如果你也在 怎样代写数论Number theory 个学科遇到相关的难题，请随时右上角联系我们的24/7代写客服。数论Number theory（或旧时的算术或高等算术）是纯数学的一个分支，主要致力于研究整数和整数值的函数。德国数学家卡尔-弗里德里希-高斯（1777-1855）说：”数学是科学的女王–数论是数学的女王。”数论家研究素数以及由整数组成的数学对象（例如有理数）或定义为整数的概括（例如代数整数）的属性。
数论Number theory整数既可以被视为本身，也可以被视为方程的解（刁藩几何）。数论中的问题通常最好通过研究分析对象（例如黎曼Zeta函数）来理解，这些对象以某种方式编码整数、素数或其他数论对象的属性（分析数论）。人们也可以研究实数与有理数的关系，例如，由后者逼近的实数（Diophantine逼近）。
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数学代写|数论作业代写number theory代考|The Fibonacci Sequence
The Fibonacci sequence $1,1,2,3,5,8,13, \ldots$, has an extraordinary number of interesting properties that people have noticed through the years. We begin our study of this fascinating sequence by unlocking what is perhaps its single most amazing property.
First, we observe that the Fibonacci sequence $\left{F_n\right}$ is defined recursively by
$$
F_1=1, F_2=1 \text {, and } F_n=F_{n-1}+F_{n-2} \text { for } n>2 .
$$
Now, let $\alpha$ be the irrational number $\alpha=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$. This is one of the most famous numbers in all of mathematics. It is called the golden ratio, and we will soon discover what this particular irrational number has to do with the Fibonacci sequence.
Similarly, let $\beta$ be the number $\beta=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$. These two numbers $\alpha$ and $\beta$ were not just randomly pulled out of a hat. They are the two roots of the characteristic polynomial $x^2-x-1$ of the recurrence relation for the Fibonacci sequence. More generally, the characteristic polynomial for a recurrence relation of the form $s_n=a s_{n-1}+b s_{n-2}$, where $a$ and $b$ are nonzero constants, is the polynomial $x^2-a x-b$. This means that $\alpha$ and $\beta$ are the two solutions to the equation $x^2-x-1=0$. You should check this either by using the quadratic formula or by actually plugging $\alpha$ and $\beta$ into this equation.
You should also verify for yourself that $\alpha$ and $\beta$ satisfy two very convenient identities:
$$
\alpha+\beta=1 \text { and } \alpha \beta=-1
$$
We will use these two identities over and over again in this chapter.
Therefore, we can now rewrite the Fibonacci recurrence relation $F_n=$ $F_{n-1}+F_{n-2}$ as $F_n=(\alpha+\beta) F_{n-1}-(\alpha \beta) F_{n-2}$, and get
$$
F_n-\alpha F_{n-1}=\beta\left(F_{n-1}-\alpha F_{n-2}\right)
$$
This is indeed quite surprising, because it means that the “linked” sequence of terms
$1-\alpha \cdot 1$
$2-\alpha \cdot 1$
$3-\alpha \cdot 2$
$5-\alpha \cdot 3$
$8-\alpha \cdot 5$
$13-\alpha \cdot 8$
forms a geometric sequence whose constant ratio is $\beta$. (Now would be a good time to do Problem 12.5.)
This means that $F_n-\alpha F_{n-1}=(1-\alpha) \beta^{n-2}$; or, in other words, since $\alpha+\beta=1$ (that is, $1-\alpha=\beta$ ),
$$
F_n=\alpha F_{n-1}+\beta^{n-1}
$$
Moreover, since in this entire argument we never used the specific values of $\alpha$ and $\beta$, but rather used only the two symmetric formulas $\alpha+\beta=1$ and $\alpha \beta=-1$, we can switch the roles of $\alpha$ and $\beta$ and produce another identity:
$$
F_n=\beta F_{n-1}+\alpha^{n-1}
$$
数学代写|数论作业代写number theory代考|The Golden Ratio
We first met the irrational number $\alpha$ known as the golden ratio in Problem 3.36 as the infinite continued fraction
$$
\alpha=1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\ddots}}}
$$
In fact, this was our first clue that $\alpha$ might be a particularly interesting number.
Since an identical copy of this continued fraction appears within itself below each fraction bar, we can immediately see that $\alpha$ must satisfy the following equations:
$$
x=1+\frac{1}{x}, \quad x=1+\frac{1}{1+\frac{1}{x}}, \quad x=1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{x}}}, \ldots
$$
In particular, the first equation reduces to the quadratic equation $x^2-$ $x-1=0$, which has two solutions: a positive solution $\alpha=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$, and a negative solution $\beta=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$. This of course is the same equation that arose in the last section when we considered the characteristic polynomial of the recurrence relation for the Fibonacci sequence.
It is worth mentioning that the Greek letter $\phi$ (phi) is often used for the number $\frac{1+\sqrt{5}}{2}$, though this is by no means universal. Other Greek letters are also used for the golden ratio, such as $\tau(\operatorname{tau})$, and the letter $\phi$ is frequently used to stand for a wide variety of other things in mathematics and physics.
We should also consider why the number $\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ is called a ratio. This is a geometric idea that, not surprisingly, goes back to the ancient Greeks and first appeared in Euclid’s Elements. If you take a line segment and cut it into two parts so that the ratio of the larger of the two parts to the smaller of the two parts equals the ratio of the original segment to the larger part, then this ratio is called the golden ratio.
If we let the original line segment have length $x$ and the larger part of this line segment have length 1 , then the smaller part has length $x-1$. Hence we get the equation $\frac{x}{1}=\frac{1}{x-1}$, which again reduces to $x^2-x-1=0$. Since in this case $x$ must be positive, the positive solution $\alpha=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ is the golden ratio. In Problem 12.8 we show how to construct a line segment whose length is the golden ratio.
The golden ratio has a habit of showing up unexpectedly. For example, if you draw a regular pentagon where each side has length 1 , then any diagonal of this pentagon-that is, a line segment drawn from any vertex to either of the two opposite vertices-will have length $\alpha=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ (see Problem 12.9).
数论作业代写
数学代写|数论作业代写number theory代考|The Fibonacci Sequence
斐波那契数列$1,1,2,3,5,8,13, \ldots$，有很多有趣的性质，这些年来人们已经注意到了。我们开始研究这个迷人的序列，解开它最惊人的特性。
首先，我们观察到斐波那契数列$\left{F_n\right}$是由递归定义的
$$
F_1=1, F_2=1 \text {, and } F_n=F_{n-1}+F_{n-2} \text { for } n>2 .
$$
设$\alpha$为无理数$\alpha=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$。这是数学中最著名的数字之一。它被称为黄金比例，我们很快就会发现这个特殊的无理数与斐波那契数列有什么关系。
同样，设$\beta$为数字$\beta=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$。这两个数字$\alpha$和$\beta$并不是凭空捏造出来的。它们是斐波那契数列递归关系的特征多项式$x^2-x-1$的两个根。更一般地说，对于形式为$s_n=a s_{n-1}+b s_{n-2}$的递归关系，其中$a$和$b$是非零常数，其特征多项式是多项式$x^2-a x-b$。这意味着$\alpha$和$\beta$是方程$x^2-x-1=0$的两个解。你可以用二次方程来验证或者把$\alpha$和$\beta$代入方程。
您还应该自己验证$\alpha$和$\beta$满足两个非常方便的身份:
$$
\alpha+\beta=1 \text { and } \alpha \beta=-1
$$
我们将在本章中反复使用这两个恒等式。
因此，我们现在可以将斐波那契递归关系$F_n=$$F_{n-1}+F_{n-2}$重写为$F_n=(\alpha+\beta) F_{n-1}-(\alpha \beta) F_{n-2}$，并得到
$$
F_n-\alpha F_{n-1}=\beta\left(F_{n-1}-\alpha F_{n-2}\right)
$$
这确实很令人惊讶，因为这意味着“链接”的术语序列
$1-\alpha \cdot 1$
$2-\alpha \cdot 1$
$3-\alpha \cdot 2$
$5-\alpha \cdot 3$
$8-\alpha \cdot 5$
$13-\alpha \cdot 8$
形成等比为$\beta$的等比数列。(现在是做第12.5题的好时机。)
这意味着$F_n-\alpha F_{n-1}=(1-\alpha) \beta^{n-2}$;或者，换句话说，由于$\alpha+\beta=1$(即$1-\alpha=\beta$)，
$$
F_n=\alpha F_{n-1}+\beta^{n-1}
$$
此外，由于在整个论证中，我们从未使用过$\alpha$和$\beta$的具体值，而只使用了两个对称公式$\alpha+\beta=1$和$\alpha \beta=-1$，因此我们可以转换$\alpha$和$\beta$的角色并产生另一个恒等式:
$$
F_n=\beta F_{n-1}+\alpha^{n-1}
$$
数学代写|数论作业代写number theory代考|The Golden Ratio
我们第一次遇到无理数$\alpha$被称为黄金比例在问题3.36中作为无限连分式
$$
\alpha=1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\ddots}}}
$$
事实上，这是我们的第一个线索，$\alpha$可能是一个特别有趣的数字。
由于这个连分式的相同副本出现在每个分式条的下方，我们可以立即看到$\alpha$必须满足以下等式:
$$
x=1+\frac{1}{x}, \quad x=1+\frac{1}{1+\frac{1}{x}}, \quad x=1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{x}}}, \ldots
$$
特别是，第一个方程简化为二次方程$x^2-$$x-1=0$，它有两个解:一个正解$\alpha=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$和一个负解$\beta=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$。当然，这和上一节我们讨论斐波那契数列递归关系的特征多项式时出现的方程是一样的。
值得一提的是，希腊字母$\phi$ (phi)经常被用来表示数字$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$，尽管这并不普遍。其他希腊字母也被用来表示黄金比例，比如$\tau(\operatorname{tau})$，而在数学和物理学中，$\phi$也经常被用来表示各种各样的其他东西。
我们还应该考虑为什么数字$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$被称为比率。这是一个几何概念，毫不奇怪，可以追溯到古希腊，最早出现在欧几里得的《几何原理》中。如果你把一条线段切成两部分，使两部分中较大的部分与两部分中较小的部分的比例等于原始线段与较大部分的比例，那么这个比例就被称为黄金比例。
如果我们让原始线段的长度为$x$并且这条线段的较大部分的长度为1，那么较小的部分的长度为$x-1$。因此我们得到方程$\frac{x}{1}=\frac{1}{x-1}$，再次化简为$x^2-x-1=0$。因为在这种情况下$x$必须是正的，正的解决方案$\alpha=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$是黄金比例。在问题12.8中，我们展示了如何构造一个长度为黄金比例的线段。
黄金比例总是出人意料地出现。例如，如果你画一个正五边形，每条边的长度都是1，那么这个五边形的任何一条对角线——也就是说，从任意顶点到两个相对顶点的任何一条线段——的长度都是$\alpha=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$(见问题12.9)。
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金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。
非参数统计代写
非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。
有限元方法代写
有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。
时间序列分析代写
随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。
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多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
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