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• Advanced Mathematical Statistics 高等数理统计学
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数学代写|抽象代数作业代写abstract algebra代考|First Principle of Mathematical Induction

So, to use induction to prove that a statement involving positive integers is true for every positive integer, we must first verify that the statement is true for the integer 1 . We then assume the statement is true for the integer $n$ and use this assumption to prove that the statement is true for the integer $n+1$.

Our next example uses some facts about plane geometry. Recall that given a straightedge and compass, we can construct a right angle.

IEXAMPLE 12 We use induction to prove that given a straightedge, a compass, and a unit length, we can construct a line segment of length $\sqrt{n}$ for every positive integer $n$. The case when $n=1$ is given. Now we assume that we can construct a line segment of length $\sqrt{n}$. Then use the straightedge and compass to construct a right triangle with height 1 and base $\sqrt{n}$. The hypotenuse of the triangle has length $\sqrt{n+1}$. So, by induction, we can construct a line segment of length $\sqrt{n}$ for every positive integer $n$.

数学代写|抽象代数作业代写abstract algebra代考|Second Principle of Mathematical Induction

To use this form of induction, we first show that the statement is true for the integer a. We then assume that the statement is true for all integers that are greater than or equal to $a$ and less than $n$, and use this assumption to prove that the statement is true for $n$.

EXAMPLE 14 We will use the Second Principle of Mathematical Induction with $a=2$ to prove the existence portion of the Fundamental Theorem of Arithmetic. Let $S$ be the set of integers greater than 1 that are primes or products of primes. Clearly, $2 \in S$. Now we assume that for some integer $n, S$ contains all integers $k$ with $2 \leq k<n$. We must show that $n \in S$. If $n$ is a prime, then $n \in S$ by definition. If $n$ is not a prime, then $n$ can be written in the form $a b$, where $1<a<n$ and $1<b<n$.

Since we are assuming that both $a$ and $b$ belong to $S$, we know that each of them is a prime or a product of primes. Thus, $n$ is also a product of primes. This completes the proof.

Notice that it is more natural to prove the Fundamental Theorem of Arithmetic with the Second Principle of Mathematical Induction than with the First Principle. Knowing that a particular integer factors as a product of primes does not tell you anything about factoring the next larger integer. (Does knowing that 5280 is a product of primes help you to factor 5281 as a product of primes?)

The following problem appeared in the “Brain Boggler” section of the January 1988 issue of the science magazine Discovery. ${ }^{2}$ Problems like this one are often called chicken McNugget problems, postage stamp problems, or Frobenius coin problems. Originally, McDonald’s sold its chicken nuggets in packs of 9 and 20 . The largest number of nuggets that could not have been bought with these packs is 151 .

抽象代数代写

数学代写|抽象代数作业代写abstract algebra代考| First Principle of Mathematical Induction

因此，要使用归纳来证明涉及正整数的语句对于每个正整数都为真，我们必须首先验证该语句对于整数 1 是否 为真。然后，我们假设该语句对于整数为真 $n$ 并使用此假设来证明该语句对于整数为真 $n+1$.
我们的下一个示例使用了有关平面几何体的一些事实。回想一下，给定一个直尺和指南针，我们可以构造一个直 角。

IEXAMPLE 12 我们使用归纳来证明，给定一个直尺、一个指南针和一个单位长度，我们可以构造一条长度的线 段。 $\sqrt{n}$ 对于每个正整数 $n$. 当 $n=1$ 给出。现在我们假设我们可以构造一条长度的线段 $\sqrt{n}$. 然后使用直尺和指南 针构建高度为 1 和底座的直角三角形 $\sqrt{n}$.三角形的斜边具有长度 $\sqrt{n+1}$. 因此，通过归纳，我们可以构造长度的 线段 $\sqrt{n}$ 对于每个正整数 $n$.

数学代写|抽象代数作业代写abstract algebra代考| Second Principle of Mathematical Induction

为了使用这种形式的归纳，我们首先证明该语句对于整数a为真。然后，我们假设该语句对于大于或等于的所有 整数都为真 $a$ 且小于 $n$ ，并使用此假设来证明该陈述对于 $n$.
例 14 我们将数学归纳的第二原理用于 $a=2$ 证明算术基本定理的存在部分。让 $S$ 是大于 1 的整数集合，这些整 数是素数或素数的乘积。清楚 $2 \in S$.现在我们假设对于某个整数 $n, S$ 包含所有整数 $k$ 跟 $2 \leq k<n$.我们必须表 明 $n \in S$. 如果 $n$ 是素数，则 $n \in S$ 根据定义。如果 $n$ 不是素数，那么 $n$ 可以写在表格中 $a b$ 哪里 $1<a<n$ 和 $1<b<n$.
由于我们假设两者兼而有之 $a$ 和 $b$ 属 $S$ ，我们知道它们中的每一个都是素数或素数的乘积。因此 $n$ 也是素数的产 物。这样就完成了证明。
请注意，用数学归纳的第二原理来证明算术基本定理比用第一原理更自然。知道一个特定的整数因子作为素数的 乘积并不能告诉你任何关于分解下一个更大的整数的信息。 (知道5280是素数的乘积是否有助于将5281分解为 素数的乘积?
以下问题出现在1988年1月的科学杂志《发现》 的“Brain Boggler”部分。 ${ }^{2}$ 像这样的问题通常被称为鸡麦克努格 特问题，邮票问题或弗罗贝尼乌斯硬币问题。最初，麦当劳以9包和20包的形式出售鸡块。用这些包装无法购买 的最大数量的金块是 151 。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写

随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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数学代写|抽象代数作业代写abstract algebra代考|Modular Arithmetic

Another application of the division algorithm that will be important to us is modular arithmetic. Modular arithmetic is an abstraction of a method of counting that you often use. For example, if it is now September, what month will it be 25 months from now? Of course, the answer is October, but the interesting fact is that you didn’t arrive at the answer by starting with September and counting off 25 months. Instead, without even thinking about it, you simply observed that $25=2 \cdot 12+1$, and you added 1 month to September. Similarly, if it is now Wednesday, you know that in 23 days it will be Friday. This time, you arrived at your answer by noting that $23=7 \cdot 3+2$, so you added 2 days to Wednesday instead of counting off 23 days. If your electricity is off for 26 hours, you must advance your clock 2 hours, since $26=2 \cdot 12+2$. Surprisingly, this simple idea has numerous important applications in mathematics and computer science. You will see a few of them in this section. We shall see many more in later chapters.

The following notation is convenient. When $a=q n+r$, where $q$ is the quotient and $r$ is the remainder upon dividing $a$ by $n$, we write $a \bmod n=r$. Thus,
$$
\begin{aligned}
3 \bmod 2 &=1 \text { since } 3=1 \cdot 2+1, \
6 \bmod 2 &=0 \text { since } 6=3 \cdot 2+0, \
11 \bmod 3 &=2 \text { since } 11=3 \cdot 3+2, \
62 \bmod 85 &=62 \text { since } 62=0 \cdot 85+62, \
-2 \bmod 15 &=13 \text { since }-2=(-1) 15+13 .
\end{aligned}
$$
In general, if $a$ and $b$ are integers and $n$ is a positive integer, then $a \bmod n=b \bmod n$ if and only if $n$ divides $a-b$ (Exercise $9) .$

In our applications, we will use addition and multiplication $\bmod n$. When you wish to compute $a b \bmod n$ or $(a+b) \bmod n$, and $a$ or $b$ is greater than $n$, it is easier to “mod first.” For example, to compute $(27 \cdot 36) \bmod 11$, we note that $27 \bmod 11=5$ and $36 \bmod 11=3$, so $(27 \cdot 36) \bmod 11=(5 \cdot 3) \bmod 11=4$. (See Exercise 11.)

Modular arithmetic is often used in assigning an extra digit to identification numbers for the purpose of detecting forgery or errors. We present two such applications.

数学代写|抽象代数作业代写abstract algebra代考|Complex Numbers

Recall that complex numbers $\mathrm{C}$ are expressions of the form $a+b \sqrt{-1}$, where $a$ and $b$ are real numbers. The number $\sqrt{-1}$ is defined to have the property $\sqrt{-1^{2}}=-1$. It is customary to use $i$ to denote $\sqrt{-1}$. Then, $i^{2}=-1$. Complex numbers written in the form $a+b i$ are said to be in standard form. In some instances it is convenient to write a complex number $a+b i$ in another form. To do this we represent $a+b i$ as the point $(a, b)$ in a plane coordinatized by a horizontal axis called the real axis and a vertical $i$ axis called the imaginary axis. The distance from the point $a+b i$ to the origin is $r=\sqrt{a^{2}+b^{2}}$ and is often denoted by $|a+b i|$ and called the norm of $a+b i$. If we draw the line segment from the origin to $a+b i$ and denote the angle formed by the line segment and the positive real axis by $\theta$, we can write $a+b i$ as $r(\cos \theta+i \sin \theta)$.

This form of $a+b i$ is called the polar form. An advantage of the polar form is demonstrated in parts 5 and 6 of Theorem 0.4.IEXAMPLE $11(-1+i)^{4}=\left(\sqrt{2}\left(\cos \frac{3 \pi}{4}+i \sin \frac{3 \pi}{4}\right)\right)^{4}=$ $\sqrt{2^{4}}\left(\cos \frac{4 \cdot 3 \pi}{4}+i \sin \frac{4 \cdot 3 \pi}{4}\right)=4(\cos 3 \pi+i \sin 3 \pi)=-4 .$ The three cube roots of $i=\cos \frac{\pi}{2}+i \sin \frac{\pi}{2}$ are $\cos \frac{\pi}{6}+i \sin \frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2} i$ $\cos \left(\frac{\pi}{6}+\frac{2 \pi}{3}\right)+i \sin \left(\frac{\pi}{6}+\frac{2 \pi}{3}\right)=-\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2} i$ $\cos \left(\frac{\pi}{6}+\frac{4 \pi}{3}\right)+i \sin \left(\frac{\pi}{6}+\frac{4 \pi}{3}\right)=-i$.

抽象代数代写

数学代写|抽象代数作业代写abstract algebra代考| Modular Arithmetic

除法算法的另一个对我们很重要的应用是模块化算术。模块化算术是您经常使用的计数方法的抽象。例如，如果 现在是9月，那么从现在起的 25 个月后会是哪个月? 当然，答案是 10 月，但有趣的事实是，你没有从9月开始计 算25个月来得出答案。相反，你甚至没有想到它，你只是观察到 $25=2 \cdot 12+1$ ，并且您在 9 月增加了 1 个 月。同样，如果现在是星期三，你知道 23 天后将是星期五。这一次，你通过注意到 $23=7 \cdot 3+2$ ，因此您在 星期三添加了 2 天，而不是计算 23 天。如果您的停电 26 小时，您必须提前 2 小时，因为 $26=2 \cdot 12+2$. 令人 惊讶的是，这个简单的想法在数学和计算机科学中有许多重要的应用。您将在本节中看到其中的一些。我们将在 后面的章节中看到更多。
以下表示法很方便。什么时候 $a=q n+r$ 哪里 $q$ 是商和 $r$ 是除法时的余数 $a$ 由 $n$ ，我们写 $a \bmod n=r$. 因此 $3 \bmod 2=1$ since $3=1 \cdot 2+1,6 \bmod 2=0$ since $6=3 \cdot 2+0,11 \bmod 3=2$ since $11=3$
一般来说，如果 $a$ 和 $b$ 是整数和 $n$ 是一个正整数，则 $a \bmod n=b \bmod n$ 当且仅当 $n$ 分 $a-b($ 练习 9$)$.
在我们的应用程序中，我们将使用加法和乘法 $\bmod n$. 当您希望计算时 $a b \bmod n$ 或 $(a+b) \bmod n$ 和 $a$ 或 $b$ 大 于 $n$ ， “先改装”更容易。例如，计算 $(27 \cdot 36) \bmod 11$ ，我们注意到 $27 \bmod 11=5$ 和 $36 \bmod 11=3$ 所以 $(27 \cdot 36) \bmod 11=(5 \cdot 3) \bmod 11=4$. (请参阅练习 11 。
模块化算术通常用于为标识号分配额外的数字，以检测伪造或错误。我们提出了两个这样的应用程序。

数学代写|抽象代数作业代写abstract algebra代考| Complex Numbers

回想一下，复数 $\mathrm{C}$ 是表单的表达式 $a+b \sqrt{-1}$ 哪里 $a$ 和 $b$ 是实数。数字 $\sqrt{-1}$ 被定义为具有属性 $\sqrt{-1^{2}}=-1$.习 惯上使用 $i$ 表示 $\sqrt{-1}$. 然后 $i^{2}=-1$. 以形式书写的复数 $a+b i$ 据说是标准形式。在某些情况下，写一个复数很方 便 $a+b i$ 以另一种形式。为此，我们代表 $a+b i$ 作为点 $(a, b)$ 在由称为实轴的水平轴和垂直轴协调的平面中轴 称为虚轴。与点的距离 $a+b i$ 原点为 $r=\sqrt{a^{2}+b^{2}}$ 并且通常表示为 $|a+b i|$ 并称为规范 $a+b i$. 如果我们从原 点绘制线段到 $a+b i$ 并表示由线段和正实轴形成的角度 $\theta$ ，我们可以写 $a+b i$ 如 $r(\cos \theta+i \sin \theta)$.
这种形式的 $a+b i$ 被称为极性形式。极性形式的一个优点在定理 $0.4$ 的第 5 部分和第 6 部分中得到了证明。 $11(-1+i)^{4}=\left(\sqrt{2}\left(\cos \frac{3 \pi}{4}+i \sin \frac{3 \pi}{4}\right)\right)^{4}=$
$\sqrt{2^{4}}\left(\cos \frac{4 \cdot 3 \pi}{4}+i \sin \frac{4 \cdot 3 \pi}{4}\right)=4(\cos 3 \pi+i \sin 3 \pi)=-4$. 的三个立方根 $i=\cos \frac{\pi}{2}+i \sin \frac{\pi}{2}$ 是 $\cos \frac{\pi}{6}+i \sin \frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2} i \cos \left(\frac{\pi}{6}+\frac{2 \pi}{3}\right)+i \sin \left(\frac{\pi}{6}+\frac{2 \pi}{3}\right)=-\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2} i$ $\cos \left(\frac{\pi}{6}+\frac{4 \pi}{3}\right)+i \sin \left(\frac{\pi}{6}+\frac{4 \pi}{3}\right)=-i$

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有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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数学代写|抽象代数作业代写abstract algebra代考|Division Algorithm

PROOF We begin with the existence portion of the theorem. Consider the set $S={a-b k \mid k$ is an integer and $a-b k \geq 0}$. If $0 \in S$, then $b$ divides $a$ and we may obtain the desired result with $q=a / b$ and $r=0$. Now assume $0 \notin S$. Since $S$ is nonempty [if $a>0, a-b \cdot 0 \in S$; if $a<0, a-b(2 a)=a(1-2 b) \in S ; a \neq 0$ since $0 \notin S]$, we may apply the Well Ordering Principle to conclude that $S$ has a smallest member, say $r=a-b q$. Then $a=b q+r$ and $r \geq 0$, so all that remains to be proved is that $r<b$.

If $r \geq b$, then $a-b(q+1)=a-b q-b=r-b \geq 0$, so that $a-b(q+1) \in S$. But $a-b(q+1)<a-b q$, and $a-b q$ is the smallest member of $S$. So, $r<b$.

To establish the uniqueness of $q$ and $r$, let us suppose that there are integers $q, q^{\prime}, r$, and $r^{\prime}$ such that
$$
a=b q+r, 0 \leq r<b, \text { and } a=b q^{\prime}+r^{\prime}, \quad 0 \leq r^{\prime}<b
$$
For convenience, we may also suppose that $r^{\prime} \geq r$. Then $b q+$ $r=b q^{\prime}+r^{\prime}$ and $b\left(q-q^{\prime}\right)=r^{\prime}-r$. So, $b$ divides $r^{\prime}-r$ and $0 \leq r^{\prime}-r \leq r^{\prime}<b$. It follows that $r^{\prime}-r=0$, and therefore $r^{\prime}=r$ and $q=q^{\prime}$.

The integer $q$ in the division algorithm is called the quotient upon dividing $a$ by $b$; the integer $r$ is called the remainder upon dividing $a$ by $b$.

数学代写|抽象代数作业代写abstract algebra代考|GCD is a Linear Combination

PROOF Consider the set $S={a m+b n \mid m, n$ are integers and $a m+b n>0}$. Since $S$ is obviously nonempty (if some choice of $m$ and $n$ makes $a m+b n<0$, then replace $m$ and $n$ by $-m$ and $-n)$, the Well Ordering Principle asserts that $S$ has a smallest member, say, $d=a s+b t$. We claim that $d=\operatorname{gcd}(a, b)$. To verify this claim, use the division algorithm to write $a=d q+r$, where $0 \leq r0$, then $r=a-d \eta=a-(a s+b t) q=a-$ $a s q-b t q=a(1-s q)+b(-t q) \in S$, contradicting the fact that $d$ is the smallest member of $S$. So, $r=0$ and $d$ divides $a$. Analogously (or, better yet, by symmetry), $d$ divides $b$ as well. This proves that $d$ is a common divisor of $a$ and $b$. Now suppose $d^{\prime}$ is another common divisor of $a$ and $b$ and write $a=d^{\prime} h$ and $b=d^{\prime} k$. Then $d=a s+b t=\left(d^{\prime} h\right) s+\left(d^{\prime} k\right) t=d^{\prime}(h s+k t)$, so that $d^{\prime}$ is a divisor of $d$. Thus, among all common divisors of $a$ and $b, d$ is the greatest.
The special case of Theorem $0.2$ when $a$ and $b$ are relatively prime is so important in abstract algebra that we single it out as a corollary.

■ EXAMPLE $2 \operatorname{gcd}(4,15)=1 ; \operatorname{gcd}(4,10)=2 ; \operatorname{gcd}\left(2^{2} \cdot 3^{2} \cdot 5,2 \cdot 3^{3}\right.$. $\left.7^{2}\right)=2 \cdot 3^{2}$. Note that 4 and 15 are relatively prime, whereas 4 and 10 are not. Also, $4 \cdot 4+15(-1)=1$ and $4(-2)+10 \cdot 1=2$.
The corollary of Theorem $0.2$ provides a convenient method to show that two integers represented by polynomial expressions are relatively prime.

IEXAMPLE 3 For any integer $n$ the integers $n+1$ and $n^{2}+n+1$ are relatively prime. To verify this we observe that $n^{2}+n+1-$ $n(n+1)=1 .$

The next lemma is frequently used. It appeared in Euclid’s Elements.

抽象代数代写

数学代写|抽象代数作业代写abstract algebra代考| Division Algorithm

证明 我们从定理的存在部分开始。考虑集合 $S=a-b k \mid k \$ i$ sanintegerand $\$ a-b k \geq 0$.如果 $0 \in S$ 然 后 $b$ 分 $a$ 我们可以通过以下方式获得所需的结果 $q=a / b$ 和 $r=0$. 现在假设 $0 \notin S$. 因为 $S$ 为非空 [如果 $a>0, a-b \cdot 0 \in S$; 如果 $a<0, a-b(2 a)=a(1-2 b) \in S ; a \neq 0$ 因为 $0 \notin S]$ ，我们可以应用井序原 则来得出结论: $S$ 有一个最小的成员，比如说 $r=a-b q$. 然后 $a=b q+r$ 和 $r \geq 0$ ，所以所有有待证明的是 $r<b$.
如果 $r \geq b$ 然后 $a-b(q+1)=a-b q-b=r-b \geq 0$ 因此 $a-b(q+1) \in S$. 但 $a-b(q+1)<a-b q$ 和 $a-b q$ 是的最小成员 $S$.所以 $r<b$.
建立 $q$ 和 $r$ ，让我们假设有整数 $q, q^{\prime}, r$ 和 $r^{\prime}$ 使得
$$
a=b q+r, 0 \leq r<b, \text { and } a=b q^{\prime}+r^{\prime}, \quad 0 \leq r^{\prime}<b
$$
为方便起见，我们还可以假设 $r^{\prime} \geq r$. 然后 $b q+r=b q^{\prime}+r^{\prime}$ 和 $b\left(q-q^{\prime}\right)=r^{\prime}-r$. 所以 $b$ 分 $r^{\prime}-r$ 和 $0 \leq r^{\prime}-r \leq r^{\prime}<b$. 因此， $r^{\prime}-r=0$ ，因此 $r^{\prime}=r$ 和 $q=q^{\prime}$.
整数 $q$ 在除法算法中称为除法时的商 $a$ 由 $b$;整数 $r$ 除法后称为余数 $a$ 由 $b$.

数学代写|抽象代数作业代写abstract algebra代考| GCD is a Linear Combination

证明 考虑集合 $S=a m+b n \mid m, n \$ a r e i n t e g e r s a n d \$ a m+b n>0$. 因为 $S$ 显然是非空的（如果某些选 择 $m$ 和 $n$ 使 $a m+b n<0$ ，然后替换 $m$ 和 $n$ 由 $-m$ 和 $-n)$ ，井序原理断言 $S$ 有一个最小的成员，比如说，
$d=a s+b t$.我们声称 $d=\operatorname{gcd}(a, b)$. 若要验证此声明，请使用除法算法编写 $a=d q+r$ 哪里 $0 \leq r 0$ 然后 $r=a-d \eta=a-(a s+b t) q=a-a s q-b t q=a(1-s q)+b(-t q) \in S$ ，与以下事实相矛盾: $d$ 是 的最小成员 $S$. 所以 $r=0$ 和 $d$ 分 $a$. 类似地 (或者，更好的是，通过对称性)， $d$ 分 $b$ 也。这证明 $d$ 是 的公约数 $a$ 和 $b$. 现在假设 $d^{\prime}$ 是另一个常见的除数 $a$ 和 $b$ 并写入 $a=d^{\prime} h$ 和 $b=d^{\prime} k$. 然后
$d=a s+b t=\left(d^{\prime} h\right) s+\left(d^{\prime} k\right) t=d^{\prime}(h s+k t)$ 因此 $d^{\prime}$ 是 的除数 $d$. 因此，在所有常见的除数中 $a$ 和 $b, d$ 是 最大的。
定理的特殊啨况 $0.2$ 什么时候 $a$ 和 $b$ 相对素数在抽象代数中是如此重要，以至于我们将其作为推论。
■ 示例 $2 \operatorname{gcd}(4,15)=1 ; \operatorname{gcd}(4,10)=2 ; \operatorname{gcd}\left(2^{2} \cdot 3^{2} \cdot 5,2 \cdot 3^{3} \cdot 7^{2}\right)=2 \cdot 3^{2}$. 请注意， 4 和 15 是相对质 数，而 4 和 10 则不是。也 $4 \cdot 4+15(-1)=1$ 和 $4(-2)+10 \cdot 1=2$.
定理的推论 $0.2$ 提供了一种方便的方法来证明由多项式表达式表示的两个整数是相对素数。
IEXAMPLE 3 对于任何整数 $n$ 整数 $n+1$ 和 $n^{2}+n+1$ 是相对质数。为了验证这一点，我们观察到 $n^{2}+n+1-n(n+1)=1$
下一个引理经常被使用。它出现在欧几里得的《元素》中。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写

随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

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多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

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MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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