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数学代写|数论作业代写number theory代考|Worked out Exercises

Conversely, let $\operatorname{gcd}(a, b c)=1$ holds. We are to show $\operatorname{gcd}(a, b)=\operatorname{gcd}(a, c)=$

1. Let $\operatorname{gcd}(a, b) \neq 1$. Then $\operatorname{gcd}(a, b)=d$ implies there exists $m, n$ such that
   $$
   \begin{aligned}
   a m+b n & =d \
   \Rightarrow a c m+b c n & =c d \
   \Rightarrow a(c m)+b(c n) & =c d .
   \end{aligned}
   $$
   Therefore $\operatorname{gcd}(a, b c)=c d(\neq 1)$, a contradiction. Thus both $a, b$ and $a, c$ are coprime.
   Problem 2.6.2. Prove or disprove: If $a \mid(b+c)$, then either $a \mid b$ or $a \mid c$.
   Solution 2.6.2. Hint: Take $a=3, b=2, c=7$.
   Problem 2.6.3. If a $\mid b c$, show that $a \mid \operatorname{gcd}(a, b) \operatorname{gcd}(a, c)$.
   Solution 2.6.3. Let $\operatorname{gcd}(a, b)=d_1$ and $\operatorname{gcd}(a, c)=d_2$. Then $\exists x, y, u, v \in \mathbb{Z}$ such that
   $$
   d_1=a x+b y, \& d_2=a u+c v .
   $$
   Also, $\exists n \in \mathbb{Z}$ satisfying an $=$ bc. Now,
   $$
   \begin{aligned}
   d_1 d_2 & =(a x+b y)(a u+c v), \
   & =a^2 x u+a c x v+a b u y+b c y v, \
   & =a(a x u+c x v+b u y)+a n y v, \
   & =a(a x u+c x v+b u y+n y v) . \
   \therefore a \mid \operatorname{gcd}(a, b) \operatorname{gcd}(a, c) &
   \end{aligned}
   $$
   Problem 2.6.4. Prove that if $d \mid n$, then $\left(2^d-1\right) \mid\left(2^n-1\right)$.

数学代写|数论作业代写number theory代考|Linear Diophantine Equations

Before delving deep into the topic, let us start with the following problem:
A person wishes to buy ice cream bar for a get-together at home. After going to the ice cream parlour he came across with some flavours: one is chocolate bar costing Rs.126 and another is strawberry bar costing Rs.99. He decided to buy both combinations with a budget of Rs.2000. Now the problem is; whether there exist any such combinations of these two flavours? To answer this, let $k$ denote the number of chocolate bars and $l$ denote the number of strawberry bars, the person can purchase. Then we must have $126 k+99 l=2000$, where both $k$ and $l$ are nonnegative integers.

Now the need for Diophantine equation get along to find the solutions of a particular equation, which follow from the set of integers. Diophantine equations get their name from the ancient Greek mathematician Diophantus, who wrote extensively on such equations. The type of diophantine equation $a k+b l=c$, where $a, b$ and $c$ are integers is called a linear diophantine equations in two variables. We now develop the theory for solving such equations. The following theorem illustrates that when such an equation has solutions, and when there are solutions, explicitly describes them.

Theorem 2.7.1. Let $a, b$ be positive integers with $d=\operatorname{gcd}(a, b)$. If $d \nmid c$, the equation $a x+b y=c$ has no solutions(in integers). There are infinitely many solutions(integers) if $d \mid c$. Moveover in particular, if $x=x_0, y=y_0$ is a solution of the equation, then all solutions are given by
$x=x_0+\frac{b}{d} n, y=y_0-\frac{a}{d} n, n$ being an integer.
Before proceeding for the proof, first we demonstrate the above theorem for finding all the integral solutions of the two diophantine equations described at the beginning of this section. We first consider the equation $126 x+99 y=2000$. The greatest common divisor of 126 and 99 is $\operatorname{gcd}(99,126)=9$. Since $9 \nmid 2000$, we can say no integral solutions exist. Hence no combination of 126 and 99 rupees he can purchase.

数论作业代写

数学代写|数论作业代写number theory代考|Worked out Exercises

相反，让 $\operatorname{gcd}(a, b c)=1$ 持有。我们要展示 $\operatorname{gcd}(a, b)=\operatorname{gcd}(a, c)=$

1. 让 $\operatorname{gcd}(a, b) \neq 1$. 然后 $\operatorname{gcd}(a, b)=d$ 暗示存在 $m, n$ 这样
   $$
   a m+b n=d \Rightarrow a c m+b c n \quad=c d \Rightarrow a(c m)+b(c n)=c d .
   $$
   所以gcd $(a, b c)=c d(\neq 1)$ ，矛盾。因此两者 $a, b$ 和 $a, c$ 是互质的。
   问题 2.6.2。证明或反驳: 如果 $a \mid(b+c)$ ，那么要么 $a \mid b$ 或者 $a \mid c$.
   解决方案 2.6.2。提示: 拿 $a=3, b=2, c=7$.
   问题 2.6.3。如果一个 $\mid b c$ ，显示 $a \mid \operatorname{gcd}(a, b) \operatorname{gcd}(a, c)$.
   解决方案 2.6.3。让 $\operatorname{gcd}(a, b)=d_1$ 和 $\operatorname{gcd}(a, c)=d_2$. 然后 $\exists x, y, u, v \in \mathbb{Z}$ 这样
   $$
   d_1=a x+b y, \& d_2=a u+c v .
   $$
   还， $\exists n \in \mathbb{Z}$ 满足一个=公元前。现在，
   $$
   d_1 d_2=(a x+b y)(a u+c v), \quad=a^2 x u+a c x v+a b u y+b c y v,=a(a x u
   $$
   问题 2.6.4。证明如果 $d \mid n$ ，然后 $\left(2^d-1\right) \mid\left(2^n-1\right)$.

数学代写|数论作业代写number theory代考|Linear Diophantine Equations

在深入探讨该主题之前，让我们从以下问题开始：
一个人希望购买冰淇淋棒用于家庭聚会。去了冰淇淋店后，他发现了一些口味: 一种是巧克力 棒，价格为 126 卢比，另一种是草莓棒，价格为 99 卢比。他决定以 2000 卢比的预算购买这 两种组合。现在的问题是; 这两种口味是否存在这样的组合? 为了回答这个问题, 让 $k$ 表示巧 克力棒的数量和 $l$ 表示该人可以购买的草莓棒的数量。那么我们必须有 $126 k+99 l=2000$, 其中两者 $k$ 和 $l$ 是非负整数。
现在需要为丢番图方程找到一个特定方程的解，它遵循整数集。丢番图方程的名字来源于古希 腊数学家丢番图，他在此类方程上写了大量文章。丟番图方程的类型 $a k+b l=c$ ，在哪里 $a, b$ 和 $c$ 是整数称为二元线性丟番图方程。我们现在发展了求解此类方程的理论。下面的定理说 明了当这样的方程有解时，当有解时，明确地描述它们。
定理 2.7.1。让 $a, b$ 是正整数 $d=\operatorname{gcd}(a, b)$. 如果 $d \nmid c$ ，方程 $a x+b y=c$ 没有解决方案 (整 数）。有无限多个解决方案 (整数) 如果 $d \mid c$. 特别是移动，如果 $x=x_0, y=y_0$ 是方程的 一个解，那么所有的解都由下式给出 $x=x_0+\frac{b}{d} n, y=y_0-\frac{a}{d} n, n$ 是一个整数。
在进行证明之前，首先我们证明上述定理求出本节开头描述的两个丟番图方程的所有积分解。 我们首先考虑方程 $126 x+99 y=2000.126$ 和99的最大公约数是 $\operatorname{gcd}(99,126)=9$. 自从 $9 \nmid 2000$ ，我们可以说不存在积分解。因此，他无法购买 126 卢比和 99 卢比的组合。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写

随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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数论是纯数学的一个分支，主要致力于研究整数和整数值函数。数论是对正整数集合的研究。

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数学代写|数论作业代写number theory代考|Euclid’s Algorithm

While finding the ged of two integers (not both 0 ), we can of course list all the common divisors and pick the greatest one amongst those. However, if $a$ and $b$ are very large integers, the process is very much time consuming. However, there is a far more efficient way of obtaining the gcd. That is known as the Euclid’s algorithm. This method essentially follows from the division algorithm for integers.
To prove the Euclidean algorithm, the following lemma will be helpful.
Lemma 2.4.1. If $a=q b+r$ then the $\operatorname{gcd}(a, b)=\operatorname{gcd}(b, r)$.
Proof. Let $d=\operatorname{gcd}(a, b)$ and $d_1=\operatorname{gcd}(b, r)$. Then, $d|a, d| b$ implies $d \mid(a-q b)$ 1.e, $d \mid r$. Thus $d$ is a common divisor of $b$ and $r$, hence $d \mid d_1$. Similarly, $d_1\left|b, d_1\right| r$ implies $d_1 \mid(b q+r)$ 1.e., $d_1$ divides both $a$ and $b$. Then, $d_1 \mid d$. Thus, $d=d_1$, as both $d$ and $d_1$ are positive by our definition of gcd.

Theorem 2.4.5. Euclid’s Algorithm: Let $a$ and $b(a>b)$ be any two integers If $r_1$ is the remainder when $a$ is divided by $b, r_2$ is the remainder when $b$ is divided by $r_1, r_3$ is the remainder when $r_1$ is divided by $r_2$ and so on. Thus $r_{n+1}=0$, then the last non zero remainder $r_n$ is the $\operatorname{gcd}(a, b)$.

Proof. Euclid’s algorithm is an efficient way of computing the ged of two integers by repeated application of the above lemma. At each step the size of the integers concerned gets reduced. Suppose we want to find the gcd of two integers $a$ and $b$, neither of them being 0 . As $\operatorname{gcd}(a, b)=\operatorname{gcd}(a,-b)=\operatorname{gcd}(-a, b)=\operatorname{gcd}(-a,-b)$, we may assume $a>b>0$. By performing division algorithm repeatedly, we obtain Theorem 2.4.5. Euclid’s Algorithm: Let $a$ and $b(a>b)$ be any two integers If $r_1$ is the remainder when $a$ is divided by $b, r_2$ is the remainder when $b$ is divided by $r_1, r_3$ is the remainder when $r_1$ is divided by $r_2$ and so on. Thus $r_{n+1}=0$, then the last non zero remainder $r_n$ is the $\operatorname{gcd}(a, b)$.

数学代写|数论作业代写number theory代考|Least Common Multiple

There is a concept parallel to that of the greatest common divisor of two integers, known as their least common multiple. Prime factorizations can also be used to find the smallest integer that is a multiple of two positive integers(treated in later chapters). The problem of finding this integer arises when fractions are added.

Definition 2.5.1. The least common multiple of two positive integers a and $b$ is the smallest positive integer that is divisible by a and $b$, denoted by lcm $(a, b)$ or $[a, b]$.
The above definition can also be formulated as follows:
Definition 2.5.2. The least common multiple of two nonzero integers a and $b$ is the positive integer $l$ satisfying the following:

1. $a \mid l$ and $b \mid l$.
2. If $a \mid c$ and $b \mid c$, with $c>0$, then $l \leq c$.
   Example 2.5.1. We have the following least common multiple: $\operatorname{lcm}(16,20)=$ $80, \operatorname{lcm}(24,36)=72, \operatorname{lcm}(4,20)=20$, and $\operatorname{lcm}(5,13)=65$.

Remark 2.5.1. Given nonzero integers a and $b, \operatorname{lcm}(a, b)$ always exists and $\operatorname{lcm}(a, b)<|a b|($ Verify!).

Proposition 2.5.1. For nonzero integers $a$ and $b$, the following statements are equivalent(TFAE):

1. $\operatorname{gcd}(a, b)=|a|$.
2. $a \mid b$.
3. $\operatorname{lcm}(a, b)=|b|$.
   Proof. (1) $\Rightarrow(2)$ : Let (1) holds. Then $\exists n \in \mathbb{Z}$ such that $b=|a| n$. Now $a>0 \Rightarrow$ $b=a n \Rightarrow a \mid b$. Again, $a<0 \Rightarrow|a|=-1 \Rightarrow b=(-a) n \Rightarrow b=a(-n) \Rightarrow a|b . a| b$. Hence (2) holds.

数论作业代写

数学代写|数论作业代写number theory代考|Euclid’s Algorithm

在找到两个整数 (不是都为 0 ) 的 ged 时，我们当然可以列出所有公约数并从中选出最大的 一个。然而，如果 $a$ 和 $b$ 是非常大的整数，这个过程非常耗时。但是，有一种更有效的方法来获 得 $g c d$ 。这就是众所周知的欧几里得算法。该方法本质上遵循整数的除法算法。 为了证明欧几里得算法，下面的引理会有所帮助。
引理 2.4.1。如果 $a=q b+r$ 然后 $\operatorname{gcd}(a, b)=\operatorname{gcd}(b, r)$.
证明。让 $d=\operatorname{gcd}(a, b)$ 和 $d_1=\operatorname{gcd}(b, r)$. 然后， $d|a, d| b$ 暗示 $d \mid(a-q b) 1$ 和， $d \mid r$. 因 此 $d$ 是公约数 $b$ 和 $r$ ，因此 $d \mid d_1$. 相似地， $d_1\left|b, d_1\right| r$ 暗示 $d_1 \mid(b q+r) 1$ 和., $d_1$ 将两者分开 $a$ 和b. 然后， $d_1 \mid d$. 因此， $d=d_1$ ， 既 和 $d_1$ 根据我们对 $\operatorname{gcd}$ 的定义，它们是正的。
定理 2.4.5。 欧几里得算法: 让 $a$ 和 $b(a>b)$ 是任意两个整数如果 $r_1$ 余数是什么时候 $a$ 除以 $b, r_2$ 余数是什么时候 $b$ 除以 $r_1, r_3$ 余数是什么时候 $r_1$ 除以 $r_2$ 等等。因此 $r_{n+1}=0$, 那么最后一 个非零余数 $r_n$ 是个 $\operatorname{gcd}(a, b)$.
证明。欧几里德算法是一种通过重复应用上述引理来计算两个整数的 ged 的有效方法。在每一 步中，相关整数的大小都会减少。假设我们想要找到两个整数的 $\operatorname{gcd} a$ 和 $b$ ，它们都不为 0 。作 为 $\operatorname{gcd}(a, b)=\operatorname{gcd}(a,-b)=\operatorname{gcd}(-a, b)=\operatorname{gcd}(-a,-b)$ ，我们可以假设 $a>b>0$. 通过反复执行除法算法，我们得到定理2.4.5。欧几里得算法: 让 $a$ 和 $b(a>b)$ 是任意两个整数 如果 $r_1$ 余数是什么时候 $a$ 䣄以 $b, r_2$ 余数是什么时候 $b$ 除以 $r_1, r_3$ 余数是什么时候 $r_1$ 除以 $r_2$ 等 等。因此 $r_{n+1}=0$, 那么最后一个非零余数 $r_n$ 是个 $\operatorname{gcd}(a, b)$.

数学代写|数论作业代写number theory代考|Least Common Multiple

有一个与两个整数的最大公约数平行的概念，称为它们的最小公倍数。质因数分解也可用于寻 找两个正整数的倍数的最小整数（在后面的章节中讨论）。当添加分数时，会出现找到这个整 数的问题。
定义 2.5.1。两个正整数和的最小公倍数 $b$ 是可被 $\mathrm{a}$ 和整除的最小正整数 $b$, 记为 $\operatorname{lcm}(a, b)$ 或 者 $[a, b]$.
上述定义也可以表述如下:
定义 2.5.2。两个非零整数 $\mathrm{a}$ 和的最小公倍数 $b$ 是正整数 $l$ 满足以下条件:

1. $a \mid l$ 和 $b \mid l$.
2. 如果 $a \mid c$ 和 $b \mid c$ ，和 $c>0$ ，然后 $l \leq c$. 示例 2.5.1。我们有以下最小公倍数： $\operatorname{lcm}(16,20)=$ $80, \operatorname{lcm}(24,36)=72, \operatorname{lcm}(4,20)=20$ ， 和lcm $(5,13)=65$.
   备注 2.5.1。给定非零整数 $a$ 和 $b, \operatorname{lcm}(a, b)$ 总是存在并且 $\operatorname{cm}(a, b)<|a b|$ (核实! )。
   提案 2.5.1。对于非零整数 $a$ 和 $b$ ，以下语句是等价的 (TFAE)：
3. $\operatorname{gcd}(a, b)=|a|$.
4. $a \mid b$.
5. $\operatorname{lcm}(a, b)=|b|$.
   证明。(1) $\Rightarrow(2)$ : 让 (1) 成立。然后 $\exists n \in \mathbb{Z}$ 这样 $b=|a| n$. 现在 $a>0 \Rightarrow$ $b=a n \Rightarrow a \mid b$. 再次，
   $a<0 \Rightarrow|a|=-1 \Rightarrow b=(-a) n \Rightarrow b=a(-n) \Rightarrow a|b . a| b$. 因此 (2) 成立。

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金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

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非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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数学代写|数论作业代写number theory代考|Worked out Exercises

Problem 2.3.1. For any two integers $a$ and $b$ with $b>0$, there exists unique integers $q_1$ and $r_1$ such that $a=b q_1+c r_1$ where $0 \leq r_1<\frac{b}{2}, c=\pm 1$.
Solution 2.3.1. By division algorithm we have $a=b q+c r, 0 \leq r<b$.
Case $\mathbf{I} r<\frac{b}{2}$, take $q_1=q, c=1, r_1=r$. Therefore $a=b q_1+c r_1, 0 \leq r_1<$ $\frac{b}{2}, c=\pm 1$

Case II $r>\frac{b}{2}$, therefore $0<b-r<\frac{b}{2}$ take $q_1=q_0+1, r_1=b-r$ and $c^2=-1$, therefore, $a=b q_1+c r_1$ where $0 \leq r_1<\frac{b}{2}, c=-1$.

Case III $r=\frac{b}{2}$ then $q_1=q, c=1, r_1=r$. Therefore $a=b q_1+c r_1, r_1=\frac{b}{2}, c=1$ and if $q_1=q+1, r_1=b-r$ and $c=-1$. Therefore $a=b(q+1)^2-(b-$ $r)=b q_1+c r_1, \frac{b}{2}=r, c=-1$. In this case $q_1$ and $r_1$ is not unique, so $a=b q_1+c r_1, 0 \leq r_1<\frac{b}{2}, c=\pm 1$.

Problem 2.3.2. Show that every square integer is of the form $5 k$ or $5 k \pm 1$ for some $k \in \mathbb{Z}$.

Solution 2.3.2. Note that every integer is of the form $5 p, 5 p \pm 1,5 p \pm 2$ for some $p \in \mathbb{Z}$. Square of these numbers are of the form:
$$
\begin{aligned}
(5 p)^2 & =5 \times 5 p^2=5 k, \text { where } k=5 p^2 \text { is a positive integer } \
(5 p \pm 1)^2 & =25 p^2 \pm 10 p+1=5\left(5 p^2 \pm 2 p\right)+1=5 k+1, \text { where } k=5 p^2 \pm 2 p+1 \in \mathbb{Z} \
(5 p \pm 2)^2 & =25 p^2 \pm 20 p+4 \
& =5\left(5 p^2 \pm 4 p+1\right)-1 \
& =5 k-1, \text { where } k=5 p^2 \pm 4 p+1 \in \mathbb{Z}
\end{aligned}
$$

数学代写|数论作业代写number theory代考|Greatest Common Divisor

If $c$ and $d$ be two arbitrary integers, not simultaneously zero, then the set of common divisors of $c$ and $d$ is a finite set of integers, always containing the integers $+1$ and $-1$ (hence, their set of common divisors is non-null). Now every integer divides zero, so that if $c=d=0$, then every integer serves as a common divisor of $c$ and $d$. In this case, the set of common divisors of $c$ and $d$ turns to be infinite. In this article, we are interested on the greatest integer among the common divisors of two integers.

Definition 2.4.1. The greatest common divisor of two integers $c$ and $d$, that are not both zero, is the greatest integer which divides both $c$ and $d$.
In other words, the above definition can be formulated as
Definition 2.4.2. If $c$ and $d$ be two arbitrary integers, not simultaneously zero, the greatest common divisor of $c$ and $d$ is the common divisor $e$ satisfying the following:

1. $e \mid a$ and $e \mid b$.
2. If $f \mid a$ and $f \mid b$ then $e \geq f$.
   The greatest common divisor of $c$ and $d$ is written as $(c, d)$ or $\operatorname{gcd}(c, d)$.

Example 2.4.1. The common divisors of 20 and 80 are $\pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 5, \pm 10$ and $\pm$ 20. Hence gcd $(20,80)=20$. Similarly, looking at sets of common divisors, we find that $(12,18)=6,(50,5)=5,(19,24)=1,(0,56)=56,(-8,-16)=8$, and $(-19,361)=19$

We can also define the greatest common divisor of more than two integers.

数论作业代写

数学代写|数论作业代写number theory代考|Worked out Exercises

问题 2.3.1。对于任意两个整数 $a$ 和 $b$ 和 $b>0$, 存在唯一整数 $q_1$ 和 $r_1$ 这样 $a=b q_1+c r_1$ 在哪 里 $0 \leq r_1<\frac{b}{2}, c=\pm 1$. 解决方案 2.3.1。通过除法算法我们有 $a=b q+c r, 0 \leq r\frac{b}{2}$ ，所以 $0<b-r<\frac{b}{2}$ 拿 $q_1=q_0+1, r_1=b-r$ 和 $c^2=-1$ ，所以， $a=b q_1+c r_1$ 在哪里 $0 \leq r_1<\frac{b}{2}, c=-1$.
案例三 $r=\frac{b}{2}$ 然后 $q_1=q, c=1, r_1=r$. 所以 $a=b q_1+c r_1, r_1=\frac{b}{2}, c=1$ 而如果 $q_1=q+1, r_1=b-r$ 和 $c=-1$. 所以 $a=b(q+1)^2-(b-$
$r)=b q_1+c r_1, \frac{b}{2}=r, c=-1$. 在这种情况下 $q_1$ 和 $r_1$ 不是唯一的，所以 $a=b q_1+c r_1, 0 \leq r_1<\frac{b}{2}, c=\pm 1$.
问题 2.3.2。证明每个平方整数的形式 $5 k$ 或者 $5 k \pm 1$ 对于一些 $k \in \mathbb{Z}$.
解决方案 2.3.2。请注意，每个整数都是以下形式 $5 p, 5 p \pm 1,5 p \pm 2$ 对于一些 $p \in \mathbb{Z}$. 这些数 字的平方是以下形式:
$(5 p)^2=5 \times 5 p^2=5 k$, where $k=5 p^2$ is a positive integer $(5 p \pm 1)^2=25 p^2$

数学代写|数论作业代写number theory代考|Greatest Common Divisor

如果 $c$ 和 $d$ 是两个任意整数，但不同时为零，则公约数的集合 $c$ 和 $d$ 是一个有限的整数集，总是 包含整数 $+1$ 和 $-1$ (因此，他们的公约数集是非空的) 。现在每个整数都被零除，所以如果 $c=d=0$, 然后每个整数作为公约数 $c$ 和 $d$. 在这种情况下，公约数的集合 $c$ 和 $d$ 变为无穷大。 在本文中，我们对两个整数的公约数中的最大整数感兴趣。
定义 2.4.1。两个整数的最大公约数c和 $d$ ，两者都不为零，是除以两者的最大整数c和 $d$. 换句话说，上述定义可以表述为
定义2.4.2。如果 $c$ 和 $d$ 是两个任意整数，不同时为零，最大公约数 $c$ 和 $d$ 是公约数 $e$ 满足以下条 件:

1. $e \mid a$ 和 $e \mid b$.
2. 如果 $f \mid a$ 和 $f \mid b$ 然后 $e \geq f$. 的最大公约数 $c$ 和 $d$ 写成 $(c, d)$ 或者 $\operatorname{gcd}(c, d)$.
   示例 2.4.1。 20 和80的公约数是 $\pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 5, \pm 10$ 和 $\pm 20$. 因此 $g c d(20,80)=20$. 同 样，查看公约数集，我们发现 $(12,18)=6,(50,5)=5,(19,24)=1,(0,56)=56,(-8,-16)=8$ ，和 $(-19,361)=19$
   我们还可以定义两个以上整数的最大公约数。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

tatistics-lab作为专业的留学生服务机构，多年来已为美国、英国、加拿大、澳洲等留学热门地的学生提供专业的学术服务，包括但不限于Essay代写，Assignment代写，Dissertation代写，Report代写，小组作业代写，Proposal代写，Paper代写，Presentation代写，计算机作业代写，论文修改和润色，网课代做，exam代考等等。写作范围涵盖高中，本科，研究生等海外留学全阶段，辐射金融，经济学，会计学，审计学，管理学等全球99%专业科目。写作团队既有专业英语母语作者，也有海外名校硕博留学生，每位写作老师都拥有过硬的语言能力，专业的学科背景和学术写作经验。我们承诺100%原创，100%专业，100%准时，100%满意。

随机分析代写

随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

如果你也在 怎样代写数论number theory这个学科遇到相关的难题，请随时右上角联系我们的24/7代写客服。

数论是纯数学的一个分支，主要致力于研究整数和整数值函数。数论是对正整数集合的研究。

statistics-lab™ 为您的留学生涯保驾护航 在代写数论number theory方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的统计Statistics代写服务。我们的专家在代写数论number theory代写方面经验极为丰富，各种代写数论number theory相关的作业也就用不着说。

我们提供的数论number theory及其相关学科的代写，服务范围广, 其中包括但不限于:

• Statistical Inference 统计推断
• Statistical Computing 统计计算
• Advanced Probability Theory 高等概率论
• Advanced Mathematical Statistics 高等数理统计学
• (Generalized) Linear Models 广义线性模型
• Statistical Machine Learning 统计机器学习
• Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析
• Foundations of Data Science 数据科学基础

数学代写|数论作业代写number theory代考|SOME ELEMENTARY NUMBER THEORY

This section contains some basic number-theoretic definitions and results which you ought to know. Proofs in this section are abbreviated or omitted, and you should be able to supply proofs for yourself. If necessary, this material can be found in any work on elementary number theory. The most popular of the classic texts are regularly revised, thereby offering a proven exposition together with additions which bring the content and presentation up to date. From a very crowded field we mention Hardy and Wright [28], [29], Niven and Zuckerman [45], [46] and Baker [10].

Lemma 1.10. The division algorithm. If $a$ and $b$ are integers with $b>0$, then there exist integers $q$ and $r$ such that $a=b q+r$ and $0 \leq r<b$.

Using the division algorithm recursively gives the Euclidean algorithm for computing the greatest common divisor of two integers, not both zero.

Lemma 1.11. The Bézout property. If $a$ and $b$ are integers, not both zero, and $g$ is the greatest common divisor of $a$ and $b$, then there exist integers $x$ and $y$ such that $a x+b y=g$.

Given specific $a$ and $b$, you should know how to use the Euclidean algorithm to find $g, x$ and $y$.

Lemma 1.12. If a and $m$ have no common factor and $a \mid m n$, then $a \mid n$.
Definition 1.4. Let $m$ be a positive integer. We say that integers $a$ and $b$ are congruent modulo $m$, written $a \equiv b(\bmod m)$, if $m \mid a-b$.

To “reduce an integer $a$ modulo $m$ ” means to find an integer $b$ such that $a \equiv b(\bmod m)$ and $b$ lies in a “suitable” range, usually $0 \leq b<m$. That this can always be done is a consequence of the division algorithm. Although congruence notation is just another way of expressing a divisibility relation, and in that sense “nothing new”, it is very useful because congruence shares many of the basic properties of equality.

数学代写|数论作业代写number theory代考|IRRATIONALITY OF e^r

In the actual details of the final proof, Hermite’s method is (at least for the earlier results) not too difficult. However, the motivation behind the proof can be obscure. Therefore, instead of giving the proofs straight away, we shall start by trying to explain the aims and ideas behind a relatively simple case. We wish to generalise results of Chapter 1 by showing that if $r$ is rational then $e^r$ is irrational, with the obvious exception that $e^0=1$.

As usual we seek a proof by contradiction: take $r=a / b$ with $a \neq 0$, and suppose that $e^r=p / q$. Following the method of Theorem 1.9, we try to obtain a contradiction by constructing an integer that lies between 0 and 1 . Hermite’s idea, which originated in his study of approximations to $e^x$, was to consider the definite integral
$$
\int_0^r f(x) e^x d x,
$$
and to identify a function $f$ which will give us what we want. Integrating by parts yields
$$
\int_0^r f(x) e^x d x=\left(f(r) e^r-f(0)\right)-\int_0^r f^{\prime}(x) e^x d x,
$$
and since the integral on the right-hand side has very much the same form as that on the left, we may apply the same procedure repeatedly to obtain
$$
\int_0^r f(x) e^x d x=\left(f(r)-f^{\prime}(r)+f^{\prime \prime}(r)-\cdots\right) e^r-\left(f(0)-f^{\prime}(0)+f^{\prime \prime}(0)-\cdots\right) .
$$
Here the right-hand side purports to contain two infinite series and therefore must be treated with caution, but if we choose $f$ to be a polynomial, then the sums will actually involve a finite number of terms only, and we shall have no

convergence problems. We write
$$
F(x)=f(x)-f^{\prime}(x)+f^{\prime \prime}(x)-f^{\prime \prime \prime}(x)+\cdots,
$$
so that
$$
\int_0^r f(x) e^x d x=F(r) e^r-F(0),
$$
and the next step is to make some sort of evaluation of the right-hand side.

数论作业代写

数学代写|数论作业代写number theory代考|SOME ELEMENTARY NUMBER THEORY

本节包含一些您应该知道的基本数论定义和结果。本节中的证明被缩写或省略，您应该能够自己提供证 明。如有必要，可以在任何有关初等数论的蓍作中找到该材料。最受欢迎的经典文本会定期进行修订，从 而提供经过验证的阐述以及使内容和介绍保持最新的补充内容。在一个非常拥挤的领域，我们提到了 Hardy 和 Wright [28]、[29]、Niven 和 Zuckerman [45]、 [46] 以及 Baker [10]。
引理 1.10。划分算法。如果 $a$ 和 $b$ 是整数 $b>0$ ，那么存在整数 $q$ 和 $r$ 这样 $a=b q+r$ 和 $0 \leq r<b$.
递归地使用除法算法给出欧几里德算法来计算两个整数的最大公约数，而不是都为零。
引理 1.11。Bézout 财产。如果 $a$ 和 $b$ 是整数，不都是零，并且 $g$ 是的最大公约数 $a$ 和 $b$ ，那么存在整数 $x$ 和 $y$ 这样 $a x+b y=g$.
鉴于具体 $a$ 和 $b$ ，你应该知道如何使用欧几里德算法来寻找 $g, x$ 和 $y$.
引理 1.12。如果一个和 $m$ 没有公因数并且 $a \mid m n$ ，然后 $a \mid n$.
定义 1.4。让 $m$ 是一个正整数。我们说整数 $a$ 和 $b$ 是按照模块 $m ，$ 写 $a \equiv b(\bmod m)$ ，如果 $m \mid a-b$.
为了”减少一个整数 $a$ 模块 $m^{\prime \prime}$ 表示找一个整数 $b$ 这样 $a \equiv b(\bmod m)$ 和 $b$ 位于一个“合适”的范围内，通常 $0 \leq b<m$. 这总是可以做到的是除法算法的结果。尽管同余符号只是表达可除关系的另一种方式，从这 个意义上说“没什么新鲜事”，但它非常有用，因为同余具有等式的许多基本属性。

数学代写|数论作业代写number theory代考|IRRATIONALITY OF e^r

在最终证明的实际细节中，Hermite 的方法 (至少对于早期的结果) 并不太难。然而，证明背后的动机可 能是模糊的。因此，我们不直接给出证明，而是从尝试解释一个相对简单的案例背后的目的和想法开始。 我们㹷望通过证明如果 $r$ 那么是理性的 $e^r$ 是非理性的，明显的例外是 $e^0=1$.
像往常一样，我们通过反证法寻求证明: 取 $r=a / b$ 和 $a \neq 0$ ，并假设 $e^r=p / q$. 按照定理 $1.9$ 的方法， 我们试图通过构造一个介于 0 和 1 之间的整数来获得矛盾。Hermite 的想法，起源于他对近似值的研究 $e^x$ ，是考虑定积分
$$
\int_0^r f(x) e^x d x
$$
并确定一个功能 $f$ 这将给我们我们想要的。按部分产量积分
$$
\int_0^r f(x) e^x d x=\left(f(r) e^r-f(0)\right)-\int_0^r f^{\prime}(x) e^x d x,
$$
并且由于右侧的积分与左侧的积分形式非常相同，我们可以重复应用相同的程序来获得
$$
\int_0^r f(x) e^x d x=\left(f(r)-f^{\prime}(r)+f^{\prime \prime}(r)-\cdots\right) e^r-\left(f(0)-f^{\prime}(0)+f^{\prime \prime}(0)-\cdots\right) .
$$
这里右侧声称包含两个无限级数，因此必须谨慎对待，但如果我们选择 $f$ 是一个多项式，那么和实际上只 涉及有限数量的项，我们将没有
收敛问题。我们写
$$
F(x)=f(x)-f^{\prime}(x)+f^{\prime \prime}(x)-f^{\prime \prime \prime}(x)+\cdots,
$$
以便
$$
\int_0^r f(x) e^x d x=F(r) e^r-F(0)
$$
下一步是对右侧进行某种评估。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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数论是纯数学的一个分支，主要致力于研究整数和整数值函数。数论是对正整数集合的研究。

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• Foundations of Data Science 数据科学基础

数学代写|数论作业代写number theory代考|IRRATIONALITY OF THE EXPONENTIAL CONSTANT

Once we get beyond radical expressions and decimals, irrationality proofs, for the most part, become significantly harder. A notable exception is the irrationality of the exponential constant $e$. Apart from the intrinsic interest of the result, its proof provides our first glimpse of an idea which will recur again and again in irrationality arguments, and which we shall employ extensively in Chapters 2 and 5.

Theorem 1.9. The exponential constant e is irrational.
Proof. Assume that $e=p / q$ is rational. That is,
$$
\frac{p}{q}=1+\frac{1}{1 !}+\frac{1}{2 !}+\frac{1}{3 !}+\cdots,
$$
and for any positive integer $n$, we have
$$
\frac{p n !}{q}=n !+\frac{n !}{1 !}+\frac{n !}{2 !}+\cdots+1+R,
$$
where $R$ (which depends on $n$ ) is given by
$$
R=\frac{n !}{(n+1) !}+\frac{n !}{(n+2) !}+\cdots
$$
We can estimate $R$ in terms of a geometric series:
$$
R=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{(n+1)(n+2)}+\cdots<\frac{1}{n+1}+\frac{1}{(n+1)^2}+\cdots=\frac{1}{n} .
$$
In particular, choose $n=q$. Then
$$
R=\frac{p n !}{q}-\left(n !+\frac{n !}{1 !}+\frac{n !}{2 !}+\cdots+1\right)
$$
is clearly an integer; but using (1.1), we have $0<R<1$. This is impossible; and so $e$ is irrational.

Observe that this proof relies essentially on an infinite series for $e$, and therefore has to involve concepts of calculus. In some sense this may be surprising, as number theory is usually thought of as studying discrete systems while calculus is the science of the continuous; in another sense there should be no surprise, as it is not even possible to define the number $e$ without recourse to calculus techniques. Whether it is in fact a surprise or not, we shall find that many of our future proofs will be expressed in terms of calculus.

数学代写|数论作业代写number theory代考|OTHER RESULTS, AND SOME OPEN QUESTIONS

It is known that $\pi$ is irrational: we shall prove this in the next chapter. It is not hard to see that at least one of the numbers $\pi+e$ and $\pi e$ must be irrational (in fact, at least one must be transcendental – see Chapter 3 ); although, most likely, both are irrational, this has not been proved for either one individually. As a consequence of a difficult result due to Gelfond and Schneider (Theorem 5.18) we know that $e^\pi$ is irrational; however it is still unknown whether or not $\pi^\epsilon$ is irrational. It can also be shown that various numbers such as, for example, $e^{\sqrt{ } 2}$ and $2^{\sqrt{ } 2}$ are irrational. However, the irrationality of $\pi^{\sqrt{ } 2}$ and $2^e$, and that of the Euler-Mascheroni constant
$$
\gamma=\lim {n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n}-\log n\right)=0.57721 \cdots $$ remain undecided. Another problem which has attracted much attention is to investigate the irrationality of the numbers $\zeta(n)$. Here $n \geq 2$ is an integer and $\zeta$ is the Riemann zeta function defined by $$ \zeta(s)=\sum{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^s}=1+\frac{1}{2^s}+\frac{1}{3^s}+\frac{1}{4^s}+\cdots
$$
for $s>1$. By methods of complex integration we can show that if $n$ is even then $\zeta(n)$ is a rational number times $\pi^n$, and this is known to be irrational. On the other hand, it is much harder to find out anything of interest about $\zeta(n)$ for odd $n$. In 1978 the French mathematician R. Apéry sensationally proved that $\zeta(3)$ is irrational. His complicated argument had the appearance of being completely unmotivated, and all of the techniques he had used would have been available two centuries earlier: for these reasons, few people believed that the proof could possibly be correct. Nevertheless it was found possible eventually to confirm all of Apéry’s assertions and thereby establish what has been called “a proof that Euler missed”. A brief (but not easy!) account of Apéry’s work is given in [66].

数论作业代写

数学代写|数论作业代写number theory代考|IRRATIONALITY OF THE EXPONENTIAL CONSTANT

一旦我们超越了激进表达式和小数，非理性证明在很大程度上变得更加困难。一个值得注意的例外是指数 常数的不合理性 $e$. 除了结果的内在意义之外，它的证明让我们第一次瞥见了一个想法，这个想法将在非理 性论证中一次又一次地出现，我们将在第 2 章和第 5 章中广泛使用它。
定理 1.9。指数常数 $\mathrm{e}$ 是无理数。
证明。假使，假设 $e=p / q$ 是理性的。那是，
$$
\frac{p}{q}=1+\frac{1}{1 !}+\frac{1}{2 !}+\frac{1}{3 !}+\cdots,
$$
并且对于任何正整数 $n$ ，我们有
$$
\frac{p n !}{q}=n !+\frac{n !}{1 !}+\frac{n !}{2 !}+\cdots+1+R,
$$
在哪里 $R$ (这取决于 $n$ ) 是 (谁) 给的
$$
R=\frac{n !}{(n+1) !}+\frac{n !}{(n+2) !}+\cdots
$$
我们可以估计 $R$ 就几何级数而言:
$$
R=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{(n+1)(n+2)}+\cdots<\frac{1}{n+1}+\frac{1}{(n+1)^2}+\cdots=\frac{1}{n} .
$$
特别地，选择 $n=q$. 然后
$$
R=\frac{p n !}{q}-\left(n !+\frac{n !}{1 !}+\frac{n !}{2 !}+\cdots+1\right)
$$
显然是一个整数；但是使用 (1.1)，我们有 $0<R<1$. 这是不可能的; 所以 $e$ 是不合理的。
观察到这个证明本质上依赖于一个无穷级数 $e$ ，因此必须涉及微积分的概念。从某种意义上说，这可能令 人惊讶，因为数论通常被认为是研究离散系统，而微积分是连续的科学；从另一种意义上说，这并不奇 怪，因为甚至不可能定义数字 $e$ 无需求助于微积分技术。不管是否令人惊讶，我们都会发现我们末来的许 多证明都将用微积分来表达。

数学代写|数论作业代写number theory代考|OTHER RESULTS, AND SOME OPEN QUESTIONS

众所周知 $\pi$ 是无理数：我们将在下一章证明这一点。不难看出，至少有一个数字 $\pi+e$ 和 $\pi e$ 必须是非理性 的 (事实上，至少有一个必须是先验的一一见第 3 章) ；尽管很可能两者都是非理性的，但尚末针对其中 任何一个单独证明这一点。由于 Gelfond 和 Schneider 的困难结果（定理 5.18)，我们知道 $e^\pi$ 是不合理 合理的 $\pi \sqrt{ }^2$ 和 $2^e$ ， 以及 Euler-Mascheroni 常数
$$
\gamma=\lim n \rightarrow \infty\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n}-\log n\right)=0.57721 \cdots
$$
犹豫不决。另一个备受关注的问题是调查数字的不合理性。 $\zeta(n)$. 这里 $n \geq 2$ 是一个整数并且 $\zeta$ 是黎曼 zeta 函数，定义为
$$
\zeta(s)=\sum k=1^{\infty} \frac{1}{k^s}=1+\frac{1}{2^s}+\frac{1}{3^s}+\frac{1}{4^s}+\cdots
$$
为了 $s>1$. 通过复积分的方法，我们可以证明如果 $n$ 即便如此 $\zeta(n)$ 是有理数次 $\pi^n$ ，这被认为是不合理 的。另一方面，要找到任何感兴趣的东西要困难得多 $\zeta(n)$ 对于奇数 $n .1978$ 年，法国数学家 R. Apéry 轰 动性地证明了 $\zeta(3)$ 是不合理的。他复杂的论证看起来完全没有动机，而且他使用的所有技术在两个世纪前 就已经可用：由于这些原因，很少有人相信证明可能是正确的。尽管如此，人们发现最终有可能证实 Apéry 的所有断言，从而建立所谓的“欧拉遗漏的证明”。[66] 中简要介绍了 Apéry 的工作（但并不简 单!)。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写

随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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数论是纯数学的一个分支，主要致力于研究整数和整数值函数。数论是对正整数集合的研究。

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数学代写|数论作业代写number theory代考|IRRATIONAL SURDS

The following result is well known, and was, essentially, proved by Pythagoras or one of his followers.
Theorem 1.1. $\sqrt{2}$ is irrational.
Proof by contradiction. Suppose that $\sqrt{2}=p / q$, where $p$ and $q$ are integers with no common factor, and with $q \neq 0$. Squaring both sides and multiplying by $q^2$, we have $p^2=2 q^2$. Thus $p^2$ is even and so $p$ is even, say $p=2 r$. Substituting for $p$ gives $q^2=2 r^2$ and so $q$ is even. Thus $p$ and $q$ have a common factor of 2 , and this contradicts our initial assumption. Therefore, $\sqrt{2}$ is irrational.

Plato records that his teacher Theodorus proved the irrationality of $\sqrt{n}$ for $n$ up to 17 . Historians of mathematics have wondered why he stopped just here; the question is made harder by the fact that we don’t know exactly how Theodorus’ proof ran. The following proof of the irrationality of $\sqrt{n}$ for certain values of $n$ suggests a possible reason for stopping just before $n=17$.
First, if $n=4 k$, then the irrationality of $\sqrt{n}$ is equivalent to that of $\sqrt{k}$; and if $n=4 k+2$, then the method used above for $n=2$ can be employed with only minor changes. So we concentrate on odd values of $n$. If $n$ is odd and $\sqrt{n}=p / q$, then $n q^2=p^2$ and $p$ and $q$ must both be odd; substituting $p=2 r+1$ and $q=2 s+1$ and rearranging yields
$$
4 n\left(s^2+s\right)-4\left(r^2+r\right)+n-1=0 .
$$
Consider the case $n=4 k+3$. Cancelling 2 from the above equation gives
$$
2 n\left(s^2+s\right)-2\left(r^2+r\right)+2 k+1=0,
$$
which is clearly impossible as the left-hand side is odd. This method does not work directly for $n=4 k+1$, so we consider as a subsidiary case $n=8 k+5$. Substituting as above and cancelling 4 we obtain
$$
n\left(s^2+s\right)-\left(r^2+r\right)+2 k+1-0 ;
$$
but as $r^2+r$ and $s^2+s$ are both even, this is again impossible.
The remaining possibility is that $n=8 k+1$; but it appears that this case has to be split up into still further subcases, and the proof becomes much more complicated (try it!), so we shall stop here. Therefore, we have proved the following.

数学代写|数论作业代写number theory代考|IRRATIONAL DECIMALS

The following well-known result characterises rational numbers in terms of their decimals. Note that the eventually periodic decimal expansions include the finite expansions, for instance, $0.123=0.123000 \cdots=0.122999 \cdots$.

Theorem 1.7. Rationality of decimals. A real number $\alpha$ is rational if and only if it has an eventually periodic decimal expansion.

Proof. Firstly, suppose that $\alpha$ has an eventually periodic expansion. Without loss of generality we may assume that $0<\alpha<1$, say
$$
\alpha=0 . a_1 a_2 \cdots a_s b_1 b_2 \cdots b_t b_1 b_2 \cdots b_t b_1 b_2 \cdots .
$$
Let $a$ and $b$ be the non-negative integers with digits $a_1 a_2 \cdots a_s$ and $b_1 b_2 \cdots b_t$ respectively; then
$$
\alpha=\frac{a}{10^s}+\frac{b}{10^{s+t}}+\frac{b}{10^{s+2 t}}+\cdots=\frac{a}{10^s}+\frac{b}{10^{s+t}} \frac{1}{1-10^{-t}},
$$
which is rational. Conversely, suppose that $\alpha=p / q$ is rational, and initially assume that neither 2 nor 5 is a factor of $q$. Choose $t=\phi(q)$, where $\phi$ is Euler’s function: see definition $1.6$ in the appendix to this chapter. By Euler’s Theorem we have
$$
10^t \equiv 1(\bmod q)
$$
and so $q$ is a factor of $10^t-1$, say $10^t-1=q r$. Hence we can write
$$
\alpha=\frac{p r}{10^t-1}=a+\frac{b}{10^t-1}
$$
here we have used the division algorithm to guarantee that $0 \leq b<10^t-1$. We can thus write $b$ as a number of $t$ digits, say $b=b_1 b_2 \cdots b_t$; it is possible that $b_1$ is zero. Similarly, write $a=a_1 a_2 \cdots a_s$. Then
$$
\alpha=a+\frac{b}{10^t}+\frac{b}{10^{2 t}}+\cdots=a_1 a_2 \cdots a_s . b_1 b_2 \cdots b_t b_1 b_2 \cdots b_t b_1 b_2 \cdots,
$$ and we see that $\alpha$ has an eventually periodic decimal expansion. To complete the proof we must also consider the case when $q$ has 2 or 5 as a factor. Let $q=2^m 5^n q^{\prime}$, where neither 2 nor 5 is a factor of $q^{\prime}$; then
$$
10^{m+n} \alpha=\frac{2^n 5^m p}{q^{\prime}}=\frac{p^{\prime}}{q^{\prime}},
$$
say; by the previous argument, the decimal expansion of $10^{m+n} \alpha$ is eventually periodic. The expansion of $\alpha$ contains exactly the same digits (with the decimal point shifted $m+n$ places), so it too is eventually periodic.

数论作业代写

数学代写|数论作业代写number theory代考|IRRATIONAL SURDS

下面的结果是众所周知的，并且基本上被毕达哥拉斯或他的追随者之一证明了。
定理 1.1。 $\sqrt{2}$ 是不合理的。
反证法。假设 $\sqrt{2}=p / q$ ，在哪里 $p$ 和 $q$ 是没有公因数的整数，并且有 $q \neq 0$. 两边平方并乘以 $q^2$ ，我们 有 $p^2=2 q^2$. 因此 $p^2$ 是偶数 $p$ 是偶数，说 $p=2 r$. 代替 $p$ 给 $q^2=2 r^2$ 所以 $q$ 甚至。因此 $p$ 和 $q$ 有公因数 2 ， 这与我们最初的假设相矛盾。所以， $\sqrt{2}$ 是不合理的。
柏拉图记载他的老师西奧多罗斯证明了非理性 $\sqrt{n}$ 为了 $n$ 最多 17 个。数学史学家想知道他为什么就在这里 停下来；由于我们不确切知道 Theodorus 的证明是如何运行的，这个问题变得更加困难。不合理性的证 明如下 $\sqrt{n}$ 对于某些值 $n$ 提示之前停止的可能原因 $n=17$.
首先，如果 $n=4 k$ ，那么不合理的 $\sqrt{n}$ 相当于 $\sqrt{k}$; 而如果 $n=4 k+2$ ，那么上面使用的方法 $n=2$ 只需 稍作改动即可使用。所以我们专注于奇数值 $n$. 如果 $n$ 很奇怪并且 $\sqrt{n}=p / q$ ，然后 $n q^2=p^2$ 和 $p$ 和 $q$ 必 须都是奇数；替代 $p=2 r+1$ 和 $q=2 s+1$ 和重新排列收益率
$$
4 n\left(s^2+s\right)-4\left(r^2+r\right)+n-1=0 .
$$
考虑案例 $n=4 k+3$. 从上面的等式中消去 2 得到
$$
2 n\left(s^2+s\right)-2\left(r^2+r\right)+2 k+1=0,
$$
这显然是不可能的，因为左侧是奇数。此方法不能直接用于 $n=4 k+1$ ，所以我们认为是一个附属案例 $n=8 k+5$. 代入如上并消去 4 我们得到
$$
n\left(s^2+s\right)-\left(r^2+r\right)+2 k+1-0 ;
$$
但作为 $r^2+r$ 和 $s^2+s$ 都是偶数，这又是不可能的。
剩下的可能性是 $n=8 k+1$; 但是看起来这个案例必须被分成更多的子案例，并且证明变得更加复杂 (试试看!), 所以我们将在这里停止。因此，我们证明了以下内容。

数学代写|数论作业代写number theory代考|IRRATIONAL DECIMALS

以下众所周知的结果用小数来表征有理数。请注意，最终的周期性小数展开包括有限展开，例如， $0.123=0.123000 \cdots=0.122999 \cdots$.
定理 1.7。小数的合理性。实数 $\alpha$ 是合理的当且仅当它有一个最终周期性的小数展开。
证明。首先，假设 $\alpha$ 有一个最终的周期性扩张。不失一般性，我们可以假设 $0<\alpha<1$ ， 说
$$
\alpha=0 . a_1 a_2 \cdots a_s b_1 b_2 \cdots b_t b_1 b_2 \cdots b_t b_1 b_2 \cdots .
$$
让 $a$ 和 $b$ 是带数字的非负整数 $a_1 a_2 \cdots a_s$ 和 $b_1 b_2 \cdots b_t$ 分别; 然后
$$
\alpha=\frac{a}{10^s}+\frac{b}{10^{s+t}}+\frac{b}{10^{s+2 t}}+\cdots=\frac{a}{10^s}+\frac{b}{10^{s+t}} \frac{1}{1-10^{-t}},
$$
这是理性的。相反，假设 $\alpha=p / q$ 是有理数，最初假设 2 和 5 都不是 $q$. 选择 $t=\phi(q)$ ，在哪里 $\phi$ 是欧拉 函数：见定义 $1.6$ 在本章的附录中。根据欧拉定理我们有
$$
10^t \equiv 1(\bmod q)
$$
所以 $q$ 是一个因素 $10^t-1$ ，说 $10^t-1=q r$. 因此我们可以写
$$
\alpha=\frac{p r}{10^t-1}=a+\frac{b}{10^t-1}
$$
这里我们使用除法算法来保证 $0 \leq b<10^t-1$. 我们可以这样写 $b$ 作为一些 $t$ 数字，说 $b=b_1 b_2 \cdots b_t$ ； 它可能是 $b_1$ 为零。同样，写 $a=a_1 a_2 \cdots a_s$.然后
$$
\alpha=a+\frac{b}{10^t}+\frac{b}{10^{2 t}}+\cdots=a_1 a_2 \cdots a_s . b_1 b_2 \cdots b_t b_1 b_2 \cdots b_t b_1 b_2 \cdots
$$
我们看到了 $\alpha$ 有一个最终周期性的十进制扩展。为了完成证明，我们还必须考虑以下情况 $q$ 有 2 或 5 作为 一个因素。让 $q=2^m 5^n q^{\prime}$ ，其中 2 和 5 都不是 $q^{\prime}$ ；然后
$$
10^{m+n} \alpha=\frac{2^n 5^m p}{q^{\prime}}=\frac{p^{\prime}}{q^{\prime}}
$$
说; 根据前面的论点，十进制展开 $10^{m+n} \alpha$ 最终是周期性的。的扩展 $\alpha$ 包含完全相同的数字 (小数点移动 $m+n$ 地方），所以它最终也是周期性的。

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金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

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非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

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有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

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随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

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