如果你也在 怎样代写数论Number theory 个学科遇到相关的难题，请随时右上角联系我们的24/7代写客服。数论Number theory（或旧时的算术或高等算术）是纯数学的一个分支，主要致力于研究整数和整数值的函数。德国数学家卡尔-弗里德里希-高斯（1777-1855）说：”数学是科学的女王–数论是数学的女王。”数论家研究素数以及由整数组成的数学对象（例如有理数）或定义为整数的概括（例如代数整数）的属性。

数论Number theory整数既可以被视为本身，也可以被视为方程的解（刁藩几何）。数论中的问题通常最好通过研究分析对象（例如黎曼Zeta函数）来理解，这些对象以某种方式编码整数、素数或其他数论对象的属性（分析数论）。人们也可以研究实数与有理数的关系，例如，由后者逼近的实数（Diophantine逼近）。

statistics-lab™ 为您的留学生涯保驾护航 在代写数论number theory方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的统计Statistics代写服务。我们的专家在代写数论number theory代写方面经验极为丰富，各种代写数论number theory相关的作业也就用不着说。

我们提供的数论number theory及其相关学科的代写，服务范围广, 其中包括但不限于:

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数学代写|数论作业代写number theory代考|The Law of Quadratic Reciprocity

Euler’s conjecture is, in fact, equivalent to the law of quadratic reciprocity, which was first stated by Legendre in 1785 , and which ties the quadratic nature of two primes $p$ and $q$ together into a single elegant formula, making it one of the most beautiful and important theorems in number theory.

Theorem 8.6 (the law of quadratic reciprocity). If $p$ and $q$ are distinct odd primes, then
$$
\left(\frac{p}{q}\right)\left(\frac{q}{p}\right)=(-1)^{\frac{p-1}{2} \cdot \frac{q-1}{2}}
$$

Before we prove this theorem, let’s spend some time getting a sense of the power behind this remarkable formula. With considerable effort Euler could deduce, as we just saw, that 5 is a quadratic residue of the prime 239. In Problem 8.16, we see that, without too much trouble, Gauss’s lemma can be used to reach the same conclusion. The law of quadratic reciprocity, however, turns this same question into pure calculation.

Of course, calculations become routine only once you get the hang of them. Here is how this one goes. First, note that $\left(\frac{239}{5}\right)=\left(\frac{4}{5}\right)=1$. This is because $239 \equiv 4(\bmod 5)$, and then because $4=2^2$ is a quadratic residue of 5 (or of any other prime, for that matter). So, by the law of quadratic reciprocity, since $\left(\frac{239}{5}\right)=1$, the calculation becomes
$$
\left(\frac{5}{239}\right)=\left(\frac{5}{239}\right)\left(\frac{239}{5}\right)=(-1)^{\frac{5-1}{2} \frac{239-1}{2}}=(-1)^{2 \cdot 119}=1 \text {, }
$$
and so 5 is a quadratic residue of 239.
This is a good time to think about why Theorem 8.6 is called a reciprocity law. In this example, we were asking whether 5 is a quadratic residue modulo 239. How did we answer that question? We did it by answering the much easier question: is 239 a quadratic residue modulo $5 ?$ (The answer was yes, because $239 \equiv 4(\bmod 5)$, and 4 is obviously a quadratic residue.) In other words, we turned the question on its head. That’s why this is called a reciprocity law. Theorem 8.6 allows us to discover the quadratic nature of $p$ modulo $q$ by looking at the quadratic nature of $q$ modulo $p$, which may be easy.

数学代写|数论作业代写number theory代考|Factoring

As for the problem of factoring a number $n$ into its prime factors, Gauss went on to say, “we must confess that all methods that have been proposed thus far are either restricted to very special cases or are so laborious and difficult that even for numbers that do not exceed the limits of tables constructed by estimable men, they try the patience of even the practiced calculator. And these methods do not apply at all to larger numbers.”

It really is extraordinary that, more than two hundred years later, and with fast, powerful computers available to us, we still have exactly the same complaint that Gauss did: factoring is too hard, and takes way too long.

In 1977, Ronald L. Rivest, Adi Shamir, and Leonard Adleman invented a public key encryption system that exploits our inability to factor large composite numbers. These RSA public key systems make possible millions of transactions that take place every day; for example, they protect your credit card number when you buy a plane ticket online. In Chapter 13 we will see that these RSA encryption systems are a direct application of Euler’s theorem, Theorem 7.1. So, you might want to give Euler a little thank you the next time you purchase something online, or make that wire transfer to your offshore account in the Cayman Islands.

In Chapter 13 we will also see that these public key encryption systems work precisely because it is hard to factor large numbers. But why is factoring so hard? Well, the basic strategy, or algorithm, is to try to divide a number $n$ by each of the primes $2,3,5,7,11, \ldots$, up to $\sqrt{n}$ until you find a prime factor $p$. Then you repeat the process on the number $\frac{n}{p}$. The problem is that, as simple as this strategy is, this is an example of what is called an exponential-time algorithm in the sense that if you double the number of digits in the number $n$, then you roughly sauare the amount of time the algorithm takes.

数论作业代写

数学代写|数论作业代写number theory代考|The Law of Quadratic Reciprocity

事实上，欧拉猜想相当于二次互易定律，该定律是由勒让德于1785年首次提出的，它将两个素数$p$和$q$的二次性质联系在一起，形成了一个简洁的公式，使其成为数论中最美丽、最重要的定理之一。

定理8.6(二次互易律)。如果$p$和$q$是不同的奇素数，则
$$
\left(\frac{p}{q}\right)\left(\frac{q}{p}\right)=(-1)^{\frac{p-1}{2} \cdot \frac{q-1}{2}}
$$

在我们证明这个定理之前，让我们花点时间了解一下这个非凡公式背后的力量。欧拉费了很大的努力，就像我们刚才看到的，推导出5是质数239的二次余数。在习题8.16中，我们看到，不用太麻烦，高斯引理就可以得到同样的结论。然而，二次互易法则把同样的问题变成了纯粹的计算。

当然，只有掌握了计算的窍门，计算才会成为例行公事。这是怎么回事。首先，请注意$\left(\frac{239}{5}\right)=\left(\frac{4}{5}\right)=1$。这是因为$239 \equiv 4(\bmod 5)$，然后因为$4=2^2$是5的二次余数(或者其他质数)。因此，根据二次互易律，从$\left(\frac{239}{5}\right)=1$开始，计算变成
$$
\left(\frac{5}{239}\right)=\left(\frac{5}{239}\right)\left(\frac{239}{5}\right)=(-1)^{\frac{5-1}{2} \frac{239-1}{2}}=(-1)^{2 \cdot 119}=1 \text {, }
$$
所以5是239的二次余数。
现在是思考为什么定理8.6被称为互易律的好时机。在这个例子中，我们问5是否是对239取模的二次余数。我们是怎么回答这个问题的?我们通过回答一个更简单的问题来解决这个问题:239是对$5 ?$取模的二次余数吗(答案是肯定的，因为$239 \equiv 4(\bmod 5)$，而4显然是二次余数。)换句话说，我们把问题颠倒过来了。这就是为什么它被称为互易定律。定理8.6允许我们通过查看$q$ modulo $p$的二次性质来发现$p$ modulo $q$的二次性质，这可能很容易。

数学代写|数论作业代写number theory代考|Factoring

至于把一个数字$n$分解成它的质因数的问题，高斯接着说，“我们必须承认，到目前为止提出的所有方法，要么局限于非常特殊的情况，要么是如此费力和困难，以至于即使是那些没有超出由值得尊敬的人构建的表格限制的数字，它们也考验着即使是熟练的计算器的耐心。这些方法根本不适用于更大的数字。”

两百多年后，当我们拥有了快速、强大的计算机时，我们仍然有和高斯一样的抱怨:分解太难了，而且耗时太长。

1977年，Ronald L. Rivest、Adi Shamir和Leonard Adleman发明了一个公钥加密系统，该系统利用了我们无法分解大合数的缺陷。这些RSA公钥系统使每天发生的数百万笔交易成为可能;例如，当你在网上购买机票时，他们会保护你的信用卡号码。在第13章中，我们将看到这些RSA加密系统是欧拉定理7.1的直接应用。所以，下次你在网上购物的时候，或者把钱电汇到你在开曼群岛的离岸账户的时候，你可能想对欧拉说声谢谢。

在第13章中，我们还将看到这些公钥加密系统精确地工作，因为很难分解大数。但为什么保理这么难呢?基本的策略，或者说算法，就是试着用一个数字$n$除以每个质数$2,3,5,7,11, \ldots$，直到$\sqrt{n}$，直到你找到一个质数因子$p$。然后对数字$\frac{n}{p}$重复此过程。问题是，虽然这个策略很简单，但这是一个所谓的指数时间算法的例子如果你把$n$这个数字的位数翻倍，那么你大致就等于算法所花费的时间。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写

随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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数学代写|数论作业代写number theory代考|The Young Gauss

The nineteenth-century philosopher Arthur Schopenhauer said
talent hits a target no one else can hit; genius hits a target no one else can see.
Many great mathematicians – Euclid, Fermat, Euler, Lagrange – certainly had more than their fair share of talent, and each made enormous and lasting contributions to mathematics, but Carl Friedrich Gauss was in a class by himself, and his genius showed itself at a very young age.
What Gauss accomplished while he was still a teenager is astonishing. The ancient Greeks had been able to construct, using straightedge and compass, regular polygons with $n$ sides where $n=$ $3,4,5,6,8,10,12,15$, and 16 . Gauss, at the age of nineteen, discovered that a regular seventeen-sided polygon can also be constructed using a straightedge and compass, and in general explained the strange gaps at $n=7,9,13$, and 14 by proving that a regular polygon with $n$ sides can be constructed with a straightedge and compass if and only if in the canonical prime factorization of $n$, where
$$
n=2^m p_1^{\alpha_1} \cdots p_k^{\alpha_k},
$$
each prime $p_i$ is a Fermat prime, and each $\alpha_i=1$.
During this same year, 1796, he wrote in the diary he was to keep for the next eighteen years,
EYPHKA! num $=\Delta+\Delta+\Delta$,
that is: eureka, every number is the sum of three triangular numbers. This, in turn, is equivalent to the statement that every number of the form $8 n+3$ is a sum of three odd squares (see Problem 8.1).

But the crowning achievement of the youthful Gauss that we will concentrate on in this chapter is quadratic reciprocity. Euler had been aware of the essential nature of what we now call the law of quadratic reciprocity based on extensive calculations, but any kind of general proof eluded him. Legendre could almost prove it, but not quite. The first proof of this result was given by Gauss when he was nineteen.

He included this proof in his great book on number theory, Disquisitiones Arithmeticae, which appeared in 1801, when Gauss was twentyfour, and which also included Theorem 3.4 , the fundamental theorem of arithmetic. Only two years earlier, he had completed his doctoral thesis on the fundamental theorem of algebra. By the end of the year Gauss would be famous throughout Europe for having correctly predicted where to find the recently discovered asteroid Ceres in the mysterious gap between the orbits of Mars and Jupiter, and which had been lost after only a few sightings before it passed from view behind the sun. Gauss was able to accomplish this feat because, when he was seventeen, he had devised a new method for fitting a curve to a limited set of data points-we now call this the method of least squares, because this statistical technique finds the “curve of best fit” by minimizing the sum of the squares of the distances from the points in a given set to a curve.

数学代写|数论作业代写number theory代考|Quadratic Residues

Euler gradually became aware of quadratic reciprocity because, from the very beginning, he was trying to reproduce Fermat’s work on theorems such as Theorem 5.1, which tells us which odd primes $p$ can be written as
$$
p=x^2+y^2
$$
Fermat also had theorems-but left no proofs-for which odd primes have the form
$$
p=x^2+2 y^2
$$
and which odd primes have the form
$$
p=x^2+3 y^2
$$
(see Problem 8.7). Thus, inevitably, Euler became interested in the general question of which odd primes have the form
$$
p=x^2+n y^2
$$
for a given positive integer $n$.
We saw that the key step in the proof of Theorem 5.1 was showing that when $p$ is of the form $4 n+1$, then there are integers $x$ and $y$ such that $p \mid\left(x^2+y^2\right)$; and this step depended on knowing that, under this hypothesis, -1 is a quadratic residue modulo $p$. The term quadratic reciprocity originally came into use to signal the fact that, for example, the question of whether $p \mid\left(x^2+1 \cdot y^2\right)$ depends in a reciprocal way on the question of whether the quadratic congruence
$$
x^2 \equiv-1 \quad(\bmod p)
$$
has a solution. The meaning of the word reciprocity will change for us once we actually see the law of quadratic reciprocity (Theorem 8.6).

数论作业代写

数学代写|数论作业代写number theory代考|The Young Gauss

十九世纪的哲学家亚瑟·叔本华说
天赋能达到别人无法达到的目标;天才击中了别人看不到的目标。
许多伟大的数学家——欧几里得、费马、欧拉、拉格朗日——当然都有超出他们应有的天赋，每个人都对数学做出了巨大而持久的贡献，但卡尔·弗里德里希·高斯独树一帜，他的天才在很年轻的时候就表现出来了。
高斯在十几岁的时候就取得了惊人的成就。古希腊人已经能够用直尺和圆规构造正多边形，它们的边是$n$$n=$$3,4,5,6,8,10,12,15$和16。高斯在19岁时，发现一个正的17边多边形也可以用直尺和罗盘来构造，并且一般地解释了$n=7,9,13$和14处的奇怪的缺口，他证明了一个有$n$边的正多边形可以用直尺和罗盘来构造，当且仅当在$n$的规范质因式中，其中
$$
n=2^m p_1^{\alpha_1} \cdots p_k^{\alpha_k},
$$
每个质数$p_i$都是费马质数，每个$\alpha_i=1$。
同年，1796年，他在日记中写道，在接下来的18年里，
艾弗卡!Num $=\Delta+\Delta+\Delta$，
也就是说，找到了，每个数都是三个三角数的和。反过来，这就等价于这样的表述:每个形式为$8 n+3$的数都是三个奇数的平方和(见问题8.1)。

但是我们在这一章将集中讨论的年轻高斯的最高成就是二次互易性。欧拉已经意识到我们现在所说的基于广泛计算的二次互易性定律的本质，但他没有任何一般性的证明。勒让德几乎可以证明这一点，但不完全是。这个结果的第一个证明是在高斯19岁时给出的。

他把这个证明写进了他关于数论的巨著《算术研究》，这本书出版于1801年，当时高斯24岁，书中还包括了算术基本定理3.4。就在两年前，他刚刚完成了关于代数基本定理的博士论文。到那年年底，高斯因正确预测了在火星和木星轨道之间的神秘缝隙中找到最近发现的小行星谷神星(Ceres)而在整个欧洲闻名，这颗小行星在几次观测之后就消失在太阳后面了。高斯之所以能够完成这一壮举，是因为在他17岁的时候，他发明了一种将曲线拟合到有限数据点集的新方法——我们现在称之为最小二乘法，因为这种统计技术通过最小化给定集合中点到曲线距离的平方和来找到“最佳拟合曲线”。

数学代写|数论作业代写number theory代考|Quadratic Residues

欧拉逐渐意识到二次互易性，因为从一开始，他就试图重现费马在定理5.1等定理上的工作，定理5.1告诉我们哪些奇素数$p$可以写成
$$
p=x^2+y^2
$$
费马也有一些定理，但没有留下证明，证明奇数素数具有这种形式
$$
p=x^2+2 y^2
$$
哪些奇素数有这样的形式
$$
p=x^2+3 y^2
$$
(见问题8.7)。因此，欧拉不可避免地对奇素数的一般形式产生了兴趣
$$
p=x^2+n y^2
$$
对于给定的正整数$n$。
我们已经知道，证明定理5.1的关键一步是证明当$p$的形式为$4 n+1$时，则存在整数$x$和$y$，使得$p \mid\left(x^2+y^2\right)$;这一步取决于，在这个假设下，-1是一个二次残模$p$。二次互反一词最初是用来表示这样一个事实，例如，$p \mid\left(x^2+1 \cdot y^2\right)$是否以互反的方式依赖于二次同余的问题
$$
x^2 \equiv-1 \quad(\bmod p)
$$
有一个解决方案。一旦我们真正看到二次互惠定律(定理8.6)，互惠这个词的含义就会改变。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

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有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

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随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

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• Statistical Machine Learning 统计机器学习
• Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析
• Foundations of Data Science 数据科学基础

数学代写|数论作业代写number theory代考|Quadratic Residues

Fermat’s little theorem says that if $p$ is prime, and does not divide $a$, then $a^{p-1} \equiv 1(\bmod p)$. In 1806, James Ivory found a very elegant proof of this result based on a simple idea that involves congruences.

Let’s take the prime $p=7$, and consider the numbers $1,2, \ldots, p-1$; that is,
$1,2,3,4,5,6$
Next, let $a=3$, and consider the numbers
$a, 2 a, 3 a, 4 a, 5 a, 6 a ;$
that is,
$3,6,9,12,15,18$,
but instead, we will write these six numbers modulo 7 , and get
$3,6,2,5,1,4$.

It is immediately obvious-and this is the simple idea-that these are the same six numbers we began with, just rearranged.

Here is a proof of Fermat’s little theorem based on this simple idea.

Proof of Theorem 5.2 (Fermat’s little theorem)
Consider the $p-1$ elements $a, 2 a, 3 a, \ldots,(p-1) a$. We claim that these numbers are congruent, in some order, to the numbers $1,2,3, \ldots$, $p-1$. Since $p$ does not divide $a$, none of these numbers are congruent to 0 modulo $p$, so it is sufficient to show that these $p-1$ numbers are distinct modulo $p$.

Suppose that two of these numbers are not distinct; that is, for $r \neq s$, suppose that $r a \equiv s a(\bmod p)$. Then, by Theorem 3.7 , since $a$ and $p$ are relatively prime, we can divide by $a$, and get $r \equiv s(\bmod p)$. But both $r$ and $s$ are integers in the set ${1,2, \ldots, p-1}$, so this implies that $r=s$, which is a contradiction.
Therefore, the numbers
$a, 2 a, 3 a, \ldots,(p-1) a$
are, in some order, congruent modulo $p$ to the numbers
$1,2,3, \ldots, p-1$

数学代写|数论作业代写number theory代考|Linear Congruences

Almost all of our attention in this chapter will be placed on solving various polynomial congruences
$$
a_n x^n+a_{n-1} x^{n-1}+\cdots+a_1 x+a_0 \equiv 0 \quad(\bmod m)
$$
and we will especially look for any similarities they may have with polynomial equations. When we speak of a solution to a polynomial congruence, we mean any integer $x$ that satisfies the congruence, but we also are primarily interested in solutions in the set ${0,1,2, \ldots$, $m-1$ }. So, for example, if two integers $x$ and $y$ both satisfy a polynomial congruence, but $x$ and $y$ are congruent modulo $m$, we do not consider them to be distinct solutions.
Even relatively simple looking quadratic congruences such as
$$
x^2-1 \equiv 0 \quad(\bmod p) \text { and } x^2+1 \equiv 0 \quad(\bmod p),
$$
where $p$ is a prime, can be somewhat trickier to solve than their equational counterparts:
$$
x^2-1=0 \text { and } x^2+1=0 .
$$
So, in this section we will investigate first the polynomial congruences that are the simplest, those that are linear. A linear congruence, as the name suggests, is a polynomial congruence of the form $a_1 x+a_0 \equiv 0$ $(\bmod m)$, although for convenience we will also often write a linear congruence in the equivalent form
$$
a x \equiv b \quad(\bmod m) .
$$

数论作业代写

数学代写|数论作业代写number theory代考|Quadratic Residues

费马小定理说如果$p$是质数，并且不能除$a$，那么$a^{p-1} \equiv 1(\bmod p)$。1806年，詹姆斯·艾佛利基于一个涉及同余的简单想法，发现了一个非常优雅的证明。

我们来看质数$p=7$，考虑数字$1,2, \ldots, p-1$;也就是说，
$1,2,3,4,5,6$
接下来，输入$a=3$，并考虑数字
$a, 2 a, 3 a, 4 a, 5 a, 6 a ;$
也就是说，
$3,6,9,12,15,18$，
但是，我们把这六个数以7取模，得到
$3,6,2,5,1,4$。

很明显，这是一个简单的想法，这是我们开始时的六个数字，只是重新排列了一下。

这是费马小定理的一个证明基于这个简单的想法。

定理5.2的证明(费马小定理)
考虑$p-1$元素$a, 2 a, 3 a, \ldots,(p-1) a$。我们说这些数在某种顺序上，等于$1,2,3, \ldots$$p-1$。因为$p$不能除$a$，所以这些数都不等于0模$p$，所以足以证明这些$p-1$数模$p$是不同的。

假设这些数字中的两个不是不同的;也就是说，对于$r \neq s$，假设$r a \equiv s a(\bmod p)$。然后，根据定理3.7，因为$a$和$p$是相对质数，我们可以除以$a$，得到$r \equiv s(\bmod p)$。但是$r$和$s$都是集合${1,2, \ldots, p-1}$中的整数，所以这意味着$r=s$，这是一个矛盾。
因此，数字
$a, 2 a, 3 a, \ldots,(p-1) a$
在某种顺序上，对这些数取$p$模相等吗
$1,2,3, \ldots, p-1$

数学代写|数论作业代写number theory代考|Linear Congruences

在本章中，我们几乎所有的注意力都将放在求解各种多项式同余上
$$
a_n x^n+a_{n-1} x^{n-1}+\cdots+a_1 x+a_0 \equiv 0 \quad(\bmod m)
$$
我们会特别寻找它们与多项式方程的相似之处。当我们谈到多项式同余的解时，我们指的是满足同余的任何整数$x$，但我们也主要对集合${0,1,2, \ldots$, $m-1$｝中的解感兴趣。因此，例如，如果两个整数$x$和$y$都满足多项式同余，但是$x$和$y$模$m$是同余的，我们不认为它们是不同的解。
即使是相对简单的二次同余，比如
$$
x^2-1 \equiv 0 \quad(\bmod p) \text { and } x^2+1 \equiv 0 \quad(\bmod p),
$$
其中$p$是质数，可能比它们的相等对应物更棘手:
$$
x^2-1=0 \text { and } x^2+1=0 .
$$
在这一节中，我们将首先研究最简单的多项式同余，即线性的多项式同余。线性同余，顾名思义，是一个形式为$a_1 x+a_0 \equiv 0$$(\bmod m)$的多项式同余，尽管为了方便，我们也经常将线性同余写成等价形式
$$
a x \equiv b \quad(\bmod m) .
$$

统计代写请认准statistics-lab™. statistics-lab™为您的留学生涯保驾护航。

金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

tatistics-lab作为专业的留学生服务机构，多年来已为美国、英国、加拿大、澳洲等留学热门地的学生提供专业的学术服务，包括但不限于Essay代写，Assignment代写，Dissertation代写，Report代写，小组作业代写，Proposal代写，Paper代写，Presentation代写，计算机作业代写，论文修改和润色，网课代做，exam代考等等。写作范围涵盖高中，本科，研究生等海外留学全阶段，辐射金融，经济学，会计学，审计学，管理学等全球99%专业科目。写作团队既有专业英语母语作者，也有海外名校硕博留学生，每位写作老师都拥有过硬的语言能力，专业的学科背景和学术写作经验。我们承诺100%原创，100%专业，100%准时，100%满意。

随机分析代写

随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

R语言代写	问卷设计与分析代写
PYTHON代写	回归分析与线性模型代写
MATLAB代写	方差分析与试验设计代写
STATA代写	机器学习/统计学习代写
SPSS代写	计量经济学代写
EVIEWS代写	时间序列分析代写
EXCEL代写	深度学习代写
SQL代写	各种数据建模与可视化代写

如果你也在 怎样代写数论Number theory 个学科遇到相关的难题，请随时右上角联系我们的24/7代写客服。数论Number theory（或旧时的算术或高等算术）是纯数学的一个分支，主要致力于研究整数和整数值的函数。德国数学家卡尔-弗里德里希-高斯（1777-1855）说：”数学是科学的女王–数论是数学的女王。”数论家研究素数以及由整数组成的数学对象（例如有理数）或定义为整数的概括（例如代数整数）的属性。

数论Number theory整数既可以被视为本身，也可以被视为方程的解（刁藩几何）。数论中的问题通常最好通过研究分析对象（例如黎曼Zeta函数）来理解，这些对象以某种方式编码整数、素数或其他数论对象的属性（分析数论）。人们也可以研究实数与有理数的关系，例如，由后者逼近的实数（Diophantine逼近）。

statistics-lab™ 为您的留学生涯保驾护航 在代写数论number theory方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的统计Statistics代写服务。我们的专家在代写数论number theory代写方面经验极为丰富，各种代写数论number theory相关的作业也就用不着说。

我们提供的数论number theory及其相关学科的代写，服务范围广, 其中包括但不限于:

• Statistical Inference 统计推断
• Statistical Computing 统计计算
• Advanced Probability Theory 高等概率论
• Advanced Mathematical Statistics 高等数理统计学
• (Generalized) Linear Models 广义线性模型
• Statistical Machine Learning 统计机器学习
• Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析
• Foundations of Data Science 数据科学基础

数学代写|数论作业代写number theory代考|Fermat’s Little Theorem

Fermat’s little theorem says that if $p$ is prime, and does not divide $a$, then $a^{p-1} \equiv 1(\bmod p)$. In 1806, James Ivory found a very elegant proof of this result based on a simple idea that involves congruences.

Let’s take the prime $p=7$, and consider the numbers $1,2, \ldots, p-1$; that is,
$1,2,3,4,5,6$
Next, let $a=3$, and consider the numbers
$a, 2 a, 3 a, 4 a, 5 a, 6 a ;$
that is,
$3,6,9,12,15,18$,
but instead, we will write these six numbers modulo 7 , and get
$3,6,2,5,1,4$.

It is immediately obvious-and this is the simple idea-that these are the same six numbers we began with, just rearranged.

Here is a proof of Fermat’s little theorem based on this simple idea.

Proof of Theorem 5.2 (Fermat’s little theorem)
Consider the $p-1$ elements $a, 2 a, 3 a, \ldots,(p-1) a$. We claim that these numbers are congruent, in some order, to the numbers $1,2,3, \ldots$, $p-1$. Since $p$ does not divide $a$, none of these numbers are congruent to 0 modulo $p$, so it is sufficient to show that these $p-1$ numbers are distinct modulo $p$.

Suppose that two of these numbers are not distinct; that is, for $r \neq s$, suppose that $r a \equiv s a(\bmod p)$. Then, by Theorem 3.7 , since $a$ and $p$ are relatively prime, we can divide by $a$, and get $r \equiv s(\bmod p)$. But both $r$ and $s$ are integers in the set ${1,2, \ldots, p-1}$, so this implies that $r=s$, which is a contradiction.
Therefore, the numbers
$a, 2 a, 3 a, \ldots,(p-1) a$
are, in some order, congruent modulo $p$ to the numbers
$1,2,3, \ldots, p-1$

数学代写|数论作业代写number theory代考|Linear Congruences

Almost all of our attention in this chapter will be placed on solving various polynomial congruences
$$
a_n x^n+a_{n-1} x^{n-1}+\cdots+a_1 x+a_0 \equiv 0 \quad(\bmod m)
$$
and we will especially look for any similarities they may have with polynomial equations. When we speak of a solution to a polynomial congruence, we mean any integer $x$ that satisfies the congruence, but we also are primarily interested in solutions in the set ${0,1,2, \ldots$, $m-1$ }. So, for example, if two integers $x$ and $y$ both satisfy a polynomial congruence, but $x$ and $y$ are congruent modulo $m$, we do not consider them to be distinct solutions.
Even relatively simple looking quadratic congruences such as
$$
x^2-1 \equiv 0 \quad(\bmod p) \text { and } x^2+1 \equiv 0 \quad(\bmod p),
$$
where $p$ is a prime, can be somewhat trickier to solve than their equational counterparts:
$$
x^2-1=0 \text { and } x^2+1=0 .
$$
So, in this section we will investigate first the polynomial congruences that are the simplest, those that are linear. A linear congruence, as the name suggests, is a polynomial congruence of the form $a_1 x+a_0 \equiv 0$ $(\bmod m)$, although for convenience we will also often write a linear congruence in the equivalent form
$$
a x \equiv b \quad(\bmod m) .
$$

数论作业代写

数学代写|数论作业代写number theory代考|Fermat’s Little Theorem

费马小定理说如果$p$是质数，并且不能除$a$，那么$a^{p-1} \equiv 1(\bmod p)$。1806年，詹姆斯·艾佛利基于一个涉及同余的简单想法，发现了一个非常优雅的证明。

我们来看质数$p=7$，考虑数字$1,2, \ldots, p-1$;也就是说，
$1,2,3,4,5,6$
接下来，输入$a=3$，并考虑数字
$a, 2 a, 3 a, 4 a, 5 a, 6 a ;$
也就是说，
$3,6,9,12,15,18$，
但是，我们把这六个数以7取模，得到
$3,6,2,5,1,4$。

很明显，这是一个简单的想法，这是我们开始时的六个数字，只是重新排列了一下。

这是费马小定理的一个证明基于这个简单的想法。

定理5.2的证明(费马小定理)
考虑$p-1$元素$a, 2 a, 3 a, \ldots,(p-1) a$。我们说这些数在某种顺序上，等于$1,2,3, \ldots$$p-1$。因为$p$不能除$a$，所以这些数都不等于0模$p$，所以足以证明这些$p-1$数模$p$是不同的。

假设这些数字中的两个不是不同的;也就是说，对于$r \neq s$，假设$r a \equiv s a(\bmod p)$。然后，根据定理3.7，因为$a$和$p$是相对质数，我们可以除以$a$，得到$r \equiv s(\bmod p)$。但是$r$和$s$都是集合${1,2, \ldots, p-1}$中的整数，所以这意味着$r=s$，这是一个矛盾。
因此，数字
$a, 2 a, 3 a, \ldots,(p-1) a$
在某种顺序上，对这些数取$p$模相等吗
$1,2,3, \ldots, p-1$

数学代写|数论作业代写number theory代考|Linear Congruences

在本章中，我们几乎所有的注意力都将放在求解各种多项式同余上
$$
a_n x^n+a_{n-1} x^{n-1}+\cdots+a_1 x+a_0 \equiv 0 \quad(\bmod m)
$$
我们会特别寻找它们与多项式方程的相似之处。当我们谈到多项式同余的解时，我们指的是满足同余的任何整数$x$，但我们也主要对集合${0,1,2, \ldots$, $m-1$｝中的解感兴趣。因此，例如，如果两个整数$x$和$y$都满足多项式同余，但是$x$和$y$模$m$是同余的，我们不认为它们是不同的解。
即使是相对简单的二次同余，比如
$$
x^2-1 \equiv 0 \quad(\bmod p) \text { and } x^2+1 \equiv 0 \quad(\bmod p),
$$
其中$p$是质数，可能比它们的相等对应物更棘手:
$$
x^2-1=0 \text { and } x^2+1=0 .
$$
在这一节中，我们将首先研究最简单的多项式同余，即线性的多项式同余。线性同余，顾名思义，是一个形式为$a_1 x+a_0 \equiv 0$$(\bmod m)$的多项式同余，尽管为了方便，我们也经常将线性同余写成等价形式
$$
a x \equiv b \quad(\bmod m) .
$$

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写

随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

R语言代写	问卷设计与分析代写
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MATLAB代写	方差分析与试验设计代写
STATA代写	机器学习/统计学习代写
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如果你也在 怎样代写数论Number theory 个学科遇到相关的难题，请随时右上角联系我们的24/7代写客服。数论Number theory（或旧时的算术或高等算术）是纯数学的一个分支，主要致力于研究整数和整数值的函数。德国数学家卡尔-弗里德里希-高斯（1777-1855）说：”数学是科学的女王–数论是数学的女王。”数论家研究素数以及由整数组成的数学对象（例如有理数）或定义为整数的概括（例如代数整数）的属性。

数论Number theory整数既可以被视为本身，也可以被视为方程的解（刁藩几何）。数论中的问题通常最好通过研究分析对象（例如黎曼Zeta函数）来理解，这些对象以某种方式编码整数、素数或其他数论对象的属性（分析数论）。人们也可以研究实数与有理数的关系，例如，由后者逼近的实数（Diophantine逼近）。

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我们提供的数论number theory及其相关学科的代写，服务范围广, 其中包括但不限于:

• Statistical Inference 统计推断
• Statistical Computing 统计计算
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数学代写|数论作业代写number theory代考|Primes as Sums of Two Squares

With Fermat’s little theorem in hand, we are now ready to see how Fermat finished his proof of Theorem 5.1, or, as he called it, his fundamental theorem on right-angled triangles. In the same letter to Huygens, in 1659, in which Fermat mentioned using his method of infinite descent to prove negative assertions such as Theorem 1.2, his theorem that no Pythagorean triangle has square area, he writes:
For a long time I was unable to apply my method to affirmative questions… so much so that when it occurred to me to prove that every prime number which is one more than a multiple of 4 is a sum of two squares I found myself in a good deal of trouble. But finally a line of thought gone over many times showed me a light which did not fail, and affirmative questions surrendered to my method.
We do not have the details of Fermat’s proof, only the briefest description to Huygens in this letter that a version of infinite descent was used. In a standard infinite descent proof you would argue that if one prime of the form $4 n+1$ was not a sum of two squares, then smaller and smaller primes of the same form could be found, none being a sum of two squares, until eventually reaching the smallest such prime, 5 , which then also would not be a sum of two squares. But, since $5=2^2+1^2$ is clearly a sum of two squares, this contradiction would prove the theorem.

Perhaps you can see why Fermat found himself in “a good deal of trouble.” It isn’t clear how you can take a given prime of the form $4 n+1$ that is not a sum of two squares, and produce a smaller prime of the same form that is also not a sum of two squares. Nevertheless, descent can still be used here, and to see the main idea let’s look at an example. We will illustrate a general process by writing the prime 89 as a sum of two squares. The first thing we do-and this will require proof that we can always do this-is to find a number $a$ such that $a^2+1 \equiv 0(\bmod 89)$-or, equivalently, we can write this as $a^2 \equiv-1(\bmod 89)$.

In this case, $a=34$ works, since $34^2+1=1156+1=1157=13 \cdot 89$.
So we can write
$13 \cdot 89=34^2+1^2$

数学代写|数论作业代写number theory代考|Sums of Two Squares

As mentioned earlier, Fermat knew by 1640 exactly which numbers could be written as a sum of two squares. What do we know at this point?

We know that no prime of the form $4 n+3$ can be written as a sum of two squares. We also know, because of Theorem 5.1 and the fundamental identity of Fibonacci, that any number whose prime decomposition consists only of primes of the form $4 n+1$ can be written as a sum of two squares.
But what about numbers such as
$$
2541=3 \cdot 7 \cdot 11^2, \quad 3185=5 \cdot 7^2 \cdot 13, \quad 3575=5^2 \cdot 11 \cdot 13,
$$
whose prime decompositions include primes of the form $4 n+3$ ? Can we tell by looking at the prime decomposition of a number whether it can, or can’t, be written as a sum of two squares?

The following theorem tells us how to do that. We do not have Fermat’s proof of this result; the proof here is based on that given by Euler in 1742, but Fermat surely must have used a very similar argument.

数论作业代写

数学代写|数论作业代写number theory代考|Primes as Sums of Two Squares

有了费马的小定理，我们现在准备看看费马是如何完成他的定理5.1的证明的，或者，正如他所说的，他关于直角三角形的基本定理。在1659年给惠更斯的信中，费马提到用他的无限下降法来证明否定的断言，比如定理1.2，他的定理勾股定理没有平方面积，他写道:
在很长一段时间里，我无法将我的方法应用到肯定问题中……以至于当我想到要证明比4大1的质数是两个平方和时，我发现自己陷入了很大的麻烦。但最后，经过多次思考，我终于有了一个不会失败的想法，我的方法解决了一些肯定的问题。
我们没有费马证明的细节，只有在这封信中对惠更斯最简短的描述，即使用了无限下降的一个版本。在标准的无限下降证明中，你会争辩说，如果一个形式为$4 n+1$的质数不是两个平方和，那么可以找到越来越小的相同形式的质数，没有一个是两个平方和，直到最终达到最小的质数5，它也不是两个平方和。但是，因为$5=2^2+1^2$显然是两个平方和，这个矛盾可以证明定理。

也许你能明白为什么费马发现自己陷入了“一大堆麻烦”。我们还不清楚如何取一个形式为$4 n+1$的非平方和的素数，并得到一个更小的形式为相同形式的非平方和的素数。尽管如此，这里仍然可以使用descent，为了了解主要思想，让我们看一个例子。我们将通过把质数89写成两个平方和来说明一个一般的过程。我们要做的第一件事是——这需要证明我们总是能做到——找到一个数字$a$使得$a^2+1 \equiv 0(\bmod 89)$——或者，等价地，我们可以把它写成$a^2 \equiv-1(\bmod 89)$。

在这种情况下，$a=34$可以工作，因为$34^2+1=1156+1=1157=13 \cdot 89$。
所以我们可以写
$13 \cdot 89=34^2+1^2$

数学代写|数论作业代写number theory代考|Sums of Two Squares

如前所述，费马在1640年就确切地知道哪些数字可以写成两个平方和。现在我们知道什么?

我们知道，$4 n+3$这种形式的质数不能写成两个平方和。我们还知道，由于定理5.1和斐波那契的基本恒等式，任何质数分解只由$4 n+1$形式的质数组成的数都可以写成两个平方和。
但是像
$$
2541=3 \cdot 7 \cdot 11^2, \quad 3185=5 \cdot 7^2 \cdot 13, \quad 3575=5^2 \cdot 11 \cdot 13,
$$
谁的质数分解包括$4 n+3$形式的质数?我们能通过观察一个数的质数分解来判断它是否可以写成两个平方和吗?

下面的定理告诉我们怎么做。我们没有费马对这个结果的证明;这里的证明是基于欧拉在1742年给出的，但费马肯定用了一个非常相似的论证。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写

随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

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MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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如果你也在 怎样代写数论Number theory 个学科遇到相关的难题，请随时右上角联系我们的24/7代写客服。数论Number theory（或旧时的算术或高等算术）是纯数学的一个分支，主要致力于研究整数和整数值的函数。德国数学家卡尔-弗里德里希-高斯（1777-1855）说：”数学是科学的女王–数论是数学的女王。”数论家研究素数以及由整数组成的数学对象（例如有理数）或定义为整数的概括（例如代数整数）的属性。

数论Number theory整数既可以被视为本身，也可以被视为方程的解（刁藩几何）。数论中的问题通常最好通过研究分析对象（例如黎曼Zeta函数）来理解，这些对象以某种方式编码整数、素数或其他数论对象的属性（分析数论）。人们也可以研究实数与有理数的关系，例如，由后者逼近的实数（Diophantine逼近）。

statistics-lab™ 为您的留学生涯保驾护航 在代写数论number theory方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的统计Statistics代写服务。我们的专家在代写数论number theory代写方面经验极为丰富，各种代写数论number theory相关的作业也就用不着说。

我们提供的数论number theory及其相关学科的代写，服务范围广, 其中包括但不限于:

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数学代写|数论作业代写number theory代考|Problems from the Arithmetica

The Arithmetica is a collection of problems-the known Greek books contain 189 problems-and even though the solutions presented by Diophantus are always quite specific, his solutions do tend to suggest general methods. As a result, Diophantus has often been called the father of algebra, in part because of these methods, but also because of the systematic use of notation and terminology that he introduced in this work. For example, even though he did not have the notation we now use for exponents, he nonetheless had his own effective symbolic way of representing polynomials. But the spirit of the Arithmetica has far more in common with modern number theory than with today’s practice of algebra.

Let us look at a few of these problems. The idea is merely to try to get a feeling for the way in which Diophantus approached these problems, thereby gaining a glimpse of the true nature of this remarkable work.
Problem 27 from Book I: to find two numbers such that their sum and product are given numbers.
Diophantus solves a particular instance of this problem by taking 20 as the given sum, and 96 as the given product. At this point, of course, we would let $a$ and $b$ be the two numbers, write $a+b=20$ and $a b=96$, and then solve these two equations simultaneously.

Diophantus prefers to use a single unknown $x$; and he rather cleverly decides to let $2 x$ be the difference of the two unknown numbers. Then, the two unknown numbers are given by $10+x$ and $10-x$ (we know their sum is 20 , so 10 must be midway between the two numbers). Hence their product is given by $(10+x)(10-x)$, that is, by $100-x^2=96$. Therefore, $x=2$, and the two numbers are 12 and 8 .

数学代写|数论作业代写number theory代考|A Note in the Margin

We now come to the most celebrated problem of Diophantus. Fermat found much that inspired him in the Arithmetica, but it was this particular problem that was to evolve into one of the greatest of all mathematical problems, a problem that would inspire every mathematician from Fermat to the present day. As an isolated problem it sounds simple and straightforward, yet the effect it has had on the mathematical world cannot be measured.
Problem 8 from Book II: to divide a given square number into two squares.
Diophantus as usual solves a particular instance of this problem by taking 16 as the square number to divide into two squares. Thus we immediately recognize Problem 8 as a very familiar kind of problem about Pythagorean triangles; however, note that he did not take 25 as his square number to divide, since this would have provided a solution that was much too easy: $9+16=25$; instead, he is trying to solve $x^2+y^2=16$.

Diophantus lets the first square be $x^2$. The second square will be $16-x^2$, which he takes to be of the form $(m x-4)^2$. This seems a little strange to us, but remember, this is his method, not ours.

Next he chooses $m=2$, saying of this square: “let the side be $2 x-4 . “$ So $(m x-4)^2=4 x^2-16 x+16=16-x^2$. Then, $5 x^2=16 x$, and $x=\frac{16}{5}$. He concludes that one square, $x^2$, will be $\frac{256}{25}$; the second square, $16-x^2$, will be $\frac{144}{25}$, and their sum is $\frac{400}{25}$, or 16 .

Once again, while the choice Diophantus makes in his solution to let $m=2$ may seem arbitrary, other solutions could be found using the same method. For example, $m=5$ yields $\left(\frac{20}{13}\right)^2+\left(\frac{48}{13}\right)^2=16$ as a solution, whereas $m=3$ yields the same solution that Diophantus found using $m=2$

数论作业代写

数学代写|数论作业代写number theory代考|Problems from the Arithmetica

《算术》是一个问题的集合——已知的希腊书籍中有189个问题——尽管丢芬图斯提出的解决方案总是非常具体，但他的解决方案确实倾向于提出一般的方法。因此，丢番图经常被称为代数之父，部分原因是这些方法，但也因为他在这部作品中引入的符号和术语的系统使用。例如，尽管他没有我们现在用来表示指数的符号，但他仍然有自己有效的表示多项式的符号方式。但是，《算术》的精神与现代数论的共同之处远多于与今天的代数实践的共同之处。

让我们来看看其中的几个问题。我们的想法仅仅是试图对丢番图处理这些问题的方式有一种感觉，从而瞥见这部非凡作品的真正本质。
第1卷第27题，求两个数它们的和和积都是给定的数。
丢番图解决了这个问题的一个特殊实例，他把20作为给定的和，96作为给定的乘积。在这一点上，当然，我们会让$a$和$b$是两个数，写成$a+b=20$和$a b=96$，然后同时解这两个方程。

丢番图更喜欢用一个未知的$x$;他相当聪明地决定让$2 x$成为这两个未知数字的差。然后，这两个未知数字由$10+x$和$10-x$给出(我们知道它们的和是20，所以10一定是这两个数字的中间)。因此它们的乘积是$(10+x)(10-x)$，也就是$100-x^2=96$。因此，$x=2$，这两个数字分别是12和8。

数学代写|数论作业代写number theory代考|A Note in the Margin

现在我们来谈谈丢番图最著名的问题。费马在《算术》中发现了很多启发他的东西，但正是这个问题演变成了最伟大的数学问题之一，这个问题激励了从费马到现在的每一位数学家。作为一个孤立的问题，它听起来简单明了，但它对数学世界的影响却无法衡量。
第二册的第8题，将给定的平方数分成两个平方数。
像往常一样，丢番图解决了这个问题的一个特殊实例，他把16作为平方数分成两个平方数。因此，我们立即意识到第八题是一个非常熟悉的关于毕达哥拉斯三角形的问题;然而，请注意，他没有把25作为他的平方数来除法，因为这将提供一个太简单的解决方案:$9+16=25$;相反，他试图解决$x^2+y^2=16$问题。

丢番图让第一个方块是$x^2$。第二个正方形是$16-x^2$，它的形式是$(m x-4)^2$。这对我们来说似乎有点奇怪，但记住，这是他的方法，不是我们的。

然后他选择$m=2$，对这个方块说:“让边是$2 x-4 . “$所以$(m x-4)^2=4 x^2-16 x+16=16-x^2$。”然后是$5 x^2=16 x$和$x=\frac{16}{5}$。他的结论是，一个正方形$x^2$将是$\frac{256}{25}$;第二个正方形$16-x^2$是$\frac{144}{25}$，它们的和是$\frac{400}{25}$，也就是16。

再一次，虽然丢番图在他的解决方案中选择让$m=2$看起来很武断，但可以用同样的方法找到其他的解决方案。例如，$m=5$的解为$\left(\frac{20}{13}\right)^2+\left(\frac{48}{13}\right)^2=16$，而$m=3$的解与丢番图使用的解相同 $m=2$

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有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

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MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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数论Number theory整数既可以被视为本身，也可以被视为方程的解（刁藩几何）。数论中的问题通常最好通过研究分析对象（例如黎曼Zeta函数）来理解，这些对象以某种方式编码整数、素数或其他数论对象的属性（分析数论）。人们也可以研究实数与有理数的关系，例如，由后者逼近的实数（Diophantine逼近）。

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数学代写|数论作业代写number theory代考|Pythagorean Tuning

A method of tuning musical instruments that was widely used during the medieval period in Europe is known as Pythagorean tuning. This tuning method is sometimes still used today for special purposes. It gets its name of course from Pythagoras because, as mentioned earlier, he is supposed to have been the one who discovered the relationship between the length of a musical string and the pitch, or frequency, of the sound it produces. As we will see, Pythagorean tuning is very much connected to one of the ideas we have just been discussing: prime decomposition in the integers.

Before we look at how to build a twelve-note scale using Pythagorean tuning, let’s go over a few basic ideas about music and sound. Perhaps the most fundamental concept of all is that of an octave. An octave is an interval between two notes where the frequency of one note is exactly twice that of the frequency of the other note. This is why two notes played an octave apart sound so similar to us. Thus, an octave corresponds to a ratio $2: 1$ (that is, to the rational number $\frac{2}{1}$.) Notes played two octaves apart would have frequencies whose ratio is $4: 1$, three octaves apart would be $8: 1$, and so on.

The next simplest ratio is the ratio $3: 2$ and, not surprisingly, two notes that are played simultaneously whose frequencies have this ratio sound especially pleasing to us. This ratio, or interval, is the basis of the Pythagorean tuning system. It is astonishing that an entire musical system can be constructed from a single rational number $\frac{3}{2}$. Here is how it is done.

The idea is to build a twelve-note scale. That is, we wish to construct a sequence of twelve notes such that each note is slightly higher in pitch than the previous note, and if just one more note were added to the very end, also slightly higher, this thirteenth note would be an octave higher than the first note in the sequence. This, of course, is the way a piano works. If you start at middle $C$ and count twelve notes, the twelfth note is $\mathrm{B}$, and the next note puts you at $\mathrm{C}$ again, an octave higher than where you started (this same point is made about the seven white keys on a piano in a song you undoubtedly know from The Sound of Music: “Do, a deer, a female deer … That will bring us back to Do”). The question is: how do you tune all the notes in between?

This is how you tune the notes using Pythagorean tuning, that is, using the basic interval whose ratio is $\frac{3}{2}$. By the way, in music theory, this interval is called a perfect fifth. You’ll see why shortly, but it is a useful term for us. Begin with any note. For the moment we will simply call this note $n_1$ since we don’t care what its pitch is, but it is the first and also the lowest note in our scale. It automatically has a ratio with itself of $\frac{1}{1}$.

数学代写|数论作业代写number theory代考|The Euclidean Algorithm

It turns out that the proof of unique factorization for the integers depends on a fundamental process known as the Euclidean algorithm, which first appeared, as you might guess, in Euclid’s Elements. This algorithm produces in a step-by-step fashion the greatest common divisorthat is, the highest common factor-of two numbers. Let’s see how the Euclidean algorithm works by looking at a simple example.

Begin with two numbers 30 and 72 . Divide the smaller number into the larger one and get a quotient 2 and a remainder 12 , and write $72=2 \cdot 30+12$. Now, since $12<30$ (that is why 12 was a remainder, after all), we can repeat this process and now divide 12 into 30 to get another quotient and remainder, and write $30=2 \cdot 12+6$. Repeat once more, dividing 6 into 12 , and write $12=2 \cdot 6+0$. At this point the new remainder is 0 and the process stops, and we conclude that 6 is the greatest common divisor of 30 and 72 . Here are the three steps:
$$
72=2 \cdot 30+12
$$
$$
30=2 \cdot 12+6,
$$
$$
12=2 \cdot 6+0 .
$$

数论作业代写

数学代写|数论作业代写number theory代考|Pythagorean Tuning

在欧洲中世纪时期广泛使用的一种乐器调音方法被称为毕达哥拉斯调音。这种调优方法有时仍然用于特殊目的。当然，它的名字来自毕达哥拉斯，因为正如前面提到的，他被认为是发现琴弦长度与音高或声音频率之间关系的人。正如我们将看到的，勾股定理的调优与我们刚刚讨论过的一个概念密切相关:整数的素数分解。

在我们了解如何使用毕达哥拉斯调弦来构建十二音符音阶之前，让我们先了解一些关于音乐和声音的基本概念。也许最基本的概念是八度。八度是两个音符之间的间隔，其中一个音符的频率正好是另一个音符频率的两倍。这就是为什么相隔八度的两个音符听起来与我们如此相似。因此，一个八度对应于一个比率$2: 1$(即对应于有理数$\frac{2}{1}$)。间隔两个八度的音符的频率比率为$4: 1$，间隔三个八度的音符的频率比率为$8: 1$，以此类推。

下一个最简单的比率是$3: 2$，毫不奇怪，同时播放的两个音符，其频率具有这个比率，听起来特别令人愉快。这个比例，或间隔，是毕达哥拉斯调音系统的基础。令人惊讶的是，一个完整的音乐系统可以由一个有理数$\frac{3}{2}$构造出来。这是如何做到的。

这个想法是建立一个十二音符的音阶。也就是说，我们希望构建一个由12个音符组成的序列，这样每个音符的音高都比前一个音符略高，如果在最后再加一个音符，也略高，那么第13个音符将比序列中的第一个音符高一个八度。当然，这就是钢琴的工作方式。如果你从中间$C$开始数12个音符，第12个音符是$\mathrm{B}$，下一个音符又把你放在$\mathrm{C}$，比你开始的地方高一个八度(同样的观点也出现在钢琴上的7个白键上，你肯定知道《音乐之声》中的一首歌:“Do, a deer, a female deer……That将把我们带回Do”)。问题是:你如何调音中间的所有音符?

这就是如何使用勾股定理调优音符，即使用比率为$\frac{3}{2}$的基本音程。顺便说一下，在音乐理论中，这个音程被称为完美五度。你很快就会看到为什么，但它对我们来说是一个有用的术语。从任何笔记开始。我们暂且称这个音为$n_1$，因为我们不关心它的音高是多少，但它是音阶中第一个也是最低的音。它与自身的比例是$\frac{1}{1}$。

数学代写|数论作业代写number theory代考|The Euclidean Algorithm

事实证明，整数唯一因数分解的证明依赖于一个被称为欧几里得算法的基本过程，你可能猜到了，这个算法最早出现在《欧几里得几何原理》中。这个算法以一步一步的方式产生两个数的最大公因数，即最大公因数。让我们通过一个简单的例子来看看欧几里得算法是如何工作的。

从两个数字30和72开始。将小数除以大数，得到商2和余数12，写出$72=2 \cdot 30+12$。现在，由于$12<30$(这就是为什么12是一个余数，毕竟)，我们可以重复这个过程，现在将12除以30得到另一个商和余数，并写出$30=2 \cdot 12+6$。再重复一次，将6除以12，写下$12=2 \cdot 6+0$。此时新的余数是0，这个过程停止了，我们得出结论，6是30和72的最大公约数。以下是三个步骤:
$$
72=2 \cdot 30+12
$$
$$
30=2 \cdot 12+6,
$$
$$
12=2 \cdot 6+0 .
$$

统计代写请认准statistics-lab™. statistics-lab™为您的留学生涯保驾护航。

金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

tatistics-lab作为专业的留学生服务机构，多年来已为美国、英国、加拿大、澳洲等留学热门地的学生提供专业的学术服务，包括但不限于Essay代写，Assignment代写，Dissertation代写，Report代写，小组作业代写，Proposal代写，Paper代写，Presentation代写，计算机作业代写，论文修改和润色，网课代做，exam代考等等。写作范围涵盖高中，本科，研究生等海外留学全阶段，辐射金融，经济学，会计学，审计学，管理学等全球99%专业科目。写作团队既有专业英语母语作者，也有海外名校硕博留学生，每位写作老师都拥有过硬的语言能力，专业的学科背景和学术写作经验。我们承诺100%原创，100%专业，100%准时，100%满意。

随机分析代写

随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

R语言代写	问卷设计与分析代写
PYTHON代写	回归分析与线性模型代写
MATLAB代写	方差分析与试验设计代写
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SPSS代写	计量经济学代写
EVIEWS代写	时间序列分析代写
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如果你也在 怎样代写数论Number theory 个学科遇到相关的难题，请随时右上角联系我们的24/7代写客服。数论Number theory（或旧时的算术或高等算术）是纯数学的一个分支，主要致力于研究整数和整数值的函数。德国数学家卡尔-弗里德里希-高斯（1777-1855）说：”数学是科学的女王–数论是数学的女王。”数论家研究素数以及由整数组成的数学对象（例如有理数）或定义为整数的概括（例如代数整数）的属性。

数论Number theory整数既可以被视为本身，也可以被视为方程的解（刁藩几何）。数论中的问题通常最好通过研究分析对象（例如黎曼Zeta函数）来理解，这些对象以某种方式编码整数、素数或其他数论对象的属性（分析数论）。人们也可以研究实数与有理数的关系，例如，由后者逼近的实数（Diophantine逼近）。

statistics-lab™ 为您的留学生涯保驾护航 在代写数论number theory方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的统计Statistics代写服务。我们的专家在代写数论number theory代写方面经验极为丰富，各种代写数论number theory相关的作业也就用不着说。

我们提供的数论number theory及其相关学科的代写，服务范围广, 其中包括但不限于:

• Statistical Inference 统计推断
• Statistical Computing 统计计算
• Advanced Probability Theory 高等概率论
• Advanced Mathematical Statistics 高等数理统计学
• (Generalized) Linear Models 广义线性模型
• Statistical Machine Learning 统计机器学习
• Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析
• Foundations of Data Science 数据科学基础

数学代写|数论作业代写number theory代考|Triangular Numbers

The Pythagoreans did attach special properties to numbers. The number 2 represented man, 3 represented woman, and so 5 was marriage; 4 was justice, 1 was reason. Rather strangely, even numbers were considered feminine and odd numbers masculine.

More important for us, the Pythagoreans saw geometric properties in numbers. So, in addition to square numbers-after all, they were aware of the formula $n^2=1+3+5+\cdots+(2 n-1)$ mentioned in the last chapter-that corresponded to square arrays of stones placed on the ground, they also studied triangular numbers, that is, numbers that represent numbers of stones that can be placed in triangular arrays on the ground. The triangular numbers, then, are $1,3,6,10,15, \ldots$, as shown in the triangular arrays in Figure 2.1.

The $n$th triangular number $t_n$ is by definition the sum of the first $n$ natural numbers, that is,
$$
t_n=1+2+3+\cdots+n
$$
Furthermore, since we observe in Figure 2.1 that you can get from one triangular number to the next by adding a single row of stones, it is obvious that
$$
t_n=t_{n-1}+n
$$

number $t_5=15$ from Figure 2.1, and we see that we get the $5 \times 6$ rectangle shown in Figure 2.2, which of course has 30 stones. In general, the two triangles will form a single $n \times(n+1)$ rectangle with $n(n+1)$ stones. Therefore,
$$
t_n=\frac{n(n+1)}{2}
$$

数学代写|数论作业代写number theory代考|Tetrahedral and Pyramidal Numbers

The geometrical properties of numbers studied in ancient times were not limited to two dimensions. Even in modern times, as you travel around the world you see fruit and produce stacked in geometric patterns in markets or by the roadside. For centuries cannon balls have been stacked in similar geometric patterns, and today, golf balls are often set out in exactly the same way on driving ranges.

As we see in Figure 2.4, humans seem to have decided that there are two natural ways to stack things: either they start with a triangular base, or they start with a square base. Since we have been talking about triangular numbers, we will focus for the moment on the triangular base option. The oranges in Figure 2.4a form a tetrahedron (that is, a solid figure with four equal equilateral triangular faces). Note how perfectly the top orange nestles into the single space formed by the triangle of three oranges in the second layer of the tetrahedron, and how these three oranges similarly fit into the three spaces formed by the triangle of six oranges in the third layer, and so on. Figure 2.5 illustrates the idea that the number of oranges in each layer of such a tetrahedron is represented by a triangular number.

Since we could make larger and larger stacks of oranges by placing ever larger triangular layers at the bottom, we will define the $n$th tetrahedral number $T_n$ to be
$$
T_n=t_1+t_2+\cdots+t_n
$$
that is, the $n$th tetrahedral number is the sum of the first $n$ triangular numbers (the layers of the tetrahedron).

数论作业代写

数学代写|数论作业代写number theory代考|Triangular Numbers

毕达哥拉斯学派确实给数字赋予了特殊的属性。数字2代表男人，3代表女人，所以5代表婚姻;4代表正义，1代表理性。奇怪的是，偶数被认为是女性，奇数被认为是男性。

对我们来说更重要的是，毕达哥拉斯学派看到了数字的几何性质。因此，除了平方数——毕竟，他们知道上一章提到的公式$n^2=1+3+5+\cdots+(2 n-1)$——与放置在地面上的石头的正方形排列相对应，他们还研究了三角形数，即代表可以放置在地面上的三角形排列的石头数量的数字。三角形数为$1,3,6,10,15, \ldots$，如图2.1中的三角形数组所示。

根据定义，$n$第三个三角数$t_n$是前两个$n$自然数之和，即:
$$
t_n=1+2+3+\cdots+n
$$
此外，由于我们在图2.1中观察到，您可以通过添加一行石头从一个三角形数转到下一个三角形数，因此很明显
$$
t_n=t_{n-1}+n
$$

从图2.1中输入$t_5=15$，我们看到我们得到了如图2.2所示的$5 \times 6$矩形，其中当然有30块石头。一般来说，这两个三角形将形成一个单独的$n \times(n+1)$矩形与$n(n+1)$石头。因此，
$$
t_n=\frac{n(n+1)}{2}
$$

数学代写|数论作业代写number theory代考|Tetrahedral and Pyramidal Numbers

古代对数的几何性质的研究并不局限于二维空间。即使在现代，当你在世界各地旅行时，你会看到水果和农产品在市场上或路边堆放成几何形状。几个世纪以来，炮弹一直以相似的几何图案堆放在一起，今天，高尔夫球在练习场经常以完全相同的方式摆放。

正如我们在图2.4中所看到的，人类似乎已经决定有两种自然的堆叠方式:要么从三角形的底座开始，要么从方形的底座开始。由于我们一直在讨论三角形数，我们现在将重点放在三角形底数选项上。图2.4a中的橙子构成了一个四面体(即具有四个等边三角形面的实心图形)。注意上面的橙子是如何完美地嵌在四面体第二层三个橙子组成的三角形中，这三个橙子又是如何同样地嵌在第三层六个橙子组成的三角形中的，以此类推。图2.5说明了这样一个四面体的每层橘子的数量用一个三角形数来表示。

由于我们可以通过在底部放置更大的三角形层来制作越来越大的橙子堆，因此我们将定义$n$四面体数$T_n$为
$$
T_n=t_1+t_2+\cdots+t_n
$$
也就是说，$n$第四个四面体数是前一个$n$三角形数(四面体的层数)的和。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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数论Number theory整数既可以被视为本身，也可以被视为方程的解（刁藩几何）。数论中的问题通常最好通过研究分析对象（例如黎曼Zeta函数）来理解，这些对象以某种方式编码整数、素数或其他数论对象的属性（分析数论）。人们也可以研究实数与有理数的关系，例如，由后者逼近的实数（Diophantine逼近）。

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• Foundations of Data Science 数据科学基础

数学代写|数论作业代写number theory代考|Regular Numbers

The Babylonian system differed from ours in still another way: it did not use a decimal point, or, rather, we should say a sexagesimal point. For us the numbers 3456 and 3.456 are very different. The latter number, of course, means
$$
3+4 \times 10^{-1}+5 \times 10^{-2}+6 \times 10^{-3}
$$
The Babylonian system on the other hand was more flexible-and, again, context would be used to resolve any ambiguity. For example, 5 , 30 could represent 330 , that is, $5 \times 60+30$; but it could also represent $5+30 \times \frac{1}{60}$, that is, $5 \frac{1}{2}$.

As another example, we could represent the fraction $\frac{1}{3456}$ in the sexagesimal system as $1,2,30$ because
$$
\frac{1}{3456}=\frac{1}{60^2}+\frac{2}{60^3}+\frac{30}{60^4}
$$

(Check this if you want.) This is really rather remarkable. A fraction such as $\frac{1}{3456}$, which in the decimal system becomes $0.00028935185 \ldots$, and goes on forever, has in the sexagesimal system a finite representation.

There is a simple reason this happens, and it has to do with the factors of 60 . Since $60=2^2 \cdot 3 \cdot 5$, the only prime factors of 60 are 2,3 , and 5 . The Babylonians discovered that for any number that has no prime factors other than 2,3 , or 5 -such as $3456=2^7 \cdot 3^3$, for example-the reciprocal of the number has a finite representation. But if you take any other number and try to write its reciprocal as a sexagesimal fraction, this fraction will go on forever. So, numbers that have no prime factors other than 2,3 , and 5 were very important to the Babylonians. Neugebauer called these numbers regular numbers.

Now, let’s look again at Plimpton 322 and the fifteen triangles it contains. Here is a list of all fifteen of the “third” sides of these triangles, which we get by computing $\sqrt{c^2-a^2}: 120,3456,4800,13500,72,360$, $2700,960,600,6480,60,2400,240,2700,90$. Notice that the number 3456 is on that list. These are not just any old integers, but they all share with 3456 the special property that was very important in Babylonian mathematics: the only prime factors of any of these numbers are 2,3 , and 5-that is, they are all regular numbers!

数学代写|数论作业代写number theory代考|Square Numbers

I hope that during this flashback to Babylonian mathematics you haven’t forgotten about Fermat’s proposition that no Pythagorean triangle has a square area. As it happens, one of the earliest translations that was ever done of a Babylonian clay tablet was of a tablet that is nothing more than a table that lists the numbers from 49 to 60 and their squares. The property of a number being a square was something that was very important to the Babylonians.

The square numbers are the numbers $1,4,9,16,25, \ldots$ and, as you can infer from their appearance on a Babylonian clay tablet, these particular numbers have fascinated people since ancient times. When you saw this list of square numbers just presented to you, you undoubtedly thought to yourself something like: of course I recognize 9 is a “square” number because $9=3^2$, and 16 is a “square” number because $16=4^2$. But twenty-five hundred years ago a young Greek student of mathematics in the city-state of Ionia would have thought something more like: of course 9 and 16 are “square” numbers because piles of nine stones and sixteen stones can each be arranged into square arrays of stones on the ground. One of you thinks of the concept “square number” algebraically, and the other thinks of the same concept geometrically.

This will become a recurring theme as we continue our study of number theory. Just as we did with square numbers we will assign various traits to numbers and speak of there being prime numbers, regular numbers, perfect numbers, triangular numbers, Fibonacci numbers, Mersenne numbers-the list goes on and on, each term describing numbers that have a particular property that we find interesting. For each of these categories of numbers you will want to try to get a feeling for what makes that kind of number special. For square numbers we have lost in modern times that “feel” of the geometric quality that makes them special. Fermat undoubtedly had a much fuller appreciation of both the algebraic and geometric nature of square numbers than we do today. One of the great mathematicians of modern times, Paul Erdôs, was legendary for the “feel” he had for numbers. At an international conference in Boca Raton, Florida, in 1994, Erdôs expressed this great affection he had for numbers during one of his famous annual addresses to the conference in a typically humorous way by telling the audience that he suspected he was, at the age of eighty-one, “probably a square for the very last time.”

数论作业代写

数学代写|数论作业代写number theory代考|Regular Numbers

巴比伦系统与我们的系统还有另一个不同之处:它不使用小数点，或者更确切地说，我们应该说是一个六小数点。对我们来说，3456和3.456是非常不同的。当然，后一个数字意味着
$$
3+4 \times 10^{-1}+5 \times 10^{-2}+6 \times 10^{-3}
$$
另一方面，巴比伦系统更加灵活——同样，上下文将用于解决任何歧义。例如，5,30可以表示330，即$5 \times 60+30$;但它也可以表示$5+30 \times \frac{1}{60}$，也就是$5 \frac{1}{2}$。

作为另一个例子，我们可以将分数$\frac{1}{3456}$在六进制中表示为$1,2,30$，因为
$$
\frac{1}{3456}=\frac{1}{60^2}+\frac{2}{60^3}+\frac{30}{60^4}
$$

(如果你想的话，可以看看这个。)这真的很了不起。一个分数，如$\frac{1}{3456}$，在十进制中变成$0.00028935185 \ldots$，一直持续下去，在六十进制中有一个有限的表示。

原因很简单，它与60的因子有关。因为$60=2^2 \cdot 3 \cdot 5$, 60的质因数只有2、3和5。巴比伦人发现，对于除了2、3或5之外没有质数因子的任何数字(例如$3456=2^7 \cdot 3^3$)，该数字的倒数具有有限表示。但是如果你取任何其他数试着把它的倒数写成六十进制分数，这个分数会一直存在下去。所以，除了2 3 5之外没有质因数的数字对巴比伦人来说非常重要。Neugebauer称这些数为正则数。

现在，让我们再看看普林普顿322和它包含的15个三角形。下面是这些三角形的所有15条“第三”边的列表，我们通过计算$\sqrt{c^2-a^2}: 120,3456,4800,13500,72,360$, $2700,960,600,6480,60,2400,240,2700,90$得到。注意数字3456在列表中。这些不是普通的整数，它们和3456都有一个特殊的性质，这个性质在巴比伦数学中非常重要:这些数的质因数只有2、3和5——也就是说，它们都是正则数!

数学代写|数论作业代写number theory代考|Square Numbers

我希望在回顾巴比伦数学的过程中，你们没有忘记费马的命题，即毕达哥拉斯三角形的面积都不是正方形。碰巧的是，人们对巴比伦泥板最早的翻译之一是一个泥板，它只不过是一个表格，上面列出了从49到60的数字及其平方。数是平方数的性质对巴比伦人来说是非常重要的。

平方数是数字$1,4,9,16,25, \ldots$，你可以从它们在巴比伦泥板上的样子推断出来，这些特殊的数字自古以来就让人们着迷。当你看到刚刚呈现给你的这个平方数列表时，你无疑会对自己这样想:我当然知道9是一个“平方”数，因为$9=3^2$, 16是一个“平方”数，因为$16=4^2$。但2500年前，在爱奥尼亚城邦，一个年轻的希腊数学学生可能会想:9和16当然是“平方”数，因为9块石头和16块石头的堆可以在地上排列成正方形的石头阵列。一个人用代数的方法来理解平方数的概念，另一个人用几何的方法来理解这个概念。

随着我们继续学习数论，这将成为一个反复出现的主题。就像我们对平方数所做的那样，我们会给数字赋予各种各样的特征，比如素数、正则数、完全数、三角数、斐波那契数、梅森数——这个列表越来越长，每个术语描述的数字都有一种我们感兴趣的特殊性质。对于每一类数字，你都要试着去感受是什么让这类数字特别。对于平方数，我们在现代已经失去了那种使它们与众不同的几何性质的“感觉”。毫无疑问，费马对平方数的代数和几何性质的理解比我们今天要充分得多。现代伟大的数学家之一，保罗Erdôs，因他对数字的“感觉”而传奇。1994年，在佛罗里达州博卡拉顿举行的一次国际会议上，Erdôs在一次著名的年度会议演讲中，以一种典型的幽默方式表达了他对数字的热爱，他告诉听众，他怀疑自己在81岁高龄时“可能是最后一次成为一个正方形了”。

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广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

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有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写

随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

R语言代写	问卷设计与分析代写
PYTHON代写	回归分析与线性模型代写
MATLAB代写	方差分析与试验设计代写
STATA代写	机器学习/统计学习代写
SPSS代写	计量经济学代写
EVIEWS代写	时间序列分析代写
EXCEL代写	深度学习代写
SQL代写	各种数据建模与可视化代写