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数论Number theory是一门有着极其悠久和丰富历史的学科。研究数论，并适当关注它的历史提醒我们，这门学科一直是一个激烈的竞争人类活动。许多其他的数学学科，例如微积分，毫无疑问会像今天这样发展，完全独立于参与实际发展的个人，但数论的发展却奇妙而离奇，这在很大程度上取决于多年来发展这门学科的人的特殊兴趣。

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数学代写|数论作业代写number theory代考|Fractional p-adic Numbers

Since the ring $O_p$ has no zero divisors (Corollary 2 of Theorem 2), it can be embedded in a field, using the standard construction of a field from an integral domain. Application of this construction to our situation leads to consideration of fractions of the form $\alpha / p^k$, where $\alpha$ is some $p$-adic integer, and $k \geqslant 0$. The fractions considered here could more suitably be written as pairs $\left(\alpha, p^k\right)$.

Definition. A fraction of the form $\alpha / p^k, \alpha \in O_p, k \geqslant 0$, determines a fractional $p$-adic number, or, more simply, a $p$-adic number. Two fractions, $\alpha / p^k$ and $\beta / p^m$, determine the same $p$-adic number if and only if $\alpha p^m=\beta p^k$ in $O_p$.
The set of all $p$-adic numbers will be denoted by $R_p$.
A $p$-adic integer determines an element $\alpha / 1=\alpha / p^0$ in $R_p$. It is clear that distinct $p$-adic integers determine distinct elements of $R_p$. Hence we shall assume that $O_p$ is a subset of the set $R_p$.
Addition and multiplication are defined in $R_p$ by the rules
$$
\begin{aligned}
\frac{\alpha}{p^k}+\frac{\beta}{p^m} & =\frac{\alpha p^m+\beta p^k}{p^{k+m}}, \
\frac{\alpha}{p^k} \frac{\beta}{p^m} & =\frac{\alpha \beta}{p^{k+m}} .
\end{aligned}
$$

数学代写|数论作业代写number theory代考|Convergence in the Field of p-Adic Numbers

In Section 3.1 we noted the analogy between $p$-adic integers and real numbers, in that both are determined by sequences of rational numbers.
Just as every real number is the limit of any sequence of rational numbers which determines it, it would be natural to conjecture that the same fact should hold for $p$-adic numbers, if the correct definition of the concept of convergence is given. The definition of limit for real or rational numbers can be based, for example, on the notion of nearness; two real or rational numbers being near if the absolute value of their difference is small. For the definition of convergence for $p$-adic numbers we thus must decide under what conditions two $p$-adic numbers are to be considered close to one another.

In the example of the first section, we spoke of the $p$-nearness of two $p$-adic integers $x$ and $y$, meaning by this that the difference of $x$ and $y$ should be divisible by a high power of $p$. It was under this definition of nearness that the analogy between the definitions of real numbers and of $p$-adic integers became apparent. If we use the concept of the $p$-value $v_p$, then the $p$-nearness of $x$ and $x$ will be characterized by the value of $v_p(x-y)$. Thus we may speak of two $p$-adic numbers $\xi$ and $\eta$ (not necessarily integers) as being near when the value of $v_p(\xi-\eta)$ is sufficiently large. Thus “small” $p$-adic numbers are characterized by the large value of their $p$-value.
After these remarks we turn to precise definitions.
Definition. The sequence
$$
\left{\xi_n\right}=\left{\xi_0, \xi_1, \ldots, \xi_n, \ldots\right}
$$
of $p$-adic numbers converges to the $p$-adic number $\xi$ (we denote this by $\lim {n \rightarrow \infty} \xi_n=\xi$ or $\left.\left{\xi_n\right} \rightarrow \xi\right)$ if $$ \lim {n \rightarrow \infty} v_p\left(\xi_n-\xi\right)=\infty .
$$
A singular feature of this definition (which distinguishes it from the usual definition of convergence for real numbers) is that the convergence of $\left{\xi_n\right}$ to $\xi$ is determined by the sequence of rational integers $v_p\left(\xi_n-\xi\right)$, which must converge to infinity. We can put the definition in a more familiar form if, instead of $v_p$, we consider another nonnegative real-valued function on the field $R_p$, which will converge to zero as $v_p$ goes to infinity. Namely, choose some real number $\rho$, satisfying $0<\rho<1$, and set
$$
\varphi_p(\xi)= \begin{cases}\rho^{v_p(\xi)} & \text { for } \xi \neq 0 \ 0 & \text { for } \quad \xi=0\end{cases}
$$

数论作业代写

数学代写|数论作业代写number theory代考|Fractional p-adic Numbers

由于环$O_p$没有零因子(定理2的推论2)，它可以嵌入到一个域中，使用从一个积分域的域的标准构造。将这种结构应用于我们的情况会导致考虑$\alpha / p^k$形式的分数，其中$\alpha$是一个$p$进制整数，$k \geqslant 0$。这里考虑的分数可以更合适地写成成对$\left(\alpha, p^k\right)$。

定义。一个形式为$\alpha / p^k, \alpha \in O_p, k \geqslant 0$的分数决定了一个分数的$p$ -adic数，或者更简单地说，一个$p$ -adic数。两个分数$\alpha / p^k$和$\beta / p^m$当且仅当$O_p$中的$\alpha p^m=\beta p^k$表示相同的$p$进制数。
所有$p$进制数的集合将用$R_p$表示。
一个$p$ -adic整数决定了$R_p$中的一个元素$\alpha / 1=\alpha / p^0$。很明显，不同的$p$ -adic整数决定了$R_p$的不同元素。因此，我们假定$O_p$是集合$R_p$的一个子集。
规则在$R_p$中定义了加法和乘法
$$
\begin{aligned}
\frac{\alpha}{p^k}+\frac{\beta}{p^m} & =\frac{\alpha p^m+\beta p^k}{p^{k+m}}, \
\frac{\alpha}{p^k} \frac{\beta}{p^m} & =\frac{\alpha \beta}{p^{k+m}} .
\end{aligned}
$$

数学代写|数论作业代写number theory代考|Convergence in the Field of p-Adic Numbers

在第3.1节中，我们注意到$p$ -adic整数与实数之间的类比，因为它们都由有理数序列决定。
正如每一个实数都是决定它的任何有理数序列的极限一样，如果给出收敛概念的正确定义，我们很自然地可以推测，同样的事实也适用于$p$进数列。实数或有理数极限的定义可以基于，例如，近似的概念;如果两个实数或有理数之差的绝对值很小，则它们接近。因此，对于$p$ -进数收敛性的定义，我们必须决定在什么条件下两个$p$ -进数被认为是彼此接近的。

在第一节的例子中，我们谈到了 $p$-接近2 $p$-进整数 $x$ 和 $y$的区别 $x$ 和 $y$ 能被的高次幂整除吗 $p$． 正是在这种近似的定义下实数和的定义之间的类比 $p$-adic整数变得显而易见。如果我们用这个概念 $p$-value $v_p$，然后是 $p$-距离 $x$ 和 $x$ 会以价值为特征吗 $v_p(x-y)$． 因此，我们可以说有两个 $p$进位数 $\xi$ 和 $\eta$ (不一定是整数)当的值接近时 $v_p(\xi-\eta)$ 足够大。因此“小” $p$-进位数的特点是它们的 $p$-value。
在这些评论之后，我们转向精确的定义。
定义。顺序
$$
\left{\xi_n\right}=\left{\xi_0, \xi_1, \ldots, \xi_n, \ldots\right}
$$
的 $p$-adic数字收敛于 $p$进位数 $\xi$ (我们用 $\lim {n \rightarrow \infty} \xi_n=\xi$ 或 $\left.\left{\xi_n\right} \rightarrow \xi\right)$ 如果 $$ \lim {n \rightarrow \infty} v_p\left(\xi_n-\xi\right)=\infty .
$$
这个定义的一个奇异特征(它区别于实数收敛的通常定义)是 $\left{\xi_n\right}$ 到 $\xi$ 是由有理数序列决定的吗 $v_p\left(\xi_n-\xi\right)$，它必须收敛于无穷。我们可以用更熟悉的形式来定义它，而不是 $v_p$，我们考虑域上的另一个非负实值函数 $R_p$，它收敛于0 $v_p$ 趋于无穷。也就是说，选择一个实数 $\rho$满意的 $0<\rho<1$，并设置
$$
\varphi_p(\xi)= \begin{cases}\rho^{v_p(\xi)} & \text { for } \xi \neq 0 \ 0 & \text { for } \quad \xi=0\end{cases}
$$

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金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

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广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

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多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

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数论Number theory整数既可以被视为本身，也可以被视为方程的解（刁藩几何）。数论中的问题通常最好通过研究分析对象（例如黎曼Zeta函数）来理解，这些对象以某种方式编码整数、素数或其他数论对象的属性（分析数论）。人们也可以研究实数与有理数的关系，例如，由后者逼近的实数（Diophantine逼近）。

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数学代写|数论作业代写number theory代考|Dedekind Domains

Definition 8.1.1 (Dedekind domain) An integral domain $D$ that satisfies the following three properties:
$D$ is a Noetherian domain,
$D$ is integrally closed, and
each prime ideal of $D$ is a maximal ideal,
is called a Dedekind domain.
In view of the remarks before Definition 8.1.1, we have
Theorem 8.1.1 Let $K$ be an algebraic number field. Let $O_K$ be the ring of integers of $K$. Then $O_K$ is a Dedekind domain.

The next theorem gives another class of integral domains that are Dedekind domains.

Theorem 8.1.2 Let $D$ be a principal ideal domain. Then $D$ is a Dedekind domain.
Proof: Let $D$ be a principal ideal domain. By Theorem 3.1.2 $D$ is a Noetherian domain, so (8.1.1) holds. By Theorem 3.3.1 $\mathrm{D}$ is a unique factorization domain and thus, by Theorem 4.2.5, $D$ is integrally closed, so (8.1.2) holds. By Theorem 1.5.7 each prime ideal of $D$ is maximal so that (8.1.3) holds. Hence $D$ is a Dedekind domain.

Our main objective in this chapter is to show that every ideal $I(\neq\langle 0\rangle,\langle 1\rangle)$ of a Dedekind domain can be expressed uniquely as a product of prime ideals. We also show that every ideal of a Dedekind domain is generated by at most two elements.

数学代写|数论作业代写number theory代考|Ideals in a Dedekind Domain

The first step toward our objective of proving that in a Dedekind domain every proper ideal is a product of prime ideals is to show that every such ideal contains a product of prime ideals. This is actually true in a Noetherian domain.

Theorem 8.2.1 In a Noetherian domain every nonzero ideal contains a product of one or more prime ideals.

Proof: Suppose that $D$ is a Noetherian domain that possesses at least one nonzero ideal that does not contain a product of one or more prime ideals. Let $S$ be the set of all such ideals. By assumption $S$ is not empty. As $D$ is Noetherian, by Theorem 3.1.3 $S$ contains a (nonzero) ideal $A$ maximal with respect to the property of not containing a product of one or more prime ideals. Clearly $A$ itself is not a prime ideal. Hence, by Theorem 1.6.1, there exist ideals $B$ and $C$ such that
$$
B C \subseteq A, B \nsubseteq A, C \nsubseteq A
$$
Define the ideals $B_1$ and $C_1$ of $D$ by
$$
B_1=A+B, C_1=A+C
$$
Clearly
$$
A \subset B_1, A \subset C_1,
$$
so that $B_1 \notin S, C_1 \notin S$. Hence there exist prime ideals $P_1, \ldots, P_k$ such that
$$
B_1 \supseteq P_1 \cdots P_h, C_1 \supseteq P_{h+1} \cdots P_k .
$$

数论作业代写

数学代写|数论作业代写number theory代考|Dedekind Domains

8.1.1 (Dedekind域)一个满足以下三个属性的积分域$D$:
$D$是一个诺瑟域，
$D$是全封闭的，并且
$D$的每个素理想都是一个极大理想，
称为Dedekind域。
鉴于定义8.1.1之前的注释，我们有
定理8.1.1设$K$为一个代数数域。设$O_K$为$K$的整数环。那么$O_K$就是Dedekind的域名。

下一个定理给出了另一类积分定义域，它们是Dedekind定义域。

定理8.1.2设$D$为主理想域。那么$D$就是Dedekind的域名。
证明:设$D$为主理想域。根据定理3.1.2 $D$是一个Noetherian域，因此(8.1.1)成立。根据定理3.3.1 $\mathrm{D}$是唯一分解域，因此，根据定理4.2.5,$D$是整闭的，因此(8.1.2)成立。根据定理1.5.7,$D$的每个素数理想都是极大的，因此(8.1.3)成立。因此$D$是Dedekind的域名。

本章的主要目的是证明戴德金域的每一个理想$I(\neq\langle 0\rangle,\langle 1\rangle)$都可以唯一地表示为素理想的乘积。我们还证明了Dedekind域的每一个理想是由最多两个元素生成的。

数学代写|数论作业代写number theory代考|Ideals in a Dedekind Domain

我们要证明在戴德金域中，每一个固有理想都是素理想的乘积，第一步就是要证明每一个这样的理想都包含一个素理想的乘积。这在诺埃尔域是成立的。

定理8.2.1在noether域中，每个非零理想包含一个或多个素数理想的积。

证明:假设$D$是一个诺瑟域，它拥有至少一个不包含一个或多个素数理想积的非零理想。让$S$成为所有这些理想的集合。假设$S$不是空的。由于$D$是诺etherian，根据定理3.1.3 $S$包含一个(非零)理想$A$极大值，关于不包含一个或多个素数理想积的性质。显然$A$本身并不是一个主要的理想。因此，根据定理1.6.1，存在理想$B$和$C$，使得
$$
B C \subseteq A, B \nsubseteq A, C \nsubseteq A
$$
定义$D$的理想$B_1$和$C_1$
$$
B_1=A+B, C_1=A+C
$$
显然
$$
A \subset B_1, A \subset C_1,
$$
所以是$B_1 \notin S, C_1 \notin S$。因此存在素数理想$P_1, \ldots, P_k$这样
$$
B_1 \supseteq P_1 \cdots P_h, C_1 \supseteq P_{h+1} \cdots P_k .
$$

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金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

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广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

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有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

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随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

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多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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数论Number theory整数既可以被视为本身，也可以被视为方程的解（刁藩几何）。数论中的问题通常最好通过研究分析对象（例如黎曼Zeta函数）来理解，这些对象以某种方式编码整数、素数或其他数论对象的属性（分析数论）。人们也可以研究实数与有理数的关系，例如，由后者逼近的实数（Diophantine逼近）。

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数学代写|数论作业代写number theory代考|Conjugate Fields of an Algebraic Number Field

Let $K$ be an algebraic number field. In this section we begin by determining the number of monomorphisms $\sigma: K \rightarrow \mathbb{C}$. For example, if $K=\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ then
$$
\sigma_1(x+y \sqrt{2})=x+y \sqrt{2}(x, y \in \mathbb{Q})
$$
and
$$
\sigma_2(x+y \sqrt{2})=x-y \sqrt{2}(x, y \in \mathbb{Q})
$$
are two monomorphisms from $K$ to $\mathbb{C}$.
Theorem 6.2.1 Let $K$ be an algebraic number field of degree $n$ over $\mathbb{Q}$. Then there are exactly $n$ distinct monomorphisms $\sigma_k: K \rightarrow \mathbb{C}(k=1, \ldots, n)$.

Proof: By Theorem 6.1.1 there exists an algebraic number $\theta \in K$ such that $K=$ $\mathbb{Q}(\theta)$. Let $p(x)=\operatorname{irr}{\mathbb{Q}}(\theta)$. Then $$ \operatorname{deg} p(x)=\operatorname{deg}\left(\operatorname{irr}{\mathbb{Q}}(\theta)\right)=[\mathbb{Q}(\theta): \mathbb{Q}]=n,
$$
so that $\theta$ has $n$ distinct conjugates over $\mathbb{Q}$ (Theorem 5.2.1), say $\theta_1=\theta, \theta_2, \ldots, \theta_n$, and
$$
p(x)=\left(x-\theta_1\right)\left(x-\theta_2\right) \cdots\left(x-\theta_n\right) .
$$
By Theorem 6.1.3 each element $\alpha$ of $K$ can be expressed uniquely in the form $\alpha=$ $a_0+a_1 \theta+\cdots+a_{n-1} \theta^{n-1}$, where $a_0, a_1, \ldots, a_{n-1} \in \mathbb{Q}$, so, for $k=1,2, \ldots, n$, we can define
$$
\sigma_k: K \rightarrow \mathbb{C}
$$
by
$$
\sigma_k\left(a_0+a_1 \theta+\cdots+a_{n-1} \theta^{n-1}\right)=a_0+a_1 \theta_k+\cdots+a_{n-1} \theta_k^{n-1} .
$$

数学代写|数论作业代写number theory代考|The Field Polynomial of an Element of an Algebraic Number Field

Let $K$ be an algebraic number field of degree $n$ over $\mathbb{Q}$. Let $\theta \in K$ be such that $K=\mathbb{Q}(\theta)$. Let $\theta_1=\theta, \theta_2, \ldots, \theta_n$ be the conjugates of $\theta$ over $\mathbb{Q}$.
For $\alpha \in K$ there exist unique rational numbers $c_0, c_1, \ldots, c_{n-1}$ such that
$$
\alpha=c_0+c_1 \theta+\cdots+c_{n-1} \theta^{n-1}
$$
(see Theorem 6.1.3). For $k=1,2, \ldots, n$ we set
$$
\alpha_k=c_0+c_1 \theta_k+\cdots+c_{n-1} \theta_k^{n-1} \in \mathbb{Q}\left(\theta_k\right) .
$$
Definition 6.3.1 (Complete set of conjugates of $\alpha$ relative to $K$ ) The set of algebraic numbers $\left{\alpha_1=\alpha, \alpha_2, \ldots, \alpha_n\right}$ is called a complete set of conjugates of $\alpha$ relative to $K$. More briefly they are called the ” $K$-conjugates of $\alpha$ ” or the “conjugates of $\alpha$ relative to $K$.”

Example 6.3.1 Let $K=\mathbb{Q}(\theta)$, where $\theta=\sqrt{2}+\sqrt{3}$. From Example 5.6.1 we see that
$$
\operatorname{irr}_{\mathbb{Q}}(\theta)=x^4-10 x^2+1
$$
As
$$
x^4-10 x^2+1=(x-\sqrt{2}-\sqrt{3})(x-\sqrt{2}+\sqrt{3})(x+\sqrt{2}-\sqrt{3})(x+\sqrt{2}+\sqrt{3})
$$
the conjugates of $\theta$ are
$$
\theta_1=\sqrt{2}+\sqrt{3}, \theta_2=\sqrt{2}-\sqrt{3}, \theta_3=-\sqrt{2}+\sqrt{3}, \theta_4=-\sqrt{2}-\sqrt{3} .
$$
Let $\alpha=2 \sqrt{3}$ so that $\alpha \in \mathbb{Q}(\sqrt{3}) \subset \mathbb{Q}(\sqrt{2}, \sqrt{3})=\mathbb{Q}(\sqrt{2}+\sqrt{3})=\mathbb{Q}(\theta)=K$ (Example 5.6.1). Hence $\alpha=a+b \theta+c \theta^2+d \theta^3$ for some $a, b, c, d \in \mathbb{Q}$. Thus
$$
\begin{aligned}
2 \sqrt{3} & =a+b(\sqrt{2}+\sqrt{3})+c(\sqrt{2}+\sqrt{3})^2+d(\sqrt{2}+\sqrt{3})^3 \
& =(a+5 c)+(b+11 d) \sqrt{2}+(b+9 d) \sqrt{3}+2 c \sqrt{6} .
\end{aligned}
$$
Hence
$$
a+5 c=0, b+11 d=0, b+9 d=2,2 c=0
$$
so that
$$
a=0, b=11, c=0, d=-1
$$
giving
$$
\alpha=11 \theta-\theta^3 .
$$

数论作业代写

数学代写|数论作业代写number theory代考|Conjugate Fields of an Algebraic Number Field

设$K$为一个代数数域。在本节中，我们首先确定单态的数量$\sigma: K \rightarrow \mathbb{C}$。例如，如果$K=\mathbb{Q}(\sqrt{2})$那么
$$
\sigma_1(x+y \sqrt{2})=x+y \sqrt{2}(x, y \in \mathbb{Q})
$$
和
$$
\sigma_2(x+y \sqrt{2})=x-y \sqrt{2}(x, y \in \mathbb{Q})
$$
是从$K$到$\mathbb{C}$的两个单态。
定理6.2.1设$K$是一个次为$n$ / $\mathbb{Q}$的代数数域。那么就有$n$不同的单态$\sigma_k: K \rightarrow \mathbb{C}(k=1, \ldots, n)$。

证明:由定理6.1.1存在一个代数数$\theta \in K$使得$K=$$\mathbb{Q}(\theta)$。让$p(x)=\operatorname{irr}{\mathbb{Q}}(\theta)$。然后$$ \operatorname{deg} p(x)=\operatorname{deg}\left(\operatorname{irr}{\mathbb{Q}}(\theta)\right)=[\mathbb{Q}(\theta): \mathbb{Q}]=n,
$$
所以$\theta$对$\mathbb{Q}$有$n$不同的共轭(定理5.2.1)比如$\theta_1=\theta, \theta_2, \ldots, \theta_n$和
$$
p(x)=\left(x-\theta_1\right)\left(x-\theta_2\right) \cdots\left(x-\theta_n\right) .
$$
根据定理6.1.3,$K$的每个元素$\alpha$都可以用$\alpha=$$a_0+a_1 \theta+\cdots+a_{n-1} \theta^{n-1}$的形式唯一地表示，其中$a_0, a_1, \ldots, a_{n-1} \in \mathbb{Q}$, so，对于$k=1,2, \ldots, n$，我们可以定义
$$
\sigma_k: K \rightarrow \mathbb{C}
$$
通过
$$
\sigma_k\left(a_0+a_1 \theta+\cdots+a_{n-1} \theta^{n-1}\right)=a_0+a_1 \theta_k+\cdots+a_{n-1} \theta_k^{n-1} .
$$

数学代写|数论作业代写number theory代考|The Field Polynomial of an Element of an Algebraic Number Field

设$K$是一个次为$n$ / $\mathbb{Q}$的代数数域。让$\theta \in K$变成$K=\mathbb{Q}(\theta)$。设$\theta_1=\theta, \theta_2, \ldots, \theta_n$是$\theta$ / $\mathbb{Q}$的共轭。
对于$\alpha \in K$存在唯一有理数$c_0, c_1, \ldots, c_{n-1}$，使得
$$
\alpha=c_0+c_1 \theta+\cdots+c_{n-1} \theta^{n-1}
$$
(见定理6.1.3)。对于$k=1,2, \ldots, n$，我们设置
$$
\alpha_k=c_0+c_1 \theta_k+\cdots+c_{n-1} \theta_k^{n-1} \in \mathbb{Q}\left(\theta_k\right) .
$$
定义6.3.1 ($\alpha$相对于$K$的共轭完全集)将代数数$\left{\alpha_1=\alpha, \alpha_2, \ldots, \alpha_n\right}$的集合称为$\alpha$相对于$K$的共轭完全集。更简单地说，它们被称为“$\alpha$的$K$共轭物”或“$\alpha$相对于$K$的共轭物”。

例6.3.1设$K=\mathbb{Q}(\theta)$，其中$\theta=\sqrt{2}+\sqrt{3}$。从例5.6.1我们可以看到
$$
\operatorname{irr}_{\mathbb{Q}}(\theta)=x^4-10 x^2+1
$$
As
$$
x^4-10 x^2+1=(x-\sqrt{2}-\sqrt{3})(x-\sqrt{2}+\sqrt{3})(x+\sqrt{2}-\sqrt{3})(x+\sqrt{2}+\sqrt{3})
$$
$\theta$的共轭是
$$
\theta_1=\sqrt{2}+\sqrt{3}, \theta_2=\sqrt{2}-\sqrt{3}, \theta_3=-\sqrt{2}+\sqrt{3}, \theta_4=-\sqrt{2}-\sqrt{3} .
$$
让$\alpha=2 \sqrt{3}$这样$\alpha \in \mathbb{Q}(\sqrt{3}) \subset \mathbb{Q}(\sqrt{2}, \sqrt{3})=\mathbb{Q}(\sqrt{2}+\sqrt{3})=\mathbb{Q}(\theta)=K$(例5.6.1)。因此，对于一些人来说，$\alpha=a+b \theta+c \theta^2+d \theta^3$是$a, b, c, d \in \mathbb{Q}$。因此
$$
\begin{aligned}
2 \sqrt{3} & =a+b(\sqrt{2}+\sqrt{3})+c(\sqrt{2}+\sqrt{3})^2+d(\sqrt{2}+\sqrt{3})^3 \
& =(a+5 c)+(b+11 d) \sqrt{2}+(b+9 d) \sqrt{3}+2 c \sqrt{6} .
\end{aligned}
$$
因此
$$
a+5 c=0, b+11 d=0, b+9 d=2,2 c=0
$$
如此……以至于……
$$
a=0, b=11, c=0, d=-1
$$
给予
$$
\alpha=11 \theta-\theta^3 .
$$

统计代写请认准statistics-lab™. statistics-lab™为您的留学生涯保驾护航。

金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写

随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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如果你也在 怎样代写数论Number theory 个学科遇到相关的难题，请随时右上角联系我们的24/7代写客服。数论Number theory（或旧时的算术或高等算术）是纯数学的一个分支，主要致力于研究整数和整数值的函数。德国数学家卡尔-弗里德里希-高斯（1777-1855）说：”数学是科学的女王–数论是数学的女王。”数论家研究素数以及由整数组成的数学对象（例如有理数）或定义为整数的概括（例如代数整数）的属性。

数论Number theory整数既可以被视为本身，也可以被视为方程的解（刁藩几何）。数论中的问题通常最好通过研究分析对象（例如黎曼Zeta函数）来理解，这些对象以某种方式编码整数、素数或其他数论对象的属性（分析数论）。人们也可以研究实数与有理数的关系，例如，由后者逼近的实数（Diophantine逼近）。

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数学代写|数论作业代写number theory代考|Conjugates of a over K

We define the conjugates of an element over a subfield of $\mathbb{C}$.
Definition 5.2.1 (Conjugates of $\alpha$ over $K$ ) Let $\alpha \in \mathbb{C}$ be algebraic over a subfield $K$ of $\mathbb{C}$. The conjugates of $\alpha$ over $K$ are the roots in $\mathbb{C}$ of $\operatorname{irr}K(\alpha)$. Example 5.2.1 We have from Example 5.1.1 that $$ \operatorname{irr}{\mathbb{Q}}\left(\frac{1+i}{\sqrt{2}}\right)=x^4+1
$$
As
$$
x^4+1=\left(x-\left(\frac{1+i}{\sqrt{2}}\right)\right)\left(x-\left(\frac{1-i}{\sqrt{2}}\right)\right)\left(x+\left(\frac{1+i}{\sqrt{2}}\right)\right)\left(x+\left(\frac{1-i}{\sqrt{2}}\right)\right)
$$
the conjugates of $(1+i) / \sqrt{2}$ over $\mathbb{Q}$ are
$$
\frac{1+i}{\sqrt{2}}, \frac{1-i}{\sqrt{2}}, \frac{-1-i}{\sqrt{2}}, \frac{-1+i}{\sqrt{2}}
$$
Example 5.2.2 We have from Example 5.1.2 that
$$
\operatorname{irr}_{\mathbb{Q}(\sqrt{2})}\left(\frac{1+i}{\sqrt{2}}\right)=x^2-\sqrt{2} x+1
$$
As
$$
x^2-\sqrt{2} x+1=\left(x-\frac{1+i}{\sqrt{2}}\right)\left(x-\frac{1-i}{\sqrt{2}}\right)
$$
the conjugates of $(1+i) / \sqrt{2}$ over $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ are
$$
\frac{1+i}{\sqrt{2}}, \frac{1-i}{\sqrt{2}} \text {. }
$$

数学代写|数论作业代写number theory代考|Conjugates of an Algebraic Integer

Theorem 5.3.1 If $\alpha$ is an algebraic integer then its conjugates over $\mathbb{Q}$ are also algebraic integers.
Proof: As $\alpha$ is an algebraic integer it is a root of a polynomial
$$
h(x)=x^m+a_{m-1} x^{m-1}+\cdots+a_1 x+a_0 \in \mathbb{Z}[x] .
$$

Since $h(x) \in \mathbb{Q}[x]$ and $h(\alpha)=0$ we have $h(x) \in I_{\mathbb{Q}}(\alpha)=\left\langle\operatorname{irr}{\mathbb{Q}}(\alpha)\right\rangle$ so that $$ h(x)=\operatorname{irr}{\mathbb{Q}}(\alpha) q(x)
$$
for some $q(x) \in \mathbb{Q}[x]$. Let $\beta$ be a conjugate of $\alpha$ over $\mathbb{Q}$. Then $\beta$ is also a root of $\operatorname{irr}_{\mathbb{Q}}(\alpha)$. Hence $h(\beta)=0$ and so $\beta$ is also an algebraic integer.

We recall that a monic polynomial $f(x)=x^n+a_1 x^{n-1}+\cdots+a_{n-1} x+a_n \in$ $\mathbb{Z}[x]$ is said to be $p$-Eisenstein with respect to the prime $p$ if
$$
p\left|a_1, \ldots, p\right| a_{n-1}, p \mid a_n, p^2 \nmid a_n .
$$
Eisenstein’s irreducibility criterion asserts that if $f(x)$ is $p$-Eisenstein for some prime $p$ then $f(x)$ is irreducible in $\mathbb{Z}[x]$.
Example 5.3.1 Let $\alpha=\sqrt[3]{2}-\sqrt[3]{4}$. Then
$$
\alpha^3=2-6 \sqrt[3]{2}+6 \sqrt[3]{4}-4=-2-6(\sqrt[3]{2}-\sqrt[3]{4})=-2-6 \alpha
$$
so that $\alpha$ is a root of the monic cubic polynomial $x^3+6 x+2 \in \mathbb{Z}[x]$ and is thus an algebraic integer. As $x^3+6 x+2$ is 2 -Eisenstein it is irreducible in $\mathbb{Z}[x]$. Hence
$$
\operatorname{irr}{\mathbb{Q}}(\alpha)=x^3+6 x+2 $$ The other two roots of $\operatorname{irr}{\mathbb{Q}}(\alpha)$ are
$$
\alpha^{\prime}=\omega \sqrt[3]{2}-\omega^2 \sqrt[3]{4}, \alpha^{\prime \prime}=\omega^2 \sqrt[3]{2}-\omega \sqrt[3]{4},
$$
where $\omega$ is a complex cube root of unity. Thus $\alpha^{\prime}$ and $\alpha^{\prime \prime}$ are also algebraic integers.

数论作业代写

数学代写|数论作业代写number theory代考|Conjugates of a over K

我们定义了$\mathbb{C}$的子域上的元素的共轭。
定义5.2.1 ($\alpha$ / $K$的共轭)设$\alpha \in \mathbb{C}$是$\mathbb{C}$的子域$K$上的代数。$\alpha$ / $K$的共轭是$\operatorname{irr}K(\alpha)$在$\mathbb{C}$中的根。例5.2.1我们从例5.1.1得到$$ \operatorname{irr}{\mathbb{Q}}\left(\frac{1+i}{\sqrt{2}}\right)=x^4+1
$$
As
$$
x^4+1=\left(x-\left(\frac{1+i}{\sqrt{2}}\right)\right)\left(x-\left(\frac{1-i}{\sqrt{2}}\right)\right)\left(x+\left(\frac{1+i}{\sqrt{2}}\right)\right)\left(x+\left(\frac{1-i}{\sqrt{2}}\right)\right)
$$
$(1+i) / \sqrt{2}$ / $\mathbb{Q}$的共轭是
$$
\frac{1+i}{\sqrt{2}}, \frac{1-i}{\sqrt{2}}, \frac{-1-i}{\sqrt{2}}, \frac{-1+i}{\sqrt{2}}
$$
例5.2.2我们从例5.1.2中得到
$$
\operatorname{irr}_{\mathbb{Q}(\sqrt{2})}\left(\frac{1+i}{\sqrt{2}}\right)=x^2-\sqrt{2} x+1
$$
As
$$
x^2-\sqrt{2} x+1=\left(x-\frac{1+i}{\sqrt{2}}\right)\left(x-\frac{1-i}{\sqrt{2}}\right)
$$
$(1+i) / \sqrt{2}$ / $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$的共轭是
$$
\frac{1+i}{\sqrt{2}}, \frac{1-i}{\sqrt{2}} \text {. }
$$

数学代写|数论作业代写number theory代考|Conjugates of an Algebraic Integer

定理5.3.1如果$\alpha$是一个代数整数，那么它在$\mathbb{Q}$上的共轭也是代数整数。
证明:$\alpha$是一个代数整数，它是一个多项式的根
$$
h(x)=x^m+a_{m-1} x^{m-1}+\cdots+a_1 x+a_0 \in \mathbb{Z}[x] .
$$

因为$h(x) \in \mathbb{Q}[x]$和$h(\alpha)=0$我们有$h(x) \in I_{\mathbb{Q}}(\alpha)=\left\langle\operatorname{irr}{\mathbb{Q}}(\alpha)\right\rangle$所以$$ h(x)=\operatorname{irr}{\mathbb{Q}}(\alpha) q(x)
$$
对一些人来说$q(x) \in \mathbb{Q}[x]$。设$\beta$是$\alpha$ / $\mathbb{Q}$的共轭。那么$\beta$也是$\operatorname{irr}_{\mathbb{Q}}(\alpha)$的一个词根。因此$h(\beta)=0$$\beta$也是一个代数整数。

我们记得，一个单多项式$f(x)=x^n+a_1 x^{n-1}+\cdots+a_{n-1} x+a_n \in$$\mathbb{Z}[x]$被称为$p$ -爱森斯坦关于质数$p$ if
$$
p\left|a_1, \ldots, p\right| a_{n-1}, p \mid a_n, p^2 \nmid a_n .
$$
爱森斯坦的不可约准则断言，如果$f(x)$对某些素数$p$是$p$ -爱森斯坦，那么$f(x)$在$\mathbb{Z}[x]$是不可约的。
例5.3.1设置$\alpha=\sqrt[3]{2}-\sqrt[3]{4}$。然后
$$
\alpha^3=2-6 \sqrt[3]{2}+6 \sqrt[3]{4}-4=-2-6(\sqrt[3]{2}-\sqrt[3]{4})=-2-6 \alpha
$$
所以$\alpha$是一元三次多项式$x^3+6 x+2 \in \mathbb{Z}[x]$的一个根因此它是一个代数整数。因为$x^3+6 x+2$是2 -爱森斯坦，所以$\mathbb{Z}[x]$是不可约的。因此
$$
\operatorname{irr}{\mathbb{Q}}(\alpha)=x^3+6 x+2 $$$\operatorname{irr}{\mathbb{Q}}(\alpha)$的另外两个根是
$$
\alpha^{\prime}=\omega \sqrt[3]{2}-\omega^2 \sqrt[3]{4}, \alpha^{\prime \prime}=\omega^2 \sqrt[3]{2}-\omega \sqrt[3]{4},
$$
其中$\omega$是单位的复数立方根。因此$\alpha^{\prime}$和$\alpha^{\prime \prime}$也是代数整数。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

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非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

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广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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数学代写|数论作业代写number theory代考|Principal Ideal Domains

An important class of integral domains are those in which every ideal is principal.
Definition 1.4.1 (Principal ideal domain) An integral domain $D$ is called a principal ideal domain if every ideal in $D$ is principal.

We begin by giving an example of an integral domain in which every ideal is principal.
Theorem 1.4.1 $\mathbb{Z}$ is a principal ideal domain.
Proof: Let $I$ be an ideal of $\mathbb{Z}$. If $I={0}$ then $I=\langle 0\rangle$ is a principal ideal. Thus we may suppose that $I \neq{0}$. Hence $I$ contains a nonzero element $a$. As both $a$ and $-a$ belong to $I$, we can suppose that $a>0$. Hence $I$ contains at least one positive integer, namely $a$.

We let $m$ denote the least positive integer in $I$. Dividing $a$ by $m$, we obtain integers $q$ and $r$ such that $a=m q+r$ and $0 \leq r<m$. As $a \in I$ and $m \in I$, we have $r=a-m q \in I$. This contradicts the minimality of $m$ unless $r=0$, in which case $a=m q$; that is, $I=\langle m\rangle=m \mathbb{Z}$.

Theorems 1.3 .1 and 1.4.1 show that the set of ideals of $\mathbb{Z}$ is ${k \mathbb{Z} \mid k \in$ ${0,1,2, \ldots}}$. Moreover, if $I$ is an ideal of $\mathbb{Z}$ then it is generated by the least positive integer in $I$.

Other examples of principal ideal domains will be given in Chapter 2 where we discuss Euclidean domains.

数学代写|数论作业代写number theory代考|Maximal Ideals and Prime Ideals

In this section we give the basic properties of maximal and prime ideals. These will be important when we discuss Dedekind domains in Chapter 8.

Definition 1.5.1 (Maximal ideal) A proper ideal $M$ of an integral domain $D$ is called a maximal ideal if whenever $I$ is an ideal of $D$ such that $M \subseteq I \subseteq D$ then $I=M$ or $I=D$.

Example 1.5.1 The ideal $\left\langle x^2+1\right\rangle$ is maximal in $\mathbb{R}[x]$. To show this, assume that $I$ is an ideal of $\mathbb{R}[x]$ such that $\left\langle x^2+1\right\rangle \subset I \subset \mathbb{R}[x]$. As $\left\langle x^2+1\right\rangle$ is properly contained in $I$, there exists $f(x) \in I$ and $f(x) \notin\left\langle x^2+1\right\rangle$. Dividing $f(x)$ by $x^2+1$, we obtain
$$
f(x)=\left(x^2+1\right) q(x)+r(x)
$$
where $r(x) \neq 0$ and $\operatorname{deg}(r(x))<2$. Thus $r(x)=a x+b$, where $a \in \mathbb{R}$ and $b \in \mathbb{R}$ are not both 0 , and
$$
a x+b=r(x)=f(x)-q(x)\left(x^2+1\right) \in I
$$
Thus
$$
a^2 x^2-b^2=(a x+b)(a x-b) \in I
$$
and
$$
a^2\left(x^2+1\right) \in I
$$
Hence
$$
a^2+b^2=\left(a^2\left(x^2+1\right)\right)-\left(a^2 x^2-b^2\right) \in I .
$$

数论作业代写

数学代写|数论作业代写number theory代考|Principal Ideal Domains

一类重要的积分域是所有理想都是主要的。
定义1.4.1(主理想域)如果$D$中的每个理想都是主的，则积分域$D$称为主理想域。

我们首先给出一个积分域的例子，其中每个理想都是主要的。
定理1.4.1 $\mathbb{Z}$是一个主理想域。
证明:让$I$成为$\mathbb{Z}$的一个理想。如果$I={0}$，那么$I=\langle 0\rangle$就是一个主要的理想。因此，我们可以假设$I \neq{0}$。因此$I$包含一个非零元素$a$。由于$a$和$-a$都属于$I$，我们可以假设$a>0$。因此$I$至少包含一个正整数，即$a$。

令$m$表示$I$中最小的正整数。将$a$除以$m$，我们得到整数$q$和$r$，从而得到$a=m q+r$和$0 \leq r<m$。作为$a \in I$和$m \in I$，我们有$r=a-m q \in I$。这与$m$的最小值相矛盾，除非$r=0$，在这种情况下$a=m q$;也就是$I=\langle m\rangle=m \mathbb{Z}$。

定理1.3 .1和1.4.1表明$\mathbb{Z}$的理想集是${k \mathbb{Z} \mid k \in$${0,1,2, \ldots}}$。此外，如果$I$是$\mathbb{Z}$的理想，那么它是由$I$中的最小正整数生成的。

主要理想域的其他例子将在我们讨论欧几里得域的第2章中给出。

数学代写|数论作业代写number theory代考|Maximal Ideals and Prime Ideals

本节给出了极大理想和素理想的基本性质。当我们在第8章讨论Dedekind域时，这些将是重要的。

定义1.5.1(极大理想)当$I$是$D$的理想时，一个积分域$D$的固有理想$M$被称为极大理想，使得$M \subseteq I \subseteq D$然后$I=M$或$I=D$。

例1.5.1理想的$\left\langle x^2+1\right\rangle$在$\mathbb{R}[x]$是最大的。为了说明这一点，假设$I$是$\mathbb{R}[x]$的理想值，使得$\left\langle x^2+1\right\rangle \subset I \subset \mathbb{R}[x]$。因为$\left\langle x^2+1\right\rangle$包含在$I$中，所以存在$f(x) \in I$和$f(x) \notin\left\langle x^2+1\right\rangle$。用$f(x)$除以$x^2+1$，得到
$$
f(x)=\left(x^2+1\right) q(x)+r(x)
$$
其中$r(x) \neq 0$和$\operatorname{deg}(r(x))<2$。因此$r(x)=a x+b$，其中$a \in \mathbb{R}$和$b \in \mathbb{R}$不都是0，和
$$
a x+b=r(x)=f(x)-q(x)\left(x^2+1\right) \in I
$$
因此
$$
a^2 x^2-b^2=(a x+b)(a x-b) \in I
$$
和
$$
a^2\left(x^2+1\right) \in I
$$
因此
$$
a^2+b^2=\left(a^2\left(x^2+1\right)\right)-\left(a^2 x^2-b^2\right) \in I .
$$

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写

随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

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MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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如果你也在 怎样代写数论Number theory 个学科遇到相关的难题，请随时右上角联系我们的24/7代写客服。数论Number theory（或旧时的算术或高等算术）是纯数学的一个分支，主要致力于研究整数和整数值的函数。德国数学家卡尔-弗里德里希-高斯（1777-1855）说：”数学是科学的女王–数论是数学的女王。”数论家研究素数以及由整数组成的数学对象（例如有理数）或定义为整数的概括（例如代数整数）的属性。

数论Number theory整数既可以被视为本身，也可以被视为方程的解（刁藩几何）。数论中的问题通常最好通过研究分析对象（例如黎曼Zeta函数）来理解，这些对象以某种方式编码整数、素数或其他数论对象的属性（分析数论）。人们也可以研究实数与有理数的关系，例如，由后者逼近的实数（Diophantine逼近）。

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数学代写|数论作业代写number theory代考|Irreducibles and Primes

In $\mathbb{Z}$ an integer $p(\geq 2)$ that is divisible only by the positive integers 1 and $p$ is called a prime. Each prime $p$ in $\mathbb{Z}$ has the following two properties:
$$
p=a b(a, b \in \mathbb{Z}) \Longrightarrow a \text { or } b= \pm 1
$$
and
$$
p|a b(a, b \in \mathbb{Z}) \Longrightarrow p| a \text { or } p \mid b
$$
Our next definition generalizes property (1.2.1) to an arbitrary integral domain $D$, and an element of $D$ with this property is called an irreducible element.

Definition 1.2.1 (Irreducible) A nonzero, nonunit element a of an integral domain $D$ is called an irreducible, or said to be irreducible, if $a=b c$, where $b, c \in D$, implies that either $b$ or $c$ is a unit.
A nonzero, nonunit element that is not irreducible is called reducible.
Example 1.2.1 2 is irreducible in $\mathbb{Z}$, for if $2=a b$ with $a \in \mathbb{Z}$ and $b \in \mathbb{Z}$ then either $a= \pm 1$ or $b= \pm 1$.

Example 1.2.2 2 is irreducible in $\mathbb{Z}+\mathbb{Z} \sqrt{-5}$. To show this, suppose that $2=$ $(a+b \sqrt{-5})(c+d \sqrt{-5})$, where $a, b, c, d \in \mathbb{Z}$. Taking the modulus of both sides of this equation, we obtain $4=\left(a^2+5 b^2\right)\left(c^2+5 d^2\right)$. Thus $a^2+5 b^2$ is a positive integral divisor of 4 and so we must have
$$
a^2+5 b^2=1,2, \text { or } 4
$$
Hence we see that
$$
(a, b)=( \pm 1,0) \text { or }( \pm 2,0)
$$
so that
$$
a+b \sqrt{-5}= \pm 1 \text { or } \pm 2 \text {. }
$$
In the former case $a+b \sqrt{-5}$ is a unit of $\mathbb{Z}+\mathbb{Z} \sqrt{-5}$. In the latter case
$$
c+d \sqrt{-5}=\frac{2}{a+b \sqrt{-5}}=\frac{2}{ \pm 2}= \pm 1
$$
is a unit of $\mathbb{Z}+\mathbb{Z} \sqrt{-5}$. Hence 2 is irreducible in $\mathbb{Z}+\mathbb{Z} \sqrt{-5}$.

数学代写|数论作业代写number theory代考|Ideals

Subsets of an integral domain $D$ that are closed under addition and under multiplication by elements of $D$ play a special role and are called ideals.

Definition 1.3.1 (Ideal) An ideal I of an integral domain $D$ is a nonempty subset of $D$ having the following two properties:
$$
\begin{gathered}
a \in I, b \in I \Longrightarrow a+b \in I, \
a \in I, r \in D \Longrightarrow r a \in I .
\end{gathered}
$$
It is clear that if $a_1, \ldots, a_n \in I$ then $r_1 a_1+\cdots+r_n a_n \in I$ for all $r_1, \ldots, r_n \in D$. In particular if $a \in I$ and $b \in I$ then $-a \in I$ and $a-b \in I$. Also $0 \in I$, and if $1 \in I$ then $I=D$.

Example 1.3.1 If $\left{a_1, \ldots, a_n\right}$ is a set of elements of the integral domain $D$ then the set of all finite linear combinations of $a_1, \ldots, a_n$
$$
\left{\sum_{i=1}^n r_i a_i \mid r_1, \ldots, r_n \in D\right}
$$
is an ideal of $D$, which we denote by $\left\langle a_1, \ldots, a_n\right\rangle$.

Definition 1.3.2 (Principal ideal) An ideal I of an integral domain $D$ is called a principal ideal if there exists an element $a \in I$ such that $I=\langle a\rangle$. The element $a$ is called a generator of the ideal $I$.

If $D$ is an integral domain the principal ideal $\langle a\rangle$ generated by $a \in D$ is just the set ${r a \mid r \in D}$. Clearly the principal ideal $\langle 0\rangle$ is just the singleton set ${0}$ and the principal ideal $\langle 1\rangle$ is $D$.

数论作业代写

数学代写|数论作业代写number theory代考|Irreducibles and Primes

在$\mathbb{Z}$中，一个只能被正整数1和$p$整除的整数$p(\geq 2)$称为素数。$\mathbb{Z}$中的每个质数$p$都有以下两个属性:
$$
p=a b(a, b \in \mathbb{Z}) \Longrightarrow a \text { or } b= \pm 1
$$
和
$$
p|a b(a, b \in \mathbb{Z}) \Longrightarrow p| a \text { or } p \mid b
$$
我们的下一个定义将性质(1.2.1)推广到任意积分域$D$，并且具有此性质的$D$的元素称为不可约元素。

定义1.2.1(不可约)一个积分域$D$上的非零的、非单位的元素A称为不可约的，或者说是不可约的，如果$a=b c$，其中$b, c \in D$意味着$b$或$c$是一个单位。
非零、非单位且非不可约的元素称为可约元素。
例1.2.1在$\mathbb{Z}$中是不可约的，因为如果$2=a b$与$a \in \mathbb{Z}$和$b \in \mathbb{Z}$相连，那么要么是$a= \pm 1$，要么是$b= \pm 1$。

例1.2.2在$\mathbb{Z}+\mathbb{Z} \sqrt{-5}$中是不可约的。为了说明这一点，假设$2=$$(a+b \sqrt{-5})(c+d \sqrt{-5})$，其中$a, b, c, d \in \mathbb{Z}$。对方程两边取模，得到$4=\left(a^2+5 b^2\right)\left(c^2+5 d^2\right)$。因此$a^2+5 b^2$是4的正整因数所以我们必须有
$$
a^2+5 b^2=1,2, \text { or } 4
$$
因此我们看到
$$
(a, b)=( \pm 1,0) \text { or }( \pm 2,0)
$$
如此……以至于……
$$
a+b \sqrt{-5}= \pm 1 \text { or } \pm 2 \text {. }
$$
在前一种情况下，$a+b \sqrt{-5}$是$\mathbb{Z}+\mathbb{Z} \sqrt{-5}$的一个单位。在后一种情况下
$$
c+d \sqrt{-5}=\frac{2}{a+b \sqrt{-5}}=\frac{2}{ \pm 2}= \pm 1
$$
是$\mathbb{Z}+\mathbb{Z} \sqrt{-5}$的单位。因此2在$\mathbb{Z}+\mathbb{Z} \sqrt{-5}$中是不可约的。

数学代写|数论作业代写number theory代考|Ideals

积分域$D$的子集在$D$的元素的加法和乘法下封闭，它们起着特殊的作用，被称为理想。

1.3.1(理想)积分域$D$的理想I是$D$的非空子集，具有以下两个性质:
$$
\begin{gathered}
a \in I, b \in I \Longrightarrow a+b \in I, \
a \in I, r \in D \Longrightarrow r a \in I .
\end{gathered}
$$
很明显，如果$a_1, \ldots, a_n \in I$那么$r_1 a_1+\cdots+r_n a_n \in I$对于所有$r_1, \ldots, r_n \in D$。特别是$a \in I$和$b \in I$，然后是$-a \in I$和$a-b \in I$。还有$0 \in I$，如果是$1 \in I$，那么就是$I=D$。

如果$\left{a_1, \ldots, a_n\right}$是积分域$D$的元素集合，则$a_1, \ldots, a_n$的所有有限线性组合的集合
$$
\left{\sum_{i=1}^n r_i a_i \mid r_1, \ldots, r_n \in D\right}
$$
是$D$的一个理想值，我们用$\left\langle a_1, \ldots, a_n\right\rangle$表示。

定义1.3.2(主理想)一个积分域$D$的理想I称为主理想，如果存在一个元素$a \in I$使得$I=\langle a\rangle$。元素$a$被称为理想$I$的生成器。

如果$D$是一个积分域，那么由$a \in D$生成的主理想$\langle a\rangle$就是集合${r a \mid r \in D}$。显然主理想$\langle 0\rangle$就是单例集${0}$主理想$\langle 1\rangle$就是$D$。

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金融工程代写

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广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

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有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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数学代写|数论作业代写number theory代考|Infinite Continued Fractions

We saw in the previous section that finite simple continued fractions represent rational numbers; it seems as though infinite simple continued fractions such as
$$
1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\ddots}}}}
$$
and
$$
1+\frac{1}{1+\frac{1}{2+\frac{1}{1+\frac{1}{2+\ddots}}}}
$$
represent irrational numbers such as $\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ and $\sqrt{3}$.
This is in fact true. Moreover, the main reason we are interested in infinite continued fractions is that they can be used to represent irrational numbers and hence, as a by-product, their convergents can be used to provide us with good rational approximations to irrational numbers. For example, in Problem 3.33 we found an excellent rational approximation for $\pi$, and in Problems 4.14 and 4.15 we found rational approximations for $\sqrt{5}$ and $\sqrt{7}$ that are correct to four decimal places.
Before we investigate infinite continued fractions in any detail, let’s review how we approximated $\sqrt{5}$ using continued fractions. The idea,of course, is to represent $\sqrt{5}$ by an infinite simple continued fraction $\left[q_1, q_2, q_3, \ldots\right]$, that is, by
$$
q_1+\frac{1}{q_2+\frac{1}{q_3+\frac{1}{q_4+\frac{1}{q_5+\ddots}}}} \text {. }
$$
where the partial quotients $q_1, q_2, q_3, \ldots$, in this case are all positive integers.

We begin by finding the first partial quotient: $q_1=\lfloor\sqrt{5}\rfloor=2$. Thus $\frac{1}{\left[q_2, q_3, \ldots\right]}=\sqrt{5}-2$, which means that $\left[q_2, q_3, \ldots\right]=\frac{1}{\sqrt{5}-2}=\sqrt{5}+2$. So we can find the next partial quotient: $q_2=\lfloor\sqrt{5}+2\rfloor=4$.

We get very lucky at the next step because we now have $\sqrt{5}+2=$ $4+\frac{1}{\left[q_3, q_4, .\right]} ;$ this can be rewritten as $\left[q_3, q_4, \ldots\right]=\frac{1}{\sqrt{5}-2}=\sqrt{5}+2$, and we immediately notice this is the same expression as in the last step; hence $q_3$ also equals 4 and we realize that all partial quotients from now on will equal 4 because each step will be exactly the same. Therefore, we conclude that $\sqrt{5}$ is represented by the infinite continued fraction
$$
2+\frac{1}{4+\frac{1}{4+\frac{1}{4+\frac{1}{4+\ddots}}}}
$$

数学代写|数论作业代写number theory代考|Approximation

We mentioned earlier that the main reason we are interested in infinite continued fractions is that they can be used to provide good approximations for irrational numbers. We begin our brief discussion of approximation with a theorem that we all but proved while we were proving Theorem 14.6. This theorem provides an excellent estimate of how closely a given convergent approximates the value of a continued fraction.

Theorem 14.9. Let $x$ be an irrational number represented by the infinite simple continued fraction $\left[q_1, q_2, q_3, \ldots\right]$, where as usual we write $c_k=\frac{a_k}{b_k}$ for the kth convergent. Then, for each $k$, we have
$$
\left|x-\frac{a_k}{b_k}\right|<\frac{1}{b_k b_{k+1}}
$$
Proof
We will use essentially the same argument used to prove Theorem 14.6. First, we assume that $k$ is odd; hence we have
$$
c_k<x<c_{k+1}
$$
and so, by Theorem 14.3 ,
$$
\begin{aligned}
x-\frac{a_k}{b_k} & =x-c_k<c_{k+1}-c_k=\frac{a_{k+1}}{b_{k+1}}-\frac{a_k}{b_k} \
& =\frac{a_{k+1} b_k-b_{k+1} a_k}{b_k b_{k+1}}=\frac{(-1)^{k+1}}{b_k b_{k+1}}=\frac{1}{b_k b_{k+1}} .
\end{aligned}
$$
Next, assume that $k$ is even. The argument is almost identical. We have
$$
c_{k+1}<x<c_k,
$$
and so
$$
\begin{aligned}
\left|x-\frac{a_k}{b_k}\right| & =c_k-x<c_k-c_{k+1}=\frac{a_k}{b_k}-\frac{a_{k+1}}{b_{k+1}} \
& =-\left(\frac{a_{k+1} b_k-b_{k+1} a_k}{b_k b_{k+1}}\right)=\frac{-(-1)^{k+1}}{b_k b_{k+1}}=\frac{1}{b_k b_{k+1}} .
\end{aligned}
$$
This completes the proof of the theorem.

数论作业代写

数学代写|数论作业代写number theory代考|Infinite Continued Fractions

在前一节中，我们看到有限简单连分式表示有理数;似乎无限的简单连分式，比如
$$
1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\ddots}}}}
$$
和
$$
1+\frac{1}{1+\frac{1}{2+\frac{1}{1+\frac{1}{2+\ddots}}}}
$$
表示无理数，如$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$和$\sqrt{3}$。
这是事实。此外，我们对无限连分数感兴趣的主要原因是它们可以用来表示无理数，因此，作为副产品，它们的收敛性可以用来为我们提供无理数的良好有理逼近。例如，在问题3.33中，我们找到了$\pi$的一个很好的有理近似值，在问题4.14和4.15中，我们找到了$\sqrt{5}$和$\sqrt{7}$的有理近似值，精确到小数点后四位。
在我们详细研究无限连分数之前，让我们回顾一下如何使用连分数近似$\sqrt{5}$。当然，我们的想法是用无穷简单连分式$\left[q_1, q_2, q_3, \ldots\right]$来表示$\sqrt{5}$，也就是用
$$
q_1+\frac{1}{q_2+\frac{1}{q_3+\frac{1}{q_4+\frac{1}{q_5+\ddots}}}} \text {. }
$$
偏商$q_1, q_2, q_3, \ldots$，在这种情况下都是正整数。

我们从求第一个部分商开始:$q_1=\lfloor\sqrt{5}\rfloor=2$。因此$\frac{1}{\left[q_2, q_3, \ldots\right]}=\sqrt{5}-2$，这意味着$\left[q_2, q_3, \ldots\right]=\frac{1}{\sqrt{5}-2}=\sqrt{5}+2$。我们可以求出下一个偏商:$q_2=\lfloor\sqrt{5}+2\rfloor=4$。

下一步我们很幸运因为我们现在有$\sqrt{5}+2=$$4+\frac{1}{\left[q_3, q_4, .\right]} ;$这可以重写为$\left[q_3, q_4, \ldots\right]=\frac{1}{\sqrt{5}-2}=\sqrt{5}+2$，我们马上注意到这和上一步中的表达式是一样的;因此$q_3$也等于4我们意识到从现在开始所有的部分商都等于4因为每一步都是完全一样的。因此，我们得出$\sqrt{5}$由无穷连分数表示
$$
2+\frac{1}{4+\frac{1}{4+\frac{1}{4+\frac{1}{4+\ddots}}}}
$$

数学代写|数论作业代写number theory代考|Approximation

我们之前提到过，我们对无限连分数感兴趣的主要原因是它们可以用来为无理数提供很好的近似。我们从一个定理开始我们对近似的简短讨论，这个定理在我们证明定理14.6的时候已经证明了。这个定理提供了一个很好的估计，一个给定的收敛近似于一个连分数的值有多接近。

定理14.9。设$x$为无理数，用无穷简单连分式$\left[q_1, q_2, q_3, \ldots\right]$表示，通常我们用$c_k=\frac{a_k}{b_k}$表示第k个收敛项。然后，对于每个$k$，我们有
$$
\left|x-\frac{a_k}{b_k}\right|<\frac{1}{b_k b_{k+1}}
$$
证明
我们将使用和证明定理14.6相同的论证。首先，我们假设$k$是奇数;因此我们有
$$
c_k<x<c_{k+1}
$$
因此，根据定理14.3，
$$
\begin{aligned}
x-\frac{a_k}{b_k} & =x-c_k<c_{k+1}-c_k=\frac{a_{k+1}}{b_{k+1}}-\frac{a_k}{b_k} \
& =\frac{a_{k+1} b_k-b_{k+1} a_k}{b_k b_{k+1}}=\frac{(-1)^{k+1}}{b_k b_{k+1}}=\frac{1}{b_k b_{k+1}} .
\end{aligned}
$$
接下来，假设$k$是偶数。论点几乎是相同的。我们有
$$
c_{k+1}<x<c_k,
$$
所以
$$
\begin{aligned}
\left|x-\frac{a_k}{b_k}\right| & =c_k-x<c_k-c_{k+1}=\frac{a_k}{b_k}-\frac{a_{k+1}}{b_{k+1}} \
& =-\left(\frac{a_{k+1} b_k-b_{k+1} a_k}{b_k b_{k+1}}\right)=\frac{-(-1)^{k+1}}{b_k b_{k+1}}=\frac{1}{b_k b_{k+1}} .
\end{aligned}
$$
这就完成了定理的证明。

统计代写请认准statistics-lab™. statistics-lab™为您的留学生涯保驾护航。

金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

tatistics-lab作为专业的留学生服务机构，多年来已为美国、英国、加拿大、澳洲等留学热门地的学生提供专业的学术服务，包括但不限于Essay代写，Assignment代写，Dissertation代写，Report代写，小组作业代写，Proposal代写，Paper代写，Presentation代写，计算机作业代写，论文修改和润色，网课代做，exam代考等等。写作范围涵盖高中，本科，研究生等海外留学全阶段，辐射金融，经济学，会计学，审计学，管理学等全球99%专业科目。写作团队既有专业英语母语作者，也有海外名校硕博留学生，每位写作老师都拥有过硬的语言能力，专业的学科背景和学术写作经验。我们承诺100%原创，100%专业，100%准时，100%满意。

随机分析代写

随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

R语言代写	问卷设计与分析代写
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如果你也在 怎样代写数论Number theory 个学科遇到相关的难题，请随时右上角联系我们的24/7代写客服。数论Number theory（或旧时的算术或高等算术）是纯数学的一个分支，主要致力于研究整数和整数值的函数。德国数学家卡尔-弗里德里希-高斯（1777-1855）说：”数学是科学的女王–数论是数学的女王。”数论家研究素数以及由整数组成的数学对象（例如有理数）或定义为整数的概括（例如代数整数）的属性。

数论Number theory整数既可以被视为本身，也可以被视为方程的解（刁藩几何）。数论中的问题通常最好通过研究分析对象（例如黎曼Zeta函数）来理解，这些对象以某种方式编码整数、素数或其他数论对象的属性（分析数论）。人们也可以研究实数与有理数的关系，例如，由后者逼近的实数（Diophantine逼近）。

statistics-lab™ 为您的留学生涯保驾护航 在代写数论number theory方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的统计Statistics代写服务。我们的专家在代写数论number theory代写方面经验极为丰富，各种代写数论number theory相关的作业也就用不着说。

我们提供的数论number theory及其相关学科的代写，服务范围广, 其中包括但不限于:

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数学代写|数论作业代写number theory代考|Secret Codes on Mount Everest

There is a long history of using runners to carry important messages, both secret and otherwise; just think of the legend of Pheidippides running twenty-six miles to Athens to report the Greek victory over the Persian forces at the Battle of Marathon. More recently, James Morris, a special correspondent for the Times of London, employed runners to carry coded messages in 1953 when he accompanied the British Mount Everest Expedition during its attempt to climb the highest mountain on earth.

During the expedition Morris used Sherpa runners to carry on-site reports from the Base Camp at Everest to the nearest cable office 200 miles away in Katmandu. However, since there were reporters from rival newspapers in the region, he also needed a way to ensure the secrecy of his final report announcing any successful ascent (or failed ascent). Therefore, he devised a code, replacing certain words or phrases with other words or phrases: for example, “snow conditions bad” would mean “message to begin”; “advanced base abandoned” would stand for “Hillary”; and “awaiting improvement” would be for “Tenzing.” So, when his coded message
Snow conditions bad stop advanced base abandoned yesterday stop awaiting improvement…
reached London safely, the Times was able to announce to the entire world that the summit of Everest had been reached on May 29 by Edmund Hillary and Tenzing Norgay.

Coded messages would be used again on Everest during a 1999 expedition whose goal was to solve the mystery of what really happened to George Mallory and his climbing partner when they disappeared from sight near the top of Mount Everest in June 1924. The climber who discovered Mallory’s body at about 27,000 feet on the north face of Everest radioed to his companions: “Last time I went bouldering in my hobnails, I fell off. Come on down. Let’s get together for Snickers and tea.” Knowing that there were other expeditions with radios spread all over the mountain, they had agreed beforehand on several codewords. “Boulder” was the code word for “body.”

数学代写|数论作业代写number theory代考|Caesar and Vigenère Ciphers

Julius Caesar used a cipher that simply shifted each letter in the alphabet three letters to the right. So, for example, using the English alphabet to illustrate this cipher, A would become $\mathrm{D}, \mathrm{K}$ would become $\mathrm{N}$, and, quite naturally, $X, Y$, and $\mathrm{Z}$ would become $A, B$, and $C$, respectively. Thus, for example, the message
RETURNTOROME
would be enciphered as
UHWXUQWRURPH.
This is an example of a shift cipher, sometimes called a Caesar cipher, in which each letter is shifted by a fixed number, $k$, of places in the alphabet. This is equivalent to representing each letter from $\mathrm{A}$ to $\mathrm{Z}$ by the “numbers” $00,01,02, \ldots, 25$ and the cipher merely replaces a given letter $X$ by the letter $X+k(\bmod 26)$. Then the process of deciphering a secret message is simply a matter of replacing each letter $Y$ by $Y-k$.
The word cryptography comes to us from two Greek words-kruptos meaning hidden and graphos meaning writing. Edgar Allan Poe, the famous American author who created the genres of horror and mystery fiction, was fascinated by cryptography, and he placed a cipher-the key to a buried treasure-at the very center of one of his most popular short stories, “The Gold Bug.” In this story he explains how one might begin to decipher an encrypted message: “Now, in English, the letter which most frequently occurs is $e$. Afterward, the succession runs thus: the story in a detailed analysis showing exactly how to solve this “very simplest species of cryptograph.”

In fact, any Caesar cipher, or, more generally, any cipher in which each letter is always replaced by the same symbol whenever it occursthese are called monoalphabetic ciphers-can easily be cracked by the statistical approach advocated by Poe (though not using his data: while $e$ is far and away the most frequently used letter, the next most frequent are $t, n, i, r, o$, and $a$ ).

Another factor that can come into play in deciphering secret messages is that written languages have a certain amount of redundancy in that a few characters can be missing in a given text and the message is still completely understandable. For English the level of redundancy is about $50 \%$. Anyone who has ever seen the television game show Wheel of Fortune should have little trouble “deciphering” the following famous phrase:
$$
{ }^0 \ldots s_{\ldots} \text { e } a_{\ldots}+s e_{-} e_{\ldots} \text { e a } s a_{-} o
$$
even though at this point only four letters have been deciphered.

数论作业代写

数学代写|数论作业代写number theory代考|Secret Codes on Mount Everest

利用信使传递重要信息，无论是秘密的还是其他的，已经有很长的历史了;想想菲里皮得斯跑了二十六英里到雅典报告希腊在马拉松战役中战胜波斯军队的传说吧。更近一些的是，1953年，伦敦《泰晤士报》的特约记者詹姆斯·莫里斯(James Morris)在陪同英国珠穆朗玛峰探险队试图攀登地球上最高的山峰时，雇佣了跑步者来传递编码信息。

在探险期间，莫里斯让夏尔巴人从珠峰大本营向200英里外加德满都最近的电报局传送现场报告。然而，由于该地区有来自竞争对手报纸的记者，他还需要一种方法来确保他在宣布攀登成功(或失败)的最终报告时的保密性。因此，他设计了一个密码，用其他单词或短语代替某些单词或短语:例如，“雪况不好”意味着“消息开始”;“废弃的先进基地”代表“希拉里”;而“等待改善”则代表“丹增”。所以，当他的密码信息
雪况不好，停止前进，基地昨天废弃，停止等待改善…
在安全抵达伦敦后，《泰晤士报》得以向全世界宣布，埃德蒙·希拉里和丹增·诺尔盖于5月29日成功登顶珠峰。

在1999年的一次探险中，编码信息将再次在珠穆朗玛峰上使用，这次探险的目标是解开1924年6月乔治·马洛里和他的登山伙伴在珠穆朗玛峰顶部附近消失时到底发生了什么。在珠峰北坡27000英尺处发现马洛里尸体的登山者用无线电对同伴说:“上次我穿着钉鞋抱石，摔了下来。快下来。我们一起吃士力架，喝茶吧。”由于知道其他探险队在山上到处都有无线电，他们事先就几个密码字达成了一致。”巨石”是”尸体”的暗号。

数学代写|数论作业代写number theory代考|Caesar and Vigenère Ciphers

凯撒大帝使用了一种密码，只需将字母表中的每个字母向右移动三个字母。因此，例如，使用英语字母来说明这个密码，A将变成$\mathrm{D}, \mathrm{K}$，将变成$\mathrm{N}$，并且，很自然地，$X, Y$和$\mathrm{Z}$将分别变成$A, B$和$C$。因此，例如，消息
返回组
会被加密为
[au:]
这是移位密码的一个例子，有时被称为凯撒密码，其中每个字母在字母表中移位一个固定的数字$k$。这相当于用“数字”$00,01,02, \ldots, 25$表示从$\mathrm{A}$到$\mathrm{Z}$的每个字母，而密码只是用字母$X+k(\bmod 26)$替换给定的字母$X$。然后，破译秘密信息的过程就是简单地将每个字母$Y$替换为$Y-k$。
密码学这个词来源于两个希腊词:kruptos意为隐藏，graphos意为书写。埃德加·爱伦·坡是美国著名的恐怖和推理小说作家，他对密码学非常着迷，他在他最受欢迎的短篇小说《金甲虫》的中心放置了一个密码——打开埋藏的宝藏的钥匙。在这个故事中，他解释了如何开始破译加密信息:“现在，在英语中，最常出现的字母是$e$。之后，接下来的内容是这样的:通过详细的分析，故事准确地展示了如何破解这种“最简单的密码”。

事实上，任何凯撒密码，或者更一般地说，任何密码中每个字母总是被相同的符号所取代，这些被称为单字母密码，都可以很容易地通过坡提倡的统计方法来破解(尽管没有使用他的数据:虽然$e$是最常用的字母，但其次是$t, n, i, r, o$和$a$)。

破译秘密信息的另一个因素是，书面语言有一定的冗余性，即在给定的文本中可能缺少几个字符，但信息仍然完全可以理解。对于英语来说，冗余的水平大约是$50 \%$。看过电视游戏节目《幸运之轮》(Wheel of Fortune)的人应该不难“解读”出下面这句名言:
$$
{ }^0 \ldots s_{\ldots} \text { e } a_{\ldots}+s e_{-} e_{\ldots} \text { e a } s a_{-} o
$$
尽管目前只破译了四个字母。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

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非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

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广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

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有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

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MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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数论Number theory整数既可以被视为本身，也可以被视为方程的解（刁藩几何）。数论中的问题通常最好通过研究分析对象（例如黎曼Zeta函数）来理解，这些对象以某种方式编码整数、素数或其他数论对象的属性（分析数论）。人们也可以研究实数与有理数的关系，例如，由后者逼近的实数（Diophantine逼近）。

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数学代写|数论作业代写number theory代考|The Fibonacci Sequence

The Fibonacci sequence $1,1,2,3,5,8,13, \ldots$, has an extraordinary number of interesting properties that people have noticed through the years. We begin our study of this fascinating sequence by unlocking what is perhaps its single most amazing property.

First, we observe that the Fibonacci sequence $\left{F_n\right}$ is defined recursively by
$$
F_1=1, F_2=1 \text {, and } F_n=F_{n-1}+F_{n-2} \text { for } n>2 .
$$

Now, let $\alpha$ be the irrational number $\alpha=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$. This is one of the most famous numbers in all of mathematics. It is called the golden ratio, and we will soon discover what this particular irrational number has to do with the Fibonacci sequence.

Similarly, let $\beta$ be the number $\beta=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$. These two numbers $\alpha$ and $\beta$ were not just randomly pulled out of a hat. They are the two roots of the characteristic polynomial $x^2-x-1$ of the recurrence relation for the Fibonacci sequence. More generally, the characteristic polynomial for a recurrence relation of the form $s_n=a s_{n-1}+b s_{n-2}$, where $a$ and $b$ are nonzero constants, is the polynomial $x^2-a x-b$. This means that $\alpha$ and $\beta$ are the two solutions to the equation $x^2-x-1=0$. You should check this either by using the quadratic formula or by actually plugging $\alpha$ and $\beta$ into this equation.
You should also verify for yourself that $\alpha$ and $\beta$ satisfy two very convenient identities:
$$
\alpha+\beta=1 \text { and } \alpha \beta=-1
$$
We will use these two identities over and over again in this chapter.
Therefore, we can now rewrite the Fibonacci recurrence relation $F_n=$ $F_{n-1}+F_{n-2}$ as $F_n=(\alpha+\beta) F_{n-1}-(\alpha \beta) F_{n-2}$, and get
$$
F_n-\alpha F_{n-1}=\beta\left(F_{n-1}-\alpha F_{n-2}\right)
$$
This is indeed quite surprising, because it means that the “linked” sequence of terms
$1-\alpha \cdot 1$
$2-\alpha \cdot 1$
$3-\alpha \cdot 2$
$5-\alpha \cdot 3$
$8-\alpha \cdot 5$
$13-\alpha \cdot 8$
forms a geometric sequence whose constant ratio is $\beta$. (Now would be a good time to do Problem 12.5.)

This means that $F_n-\alpha F_{n-1}=(1-\alpha) \beta^{n-2}$; or, in other words, since $\alpha+\beta=1$ (that is, $1-\alpha=\beta$ ),
$$
F_n=\alpha F_{n-1}+\beta^{n-1}
$$
Moreover, since in this entire argument we never used the specific values of $\alpha$ and $\beta$, but rather used only the two symmetric formulas $\alpha+\beta=1$ and $\alpha \beta=-1$, we can switch the roles of $\alpha$ and $\beta$ and produce another identity:
$$
F_n=\beta F_{n-1}+\alpha^{n-1}
$$

数学代写|数论作业代写number theory代考|The Golden Ratio

We first met the irrational number $\alpha$ known as the golden ratio in Problem 3.36 as the infinite continued fraction
$$
\alpha=1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\ddots}}}
$$
In fact, this was our first clue that $\alpha$ might be a particularly interesting number.

Since an identical copy of this continued fraction appears within itself below each fraction bar, we can immediately see that $\alpha$ must satisfy the following equations:
$$
x=1+\frac{1}{x}, \quad x=1+\frac{1}{1+\frac{1}{x}}, \quad x=1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{x}}}, \ldots
$$
In particular, the first equation reduces to the quadratic equation $x^2-$ $x-1=0$, which has two solutions: a positive solution $\alpha=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$, and a negative solution $\beta=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$. This of course is the same equation that arose in the last section when we considered the characteristic polynomial of the recurrence relation for the Fibonacci sequence.

It is worth mentioning that the Greek letter $\phi$ (phi) is often used for the number $\frac{1+\sqrt{5}}{2}$, though this is by no means universal. Other Greek letters are also used for the golden ratio, such as $\tau(\operatorname{tau})$, and the letter $\phi$ is frequently used to stand for a wide variety of other things in mathematics and physics.

We should also consider why the number $\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ is called a ratio. This is a geometric idea that, not surprisingly, goes back to the ancient Greeks and first appeared in Euclid’s Elements. If you take a line segment and cut it into two parts so that the ratio of the larger of the two parts to the smaller of the two parts equals the ratio of the original segment to the larger part, then this ratio is called the golden ratio.

If we let the original line segment have length $x$ and the larger part of this line segment have length 1 , then the smaller part has length $x-1$. Hence we get the equation $\frac{x}{1}=\frac{1}{x-1}$, which again reduces to $x^2-x-1=0$. Since in this case $x$ must be positive, the positive solution $\alpha=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ is the golden ratio. In Problem 12.8 we show how to construct a line segment whose length is the golden ratio.

The golden ratio has a habit of showing up unexpectedly. For example, if you draw a regular pentagon where each side has length 1 , then any diagonal of this pentagon-that is, a line segment drawn from any vertex to either of the two opposite vertices-will have length $\alpha=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ (see Problem 12.9).

数论作业代写

数学代写|数论作业代写number theory代考|The Fibonacci Sequence

斐波那契数列$1,1,2,3,5,8,13, \ldots$，有很多有趣的性质，这些年来人们已经注意到了。我们开始研究这个迷人的序列，解开它最惊人的特性。

首先，我们观察到斐波那契数列$\left{F_n\right}$是由递归定义的
$$
F_1=1, F_2=1 \text {, and } F_n=F_{n-1}+F_{n-2} \text { for } n>2 .
$$

设$\alpha$为无理数$\alpha=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$。这是数学中最著名的数字之一。它被称为黄金比例，我们很快就会发现这个特殊的无理数与斐波那契数列有什么关系。

同样，设$\beta$为数字$\beta=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$。这两个数字$\alpha$和$\beta$并不是凭空捏造出来的。它们是斐波那契数列递归关系的特征多项式$x^2-x-1$的两个根。更一般地说，对于形式为$s_n=a s_{n-1}+b s_{n-2}$的递归关系，其中$a$和$b$是非零常数，其特征多项式是多项式$x^2-a x-b$。这意味着$\alpha$和$\beta$是方程$x^2-x-1=0$的两个解。你可以用二次方程来验证或者把$\alpha$和$\beta$代入方程。
您还应该自己验证$\alpha$和$\beta$满足两个非常方便的身份:
$$
\alpha+\beta=1 \text { and } \alpha \beta=-1
$$
我们将在本章中反复使用这两个恒等式。
因此，我们现在可以将斐波那契递归关系$F_n=$$F_{n-1}+F_{n-2}$重写为$F_n=(\alpha+\beta) F_{n-1}-(\alpha \beta) F_{n-2}$，并得到
$$
F_n-\alpha F_{n-1}=\beta\left(F_{n-1}-\alpha F_{n-2}\right)
$$
这确实很令人惊讶，因为这意味着“链接”的术语序列
$1-\alpha \cdot 1$
$2-\alpha \cdot 1$
$3-\alpha \cdot 2$
$5-\alpha \cdot 3$
$8-\alpha \cdot 5$
$13-\alpha \cdot 8$
形成等比为$\beta$的等比数列。(现在是做第12.5题的好时机。)

这意味着$F_n-\alpha F_{n-1}=(1-\alpha) \beta^{n-2}$;或者，换句话说，由于$\alpha+\beta=1$(即$1-\alpha=\beta$)，
$$
F_n=\alpha F_{n-1}+\beta^{n-1}
$$
此外，由于在整个论证中，我们从未使用过$\alpha$和$\beta$的具体值，而只使用了两个对称公式$\alpha+\beta=1$和$\alpha \beta=-1$，因此我们可以转换$\alpha$和$\beta$的角色并产生另一个恒等式:
$$
F_n=\beta F_{n-1}+\alpha^{n-1}
$$

数学代写|数论作业代写number theory代考|The Golden Ratio

我们第一次遇到无理数$\alpha$被称为黄金比例在问题3.36中作为无限连分式
$$
\alpha=1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\ddots}}}
$$
事实上，这是我们的第一个线索，$\alpha$可能是一个特别有趣的数字。

由于这个连分式的相同副本出现在每个分式条的下方，我们可以立即看到$\alpha$必须满足以下等式:
$$
x=1+\frac{1}{x}, \quad x=1+\frac{1}{1+\frac{1}{x}}, \quad x=1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{x}}}, \ldots
$$
特别是，第一个方程简化为二次方程$x^2-$$x-1=0$，它有两个解:一个正解$\alpha=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$和一个负解$\beta=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$。当然，这和上一节我们讨论斐波那契数列递归关系的特征多项式时出现的方程是一样的。

值得一提的是，希腊字母$\phi$ (phi)经常被用来表示数字$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$，尽管这并不普遍。其他希腊字母也被用来表示黄金比例，比如$\tau(\operatorname{tau})$，而在数学和物理学中，$\phi$也经常被用来表示各种各样的其他东西。

我们还应该考虑为什么数字$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$被称为比率。这是一个几何概念，毫不奇怪，可以追溯到古希腊，最早出现在欧几里得的《几何原理》中。如果你把一条线段切成两部分，使两部分中较大的部分与两部分中较小的部分的比例等于原始线段与较大部分的比例，那么这个比例就被称为黄金比例。

如果我们让原始线段的长度为$x$并且这条线段的较大部分的长度为1，那么较小的部分的长度为$x-1$。因此我们得到方程$\frac{x}{1}=\frac{1}{x-1}$，再次化简为$x^2-x-1=0$。因为在这种情况下$x$必须是正的，正的解决方案$\alpha=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$是黄金比例。在问题12.8中，我们展示了如何构造一个长度为黄金比例的线段。

黄金比例总是出人意料地出现。例如，如果你画一个正五边形，每条边的长度都是1，那么这个五边形的任何一条对角线——也就是说，从任意顶点到两个相对顶点的任何一条线段——的长度都是$\alpha=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$(见问题12.9)。

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术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

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数学代写|数论作业代写number theory代考|Bertrand’s Postulate

One of the most famous results concerning the distribution of primes is known as Bertrand’s postulate, though it is in fact a theorem. In 1845 , Joseph Bertrand conjectured that for any natural number $n$ there is a prime greater than $n$ but no larger than $2 n$. Moreover, he verified this conjecture for all integers up to 3000000 .
Bertrand’s postulate was first proved in 1852 by the Russian mathematician Pafnuty Chebyshev. However, the proof we shall present of this theorem is essentially a proof that Paul Erdôs wrote when he was only nineteen, and that was published in his very first mathematical paper in 1932. Erdös would eventually write more than fifteen hundred mathematical papers; this is more than anyone has written since Euler.
Theorem 10.1 (Bertrand’s postulate). For every integer $n>1$, there is $a$ prime p such that
$$
n2$ is a nonprime real number, we can let $q$ be the largest prime less than $x$. Then $\prod_{p \leq x} p=\prod_{p \leq q} p<4^{q-1}<4^{x-1}$.
We now use induction to prove the claim for prime values of $x$. The first prime value is $x=2$ and in this case the claim is correct since $2<4$. Next, assume $x=2 m+1$ is a prime greater than 2 and that the claim is true for all prime values less than $x$. The idea will be to split the product $\prod_{p \leq 2 m+1} p$ into two products, $\prod_{p \leq m+1} p$ and $\prod_{m+1<p \leq 2 m+1} p$.
Since $m+1<x=2 m+1$ we can use induction to handle the first product by taking the largest prime $q \leq m+1$. Thus
$$
\prod_{p \leq m+1} p=\prod_{p \leq q} p<4^{q-1} \leq 4^{(m+1)-1}=4^m .
$$
The second product takes a bit more effort. First, we observe that
$$
\prod_{m+1<p \leq 2 m+1} p \leq \frac{(2 m+1) !}{m !(m+1) !}=\left(\begin{array}{c}
2 m+1 \
m
\end{array}\right)
$$
because all the primes in the interval $m+1<p \leq 2 m+1$ appear in the numerator but not in the denominator of this fraction. Next, recall from Problem 5.37 the property of Pascal’s triangle that the sum of the binomial coefficients in the $n$th row is $2^n$; thus
$$
\left(\begin{array}{c}
2 m+1 \
0
\end{array}\right)+\cdots+\left(\begin{array}{c}
2 m+1 \
m
\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}
2 m+1 \
m+1
\end{array}\right)+\cdots+\left(\begin{array}{c}
2 m+1 \
2 m+1
\end{array}\right)=2^{2 m+1}
$$
But, in this case, the two middle terms, $\left(\begin{array}{c}2 m+1 \ m\end{array}\right)$ and $\left(\begin{array}{c}2 m+1 \ m+1\end{array}\right)$, are not only the largest terms in this row of Pascal’s triangle, they are equal! Therefore, $2\left(\begin{array}{c}2 m+1 \ m\end{array}\right)<2^{2 m+1}$, and so, $\left(\begin{array}{c}2 m+1 \ m\end{array}\right)<2^{2 m}=4^m$. We conclude that our second product
$$
\prod_{m+1<p \leq 2 m+1} p \leq\left(\begin{array}{c}
2 m+1 \
m
\end{array}\right)<4^m
$$
Now, putting these two products back together, we see that, for $x=$ $2 m+1$
$$
\prod_{p \leq x} p=\prod_{p \leq 2 m+1} p<4^m \cdot 4^m=4^{2 m}=4^{x-1}
$$

数学代写|数论作业代写number theory代考|Goldbach’s Conjecture

The regular correspondence that took place between Euler and Christian Goldbach was mentioned twice in Chapter 7, a 1729 letter in which Goldbach asked Euler about Fermat primes, and a 1753 letter in which Euler discussed Fermat’s last theorem. But no letter in their vast correspondence is nearly as famous as the one Goldbach wrote to Euler-then living in Berlin-on June 7, 1742.

In this letter he asked Euler (in a margin, no less) whether every integer greater than 2 is the sum of three primes. At this time, Goldbach considered 1 a prime, so he would write, for example, $4=1+1+2$, and consider this to be a sum of three primes. Euler wrote back (in the rather strange mixture of German and Latin that was typical of their letters during this period) reminding Goldbach of earlier communication during which they had discussed a variation of this conjecture: every even integer is the sum of two primes. Again, Euler would have thought of $2=1+1$ as a sum of two primes. In Problem 10.17 you are asked to show that these two variations of Goldbach’s question are equivalent.

So, since Goldbach’s original question just boils down to the question of whether even integers greater than 2 are always a sum of two primes, we now state Goldbach’s conjecture formally as:
Every even integer greater than 2 can be written as the sum of two primes.
Euler was quite confident that this conjecture is true even though he had no idea how to prove it. Even today it is considered one of the most difficult problems in mathematics. The publishers Faber and Faber offered $\$ 1,000,000$ between March 20, 2000, and March 20, 2002 , for a proof of Goldbach’s conjecture as a publicity gimmick when they launched a novel by mathematician Apostolos Doxiadis, Uncle Petros and Goldbach’s Conjecture. Needless to say, their money was safe, although there is a massive amount of evidence supporting this conjecture. All even numbers have been checked up to 4000000000000000000.

It turns out that, like a good number of other things in mathematics, Goldbach’s conjecture is not even named for the right person; Descartes thought of this same question well before Goldbach and Euler did. Paul Erdôs, however, took the position that in the grand scheme of things this particular case of misnaming was not such a bad thing, for, as he was fond of saying: “Mathematically speaking, Descartes was infinitely rich and Goldbach was very poor.”

数论作业代写

数学代写|数论作业代写number theory代考|Bertrand’s Postulate

关于素数分布的最著名的结果之一被称为伯特兰公设，尽管它实际上是一个定理。1845年，约瑟夫·伯特兰(Joseph Bertrand)推测，对于任何自然数，都存在一个大于n但不大于2n的素数。此外，他还对3000000以内的所有整数验证了这个猜想。
1852年，俄国数学家帕夫努提·切比雪夫首次证明了伯特兰公设。然而，我们要给出的这个定理的证明，本质上是保罗Erdôs在他只有19岁的时候写的，并在1932年发表在他的第一篇数学论文中。Erdös最终写了1500多篇数学论文;这比欧拉之后任何人写的都多。
定理10.1(伯特兰公设)。对于每一个整数n>1，存在a ‘ p满足
$ $
N2是一个非素数实数，我们可以设q是小于x的最大素数。那么美元\ prod_ {p \ leq x} p = \ prod_ {p \ leq} p < 4 ^ {q1} < 4 ^ {x – 1} $。
现在我们用归纳法来证明x的素数。第一个素数值是$x=2$，在这种情况下，断言是正确的，因为$2<4$。接下来，假设$x= 2m +1$是一个大于2的素数，并且对于所有小于$x$的素数都成立。我们的想法是将产品$\prod_{p \leq 2m +1} p$拆分为两个产品，$\prod_{p \leq m+1} p$和$\prod_{m+1<p \leq 2m +1} p$。
由于$m+1<x=2 m+1$，我们可以通过取最大素数$q \leq m+1$来使用归纳法处理第一个乘积。因此

$$
\prod_{p \leq m+1} p=\prod_{p \leq q} p<4^{q-1} \leq 4^{(m+1)-1}=4^m .
$$
第二个产品需要更多的努力。首先，我们观察到
$$
\prod_{m+1<p \leq 2 m+1} p \leq \frac{(2 m+1) !}{m !(m+1) !}=\left(\begin{array}{c}
2 m+1 \
m
\end{array}\right)
$$

因为在$m+1<p \leq 2 m+1$区间内的所有质数都出现在分子上而不在分母上。接下来，回想一下第5.37题中帕斯卡三角形的性质，即$n$第一行的二项式系数之和为$2^n$;因此
$$
\left(\begin{array}{c}
2 m+1 \
0
\end{array}\right)+\cdots+\left(\begin{array}{c}
2 m+1 \
m
\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}
2 m+1 \
m+1
\end{array}\right)+\cdots+\left(\begin{array}{c}
2 m+1 \
2 m+1
\end{array}\right)=2^{2 m+1}
$$
但是，在这种情况下，中间的两项，$\left(\begin{array}{c}2 m+1 \ m\end{array}\right)$和$\left(\begin{array}{c}2 m+1 \ m+1\end{array}\right)$，不仅是帕斯卡三角形这一行中最大的项，它们是相等的!所以是$2\left(\begin{array}{c}2 m+1 \ m\end{array}\right)<2^{2 m+1}$，所以是$\left(\begin{array}{c}2 m+1 \ m\end{array}\right)<2^{2 m}=4^m$。我们得出结论，我们的第二个产品
$$
\prod_{m+1<p \leq 2 m+1} p \leq\left(\begin{array}{c}
2 m+1 \
m
\end{array}\right)<4^m
$$
现在，把这两个产物放到一起，我们看到 $x=$ $2 m+1$
$$
\prod_{p \leq x} p=\prod_{p \leq 2 m+1} p<4^m \cdot 4^m=4^{2 m}=4^{x-1}
$$

数学代写|数论作业代写number theory代考|Goldbach’s Conjecture

欧拉和哥德巴赫之间的定期通信在第七章中提到了两次，1729年哥德巴赫向欧拉询问费马素数的一封信，以及1753年欧拉讨论费马最后定理的一封信。但是，在他们大量的通信中，没有一封比得上1742年6月7日哥德巴赫写给当时住在柏林的欧拉的那封信。

在这封信中，他问欧拉是否所有大于2的整数都是三个素数的和。此时，哥德巴赫认为1是一个素数，所以他会写，例如，$4=1+1+2$，并认为这是三个素数的和。欧拉回信(用德语和拉丁语的奇怪混合，这是当时他们信件的典型风格)提醒哥德巴赫，他们曾讨论过这个猜想的一个变体:每一个偶数都是两个素数的和。同样，欧拉认为2=1+1是两个素数的和。在10.17题中，要求你们证明哥德巴赫问题的这两种变体是等价的。

因此，既然哥德巴赫最初的问题归结为大于2的偶数是否总是两个素数的和的问题，我们现在将哥德巴赫猜想正式表述为:
每一个大于2的偶数都可以写成两个素数的和。
欧拉对这个猜想很有信心，尽管他不知道如何证明它。即使在今天，它也被认为是数学中最难的问题之一。2000年3月20日至2002年3月20日期间，费伯出版社和费伯出版社悬赏100万美元，作为宣传噱头，出版数学家Apostolos Doxiadis的小说《彼得斯大叔与哥德巴赫猜想》的证明。不用说，他们的钱是安全的，尽管有大量证据支持这一猜测。所有的偶数都被检查到4000000000000000000。

事实证明，就像数学中的许多其他事物一样，哥德巴赫猜想甚至没有以正确的人命名;笛卡尔早在哥德巴赫和欧拉之前就想到了这个问题。然而，保罗Erdôs的立场是，从宏观的角度来看，这个特殊的命名错误并不是一件坏事，因为，正如他喜欢说的那样:“从数学上讲，笛卡尔是无限富有的，而哥德巴赫是非常贫穷的。

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广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写

随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

R语言代写	问卷设计与分析代写
PYTHON代写	回归分析与线性模型代写
MATLAB代写	方差分析与试验设计代写
STATA代写	机器学习/统计学习代写
SPSS代写	计量经济学代写
EVIEWS代写	时间序列分析代写
EXCEL代写	深度学习代写
SQL代写	各种数据建模与可视化代写