrt{m})}$的每个单位都是$\pm \eta^n(n \in \mathbb{Z})$的形式，其中$\eta$是$O_{\mathbb{Q}(\sqrt{m})}$的基本单位。如果$O_{\mathbb{Q}(\sqrt{m})}$包含norm -1的单位，则由$\pm \eta^n$给出，其中$n$为奇数，由$\pm \eta^n$给出，其中$n$为偶数。
由定理11.5.1，我们立即得到定理11.5.2，设$K$是一个实二次域。然后
$$
U\left(O_K\right) \simeq \mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z} .
$$
下面对定理11.3.2(a)的类比是定理11.5.1的一个简单推论。

定理11.5.3设$K$为实二次域。$O_K$的基本单位是$O_K$大于1的最小单位。

证明:设$\eta$为$O_K$的基本单位，并设$O_K$有一个单位$\theta$
$$
1<\theta<\eta
$$
根据定理11.5.1，我们有
$$
\theta= \pm \eta^n
$$
对一些人来说$n \in \mathbb{Z}$。因为$\theta$和$\eta$都是正数，正号必须成立，我们有
$$
\theta=\eta^n .
$$

数学代写|数论作业代写number theory代考|Calculating the Fundamental Unit

设$m$是一个正的无平方整数。计算$O_{\mathbb{Q}(\sqrt{m})}$的基本单位$\eta$的标准方法是通过$\sqrt{m}$的连分式展开。我们假设读者熟悉连分式的基本性质，例如在Niven, Zuckerman, and Montgomery[2]所著的初等数论书的第7章中发现的连分式的基本性质。我们只是回顾一下我们需要的基本事实，并请读者参考[2]进行证明。

给定一个正的无平方整数$m$，我们通过定义一个实数序列$\alpha_0, \alpha_1, \alpha_2, \ldots$
$$
\alpha_0=\sqrt{m}
$$
和
$$
\alpha_{n+1}=\frac{1}{\alpha_n-\left[\alpha_n\right]}, n=0,1,2, \ldots
$$

例11.6.1如果$m=31$我们发现
$$
\begin{aligned}
& \alpha_0=\sqrt{31}, \
& \alpha_1=\frac{1}{\alpha_0-\left[\alpha_0\right]}=\frac{1}{\sqrt{31}-5}=\frac{5+\sqrt{31}}{6} \text {, } \
& \alpha_2=\frac{1}{\alpha_1-\left[\alpha_1\right]}=\frac{1}{\frac{5+\sqrt{31}}{6}-1}=\frac{1+\sqrt{31}}{5} \text {, } \
& \alpha_3=\frac{1}{\alpha_2-\left[\alpha_2\right]}=\frac{1}{\frac{1+\sqrt{31}}{5}-1}=\frac{4+\sqrt{31}}{3} \text {, } \
& \alpha_4=\frac{1}{\alpha_3-\left[\alpha_3\right]}=\frac{1}{\frac{4+\sqrt{31}}{3}-3}=\frac{5+\sqrt{31}}{2} \text {, } \
& \alpha_5=\frac{1}{\alpha_4-\left[\alpha_4\right]}=\frac{1}{\frac{5+\sqrt{31}}{2}-5}=\frac{5+\sqrt{31}}{3} \text {, } \
& \alpha_6=\frac{1}{\alpha_5-\left[\alpha_5\right]}=\frac{1}{\frac{5+\sqrt{31}}{3}-3}=\frac{4+\sqrt{31}}{5} \text {, } \
& \alpha_7=\frac{1}{\alpha_6-\left[\alpha_6\right]}=\frac{1}{\frac{4+\sqrt{31}}{5}-1}=\frac{1+\sqrt{31}}{6} \text {, } \
& \alpha_8=\frac{1}{\alpha_7-\left[\alpha_7\right]}=\frac{1}{\frac{1+\sqrt{31}}{6}-1}=\frac{5+\sqrt{31}}{1} \text {, } \
& \alpha_9=\frac{1}{\alpha_8-\left[\alpha_8\right]}=\frac{1}{5+\sqrt{31}-10}=\frac{5+\sqrt{31}}{6}=\alpha_1 \text {, } \
& \alpha_{10}=\alpha_2, \alpha_{11}=\alpha_3, \ldots \
&
\end{aligned}
$$

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金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

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非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

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有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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时间序列分析代写

随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

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MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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数论Number theory是一门有着极其悠久和丰富历史的学科。研究数论，并适当关注它的历史提醒我们，这门学科一直是一个激烈的竞争人类活动。许多其他的数学学科，例如微积分，毫无疑问会像今天这样发展，完全独立于参与实际发展的个人，但数论的发展却奇妙而离奇，这在很大程度上取决于多年来发展这门学科的人的特殊兴趣。

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数学代写|数论作业代写number theory代考|Factoring Primes in an Arbitrary Number Field

Theorem 10.3 .1 was actually proved by Dedekind in the following slightly stronger form. For all but at most a finite number of primes, Theorem 10.5.1 gives the factorization of a prime into prime ideals in an arbitrary algebraic number field.
Theorem 10.5.1 Let $K=\mathbb{Q}(\theta)$ be an algebraic number field with $\theta \in O_K$. Let $p$ be a rational prime. Let
$$
f(x)=\operatorname{irr}_{\mathbb{Q}}(\theta) \in \mathbb{Z}[x] .
$$
Let ${ }^{-}$denote the natural map $: \mathbb{Z}[x] \longrightarrow \mathbb{Z}_p[x]$, where $\mathbb{Z}_p=\mathbb{Z} / p \mathbb{Z}$. Let
$$
\bar{f}(x)=g_1(x)^{e_1} \cdots g_r(x)^{e_r},
$$
where $g_1(x), \ldots, g_r(x)$ are distinct monic irreducible polynomials in $\mathbb{Z}_p[x]$ and $e_1, \ldots, e_r$ are positive integers. For $i=1,2, \ldots, r$ let $f_i(x)$ be any monic polynomial of $\mathbb{Z}[x]$ such that $\bar{f}_i=g_i$. Set
$$
P_i=\left\langle p, f_i(\theta)\right\rangle, i=1,2, \ldots, r .
$$
If $\operatorname{ind}(\theta) \not \equiv 0(\bmod p)$ then $P_1, \ldots, P_r$ are distinct prime ideals of $O_K$ with
$$
\langle p\rangle=P_1^{e_1} \cdots P_r^{e_r}
$$
and
$$
N\left(P_i\right)=p^{\operatorname{deg} f_i}, i=1,2, \ldots, r .
$$

数学代写|数论作业代写number theory代考|Factoring Primes in a Cyclotomic Field

Let $m$ be a positive integer and let $\zeta_m$ be a primitive $m$ th root of unity. The cyclotomic field $\mathbb{Q}\left(\zeta_m\right)$ is denoted by $K_m$. We give (without proof) the decomposition of a rational prime $p$ into prime ideals in $O_{K_m}$.

Theorem 10.6.1 Let $m=p^r m_1$, where $r \in \mathbb{N} \cup{0}, m_1 \in \mathbb{N}$, and $p \nmid m_1$. Let $h$ be the least positive integer such that $p^h \equiv 1\left(\bmod m_1\right)$. Then $h \mid \phi\left(m_1\right)$ and
$$
\langle p\rangle=\left(P_1 P_2 \cdots P_{\phi\left(m_1\right) / h}\right)^{\phi\left(p^r\right)},
$$
where $P_1, P_2, \ldots, P_{\phi\left(m_1\right) / h}$ are distinct prime ideals with
$$
N\left(P_i\right)=p^h, i=1,2, \ldots, \phi\left(m_1\right) / h .
$$
We refer the reader to Mann’s book [6] for a proof of this theorem.
Example 10.6.1 We determine the prime ideal decomposition of $\langle 3\rangle$ in $O_{K_9}$. Here $p=3, m=9, \phi(m)=6, r=2, m_1=1$, and $h=1$ so that by Theorem 10.6.1
$$
\langle 3\rangle=P^6,
$$
where $P$ is a prime ideal with $N(P)=3$.
Example 10.6.2 We determine the prime ideal decomposition of $\langle 2\rangle$ in $O_{K_5}$. Here $p=2, m=5, r=0, m_1=5, \phi\left(m_1\right)=4, \phi\left(p^r\right)=1$, and $h=4$ so that by Theorem 10.6.1
$$
\langle 2\rangle=P,
$$
where $P$ is a prime ideal with $N(P)=2^4$.

数论作业代写

数学代写|数论作业代写number theory代考|Factoring Primes in an Arbitrary Number Field

定理10.3 .1实际上是由Dedekind以以下稍微强一点的形式证明的。定理10.5.1给出了一个素数在任意代数数域中分解为素数理想的方法。
定理10.5.1设$K=\mathbb{Q}(\theta)$为具有$\theta \in O_K$的代数数域。设$p$为有理数。让
$$
f(x)=\operatorname{irr}_{\mathbb{Q}}(\theta) \in \mathbb{Z}[x] .
$$
设${ }^{-}$表示自然地图$: \mathbb{Z}[x] \longrightarrow \mathbb{Z}_p[x]$，其中$\mathbb{Z}_p=\mathbb{Z} / p \mathbb{Z}$。让
$$
\bar{f}(x)=g_1(x)^{e_1} \cdots g_r(x)^{e_r},
$$
其中$g_1(x), \ldots, g_r(x)$是不同的单不可约多项式，$\mathbb{Z}_p[x]$和$e_1, \ldots, e_r$是正整数。对于$i=1,2, \ldots, r$，设$f_i(x)$为$\mathbb{Z}[x]$的任意一元多项式，使得$\bar{f}_i=g_i$。集合
$$
P_i=\left\langle p, f_i(\theta)\right\rangle, i=1,2, \ldots, r .
$$
如果$\operatorname{ind}(\theta) \not \equiv 0(\bmod p)$那么$P_1, \ldots, P_r$是不同的主要理想$O_K$与
$$
\langle p\rangle=P_1^{e_1} \cdots P_r^{e_r}
$$
和
$$
N\left(P_i\right)=p^{\operatorname{deg} f_i}, i=1,2, \ldots, r .
$$

数学代写|数论作业代写number theory代考|Factoring Primes in a Cyclotomic Field

设$m$为正整数，$\zeta_m$为原始的$m$单位的根。切眼场$\mathbb{Q}\left(\zeta_m\right)$用$K_m$表示。在$O_{K_m}$中，我们给出了有理数质数$p$分解为质数理想的过程(没有证明)。

定理10.6.1设$m=p^r m_1$，其中$r \in \mathbb{N} \cup{0}, m_1 \in \mathbb{N}$，和$p \nmid m_1$。设$h$为最小的正整数，使得$p^h \equiv 1\left(\bmod m_1\right)$。然后是$h \mid \phi\left(m_1\right)$和
$$
\langle p\rangle=\left(P_1 P_2 \cdots P_{\phi\left(m_1\right) / h}\right)^{\phi\left(p^r\right)},
$$
$P_1, P_2, \ldots, P_{\phi\left(m_1\right) / h}$不同的素数理想在哪里
$$
N\left(P_i\right)=p^h, i=1,2, \ldots, \phi\left(m_1\right) / h .
$$
我们建议读者参考曼恩的书[6]来证明这个定理。
我们确定$O_{K_9}$中$\langle 3\rangle$的素数理想分解。这里是$p=3, m=9, \phi(m)=6, r=2, m_1=1$和$h=1$，根据定理10.6.1
$$
\langle 3\rangle=P^6,
$$
其中$P$与$N(P)=3$是最理想的。
例10.6.2我们确定$O_{K_5}$中$\langle 2\rangle$的素理想分解。这里是$p=2, m=5, r=0, m_1=5, \phi\left(m_1\right)=4, \phi\left(p^r\right)=1$和$h=4$，根据定理10.6.1
$$
\langle 2\rangle=P,
$$
其中$P$与$N(P)=2^4$是最理想的。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写

随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

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多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

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如果你也在 怎样代写数论Number theory 个学科遇到相关的难题，请随时右上角联系我们的24/7代写客服。数论Number theory（或旧时的算术或高等算术）是纯数学的一个分支，主要致力于研究整数和整数值的函数。德国数学家卡尔-弗里德里希-高斯（1777-1855）说：”数学是科学的女王–数论是数学的女王。”数论家研究素数以及由整数组成的数学对象（例如有理数）或定义为整数的概括（例如代数整数）的属性。

数论Number theory整数既可以被视为本身，也可以被视为方程的解（刁藩几何）。数论中的问题通常最好通过研究分析对象（例如黎曼Zeta函数）来理解，这些对象以某种方式编码整数、素数或其他数论对象的属性（分析数论）。人们也可以研究实数与有理数的关系，例如，由后者逼近的实数（Diophantine逼近）。

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数学代写|数论作业代写number theory代考|Dedekind Domains

Definition 8.1.1 (Dedekind domain) An integral domain $D$ that satisfies the following three properties:
$D$ is a Noetherian domain,
$D$ is integrally closed, and
each prime ideal of $D$ is a maximal ideal,
is called a Dedekind domain.
In view of the remarks before Definition 8.1.1, we have
Theorem 8.1.1 Let $K$ be an algebraic number field. Let $O_K$ be the ring of integers of $K$. Then $O_K$ is a Dedekind domain.

The next theorem gives another class of integral domains that are Dedekind domains.

Theorem 8.1.2 Let $D$ be a principal ideal domain. Then $D$ is a Dedekind domain.
Proof: Let $D$ be a principal ideal domain. By Theorem 3.1.2 $D$ is a Noetherian domain, so (8.1.1) holds. By Theorem 3.3.1 $\mathrm{D}$ is a unique factorization domain and thus, by Theorem 4.2.5, $D$ is integrally closed, so (8.1.2) holds. By Theorem 1.5.7 each prime ideal of $D$ is maximal so that (8.1.3) holds. Hence $D$ is a Dedekind domain.

Our main objective in this chapter is to show that every ideal $I(\neq\langle 0\rangle,\langle 1\rangle)$ of a Dedekind domain can be expressed uniquely as a product of prime ideals. We also show that every ideal of a Dedekind domain is generated by at most two elements.

数学代写|数论作业代写number theory代考|Ideals in a Dedekind Domain

The first step toward our objective of proving that in a Dedekind domain every proper ideal is a product of prime ideals is to show that every such ideal contains a product of prime ideals. This is actually true in a Noetherian domain.

Theorem 8.2.1 In a Noetherian domain every nonzero ideal contains a product of one or more prime ideals.

Proof: Suppose that $D$ is a Noetherian domain that possesses at least one nonzero ideal that does not contain a product of one or more prime ideals. Let $S$ be the set of all such ideals. By assumption $S$ is not empty. As $D$ is Noetherian, by Theorem 3.1.3 $S$ contains a (nonzero) ideal $A$ maximal with respect to the property of not containing a product of one or more prime ideals. Clearly $A$ itself is not a prime ideal. Hence, by Theorem 1.6.1, there exist ideals $B$ and $C$ such that
$$
B C \subseteq A, B \nsubseteq A, C \nsubseteq A
$$
Define the ideals $B_1$ and $C_1$ of $D$ by
$$
B_1=A+B, C_1=A+C
$$
Clearly
$$
A \subset B_1, A \subset C_1,
$$
so that $B_1 \notin S, C_1 \notin S$. Hence there exist prime ideals $P_1, \ldots, P_k$ such that
$$
B_1 \supseteq P_1 \cdots P_h, C_1 \supseteq P_{h+1} \cdots P_k .
$$

数论作业代写

数学代写|数论作业代写number theory代考|Dedekind Domains

8.1.1 (Dedekind域)一个满足以下三个属性的积分域$D$:
$D$是一个诺瑟域，
$D$是全封闭的，并且
$D$的每个素理想都是一个极大理想，
称为Dedekind域。
鉴于定义8.1.1之前的注释，我们有
定理8.1.1设$K$为一个代数数域。设$O_K$为$K$的整数环。那么$O_K$就是Dedekind的域名。

下一个定理给出了另一类积分定义域，它们是Dedekind定义域。

定理8.1.2设$D$为主理想域。那么$D$就是Dedekind的域名。
证明:设$D$为主理想域。根据定理3.1.2 $D$是一个Noetherian域，因此(8.1.1)成立。根据定理3.3.1 $\mathrm{D}$是唯一分解域，因此，根据定理4.2.5,$D$是整闭的，因此(8.1.2)成立。根据定理1.5.7,$D$的每个素数理想都是极大的，因此(8.1.3)成立。因此$D$是Dedekind的域名。

本章的主要目的是证明戴德金域的每一个理想$I(\neq\langle 0\rangle,\langle 1\rangle)$都可以唯一地表示为素理想的乘积。我们还证明了Dedekind域的每一个理想是由最多两个元素生成的。

数学代写|数论作业代写number theory代考|Ideals in a Dedekind Domain

我们要证明在戴德金域中，每一个固有理想都是素理想的乘积，第一步就是要证明每一个这样的理想都包含一个素理想的乘积。这在诺埃尔域是成立的。

定理8.2.1在noether域中，每个非零理想包含一个或多个素数理想的积。

证明:假设$D$是一个诺瑟域，它拥有至少一个不包含一个或多个素数理想积的非零理想。让$S$成为所有这些理想的集合。假设$S$不是空的。由于$D$是诺etherian，根据定理3.1.3 $S$包含一个(非零)理想$A$极大值，关于不包含一个或多个素数理想积的性质。显然$A$本身并不是一个主要的理想。因此，根据定理1.6.1，存在理想$B$和$C$，使得
$$
B C \subseteq A, B \nsubseteq A, C \nsubseteq A
$$
定义$D$的理想$B_1$和$C_1$
$$
B_1=A+B, C_1=A+C
$$
显然
$$
A \subset B_1, A \subset C_1,
$$
所以是$B_1 \notin S, C_1 \notin S$。因此存在素数理想$P_1, \ldots, P_k$这样
$$
B_1 \supseteq P_1 \cdots P_h, C_1 \supseteq P_{h+1} \cdots P_k .
$$

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金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

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广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

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有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

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多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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数论Number theory整数既可以被视为本身，也可以被视为方程的解（刁藩几何）。数论中的问题通常最好通过研究分析对象（例如黎曼Zeta函数）来理解，这些对象以某种方式编码整数、素数或其他数论对象的属性（分析数论）。人们也可以研究实数与有理数的关系，例如，由后者逼近的实数（Diophantine逼近）。

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数学代写|数论作业代写number theory代考|Conjugate Fields of an Algebraic Number Field

Let $K$ be an algebraic number field. In this section we begin by determining the number of monomorphisms $\sigma: K \rightarrow \mathbb{C}$. For example, if $K=\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ then
$$
\sigma_1(x+y \sqrt{2})=x+y \sqrt{2}(x, y \in \mathbb{Q})
$$
and
$$
\sigma_2(x+y \sqrt{2})=x-y \sqrt{2}(x, y \in \mathbb{Q})
$$
are two monomorphisms from $K$ to $\mathbb{C}$.
Theorem 6.2.1 Let $K$ be an algebraic number field of degree $n$ over $\mathbb{Q}$. Then there are exactly $n$ distinct monomorphisms $\sigma_k: K \rightarrow \mathbb{C}(k=1, \ldots, n)$.

Proof: By Theorem 6.1.1 there exists an algebraic number $\theta \in K$ such that $K=$ $\mathbb{Q}(\theta)$. Let $p(x)=\operatorname{irr}{\mathbb{Q}}(\theta)$. Then $$ \operatorname{deg} p(x)=\operatorname{deg}\left(\operatorname{irr}{\mathbb{Q}}(\theta)\right)=[\mathbb{Q}(\theta): \mathbb{Q}]=n,
$$
so that $\theta$ has $n$ distinct conjugates over $\mathbb{Q}$ (Theorem 5.2.1), say $\theta_1=\theta, \theta_2, \ldots, \theta_n$, and
$$
p(x)=\left(x-\theta_1\right)\left(x-\theta_2\right) \cdots\left(x-\theta_n\right) .
$$
By Theorem 6.1.3 each element $\alpha$ of $K$ can be expressed uniquely in the form $\alpha=$ $a_0+a_1 \theta+\cdots+a_{n-1} \theta^{n-1}$, where $a_0, a_1, \ldots, a_{n-1} \in \mathbb{Q}$, so, for $k=1,2, \ldots, n$, we can define
$$
\sigma_k: K \rightarrow \mathbb{C}
$$
by
$$
\sigma_k\left(a_0+a_1 \theta+\cdots+a_{n-1} \theta^{n-1}\right)=a_0+a_1 \theta_k+\cdots+a_{n-1} \theta_k^{n-1} .
$$

数学代写|数论作业代写number theory代考|The Field Polynomial of an Element of an Algebraic Number Field

Let $K$ be an algebraic number field of degree $n$ over $\mathbb{Q}$. Let $\theta \in K$ be such that $K=\mathbb{Q}(\theta)$. Let $\theta_1=\theta, \theta_2, \ldots, \theta_n$ be the conjugates of $\theta$ over $\mathbb{Q}$.
For $\alpha \in K$ there exist unique rational numbers $c_0, c_1, \ldots, c_{n-1}$ such that
$$
\alpha=c_0+c_1 \theta+\cdots+c_{n-1} \theta^{n-1}
$$
(see Theorem 6.1.3). For $k=1,2, \ldots, n$ we set
$$
\alpha_k=c_0+c_1 \theta_k+\cdots+c_{n-1} \theta_k^{n-1} \in \mathbb{Q}\left(\theta_k\right) .
$$
Definition 6.3.1 (Complete set of conjugates of $\alpha$ relative to $K$ ) The set of algebraic numbers $\left{\alpha_1=\alpha, \alpha_2, \ldots, \alpha_n\right}$ is called a complete set of conjugates of $\alpha$ relative to $K$. More briefly they are called the ” $K$-conjugates of $\alpha$ ” or the “conjugates of $\alpha$ relative to $K$.”

Example 6.3.1 Let $K=\mathbb{Q}(\theta)$, where $\theta=\sqrt{2}+\sqrt{3}$. From Example 5.6.1 we see that
$$
\operatorname{irr}_{\mathbb{Q}}(\theta)=x^4-10 x^2+1
$$
As
$$
x^4-10 x^2+1=(x-\sqrt{2}-\sqrt{3})(x-\sqrt{2}+\sqrt{3})(x+\sqrt{2}-\sqrt{3})(x+\sqrt{2}+\sqrt{3})
$$
the conjugates of $\theta$ are
$$
\theta_1=\sqrt{2}+\sqrt{3}, \theta_2=\sqrt{2}-\sqrt{3}, \theta_3=-\sqrt{2}+\sqrt{3}, \theta_4=-\sqrt{2}-\sqrt{3} .
$$
Let $\alpha=2 \sqrt{3}$ so that $\alpha \in \mathbb{Q}(\sqrt{3}) \subset \mathbb{Q}(\sqrt{2}, \sqrt{3})=\mathbb{Q}(\sqrt{2}+\sqrt{3})=\mathbb{Q}(\theta)=K$ (Example 5.6.1). Hence $\alpha=a+b \theta+c \theta^2+d \theta^3$ for some $a, b, c, d \in \mathbb{Q}$. Thus
$$
\begin{aligned}
2 \sqrt{3} & =a+b(\sqrt{2}+\sqrt{3})+c(\sqrt{2}+\sqrt{3})^2+d(\sqrt{2}+\sqrt{3})^3 \
& =(a+5 c)+(b+11 d) \sqrt{2}+(b+9 d) \sqrt{3}+2 c \sqrt{6} .
\end{aligned}
$$
Hence
$$
a+5 c=0, b+11 d=0, b+9 d=2,2 c=0
$$
so that
$$
a=0, b=11, c=0, d=-1
$$
giving
$$
\alpha=11 \theta-\theta^3 .
$$

数论作业代写

数学代写|数论作业代写number theory代考|Conjugate Fields of an Algebraic Number Field

设$K$为一个代数数域。在本节中，我们首先确定单态的数量$\sigma: K \rightarrow \mathbb{C}$。例如，如果$K=\mathbb{Q}(\sqrt{2})$那么
$$
\sigma_1(x+y \sqrt{2})=x+y \sqrt{2}(x, y \in \mathbb{Q})
$$
和
$$
\sigma_2(x+y \sqrt{2})=x-y \sqrt{2}(x, y \in \mathbb{Q})
$$
是从$K$到$\mathbb{C}$的两个单态。
定理6.2.1设$K$是一个次为$n$ / $\mathbb{Q}$的代数数域。那么就有$n$不同的单态$\sigma_k: K \rightarrow \mathbb{C}(k=1, \ldots, n)$。

证明:由定理6.1.1存在一个代数数$\theta \in K$使得$K=$$\mathbb{Q}(\theta)$。让$p(x)=\operatorname{irr}{\mathbb{Q}}(\theta)$。然后$$ \operatorname{deg} p(x)=\operatorname{deg}\left(\operatorname{irr}{\mathbb{Q}}(\theta)\right)=[\mathbb{Q}(\theta): \mathbb{Q}]=n,
$$
所以$\theta$对$\mathbb{Q}$有$n$不同的共轭(定理5.2.1)比如$\theta_1=\theta, \theta_2, \ldots, \theta_n$和
$$
p(x)=\left(x-\theta_1\right)\left(x-\theta_2\right) \cdots\left(x-\theta_n\right) .
$$
根据定理6.1.3,$K$的每个元素$\alpha$都可以用$\alpha=$$a_0+a_1 \theta+\cdots+a_{n-1} \theta^{n-1}$的形式唯一地表示，其中$a_0, a_1, \ldots, a_{n-1} \in \mathbb{Q}$, so，对于$k=1,2, \ldots, n$，我们可以定义
$$
\sigma_k: K \rightarrow \mathbb{C}
$$
通过
$$
\sigma_k\left(a_0+a_1 \theta+\cdots+a_{n-1} \theta^{n-1}\right)=a_0+a_1 \theta_k+\cdots+a_{n-1} \theta_k^{n-1} .
$$

数学代写|数论作业代写number theory代考|The Field Polynomial of an Element of an Algebraic Number Field

设$K$是一个次为$n$ / $\mathbb{Q}$的代数数域。让$\theta \in K$变成$K=\mathbb{Q}(\theta)$。设$\theta_1=\theta, \theta_2, \ldots, \theta_n$是$\theta$ / $\mathbb{Q}$的共轭。
对于$\alpha \in K$存在唯一有理数$c_0, c_1, \ldots, c_{n-1}$，使得
$$
\alpha=c_0+c_1 \theta+\cdots+c_{n-1} \theta^{n-1}
$$
(见定理6.1.3)。对于$k=1,2, \ldots, n$，我们设置
$$
\alpha_k=c_0+c_1 \theta_k+\cdots+c_{n-1} \theta_k^{n-1} \in \mathbb{Q}\left(\theta_k\right) .
$$
定义6.3.1 ($\alpha$相对于$K$的共轭完全集)将代数数$\left{\alpha_1=\alpha, \alpha_2, \ldots, \alpha_n\right}$的集合称为$\alpha$相对于$K$的共轭完全集。更简单地说，它们被称为“$\alpha$的$K$共轭物”或“$\alpha$相对于$K$的共轭物”。

例6.3.1设$K=\mathbb{Q}(\theta)$，其中$\theta=\sqrt{2}+\sqrt{3}$。从例5.6.1我们可以看到
$$
\operatorname{irr}_{\mathbb{Q}}(\theta)=x^4-10 x^2+1
$$
As
$$
x^4-10 x^2+1=(x-\sqrt{2}-\sqrt{3})(x-\sqrt{2}+\sqrt{3})(x+\sqrt{2}-\sqrt{3})(x+\sqrt{2}+\sqrt{3})
$$
$\theta$的共轭是
$$
\theta_1=\sqrt{2}+\sqrt{3}, \theta_2=\sqrt{2}-\sqrt{3}, \theta_3=-\sqrt{2}+\sqrt{3}, \theta_4=-\sqrt{2}-\sqrt{3} .
$$
让$\alpha=2 \sqrt{3}$这样$\alpha \in \mathbb{Q}(\sqrt{3}) \subset \mathbb{Q}(\sqrt{2}, \sqrt{3})=\mathbb{Q}(\sqrt{2}+\sqrt{3})=\mathbb{Q}(\theta)=K$(例5.6.1)。因此，对于一些人来说，$\alpha=a+b \theta+c \theta^2+d \theta^3$是$a, b, c, d \in \mathbb{Q}$。因此
$$
\begin{aligned}
2 \sqrt{3} & =a+b(\sqrt{2}+\sqrt{3})+c(\sqrt{2}+\sqrt{3})^2+d(\sqrt{2}+\sqrt{3})^3 \
& =(a+5 c)+(b+11 d) \sqrt{2}+(b+9 d) \sqrt{3}+2 c \sqrt{6} .
\end{aligned}
$$
因此
$$
a+5 c=0, b+11 d=0, b+9 d=2,2 c=0
$$
如此……以至于……
$$
a=0, b=11, c=0, d=-1
$$
给予
$$
\alpha=11 \theta-\theta^3 .
$$

统计代写请认准statistics-lab™. statistics-lab™为您的留学生涯保驾护航。

金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写

随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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如果你也在 怎样代写数论Number theory 个学科遇到相关的难题，请随时右上角联系我们的24/7代写客服。数论Number theory（或旧时的算术或高等算术）是纯数学的一个分支，主要致力于研究整数和整数值的函数。德国数学家卡尔-弗里德里希-高斯（1777-1855）说：”数学是科学的女王–数论是数学的女王。”数论家研究素数以及由整数组成的数学对象（例如有理数）或定义为整数的概括（例如代数整数）的属性。

数论Number theory整数既可以被视为本身，也可以被视为方程的解（刁藩几何）。数论中的问题通常最好通过研究分析对象（例如黎曼Zeta函数）来理解，这些对象以某种方式编码整数、素数或其他数论对象的属性（分析数论）。人们也可以研究实数与有理数的关系，例如，由后者逼近的实数（Diophantine逼近）。

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数学代写|数论作业代写number theory代考|Conjugates of a over K

We define the conjugates of an element over a subfield of $\mathbb{C}$.
Definition 5.2.1 (Conjugates of $\alpha$ over $K$ ) Let $\alpha \in \mathbb{C}$ be algebraic over a subfield $K$ of $\mathbb{C}$. The conjugates of $\alpha$ over $K$ are the roots in $\mathbb{C}$ of $\operatorname{irr}K(\alpha)$. Example 5.2.1 We have from Example 5.1.1 that $$ \operatorname{irr}{\mathbb{Q}}\left(\frac{1+i}{\sqrt{2}}\right)=x^4+1
$$
As
$$
x^4+1=\left(x-\left(\frac{1+i}{\sqrt{2}}\right)\right)\left(x-\left(\frac{1-i}{\sqrt{2}}\right)\right)\left(x+\left(\frac{1+i}{\sqrt{2}}\right)\right)\left(x+\left(\frac{1-i}{\sqrt{2}}\right)\right)
$$
the conjugates of $(1+i) / \sqrt{2}$ over $\mathbb{Q}$ are
$$
\frac{1+i}{\sqrt{2}}, \frac{1-i}{\sqrt{2}}, \frac{-1-i}{\sqrt{2}}, \frac{-1+i}{\sqrt{2}}
$$
Example 5.2.2 We have from Example 5.1.2 that
$$
\operatorname{irr}_{\mathbb{Q}(\sqrt{2})}\left(\frac{1+i}{\sqrt{2}}\right)=x^2-\sqrt{2} x+1
$$
As
$$
x^2-\sqrt{2} x+1=\left(x-\frac{1+i}{\sqrt{2}}\right)\left(x-\frac{1-i}{\sqrt{2}}\right)
$$
the conjugates of $(1+i) / \sqrt{2}$ over $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ are
$$
\frac{1+i}{\sqrt{2}}, \frac{1-i}{\sqrt{2}} \text {. }
$$

数学代写|数论作业代写number theory代考|Conjugates of an Algebraic Integer

Theorem 5.3.1 If $\alpha$ is an algebraic integer then its conjugates over $\mathbb{Q}$ are also algebraic integers.
Proof: As $\alpha$ is an algebraic integer it is a root of a polynomial
$$
h(x)=x^m+a_{m-1} x^{m-1}+\cdots+a_1 x+a_0 \in \mathbb{Z}[x] .
$$

Since $h(x) \in \mathbb{Q}[x]$ and $h(\alpha)=0$ we have $h(x) \in I_{\mathbb{Q}}(\alpha)=\left\langle\operatorname{irr}{\mathbb{Q}}(\alpha)\right\rangle$ so that $$ h(x)=\operatorname{irr}{\mathbb{Q}}(\alpha) q(x)
$$
for some $q(x) \in \mathbb{Q}[x]$. Let $\beta$ be a conjugate of $\alpha$ over $\mathbb{Q}$. Then $\beta$ is also a root of $\operatorname{irr}_{\mathbb{Q}}(\alpha)$. Hence $h(\beta)=0$ and so $\beta$ is also an algebraic integer.

We recall that a monic polynomial $f(x)=x^n+a_1 x^{n-1}+\cdots+a_{n-1} x+a_n \in$ $\mathbb{Z}[x]$ is said to be $p$-Eisenstein with respect to the prime $p$ if
$$
p\left|a_1, \ldots, p\right| a_{n-1}, p \mid a_n, p^2 \nmid a_n .
$$
Eisenstein’s irreducibility criterion asserts that if $f(x)$ is $p$-Eisenstein for some prime $p$ then $f(x)$ is irreducible in $\mathbb{Z}[x]$.
Example 5.3.1 Let $\alpha=\sqrt[3]{2}-\sqrt[3]{4}$. Then
$$
\alpha^3=2-6 \sqrt[3]{2}+6 \sqrt[3]{4}-4=-2-6(\sqrt[3]{2}-\sqrt[3]{4})=-2-6 \alpha
$$
so that $\alpha$ is a root of the monic cubic polynomial $x^3+6 x+2 \in \mathbb{Z}[x]$ and is thus an algebraic integer. As $x^3+6 x+2$ is 2 -Eisenstein it is irreducible in $\mathbb{Z}[x]$. Hence
$$
\operatorname{irr}{\mathbb{Q}}(\alpha)=x^3+6 x+2 $$ The other two roots of $\operatorname{irr}{\mathbb{Q}}(\alpha)$ are
$$
\alpha^{\prime}=\omega \sqrt[3]{2}-\omega^2 \sqrt[3]{4}, \alpha^{\prime \prime}=\omega^2 \sqrt[3]{2}-\omega \sqrt[3]{4},
$$
where $\omega$ is a complex cube root of unity. Thus $\alpha^{\prime}$ and $\alpha^{\prime \prime}$ are also algebraic integers.

数论作业代写

数学代写|数论作业代写number theory代考|Conjugates of a over K

我们定义了$\mathbb{C}$的子域上的元素的共轭。
定义5.2.1 ($\alpha$ / $K$的共轭)设$\alpha \in \mathbb{C}$是$\mathbb{C}$的子域$K$上的代数。$\alpha$ / $K$的共轭是$\operatorname{irr}K(\alpha)$在$\mathbb{C}$中的根。例5.2.1我们从例5.1.1得到$$ \operatorname{irr}{\mathbb{Q}}\left(\frac{1+i}{\sqrt{2}}\right)=x^4+1
$$
As
$$
x^4+1=\left(x-\left(\frac{1+i}{\sqrt{2}}\right)\right)\left(x-\left(\frac{1-i}{\sqrt{2}}\right)\right)\left(x+\left(\frac{1+i}{\sqrt{2}}\right)\right)\left(x+\left(\frac{1-i}{\sqrt{2}}\right)\right)
$$
$(1+i) / \sqrt{2}$ / $\mathbb{Q}$的共轭是
$$
\frac{1+i}{\sqrt{2}}, \frac{1-i}{\sqrt{2}}, \frac{-1-i}{\sqrt{2}}, \frac{-1+i}{\sqrt{2}}
$$
例5.2.2我们从例5.1.2中得到
$$
\operatorname{irr}_{\mathbb{Q}(\sqrt{2})}\left(\frac{1+i}{\sqrt{2}}\right)=x^2-\sqrt{2} x+1
$$
As
$$
x^2-\sqrt{2} x+1=\left(x-\frac{1+i}{\sqrt{2}}\right)\left(x-\frac{1-i}{\sqrt{2}}\right)
$$
$(1+i) / \sqrt{2}$ / $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$的共轭是
$$
\frac{1+i}{\sqrt{2}}, \frac{1-i}{\sqrt{2}} \text {. }
$$

数学代写|数论作业代写number theory代考|Conjugates of an Algebraic Integer

定理5.3.1如果$\alpha$是一个代数整数，那么它在$\mathbb{Q}$上的共轭也是代数整数。
证明:$\alpha$是一个代数整数，它是一个多项式的根
$$
h(x)=x^m+a_{m-1} x^{m-1}+\cdots+a_1 x+a_0 \in \mathbb{Z}[x] .
$$

因为$h(x) \in \mathbb{Q}[x]$和$h(\alpha)=0$我们有$h(x) \in I_{\mathbb{Q}}(\alpha)=\left\langle\operatorname{irr}{\mathbb{Q}}(\alpha)\right\rangle$所以$$ h(x)=\operatorname{irr}{\mathbb{Q}}(\alpha) q(x)
$$
对一些人来说$q(x) \in \mathbb{Q}[x]$。设$\beta$是$\alpha$ / $\mathbb{Q}$的共轭。那么$\beta$也是$\operatorname{irr}_{\mathbb{Q}}(\alpha)$的一个词根。因此$h(\beta)=0$$\beta$也是一个代数整数。

我们记得，一个单多项式$f(x)=x^n+a_1 x^{n-1}+\cdots+a_{n-1} x+a_n \in$$\mathbb{Z}[x]$被称为$p$ -爱森斯坦关于质数$p$ if
$$
p\left|a_1, \ldots, p\right| a_{n-1}, p \mid a_n, p^2 \nmid a_n .
$$
爱森斯坦的不可约准则断言，如果$f(x)$对某些素数$p$是$p$ -爱森斯坦，那么$f(x)$在$\mathbb{Z}[x]$是不可约的。
例5.3.1设置$\alpha=\sqrt[3]{2}-\sqrt[3]{4}$。然后
$$
\alpha^3=2-6 \sqrt[3]{2}+6 \sqrt[3]{4}-4=-2-6(\sqrt[3]{2}-\sqrt[3]{4})=-2-6 \alpha
$$
所以$\alpha$是一元三次多项式$x^3+6 x+2 \in \mathbb{Z}[x]$的一个根因此它是一个代数整数。因为$x^3+6 x+2$是2 -爱森斯坦，所以$\mathbb{Z}[x]$是不可约的。因此
$$
\operatorname{irr}{\mathbb{Q}}(\alpha)=x^3+6 x+2 $$$\operatorname{irr}{\mathbb{Q}}(\alpha)$的另外两个根是
$$
\alpha^{\prime}=\omega \sqrt[3]{2}-\omega^2 \sqrt[3]{4}, \alpha^{\prime \prime}=\omega^2 \sqrt[3]{2}-\omega \sqrt[3]{4},
$$
其中$\omega$是单位的复数立方根。因此$\alpha^{\prime}$和$\alpha^{\prime \prime}$也是代数整数。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

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非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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数学代写|数论作业代写number theory代考|Principal Ideal Domains

An important class of integral domains are those in which every ideal is principal.
Definition 1.4.1 (Principal ideal domain) An integral domain $D$ is called a principal ideal domain if every ideal in $D$ is principal.

We begin by giving an example of an integral domain in which every ideal is principal.
Theorem 1.4.1 $\mathbb{Z}$ is a principal ideal domain.
Proof: Let $I$ be an ideal of $\mathbb{Z}$. If $I={0}$ then $I=\langle 0\rangle$ is a principal ideal. Thus we may suppose that $I \neq{0}$. Hence $I$ contains a nonzero element $a$. As both $a$ and $-a$ belong to $I$, we can suppose that $a>0$. Hence $I$ contains at least one positive integer, namely $a$.

We let $m$ denote the least positive integer in $I$. Dividing $a$ by $m$, we obtain integers $q$ and $r$ such that $a=m q+r$ and $0 \leq r<m$. As $a \in I$ and $m \in I$, we have $r=a-m q \in I$. This contradicts the minimality of $m$ unless $r=0$, in which case $a=m q$; that is, $I=\langle m\rangle=m \mathbb{Z}$.

Theorems 1.3 .1 and 1.4.1 show that the set of ideals of $\mathbb{Z}$ is ${k \mathbb{Z} \mid k \in$ ${0,1,2, \ldots}}$. Moreover, if $I$ is an ideal of $\mathbb{Z}$ then it is generated by the least positive integer in $I$.

Other examples of principal ideal domains will be given in Chapter 2 where we discuss Euclidean domains.

数学代写|数论作业代写number theory代考|Maximal Ideals and Prime Ideals

In this section we give the basic properties of maximal and prime ideals. These will be important when we discuss Dedekind domains in Chapter 8.

Definition 1.5.1 (Maximal ideal) A proper ideal $M$ of an integral domain $D$ is called a maximal ideal if whenever $I$ is an ideal of $D$ such that $M \subseteq I \subseteq D$ then $I=M$ or $I=D$.

Example 1.5.1 The ideal $\left\langle x^2+1\right\rangle$ is maximal in $\mathbb{R}[x]$. To show this, assume that $I$ is an ideal of $\mathbb{R}[x]$ such that $\left\langle x^2+1\right\rangle \subset I \subset \mathbb{R}[x]$. As $\left\langle x^2+1\right\rangle$ is properly contained in $I$, there exists $f(x) \in I$ and $f(x) \notin\left\langle x^2+1\right\rangle$. Dividing $f(x)$ by $x^2+1$, we obtain
$$
f(x)=\left(x^2+1\right) q(x)+r(x)
$$
where $r(x) \neq 0$ and $\operatorname{deg}(r(x))<2$. Thus $r(x)=a x+b$, where $a \in \mathbb{R}$ and $b \in \mathbb{R}$ are not both 0 , and
$$
a x+b=r(x)=f(x)-q(x)\left(x^2+1\right) \in I
$$
Thus
$$
a^2 x^2-b^2=(a x+b)(a x-b) \in I
$$
and
$$
a^2\left(x^2+1\right) \in I
$$
Hence
$$
a^2+b^2=\left(a^2\left(x^2+1\right)\right)-\left(a^2 x^2-b^2\right) \in I .
$$

数论作业代写

数学代写|数论作业代写number theory代考|Principal Ideal Domains

一类重要的积分域是所有理想都是主要的。
定义1.4.1(主理想域)如果$D$中的每个理想都是主的，则积分域$D$称为主理想域。

我们首先给出一个积分域的例子，其中每个理想都是主要的。
定理1.4.1 $\mathbb{Z}$是一个主理想域。
证明:让$I$成为$\mathbb{Z}$的一个理想。如果$I={0}$，那么$I=\langle 0\rangle$就是一个主要的理想。因此，我们可以假设$I \neq{0}$。因此$I$包含一个非零元素$a$。由于$a$和$-a$都属于$I$，我们可以假设$a>0$。因此$I$至少包含一个正整数，即$a$。

令$m$表示$I$中最小的正整数。将$a$除以$m$，我们得到整数$q$和$r$，从而得到$a=m q+r$和$0 \leq r<m$。作为$a \in I$和$m \in I$，我们有$r=a-m q \in I$。这与$m$的最小值相矛盾，除非$r=0$，在这种情况下$a=m q$;也就是$I=\langle m\rangle=m \mathbb{Z}$。

定理1.3 .1和1.4.1表明$\mathbb{Z}$的理想集是${k \mathbb{Z} \mid k \in$${0,1,2, \ldots}}$。此外，如果$I$是$\mathbb{Z}$的理想，那么它是由$I$中的最小正整数生成的。

主要理想域的其他例子将在我们讨论欧几里得域的第2章中给出。

数学代写|数论作业代写number theory代考|Maximal Ideals and Prime Ideals

本节给出了极大理想和素理想的基本性质。当我们在第8章讨论Dedekind域时，这些将是重要的。

定义1.5.1(极大理想)当$I$是$D$的理想时，一个积分域$D$的固有理想$M$被称为极大理想，使得$M \subseteq I \subseteq D$然后$I=M$或$I=D$。

例1.5.1理想的$\left\langle x^2+1\right\rangle$在$\mathbb{R}[x]$是最大的。为了说明这一点，假设$I$是$\mathbb{R}[x]$的理想值，使得$\left\langle x^2+1\right\rangle \subset I \subset \mathbb{R}[x]$。因为$\left\langle x^2+1\right\rangle$包含在$I$中，所以存在$f(x) \in I$和$f(x) \notin\left\langle x^2+1\right\rangle$。用$f(x)$除以$x^2+1$，得到
$$
f(x)=\left(x^2+1\right) q(x)+r(x)
$$
其中$r(x) \neq 0$和$\operatorname{deg}(r(x))<2$。因此$r(x)=a x+b$，其中$a \in \mathbb{R}$和$b \in \mathbb{R}$不都是0，和
$$
a x+b=r(x)=f(x)-q(x)\left(x^2+1\right) \in I
$$
因此
$$
a^2 x^2-b^2=(a x+b)(a x-b) \in I
$$
和
$$
a^2\left(x^2+1\right) \in I
$$
因此
$$
a^2+b^2=\left(a^2\left(x^2+1\right)\right)-\left(a^2 x^2-b^2\right) \in I .
$$

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金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

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广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

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随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

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如果你也在 怎样代写数论Number theory 个学科遇到相关的难题，请随时右上角联系我们的24/7代写客服。数论Number theory（或旧时的算术或高等算术）是纯数学的一个分支，主要致力于研究整数和整数值的函数。德国数学家卡尔-弗里德里希-高斯（1777-1855）说：”数学是科学的女王–数论是数学的女王。”数论家研究素数以及由整数组成的数学对象（例如有理数）或定义为整数的概括（例如代数整数）的属性。

数论Number theory整数既可以被视为本身，也可以被视为方程的解（刁藩几何）。数论中的问题通常最好通过研究分析对象（例如黎曼Zeta函数）来理解，这些对象以某种方式编码整数、素数或其他数论对象的属性（分析数论）。人们也可以研究实数与有理数的关系，例如，由后者逼近的实数（Diophantine逼近）。

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数学代写|数论作业代写number theory代考|Irreducibles and Primes

In $\mathbb{Z}$ an integer $p(\geq 2)$ that is divisible only by the positive integers 1 and $p$ is called a prime. Each prime $p$ in $\mathbb{Z}$ has the following two properties:
$$
p=a b(a, b \in \mathbb{Z}) \Longrightarrow a \text { or } b= \pm 1
$$
and
$$
p|a b(a, b \in \mathbb{Z}) \Longrightarrow p| a \text { or } p \mid b
$$
Our next definition generalizes property (1.2.1) to an arbitrary integral domain $D$, and an element of $D$ with this property is called an irreducible element.

Definition 1.2.1 (Irreducible) A nonzero, nonunit element a of an integral domain $D$ is called an irreducible, or said to be irreducible, if $a=b c$, where $b, c \in D$, implies that either $b$ or $c$ is a unit.
A nonzero, nonunit element that is not irreducible is called reducible.
Example 1.2.1 2 is irreducible in $\mathbb{Z}$, for if $2=a b$ with $a \in \mathbb{Z}$ and $b \in \mathbb{Z}$ then either $a= \pm 1$ or $b= \pm 1$.

Example 1.2.2 2 is irreducible in $\mathbb{Z}+\mathbb{Z} \sqrt{-5}$. To show this, suppose that $2=$ $(a+b \sqrt{-5})(c+d \sqrt{-5})$, where $a, b, c, d \in \mathbb{Z}$. Taking the modulus of both sides of this equation, we obtain $4=\left(a^2+5 b^2\right)\left(c^2+5 d^2\right)$. Thus $a^2+5 b^2$ is a positive integral divisor of 4 and so we must have
$$
a^2+5 b^2=1,2, \text { or } 4
$$
Hence we see that
$$
(a, b)=( \pm 1,0) \text { or }( \pm 2,0)
$$
so that
$$
a+b \sqrt{-5}= \pm 1 \text { or } \pm 2 \text {. }
$$
In the former case $a+b \sqrt{-5}$ is a unit of $\mathbb{Z}+\mathbb{Z} \sqrt{-5}$. In the latter case
$$
c+d \sqrt{-5}=\frac{2}{a+b \sqrt{-5}}=\frac{2}{ \pm 2}= \pm 1
$$
is a unit of $\mathbb{Z}+\mathbb{Z} \sqrt{-5}$. Hence 2 is irreducible in $\mathbb{Z}+\mathbb{Z} \sqrt{-5}$.

数学代写|数论作业代写number theory代考|Ideals

Subsets of an integral domain $D$ that are closed under addition and under multiplication by elements of $D$ play a special role and are called ideals.

Definition 1.3.1 (Ideal) An ideal I of an integral domain $D$ is a nonempty subset of $D$ having the following two properties:
$$
\begin{gathered}
a \in I, b \in I \Longrightarrow a+b \in I, \
a \in I, r \in D \Longrightarrow r a \in I .
\end{gathered}
$$
It is clear that if $a_1, \ldots, a_n \in I$ then $r_1 a_1+\cdots+r_n a_n \in I$ for all $r_1, \ldots, r_n \in D$. In particular if $a \in I$ and $b \in I$ then $-a \in I$ and $a-b \in I$. Also $0 \in I$, and if $1 \in I$ then $I=D$.

Example 1.3.1 If $\left{a_1, \ldots, a_n\right}$ is a set of elements of the integral domain $D$ then the set of all finite linear combinations of $a_1, \ldots, a_n$
$$
\left{\sum_{i=1}^n r_i a_i \mid r_1, \ldots, r_n \in D\right}
$$
is an ideal of $D$, which we denote by $\left\langle a_1, \ldots, a_n\right\rangle$.

Definition 1.3.2 (Principal ideal) An ideal I of an integral domain $D$ is called a principal ideal if there exists an element $a \in I$ such that $I=\langle a\rangle$. The element $a$ is called a generator of the ideal $I$.

If $D$ is an integral domain the principal ideal $\langle a\rangle$ generated by $a \in D$ is just the set ${r a \mid r \in D}$. Clearly the principal ideal $\langle 0\rangle$ is just the singleton set ${0}$ and the principal ideal $\langle 1\rangle$ is $D$.

数论作业代写

数学代写|数论作业代写number theory代考|Irreducibles and Primes

在$\mathbb{Z}$中，一个只能被正整数1和$p$整除的整数$p(\geq 2)$称为素数。$\mathbb{Z}$中的每个质数$p$都有以下两个属性:
$$
p=a b(a, b \in \mathbb{Z}) \Longrightarrow a \text { or } b= \pm 1
$$
和
$$
p|a b(a, b \in \mathbb{Z}) \Longrightarrow p| a \text { or } p \mid b
$$
我们的下一个定义将性质(1.2.1)推广到任意积分域$D$，并且具有此性质的$D$的元素称为不可约元素。

定义1.2.1(不可约)一个积分域$D$上的非零的、非单位的元素A称为不可约的，或者说是不可约的，如果$a=b c$，其中$b, c \in D$意味着$b$或$c$是一个单位。
非零、非单位且非不可约的元素称为可约元素。
例1.2.1在$\mathbb{Z}$中是不可约的，因为如果$2=a b$与$a \in \mathbb{Z}$和$b \in \mathbb{Z}$相连，那么要么是$a= \pm 1$，要么是$b= \pm 1$。

例1.2.2在$\mathbb{Z}+\mathbb{Z} \sqrt{-5}$中是不可约的。为了说明这一点，假设$2=$$(a+b \sqrt{-5})(c+d \sqrt{-5})$，其中$a, b, c, d \in \mathbb{Z}$。对方程两边取模，得到$4=\left(a^2+5 b^2\right)\left(c^2+5 d^2\right)$。因此$a^2+5 b^2$是4的正整因数所以我们必须有
$$
a^2+5 b^2=1,2, \text { or } 4
$$
因此我们看到
$$
(a, b)=( \pm 1,0) \text { or }( \pm 2,0)
$$
如此……以至于……
$$
a+b \sqrt{-5}= \pm 1 \text { or } \pm 2 \text {. }
$$
在前一种情况下，$a+b \sqrt{-5}$是$\mathbb{Z}+\mathbb{Z} \sqrt{-5}$的一个单位。在后一种情况下
$$
c+d \sqrt{-5}=\frac{2}{a+b \sqrt{-5}}=\frac{2}{ \pm 2}= \pm 1
$$
是$\mathbb{Z}+\mathbb{Z} \sqrt{-5}$的单位。因此2在$\mathbb{Z}+\mathbb{Z} \sqrt{-5}$中是不可约的。

数学代写|数论作业代写number theory代考|Ideals

积分域$D$的子集在$D$的元素的加法和乘法下封闭，它们起着特殊的作用，被称为理想。

1.3.1(理想)积分域$D$的理想I是$D$的非空子集，具有以下两个性质:
$$
\begin{gathered}
a \in I, b \in I \Longrightarrow a+b \in I, \
a \in I, r \in D \Longrightarrow r a \in I .
\end{gathered}
$$
很明显，如果$a_1, \ldots, a_n \in I$那么$r_1 a_1+\cdots+r_n a_n \in I$对于所有$r_1, \ldots, r_n \in D$。特别是$a \in I$和$b \in I$，然后是$-a \in I$和$a-b \in I$。还有$0 \in I$，如果是$1 \in I$，那么就是$I=D$。

如果$\left{a_1, \ldots, a_n\right}$是积分域$D$的元素集合，则$a_1, \ldots, a_n$的所有有限线性组合的集合
$$
\left{\sum_{i=1}^n r_i a_i \mid r_1, \ldots, r_n \in D\right}
$$
是$D$的一个理想值，我们用$\left\langle a_1, \ldots, a_n\right\rangle$表示。

定义1.3.2(主理想)一个积分域$D$的理想I称为主理想，如果存在一个元素$a \in I$使得$I=\langle a\rangle$。元素$a$被称为理想$I$的生成器。

如果$D$是一个积分域，那么由$a \in D$生成的主理想$\langle a\rangle$就是集合${r a \mid r \in D}$。显然主理想$\langle 0\rangle$就是单例集${0}$主理想$\langle 1\rangle$就是$D$。

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