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泛函分析，数学分析的分支，处理函数，或函数的函数。它作为一个独立的领域出现在20世纪，当时人们意识到不同的数学过程，从算术到微积分程序，表现出非常相似的特性。

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数学代写|泛函分析作业代写Functional Analysis代考|Infinite Unions and Intersections

Compositions or Product Functions. Let $f: X \rightarrow Y$ and $g: Y \rightarrow Z$. Then $f$ and $g$ define a product function, or composition, denoted $g \circ f$ (or sometimes simply $g f$ ), from $X$ into $Z, g \circ f: X \rightarrow Z$. We define $g \circ f$ by saying that for every $x \in X$,
$$
(g \circ f)(x)=g(f(x))
$$
Example 1.10.1
Consider functions $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=x^2$ and $g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, g(x)=1+x$. Then:
$$
(g f)(x)=1+x^2 \quad(f g)(x)=(1+x)^2
$$

Note that if $f: X \rightarrow Y$ is defined on $X$ and $g: Y \rightarrow Z$ is defined on $Y$, then it does not make sense to speak about the composition $f \circ g$. The preceding example shows that even in the case of functions prescribed on the same set into itself, when it does make sense to speak about both compositions, in general
$$
f g \neq g f
$$
Inverses. Let $R \subset X \times Y$ denote a relation. A relation
$$
\check{R}={(y, x) \in Y \times X:(x, y) \in R}
$$
is called the converse of $R$.
It follows from the definition that:
(i) domain $\check{R}=$ range $R$
(ii) range $\breve{R}=$ domain $R$
In general, if $R$ is a function $f$, its converse $\breve{f}$ may not be a function. If it happens that $\breve{f}$ is also a function, then it is called the inverse of $f$ and is denoted $f^{-1}$. We also then say that $f$ is invertible. In other words, $f: X \rightarrow Y$ is invertible iff there exists a function $g: Y \rightarrow X$ such that for every $x \in X$, if $y=f(x)$ then $x=g(y)$, and for every $y \in Y$, if $x=g(y)$ then $y=f(x)$.

数学代写|泛函分析作业代写Functional Analysis代考|Fundamental Notions

The natural idea of counting that lets us compare finite sets (two sets are “equivalent” if they have the same number of elements) may be generalized to the case of infinite sets. Every set may be assigned a symbol, called its “cardinal number,” which describes its “number of elements” in the sense that, indeed, in the case of a finite set, its cardinal number is equal to its number of elements.

To make this idea precise, we introduce the following relation for sets: two sets $A$ and $B$ are said to be equivalent, denoted $A \sim B$, if there exists a bijective map which maps $A$ onto $B$. In other words, there is a one-to-one correspondence between all elements of $A$ and all elements of $B$. It is easy to prove that, given a universal set $U$ and its power set $\mathcal{P}(U)$ consisting of all subsets of $U$, the relation $\sim$ on $\mathcal{P}(U)$ is an equivalence relation. As a consequence, $\mathcal{P}(U)$ may be partitioned into equivalence classes and every such class may be assigned a symbol, called its cardinal number; that is, cardinality is a property that all sets equivalent to each other have in common.

To see that the notion of equivalent sets generalizes the idea of counting, let us notice that two finite sets have the same number of elements if and only if they are equivalent to each other. More precisely, a set $A$ is finite iff there exists an $n \in N$ such that $A \sim{1,2, \ldots, n}$. If $A \sim B$ then also $B \sim{1,2, \ldots, n}$ and the class of sets equivalent to $A$ is assigned the cardinal number $n$ equal to the number of elements of $A$.

We say that a set $A$ is infinite if it is not finite; i.e., no natural number $n$ exists such that $A \sim{1, \ldots, n}$. It is obvious that the theory of cardinal numbers is mainly concerned with infinite sets. The simplest infinite sets are those which can be enumerated with natural numbers; that is, we can represent them in a sequential form.

泛函分析代写

数学代写|泛函分析作业代写Functional Analysis代考|Infinite Unions and Intersections

组合或产品功能。让$f: X \rightarrow Y$和$g: Y \rightarrow Z$。然后$f$和$g$定义了一个产品函数或组合，表示为$g \circ f$(有时简称为$g f$)，从$X$到$Z, g \circ f: X \rightarrow Z$。我们定义$g \circ f$，对于每个$x \in X$，
$$
(g \circ f)(x)=g(f(x))
$$
示例1.10.1
考虑函数$f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=x^2$和$g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, g(x)=1+x$。然后:
$$
(g f)(x)=1+x^2 \quad(f g)(x)=(1+x)^2
$$

注意，如果$f: X \rightarrow Y$是在$X$上定义的，$g: Y \rightarrow Z$是在$Y$上定义的，那么讨论组合$f \circ g$就没有意义了。前面的例子表明，即使是在同一集合上指定的函数，在一般情况下，谈论这两种组合也是有意义的
$$
f g \neq g f
$$
逆。设$R \subset X \times Y$表示一个关系。关系
$$
\check{R}={(y, x) \in Y \times X:(x, y) \in R}
$$
被称为$R$的逆函数。
由定义可知:
(i)域名$\check{R}=$范围$R$
(ii)范围$\breve{R}=$域名$R$
一般来说，如果$R$是一个函数$f$，那么它的反面$\breve{f}$可能不是一个函数。如果碰巧$\breve{f}$也是一个函数，那么它被称为$f$的逆，并表示为$f^{-1}$。我们还说$f$是可逆的。换句话说，$f: X \rightarrow Y$是可逆的，如果存在一个函数$g: Y \rightarrow X$，使得对于每个$x \in X$，如果$y=f(x)$则$x=g(y)$，对于每个$y \in Y$，如果$x=g(y)$则$y=f(x)$。

数学代写|泛函分析作业代写Functional Analysis代考|Fundamental Notions

让我们比较有限集合的自然计数思想(如果两个集合具有相同数量的元素，则它们是“等价的”)可以推广到无限集合的情况。每一个集合都可以被赋予一个符号，称为它的“基数”，它描述了它的“元素数”，实际上，在有限集合的情况下，它的基数等于它的元素数。

为了使这一思想更精确，我们为集合引入以下关系:如果存在一个双射映射，将$A$映射到$B$，则两个集合$A$和$B$被认为是等价的，记为$A \sim B$。换句话说，$A$的所有元素和$B$的所有元素之间存在一对一的对应关系。我们很容易证明，给定一个由$U$的所有子集组成的泛集$U$和它的幂集$\mathcal{P}(U)$, $\mathcal{P}(U)$上的关系$\sim$是等价关系。因此，$\mathcal{P}(U)$可以划分为等价类，每个等价类都可以分配一个符号，称为基数;也就是说，基数是所有彼此等价的集合的共同属性。

为了说明等价集合的概念推广了计数的概念，让我们注意到两个有限集合具有相同数目的元素当且仅当它们彼此相等。更准确地说，一个集合$A$是有限的，如果存在一个$n \in N$使得$A \sim{1,2, \ldots, n}$。如果为$A \sim B$，那么也为$B \sim{1,2, \ldots, n}$和相当于$A$的集合类分配基数$n$，等于$A$的元素数量。

我们说一个集合$A$是无限的，如果它不是有限的;也就是说，没有自然数$n$存在，使得$A \sim{1, \ldots, n}$。很明显，基数论主要是关于无穷集的。最简单的无穷集是那些可以用自然数枚举的无穷集;也就是说，我们可以用顺序的形式来表示它们。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写

随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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PYTHON代写	回归分析与线性模型代写
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STATA代写	机器学习/统计学习代写
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泛函分析，数学分析的分支，处理函数，或函数的函数。它作为一个独立的领域出现在20世纪，当时人们意识到不同的数学过程，从算术到微积分程序，表现出非常相似的特性。

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数学代写|泛函分析作业代写Functional Analysis代考|Infinite Unions and Intersections

Unions and Intersections of Arbitrary Families of Sets. Notions of union and intersection of sets can be generalized to the case of arbitrary, possibly infinite families of sets. Let $\mathcal{A}$ be a class of sets $A$ (possibly infinite). The union of sets from $\mathcal{A}$ is the set of all elements $x$ that belong to some set from $\mathcal{A}$ :
$$
\bigcup_{A \in \mathcal{A}} A \stackrel{\text { def }}{=}{x: \exists A \in \mathcal{A}: x \in A}
$$

Notice that in the notation above we have used the very elements of the family to “enumerate” or “label” themselves. This is a very convenient (and logically precise) notation and we will use it from time to time. Another possibility is to introduce an explicit index $\iota \in I$ to identify the family members:
$$
\mathcal{A}=\left{A_\iota: \iota \in I\right}
$$
We can use then an alternative notation to define the notion of the union:
$$
\bigcup_{\iota \in I} A_\iota \stackrel{\text { def }}{=}\left{x: \exists \iota \in I: x \in A_\iota\right}
$$
The $\iota$ indices on both sides are “dummy (summation) indices” and can be replaced with any other letter. By using the Greek letter $\iota$ in place of an integer index $i$, we emphasize that we are dealing with an arbitrary family.
In the same way we define the intersection of an arbitrary family of sets:
$$
\bigcap_{A \in \mathcal{A}} A \stackrel{\text { def }}{=}{x: \forall A \in \mathcal{A} x \in A}
$$
Traditionally, the universal quantifier is appended to the end of the statement:
$$
\bigcap_{A \in \mathcal{A}} A \stackrel{\text { def }}{=}{x: x \in A \forall A \in \mathcal{A}}
$$

数学代写|泛函分析作业代写Functional Analysis代考|Cartesian Products, Relations

We are accustomed to the use of the term “relation” from elementary algebra. Intuitively, a relation must represent some sort of rule of correspondence between two or more objects; for example, “Bob is related to his brother Joe” or “real numbers are related to a scale on the $x$-axis.” One of the ways to make this concept more precise is to recall the notion of the open statement from the preceding section.
Suppose we are given an open statement of two variables:
$$
R(x, y), \quad x \in A, \quad y \in B
$$
We shall say that ” $a$ is related to $b$ ” and we write $a R b$ whenever $R(a, b)$ is true, i.e., upon the substitution $x=a$ and $y=b$, we get the true statement.

There is another equivalent way to introduce the notion of the relation by means of the set theory. First, we must introduce the idea of ordered pairs of mathematical objects and then the concept of the product set, or the Cartesian product of two sets.

Ordered Pairs. By an ordered pair $(a, b)$ we shall mean the set $(a, b)={{a},{a, b}}$. Here $a$ is called the first member of the pair and $b$ the second member.

Cartesian Product. The Cartesian product of two sets $A$ and $B$, denoted $A \times B$, is the set of all ordered pairs $(a, b)$, where $a \in A$ and $b \in B$
$$
A \times B={(a, b): a \in A \text { and } b \in B}
$$
We refer to the elements $a$ and $b$ as components of the pair $(a, b)$.
Two ordered pairs are equal if their respective components are equal, i.e.,
$$
(x, y)=(a, b) \quad \Leftrightarrow \quad x=a \text { and } y=b
$$
Note that, in general,
$$
A \times B \neq B \times A
$$
More generally, if $A_1, A_2, \ldots, A_k$ are $k$ sets, we define the Cartesian product $A_1 \times A_2 \times \ldots \times A_k$ to be the set of all ordered $k$-tuples $\left(a_1, a_2, \ldots, a_k\right)$, where $a_i \in A_i, i=1,2, \ldots, k$.

泛函分析代写

数学代写|泛函分析作业代写Functional Analysis代考|Infinite Unions and Intersections

任意集合族的并集和交。集合的并和交的概念可以推广到任意的，可能是无限的集合族的情况。设$\mathcal{A}$是一类集合$A$(可能是无限的)。来自$\mathcal{A}$的集合的并集是属于来自$\mathcal{A}$的集合的所有元素$x$的集合:
$$
\bigcup_{A \in \mathcal{A}} A \stackrel{\text { def }}{=}{x: \exists A \in \mathcal{A}: x \in A}
$$

注意，在上面的符号中，我们使用了家族的元素来“列举”或“标记”它们自己。这是一个非常方便(并且逻辑上精确)的符号，我们将不时使用它。另一种可能是引入一个明确的索引$\iota \in I$来识别家庭成员:
$$
\mathcal{A}=\left{A_\iota: \iota \in I\right}
$$
我们可以使用另一种符号来定义联合的概念:
$$
\bigcup_{\iota \in I} A_\iota \stackrel{\text { def }}{=}\left{x: \exists \iota \in I: x \in A_\iota\right}
$$
两边的$\iota$索引是“虚拟(求和)索引”，可以用任何其他字母替换。通过使用希腊字母$\iota$代替整数索引$i$，我们强调我们正在处理一个任意族。
同样，我们定义任意集合族的交集:
$$
\bigcap_{A \in \mathcal{A}} A \stackrel{\text { def }}{=}{x: \forall A \in \mathcal{A} x \in A}
$$
传统上，全称量词被附加在语句的末尾:
$$
\bigcap_{A \in \mathcal{A}} A \stackrel{\text { def }}{=}{x: x \in A \forall A \in \mathcal{A}}
$$

数学代写|泛函分析作业代写Functional Analysis代考|Cartesian Products, Relations

我们习惯于使用初等代数中的“关系”这个术语。直观上，关系必须表示两个或多个对象之间的某种对应规则;例如，“鲍勃和他的兄弟乔有亲戚关系”或“实数与$x$ -轴上的刻度有关”。使这个概念更精确的方法之一是回顾上一节中开放语句的概念。
假设给定一个包含两个变量的开放语句:
$$
R(x, y), \quad x \in A, \quad y \in B
$$
我们说“$a$与$b$有关”，只要$R(a, b)$为真，我们就写$a R b$，也就是说，通过对$x=a$和$y=b$的替换，我们得到了真实的陈述。

还有另一种等价的方法通过集合论引入关系的概念。首先，我们必须引入数学对象的有序对的概念，然后是积集的概念，或者两个集合的笛卡尔积。

有序成对。我们所说的有序对$(a, b)$是指集合$(a, b)={{a},{a, b}}$。这里$a$被称为这对中的第一个成员，$b$被称为第二个成员。

笛卡尔积。两个集合$A$和$B$的笛卡尔积，记为$A \times B$，是所有有序对的集合$(a, b)$，其中$a \in A$和$b \in B$
$$
A \times B={(a, b): a \in A \text { and } b \in B}
$$
我们将元素$a$和$b$作为$(a, b)$对的组件。
两个有序对相等，如果它们各自的分量相等，即:
$$
(x, y)=(a, b) \quad \Leftrightarrow \quad x=a \text { and } y=b
$$
请注意，一般来说，
$$
A \times B \neq B \times A
$$
更一般地说，如果$A_1, A_2, \ldots, A_k$是$k$集合，我们将笛卡尔积$A_1 \times A_2 \times \ldots \times A_k$定义为所有有序的$k$ -元组$\left(a_1, a_2, \ldots, a_k\right)$的集合，其中$a_i \in A_i, i=1,2, \ldots, k$。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

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广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

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有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

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随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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数学代写|泛函分析作业代写Functional Analysis代考|Cyclic Vectors

The spectral measure can be used to identify a self-adjoint operator on a real or complex Hilbert space with a multiplication operator. This is the content of the next theorem, as formulated in [48, p 227].

Theorem 5.82 (Spectral Theorem). Let $H$ be a nonzero complex Hilbert space and let $A=A^* \in \mathcal{L}^c(H)$ be a self-adjoint complex linear operator. Then there exists a collection of compact sets $\Sigma_i \subset \sigma(A)$, each equipped with a Borel measure $\mu_i$, indexed by $i \in I$, and an isomorphism
$$
U: H \rightarrow \bigoplus_{i \in I} L^2\left(\Sigma_i, \mu_i\right):=\left{\begin{array}{l|l}
\psi=\left(\psi_i\right){i \in I} & \begin{array}{l} \psi_i \in L^2\left(\Sigma_i, \mu_i\right) \text { for all } i \in I \ \text { and } \sum{i \in I}\left|\psi_i\right|_{L^2\left(\Sigma_i, \mu_i\right)}^2<\infty \end{array} \end{array}\right} $$ such that the operator $U A U^{-1}$ sends a tuple $\psi=\left(\psi_i\right){i \in I} \in \bigoplus{i \in I} L^2\left(\Sigma_i, \mu_i\right)$ to the tuple $$ U A U^{-1} \psi=\left(\left(U A U^{-1} \psi\right)i\right){i \in I} \in \bigoplus_{i \in I} L^2\left(\Sigma_i, \mu_i\right) $$ given by $$ \left(U A U^{-1} \psi\right)_i(\lambda)=\lambda \psi_i(\lambda) \quad \text { for } i \in I \text { and } \lambda \in \Sigma_i . $$ Moreover, $\mu_i(\Omega)>0$ for all $i \in I$ and all nonempty relatively open subsets $\Omega \subset \Sigma_i$. If $H$ is separable then the index set $I$ can be chosen countable.
Proof. See page 295.
Theorem 5.82 can be viewed as a diagonalization of the operator $A$, extending the notion of diagonalization of a symmetric matrix. The proof is based on the notion of a cyclic vector.

Definition 5.83 (Cyclic Vector). Let $H$ be a nonzero complex Hilbert space and let $A=A^* \in \mathcal{L}^c(H)$ be a self-adjoint complex linear operator. A vector $x \in H$ is called cyclic for $A$ if
$$
H=\overline{\operatorname{span}\left{A^n x \mid n=0,1,2, \ldots\right}}
$$

数学代写|泛函分析作业代写Functional Analysis代考|Definition and Examples

Definition 6.1 (Unbounded Operator). Let $X$ and $Y$ be real or complex Banach spaces. An unbounded (complex) linear operator from $X$ to $Y$ is a pair $(A, \operatorname{dom}(A))$, where $\operatorname{dom}(A) \subset X$ is a (complex) linear subspace and $A: \operatorname{dom}(A) \rightarrow Y$ is a (complex) linear map. An unbounded operator $A: \operatorname{dom}(A) \rightarrow Y$ is called densely defined if its domain is a dense subspace of $X$. It is called closed if its graph, defined by $\operatorname{graph}(A):={(x, A x) \mid x \in \operatorname{dom}(A)}$, is a closed linear subspace of $X \times Y$ with respect to the product topology.

We have already encountered unbounded operators in Definition 2.18. Recall that the domain of an unbounded operator $A: \operatorname{dom}(A) \rightarrow Y$ is a normed vector space with the graph norm of $A$, defined in (2.14) by
$$
|x|_A:=|x|_X+|A x|_Y \quad \text { for } x \in \operatorname{dom}(A)
$$
Thus an unbounded operator can also be viewed as a bounded operator from its domain, equipped with the graph norm, to its target space. By Exercise 2.19 an unbounded operator $A: \operatorname{dom}(A) \rightarrow Y$ has a closed graph if and only if its domain is a Banach space with respect to the graph norm. By Lemma 2.26 an unbounded operator $A: \operatorname{dom}(A) \rightarrow Y$ is closeable, i.e. it extends to an unbounded operator with a closed graph, if and only if every sequence $\left(x_n\right){n \in \mathbb{N}}$ in $\operatorname{dom}(A)$ such that $\lim {n \rightarrow \infty}\left|x_n\right|_X=0$ and $\left(A x_n\right){n \in \mathbb{N}}$ is a Cauchy sequence in $Y$ satisfies $\lim {n \rightarrow \infty}\left|A x_n\right|_Y=0$. We emphasize that the case $\operatorname{dom}(A)=X$ is not excluded in Definition 6.1. Thus bounded operators are examples of unbounded operators. The Closed Graph Theorem 2.20 asserts in the case $\operatorname{dom}(A)=X$ that $A$ has a closed graph if and only if $A$ is bounded. The emphasis in the present chapter is on unbounded operators $A: \operatorname{dom}(A) \rightarrow Y$ whose domains are a proper linear subspaces of $X$ and whose graphs are closed.

Example 6.2. Let $X:=C([0,1])$ be the Banach space of continuous real valued functions on $[0,1]$ with the supremum norm. Then the formula
$$
\operatorname{dom}(A):=C^1([0,1]), \quad A f:=f^{\prime}
$$
defines an unbounded operator on $C([0,1])$ with a dense domain and a closed graph. The graph norm of $A$ is the standard $C^1$ norm on $\operatorname{dom}(A)=C^1([0,1])$. (See Example 2.17 and equation (2.15).)

泛函分析代写

数学代写|泛函分析作业代写Functional Analysis代考|Cyclic Vectors

谱测度可用于识别实数或复数㹷尔伯特空间上带有乘法算子的自伴随算子。这是下一个定理的内容，如 [48, p 227] 中所述。
定理 5.82 (谱定理) 。让 $H$ 是一个非零复 Hilbert 空间并且让 $A=A^* \in \mathcal{L}^c(H)$ 是自伴复数线性算 子。那么存在紧集的集合 $\Sigma_i \subset \sigma(A)$ ，每个都配备了 Borel 测量 $\mu_i$ ，索引为 $i \in I$ ，和一个同构
这样操作员 $U A U^{-1}$ 发送一个元组 $\psi=\left(\psi_i\right) i \in I \in \bigoplus i \in I L^2\left(\Sigma_i, \mu_i\right)$ 到元组
$$
U A U^{-1} \psi=\left(\left(U A U^{-1} \psi\right) i\right) i \in I \in \bigoplus_{i \in I} L^2\left(\Sigma_i, \mu_i\right)
$$
由
$\left(U A U^{-1} \psi\right)_i(\lambda)=\lambda \psi_i(\lambda) \quad$ for $i \in I$ and $\lambda \in \Sigma_i$.
而且， $\mu_i(\Omega)>0$ 对全部 $i \in I$ 和所有非空的相对开放的子集 $\Omega \subset \Sigma_i$. 如果 $H$ 是可分离的，那么索引集 $I$ 可以选择可数。
证明。参见第 295 页。
定理 5.82 可以看作是算子的对角化 $A$ ，扩展了对称矩阵对角化的概念。证明基于循环向量的概念。
定义 5.83 (循环向量) 。让 $H$ 是一个非零复 Hilbert 空间并且让 $A=A^* \in \mathcal{L}^c(H)$ 是自伴复数线性算 子。向量 $x \in H$ 被称为循环 $A$ 如果

数学代写|泛函分析作业代写Functional Analysis代考|Definition and Examples

定义 6.1 (无界运算符) 。让 $X$ 和 $Y$ 是实数或复数 Banach 空间。来自的无界 (复杂) 线性运算符 $X$ 到 $Y$ 是一对 $(A, \operatorname{dom}(A))$ ， 在哪里 $\operatorname{dom}(A) \subset X$ 是一个 (复数) 线性子空间并且 $A: \operatorname{dom}(A) \rightarrow Y$ 是 一个 (复杂的) 线性映射。无界运算符 $A: \operatorname{dom}(A) \rightarrow Y$ 如果它的定义域是 $X$. 如果它的图定义为 $\operatorname{graph}(A):=(x, A x) \mid x \in \operatorname{dom}(A)$ ，是一个封闭的线性子空间 $X \times Y$ 关于产品拓扑。
我们已经在定义 2.18 中遇到过无界运算符。回想一下无界运算符的域 $A: \operatorname{dom}(A) \rightarrow Y$ 是赋范向量空 间，其图形范数为 $A$, 在 (2.14) 中定义为
$$
|x|_A:=|x|_X+|A x|_Y \quad \text { for } x \in \operatorname{dom}(A)
$$
因此，无界算子也可以被视为从其域（配备图范数）到其目标空间的有界算子。通过习题 2.19 一个无界 运算符 $A: \operatorname{dom}(A) \rightarrow Y$ 有一个闭图当且仅当它的定义域是关于图范数的 Banach 空间。通过引理 2.26 一个无界运算符 $A: \operatorname{dom}(A) \rightarrow Y$ 是可关闭的，即当且仅当每个序列 $\left(x_n\right) n \in \mathbb{N}$ 在 $\operatorname{dom}(A)$ 这 样 $\lim n \rightarrow \infty\left|x_n\right|_X=0$ 和 $\left(A x_n\right) n \in \mathbb{N}$ 是一个柯西序列 $Y$ 满足 $\lim n \rightarrow \infty\left|A x_n\right|_Y=0$. 我们强 调，案件 $\operatorname{dom}(A)=X$ 末被排除在定义 6.1 之外。因此，有界运算符是无界运算符的示例。闭图定理 2.20 在这种情况下断言 $\operatorname{dom}(A)=X$ 那 $A$ 有一个闭图当且仅当 $A$ 是有界的。本章的重点是无界运算符 $A: \operatorname{dom}(A) \rightarrow Y$ 其定义域是 $X$ 并且其图形是封闭的。
示例 6.2。让 $X:=C([0,1])$ 是连续实值函数的 Banach 空间 $[0,1]$ 与最高范数。然后公式
$$
\operatorname{dom}(A):=C^1([0,1]), \quad A f:=f^{\prime}
$$
定义一个无界运算符 $C([0,1])$ 具有密集域和封闭图。的图范数 $A$ 是标准 $C^1$ 规范 $\operatorname{dom}(A)=C^1([0,1])$ (参见示例 2.17 和等式 (2.15)。)

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写

随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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泛函分析，数学分析的分支，处理函数，或函数的函数。它作为一个独立的领域出现在20世纪，当时人们意识到不同的数学过程，从算术到微积分程序，表现出非常相似的特性。

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数学代写|泛函分析作业代写Functional Analysis代考|Projection Valued Measures

Definition 5.72 (Projection Valued Measure). Let $H$ be a complex Hilbert space, let $\Sigma \subset \mathbb{C}$ be a nonempty closed subset, and denote by $\mathcal{B} \subset 2^{\Sigma}$ the Borel $\sigma$-algebra. A projection valued Borel measure on $\Sigma$ is a map
$$
\mathcal{B} \rightarrow \mathcal{L}^c(H): \Omega \rightarrow P_{\Omega}
$$
which assigns to every Borel set $\Omega \subset \Sigma$ a bounded complex linear operator $P_{\Omega}: H \rightarrow H$ and satisfies the following axioms.
(Projection) For every Borel set $\Omega \subset \Sigma$ the operator $P_{\Omega}$ is an orthogonal projection, i.e.
$$
P_{\Omega}^2=P_{\Omega}=P_{\Omega}^*
$$
(Normalization) The projections associated to $\Omega=\emptyset$ and $\Omega=\Sigma$ are
$$
P_{\emptyset}=0, \quad P_{\Sigma}=\mathbb{1} .
$$
(Intersection) If $\Omega_1, \Omega_2 \subset \Sigma$ are two Borel sets then
$$
P_{\Omega_1 \cap \Omega_2}=P_{\Omega_1} P_{\Omega_2}=P_{\Omega_2} P_{\Omega_1} .
$$
( $\sigma$-Additive) If $\left(\Omega_i\right){i \in \mathbb{N}}$ is a sequence of pairwise disjoint Borel sets in $\Sigma$ so that $\Omega_i \cap \Omega_j=\emptyset$ for $i \neq j$, and $\Omega:=\bigcup{i=1}^{\infty} \Omega_i$, then every $x \in H$ satisfies
$$
P_{\Omega} x=\lim {n \rightarrow \infty} \sum{i=1}^n P_{\Omega_i} x .
$$
For every nonempty compact Hausdorff space $\Sigma$ define
$B(\Sigma):={f: \Sigma \rightarrow \mathbb{C} \mid f$ is bounded and Borel measurable $}$
This space is a $\mathrm{C}^$ algebra with the supremum norm $|f|:=\sup {\lambda \in \Sigma}|f(\lambda)|$ for $f \in B(\Sigma)$, and with the complex anti-linear isometric involution given by complex conjugation. The next theorem shows that, if $\Sigma$ is a closed subset of $\mathbb{C}$ and $\mathcal{B} \subset 2^{\Sigma}$ is the Borel $\sigma$-algebra, then every projection valued measure $\mathcal{B} \rightarrow \mathcal{L}^c(H): \Omega \mapsto P{\Omega}$ gives rise to a $\mathrm{C}^$ algebra homomorphism from $B(\Sigma)$ to $\mathcal{L}^c(H)$

数学代写|泛函分析作业代写Functional Analysis代考|Measurable Functional Calculus

The proofs of both Theorems 5.74 and 5.75 will be based on a series of lemmas. Assume throughout that $H$ is a nonzero complex Hilbert space and that $A \in \mathcal{L}^c(H)$ is a normal operator with spectrum $\Sigma:=\sigma(A) \subset \mathbb{C}$. The starting point is the Riesz Representation Theorem which asserts that, for every positive linear functional $\Lambda: C(\Sigma, \mathbb{R}) \rightarrow \mathbb{R}$, there exists a unique Borel measure $\mu: \mathcal{B} \rightarrow[0, \infty)$ such that $\Lambda(f)=\int_{\Sigma} f d \mu$ for all $f \in C(\Sigma, \mathbb{R})$ (see $[50$, Cor 3.19]). By Theorem 5.70, this implies that, for each $x \in H$, there exists a unique Borel measure $\mu_x: \mathcal{B} \rightarrow[0, \infty)$ that satisfies (5.84), i.e.
$$
\int_{\Sigma} f d \mu_x=\langle x, f(A) x\rangle \quad \text { for all } f \in C(\Sigma, \mathbb{R}) .
$$
For $x, y \in H$ define the signed measure $\mu_{x, y}: \mathcal{B} \rightarrow \mathbb{R}$ by
$$
\mu_{x, y}:=\frac{1}{4}\left(\mu_{x+y}-\mu_{x-y}\right)
$$
The next lemma summarizes some basic properties of these signed measures.
Lemma 5.76. (i) The map
$$
H \times H \rightarrow \mathcal{M}(\Sigma):(x, y) \mapsto \mu_{x, y}
$$
defined by (5.96) is real bilinear and symmetric.
(ii) The signed measures $\mu_{x, y}$ satisfy
$$
\int_{\Sigma} f d \mu_{x, y}=\operatorname{Re}\langle x, f(A) y\rangle
$$
for all $x, y \in H$ and all $f \in C(\Sigma, \mathbb{R})$.
(iii) Let $B \in \mathcal{L}^c(H)$ such that $A B=B A$. Then
$$
\mu_{x, B y}=\mu_{B^* x, y}
$$
and, in particular, $\mu_{x, \mathrm{i} y}=-\mu_{\mathrm{i} x, y}$ for all $x, y \in H$.
(iv) The signed measures $\mu_{x, y}$ satisfy
$$
\left|\mu_{x, y}\right| \leq|x||y|
$$
all $x, y \in H$.

泛函分析代写

数学代写|泛函分析作业代写Functional Analysis代考|Projection Valued Measures

定义 5.72 (预测值测量) 。让 $H$ 是一个复杂的柿帋尔伯特空间，让 $\Sigma \subset \mathbb{C}$ 是一个非空的封闭子集，并表示 为 $\mathcal{B} \subset 2^{\Sigma}$ 宝莱尔 $\sigma$-代数。投影值 Borel 测量 $\Sigma$ 是一张地图
$$
\mathcal{B} \rightarrow \mathcal{L}^c(H): \Omega \rightarrow P_{\Omega}
$$
它分配给每个 Borel 集 $\Omega \subset \Sigma$ 有界复数线性算子 $P_{\Omega}: H \rightarrow H$ 并满足以下公理。
(投影) 对于每个 Borel 集 $\Omega \subset \Sigma$ 运营商 $P_{\Omega}$ 是正交投影，即
$$
P_{\Omega}^2=P_{\Omega}=P_{\Omega}^*
$$
(归一化) 相关的预测 $\Omega=\emptyset$ 和 $\Omega=\Sigma$ 是
$$
P_{\emptyset}=0, \quad P_{\Sigma}=1
$$
(十字路口) 如果 $\Omega_1, \Omega_2 \subset \Sigma$ 是两个 Borel 集那么
$$
P_{\Omega_1 \cap \Omega_2}=P_{\Omega_1} P_{\Omega_2}=P_{\Omega_2} P_{\Omega_1}
$$
( $\sigma$-添加剂) 如果 $\left(\Omega_i\right) i \in \mathbb{N}$ 是成对不相交的 Borel 集的序列 $\Sigma 以$ 以便 $\Omega_i \cap \Omega_j=\emptyset$ 为了 $i \neq j$ ，和 $\Omega:=\bigcup i=1^{\infty} \Omega_i$, 那么每个 $x \in H$ 满足
$$
P_{\Omega} x=\lim n \rightarrow \infty \sum i=1^n P_{\Omega_i} x
$$
对于每个非空紧致豪斯多夫空间 定义
$B(\Sigma):=f: \Sigma \rightarrow \mathbb{C} \mid f \$ i$ sboundedandBorelmeasurable $\$$
这个空间是一个\mathrm{C}^ 具有最高范数的代数 $|f|:=\sup \lambda \in \Sigma|f(\lambda)|$ 为了 $f \in B(\Sigma)$ ，以及复共 轭给出的复数反线性等距对合。下一个定理表明，如果 $\Sigma$ 是的闭子集 $\mathbb{C}$ 和 $\mathcal{B} \subset 2^{\Sigma}$ 是宝来 $\sigma$-代数，然后是

数学代写|泛函分析作业代写Functional Analysis代考|Measurable Functional Calculus

定理 5.74 和 5.75 的证明将基于一系列引理。假设自始至终 $H$ 是一个非零复 Hilbert 空间并且 $A \in \mathcal{L}^c(H)$ 是具有频谱的正常算子 $\Sigma:=\sigma(A) \subset \mathbb{C}$. 起点是 Riesz 表示定理，它断言对于每个正线性 泛函 $\Lambda: C(\Sigma, \mathbb{R}) \rightarrow \mathbb{R}$, 存在唯一的 Borel 测度 $\mu: \mathcal{B} \rightarrow[0, \infty)$ 这样 $\Lambda(f)=\int_{\Sigma} f d \mu$ 对全部 $f \in C(\Sigma, \mathbb{R})$ (看 $[50$ ，肺心病 3.19])。根据定理 5.70，这意味責，对于每个 $x \in H$ ， 存在唯一的 Borel 测度 $\mu_x: \mathcal{B} \rightarrow[0, \infty)$ 满足 (5.84)，即
$$
\int_{\Sigma} f d \mu_x=\langle x, f(A) x\rangle \quad \text { for all } f \in C(\Sigma, \mathbb{R}) .
$$
为了 $x, y \in H$ 定义签名的措施 $\mu_{x, y}: \mathcal{B} \rightarrow \mathbb{R}$ 经过
$$
\mu_{x, y}:=\frac{1}{4}\left(\mu_{x+y}-\mu_{x-y}\right)
$$
下一个引理总结了这些签名措施的一些基本属性。
引理 5.76。(i) 地图
$$
H \times H \rightarrow \mathcal{M}(\Sigma):(x, y) \mapsto \mu_{x, y}
$$
由 (5.96) 定义的是实双线性和对称的。
（二）签署措施 $\mu_{x, y}$ 满足
$$
\int_{\Sigma} f d \mu_{x, y}=\operatorname{Re}\langle x, f(A) y\rangle
$$
对全部 $x, y \in H$ 和所有 $f \in C(\Sigma, \mathbb{R})$.
(iii) 让 $B \in \mathcal{L}^c(H)$ 这样 $A B=B A$. 然后
$$
\mu_{x, B y}=\mu_{B^* x, y}
$$并且，特别是， $\mu_{x, \mathrm{i} y}=-\mu_{\mathrm{i} x, y}$ 对全部 $x, y \in H$.
（四）签署的措施 $\mu_{x, y}$ 满足
$$
\left|\mu_{x, y}\right| \leq|x||y|
$$
全部 $x, y \in H$.

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金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

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非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

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泛函分析，数学分析的分支，处理函数，或函数的函数。它作为一个独立的领域出现在20世纪，当时人们意识到不同的数学过程，从算术到微积分程序，表现出非常相似的特性。

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数学代写|泛函分析作业代写Functional Analysis代考|The Hilbert Transform

A case of special interest concerns the multiplier
$$
m(\xi)=-i \operatorname{sign}(\xi), \quad \xi \in \mathbb{R} .
$$
In order to obtain an explicit representation for the Fourier multiplier operator $T_m$ we observe that $m=-i\left(\mathbf{1}{\mathbb{R}{+}}-\mathbf{1}{\mathbb{R}{-}}\right)$and consider the functions
$$
n_a^{ \pm}(\xi):=\exp (-a|\xi|) \mathbf{1}{\mathbb{R}{ \pm}}(\xi), \quad a>0 .
$$
Then
$$
\widetilde{n_a^{+}}(x)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_0^{\infty} \exp (-a \xi) \exp (i x \xi) \mathrm{d} \xi=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \frac{1}{a-i x}
$$
and
$$
\widetilde{n_a^{-}}(x)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^0 \exp (a \xi) \exp (i x \xi) \mathrm{d} \xi=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \frac{1}{a+i x} .
$$
Formally letting $a \downarrow 0$, in view of Proposition 5.30 one expects that
$$
\begin{aligned}
T_{-i \operatorname{sign}} f & =-i \lim {a \downarrow 0}\left(T{n_a^{+}} f-T_{n_a^{-}} f\right) \
& =-\frac{i}{\sqrt{2 \pi}} \lim {a \downarrow 0}\left(\widetilde{n_a^{+}} * f-\widetilde{n_a^{-}} * f\right) \ & =-\frac{i}{2 \pi} \lim {a \downarrow 0}\left(\frac{1}{a-i(\cdot)}-\frac{1}{a+i(\cdot)}\right) * f=\frac{1}{\pi(\cdot)} * f .
\end{aligned}
$$
In view of Proposition 5.30, this suggests the formula
$$
T_{-i \operatorname{sign} n} f(x)=\frac{1}{\pi} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{f(x-y)}{y} \mathrm{~d} y .
$$
The above argument is nonrigorous and the convolution with the nonintegrable function $1 / x$ is not even well defined as an operator acting on $L^2(\mathbb{R})$. The next theorem turns the above formal derivation into a rigorous argument.

数学代写|泛函分析作业代写Functional Analysis代考|The Riesz–Thorin Interpolation Theorem

Theorem 5.39 (Riesz-Thorin interpolation theorem). Let $(\Omega, \mathscr{F}, \mu)$ and $\left(\Omega^{\prime}, \mathscr{F}^{\prime}, \mu^{\prime}\right)$ be measure spaces and let $1 \leqslant p_0, p_1, q_0, q_1 \leqslant \infty$. Let
$$
T_0: L^{p_0}(\Omega) \rightarrow L^{q_0}\left(\Omega^{\prime}\right), \quad T_1: L^{p_1}(\Omega) \rightarrow L^{q_1}\left(\Omega^{\prime}\right)
$$
be bounded operators which are consistent in the sense that $T f:=T_0 f=T_1 f \mu^{\prime}$-almost surely for all $f \in L^{p_0}(\Omega) \cap L^{p_1}(\Omega)$. Assume furthermore that
$$
\begin{aligned}
& \left|T_0 f\right|_{L^{q_0}\left(\Omega^{\prime}\right)} \leqslant A_0|f|_{L^{p_0(\Omega)}}, \quad f \in L^{p_0}(\Omega), \
& \left|T_1 f\right|_{L^{q_1\left(\Omega^{\prime}\right)}} \leqslant A_1|f|_{L^{p_1(\Omega)}}, \quad f \in L^{p_1}(\Omega) . \
&
\end{aligned}
$$
Let $0<\theta<1$ and set
$$
\frac{1}{p_\theta}:=\frac{1-\theta}{p_0}+\frac{\theta}{p_1}, \quad \frac{1}{q_\theta}:=\frac{1-\theta}{q_0}+\frac{\theta}{q_1} .
$$
Then the common restriction $T$ of $T_0$ and $T_1$ to $L^{p_0}(\Omega) \cap L^{p_1}(\Omega)$ maps this space into $L^{q_\theta}\left(\Omega^{\prime}\right)$ and extends uniquely to a bounded operator
$$
T: L^{p_\theta}(\Omega) \rightarrow L^{q_\theta}\left(\Omega^{\prime}\right)
$$
satisfying
$$
|T f|_{L^{q_\theta\left(\Omega^{\prime}\right)}} \leqslant A_0^{1-\theta} A_1^\theta|f|_{L^{p_\theta(\Omega)}}, \quad f \in L^{p_\theta}(\Omega) .
$$
We begin with a simple lemma, which corresponds to the special case where the interpolated operator is the identity operator.

Lemma 5.40. Let $(\Omega, \mathscr{F}, \mu)$ be a measure space, let $1 \leqslant r_0 \leqslant r_1 \leqslant \infty$ and $0<\theta<1$, and set $\frac{1}{r_\theta}:=\frac{1-\theta}{r_0}+\frac{\theta}{r_1}$. Then for all $f \in L^{r_0}(\Omega) \cap L^{r_1}(\Omega)$ we have $f \in L^{r_\theta}(\Omega)$
$$
|f|_{r_\theta} \leqslant|f|_{r_0}^{1-\theta}|f|_{r_1}^\theta .
$$
Proof Write $|f|^{r_\theta}=|f|^{(1-\theta) r_\theta}|f|^{\theta_\theta}$ and apply Hölder’s inequality.

泛函分析代写

数学代写|泛函分析作业代写Functional Analysis代考|The Hilbert Transform

一个特别感兴趣的案例涉及乘数
$$
m(\xi)=-i \operatorname{sign}(\xi), \quad \xi \in \mathbb{R}
$$
为了获得傅立叶乘数算子的显式表示 $T_m$ 我们观察到 $m=-i(\mathbf{1} \mathbb{R}+-\mathbf{1} \mathbb{R}-)$ 并考虑功能
$$
n_a^{ \pm}(\xi):=\exp (-a|\xi|) \mathbf{1} \mathbb{R} \pm(\xi), \quad a>0
$$
然后
$$
\widetilde{n_a^{+}}(x)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_0^{\infty} \exp (-a \xi) \exp (i x \xi) \mathrm{d} \xi=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \frac{1}{a-i x}
$$
和
$$
\widetilde{n_a^{-}}(x)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^0 \exp (a \xi) \exp (i x \xi) \mathrm{d} \xi=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \frac{1}{a+i x}
$$
正式出租 $a \downarrow 0$ ，鉴于提案 5.30 ，人们预计
$$
T_{-i \operatorname{sign}} f=-i \lim a \downarrow 0\left(T n_a^{+} f-T_{n_a^{-}} f\right) \quad=-\frac{i}{\sqrt{2 \pi}} \lim a \downarrow 0\left(\widetilde{n_a^{+}} * f-\widetilde{n_a^{-}} * f\right)=-\frac{i}{2 \pi}
$$
鉴于命题 5.30，这表明公式
$$
T_{-i \operatorname{sign} n} f(x)=\frac{1}{\pi} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{f(x-y)}{y} \mathrm{~d} y
$$
上述论证是非严格的，与不可积函数的卷积 $1 / x$ 甚至不能很好地定义为操作员 $L^2(\mathbb{R})$. 下一个定理将上述 形式推导变为严格的论证。

数学代写|泛函分析作业代写Functional Analysis代考|The Riesz–Thorin Interpolation Theorem

定理 5.39 (Riesz-Thorin 揷值定理)。让 $(\Omega, \mathscr{F}, \mu)$ 和 $\left(\Omega^{\prime}, \mathscr{F}^{\prime}, \mu^{\prime}\right)$ 是测量空间，让 $1 \leqslant p_0, p_1, q_0, q_1 \leqslant \infty$. 让
$$
T_0: L^{p_0}(\Omega) \rightarrow L^{q_0}\left(\Omega^{\prime}\right), \quad T_1: L^{p_1}(\Omega) \rightarrow L^{q_1}\left(\Omega^{\prime}\right)
$$
是有界运算符，在某种意义上是一致的 $T f:=T_0 f=T_1 f \mu^{\prime}$-几乎可以肯定对所有人 $f \in L^{p_0}(\Omega) \cap L^{p_1}(\Omega)$. 进一步假设
$$
\left|T_0 f\right|{L^{q_0}\left(\Omega^{\prime}\right)} \leqslant A_0|f|{L^{p_0(\Omega)}}, \quad f \in L^{p_0}(\Omega), \quad\left|T_1 f\right|{L^{q_1\left(\Omega^{\prime}\right)}} \leqslant A_1|f|{L^{p_1(\Omega)}}, \quad f \in L^{p_1}(\Omega)
$$
让 $0<\theta<1$ 并设置
$$
\frac{1}{p_\theta}:=\frac{1-\theta}{p_0}+\frac{\theta}{p_1}, \quad \frac{1}{q_\theta}:=\frac{1-\theta}{q_0}+\frac{\theta}{q_1} .
$$
然后是普通限制 $T$ 的 $T_0$ 和 $T_1$ 到 $L^{p_0}(\Omega) \cap L^{p_1}(\Omega)$ 将这个空间映射到 $L^{q_\theta}\left(\Omega^{\prime}\right)$ 并唯一地扩展到有界运算 符
$$
T: L^{p_\theta}(\Omega) \rightarrow L^{q_\theta}\left(\Omega^{\prime}\right)
$$
令人满意
$$
|T f|{L^{q\theta\left(\Omega^{\prime}\right)}} \leqslant A_0^{1-\theta} A_1^\theta|f|{L^{p\theta(\Omega)}}, \quad f \in L^{p_\theta}(\Omega)
$$
我们从一个简单的引理开始，它对应于揷值运算符是恒等运算符的特殊情况。
引理 5.40。让 $(\Omega, \mathscr{F}, \mu)$ 是一个测度空间，让 $1 \leqslant r_0 \leqslant r_1 \leqslant \infty$ 和 $0<\theta<1$ ，并设置 $\frac{1}{r_\theta}:=\frac{1-\theta}{r_0}+\frac{\theta}{r_1}$. 那么对于所有人 $f \in L^{r_0}(\Omega) \cap L^{r_1}(\Omega)$ 我们有 $f \in L^{r_\theta}(\Omega)$
$$
|f|{r\theta} \leqslant|f|{r_0}^{1-\theta}|f|{r_1}^\theta .
$$ 校对写 $|f|^{r_\theta}=|f|^{(1-\theta) r_\theta}|f|^{\theta_\theta}$ 并应用 Hölder 不等式。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

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数学代写|泛函分析作业代写Functional Analysis代考|Definition and General Properties

Definition 5.17 (Fourier transform). The Fourier transform of a function $f \in L^1\left(\mathbb{R}^d\right)$ is the function $\widehat{f}: \mathbb{R}^d \rightarrow \mathbb{C}$ defined by
$$
\widehat{f}(\xi):=\frac{1}{(2 \pi)^{d / 2}} \int_{\mathbb{R}^d} f(x) \exp (-i x \cdot \xi) \mathrm{d} x, \quad \xi \in \mathbb{R}^d
$$
where $x \cdot \xi:=\sum_{j=1}^d x_j \xi_j$
It is evident that $\widehat{f} \in L^{\infty}\left(\mathbb{R}^d\right)$ and $|\widehat{f}|_{\infty} \leqslant(2 \pi)^{-d / 2}|f|_1$. This shows that the operator $\mathscr{F}: f \mapsto \widehat{f}$, which will be referred to as the Fourier transform, defines a bounded operator from $L^1\left(\mathbb{R}^d\right)$ to $L^{\infty}\left(\mathbb{R}^d\right)$.

Remark 5.18. In certain situations it is useful to absorb the constant $(2 \pi)^{-d / 2}$ into the measure. Denoting the resulting normalised Lebesgue measure by
$$
\mathrm{d} m(x)=(2 \pi)^{-d / 2} \mathrm{~d} x
$$ one may interpret the Fourier transform as the operator from $L^1\left(\mathbb{R}^d, m\right) \rightarrow L^{\infty}\left(\mathbb{R}^d, m\right)$ given by
$$
\widehat{f}(\xi):=\int_{\mathbb{R}^d} f(x) \exp (-i x \cdot \xi) \mathrm{d} m(x), \quad \xi \in \mathbb{R}^d .
$$
The advantage of this point of view is that this operator is contractive. In many applications, however, working with the normalised Lebesgue measure is somewhat artificial, and for this reason we stick with 5.4 most of the time.

The dominated convergence theorem implies that for all $f \in L^1\left(\mathbb{R}^d\right)$ the function $\widehat{f}$ is sequentially continuous, hence continuous. More is true: the following lemma shows that $\widehat{f}$ belongs to $C_0\left(\mathbb{R}^d\right)$, the space of continuous functions vanishing at infinity.

数学代写|泛函分析作业代写Functional Analysis代考|The Plancherel Theorem

The Fourier transform enjoys an important $L^2$ boundedness property.

Theorem 5.23 (Plancherel, preliminary version). If $f \in L^1\left(\mathbb{R}^d\right) \cap L^2\left(\mathbb{R}^d\right)$, then $\widehat{f} \in$ $L^2\left(\mathbb{R}^d\right)$ and
$$
|\widehat{f}|_2=|f|_2
$$
Proof Since $f \in L^1\left(\mathbb{R}^d\right), \widehat{f}$ is bounded and $\xi \mapsto \exp \left(-\frac{1}{2} \lambda|\xi|^2\right)|\widehat{f}(\xi)|^2$ is integrable for all $\lambda>0$, and
$$
\begin{aligned}
& \int_{\mathbb{R}^d} \exp \left(-\frac{1}{2} \lambda|\xi|^2\right)|\widehat{f}(\xi)|^2 \mathrm{~d} \xi \
& =\int_{\mathbb{R}^d} \exp \left(-\frac{1}{2} \lambda|\xi|^2\right) \widehat{f}(\xi) \overline{\widehat{f}(\xi)} \mathrm{d} \xi \
& =\frac{1}{(2 \pi)^{d / 2}} \int_{\mathbb{R}^d} g^{(\lambda)}(\xi) \int_{\mathbb{R}^d} f(x) \exp (-i x \cdot \xi) \mathrm{d} x \int_{\mathbb{R}^d} \overline{f(y)} \exp (i y \cdot \xi) \mathrm{d} y \mathrm{~d} \xi \
& =\int_{\mathbb{R}^d} \int_{\mathbb{R}^d}\left(\frac{1}{(2 \pi)^{d / 2}} \int_{\mathbb{R}^{d^2}} g^{(\lambda)}(\xi) \exp (-i(x-y) \xi) \mathrm{d} \xi\right) f(x) \overline{f(y)} \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \
& =\int_{\mathbb{R}^d} \int_{\mathbb{R}^d} \frac{1}{(2 \pi \lambda)^{d / 2}} \exp \left(-\frac{1}{2}|x-y|^2 / \lambda\right) f(x) \overline{f(y)} \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \
& =\int_{\mathbb{R}^d} f * \phi_{\sqrt{\lambda}}(y) \overline{f(y)} \mathrm{d} y, \
&
\end{aligned}
$$
where $\phi_\mu(x):=\mu^{-d} \phi\left(\mu^{-1} x\right)$ with $\phi(y)=(2 \pi)^{-d / 2} \exp \left(-\frac{1}{2}|y|^2\right)$; the change of order of integration is justified by the absolute integrability of the integrand. Applying Proposition 2.34 we find that $\lim {\lambda \downarrow 0} f * \phi{\sqrt{\lambda}}=f$ in $L^2\left(\mathbb{R}^d\right)$. Then,
$$
\lim {\lambda \downarrow 0} \int{\mathbb{R}^d} f * \phi_{\sqrt{\lambda}}(y) \overline{f(y)} \mathrm{d} y=\int_{\mathbb{R}^d} f(y) \overline{f(y)} \mathrm{d} y=|f|_2^2 .
$$
On the other hand,
$$
\lim {\lambda \downarrow 0} \int{\mathbb{R}^d} \exp \left(-\frac{1}{2} \lambda|\xi|^2\right)|\widehat{f}(\xi)|^2 \mathrm{~d} \xi=\int_{\mathbb{R}^d}|\widehat{f}(\xi)|^2 \mathrm{~d} \xi=|\widehat{f}|_2^2
$$
by dominated convergence. This completes the proof.

泛函分析代写

数学代写|泛函分析作业代写Functional Analysis代考|Definition and General Properties

定义 5.17 (傅立叶变换) 。函数的傅里叶变换 $f \in L^1\left(\mathbb{R}^d\right)$ 是函数 $\widehat{f}: \mathbb{R}^d \rightarrow \mathbb{C}$ 被定义为
$$
\widehat{f}(\xi):=\frac{1}{(2 \pi)^{d / 2}} \int_{\mathbb{R}^d} f(x) \exp (-i x \cdot \xi) \mathrm{d} x, \quad \xi \in \mathbb{R}^d
$$
在哪里 $x \cdot \xi:=\sum_{j=1}^d x_j \xi_j$
很明显 $\widehat{f} \in L^{\infty}\left(\mathbb{R}^d\right)$ 和 $|\widehat{f}|{\infty} \leqslant(2 \pi)^{-d / 2}|f|_1$. 这表明运营商 $\mathscr{F}: f \mapsto \widehat{f}$ ，这将被称为傅里叶变 换，定义了一个有界算子 $L^1\left(\mathbb{R}^d\right)$ 到 $L^{\infty}\left(\mathbb{R}^d\right)$. 备注 5.18。在某些情况下，吸收常数很有用 $(2 \pi)^{-d / 2}$ 入措施。将生成的归一化勒贝格测度表示为 $$ \mathrm{d} m(x)=(2 \pi)^{-d / 2} \mathrm{~d} x $$ 人们可以将傅里叶变换解释为来自 $L^1\left(\mathbb{R}^d, m\right) \rightarrow L^{\infty}\left(\mathbb{R}^d, m\right)$ 由 $$ \widehat{f}(\xi):=\int{\mathbb{R}^d} f(x) \exp (-i x \cdot \xi) \mathrm{d} m(x), \quad \xi \in \mathbb{R}^d
$$
这种观点的好处是这个算子是收缩的。然而，在许多应用中，使用归一化勒贝格测度有点人为，因此我们 大多数时候坚持使用 5.4 。
支配收敛定理意味着对于所有 $f \in L^1\left(\mathbb{R}^d\right)$ 功能 $\widehat{f}$ 是顺序连续的，因此是连续的。更多是正确的: 以下 引理表明 $\widehat{f}$ 属于 $C_0\left(\mathbb{R}^d\right)$ ，在无穷远处消失的连续函数的空间。

数学代写|泛函分析作业代写Functional Analysis代考|The Plancherel Theorem

傅立叶变换具有重要意义 $L^2$ 有界属性。
定理 5.23 (Plancherel，初版) 。如果 $f \in L^1\left(\mathbb{R}^d\right) \cap L^2\left(\mathbb{R}^d\right)$ ，然后 $\widehat{f} \in L^2\left(\mathbb{R}^d\right)$ 和
$$
|\widehat{f}|2=|f|_2 $$ 证明自 $f \in L^1\left(\mathbb{R}^d\right), \widehat{f}$ 是有界的并且 $\xi \mapsto \exp \left(-\frac{1}{2} \lambda|\xi|^2\right)|\widehat{f}(\xi)|^2$ 对所有人都是可积的 $\lambda>0$ ，和 $$ \int{\mathbb{R}^d} \exp \left(-\frac{1}{2} \lambda|\xi|^2\right)|\widehat{f}(\xi)|^2 \mathrm{~d} \xi \quad=\int_{\mathbb{R}^d} \exp \left(-\frac{1}{2} \lambda|\xi|^2\right) \widehat{f}(\xi) \bar{f}(\xi) \mathrm{d} \xi=\frac{1}{(2 \pi)^{d / 2}} \int_{\mathbb{R}^d} g^{(\lambda)}(\xi)
$$
在哪里 $\phi_\mu(x):=\mu^{-d} \phi\left(\mu^{-1} x\right)$ 和 $\phi(y)=(2 \pi)^{-d / 2} \exp \left(-\frac{1}{2}|y|^2\right)$; 积分顺序的变化由被积函数的 绝对可积性证明。应用命题 2.34 我们发现 $\lim \lambda \downarrow 0 f * \phi \sqrt{\lambda}=f$ 在 $L^2\left(\mathbb{R}^d\right)$. 然后，
$$
\lim \lambda \downarrow 0 \int \mathbb{R}^d f * \phi_{\sqrt{\lambda}}(y) \overline{f(y)} \mathrm{d} y=\int_{\mathbb{R}^d} f(y) \overline{f(y)} \mathrm{d} y=|f|2^2 $$ 另一方面， $$ \lim \lambda \downarrow 0 \int \mathbb{R}^d \exp \left(-\frac{1}{2} \lambda|\xi|^2\right)|\widehat{f}(\xi)|^2 \mathrm{~d} \xi=\int{\mathbb{R}^d}|\widehat{f}(\xi)|^2 \mathrm{~d} \xi=|\widehat{f}|_2^2
$$
由主导收敛。这就完成了证明。

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金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

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非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

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广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

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有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

tatistics-lab作为专业的留学生服务机构，多年来已为美国、英国、加拿大、澳洲等留学热门地的学生提供专业的学术服务，包括但不限于Essay代写，Assignment代写，Dissertation代写，Report代写，小组作业代写，Proposal代写，Paper代写，Presentation代写，计算机作业代写，论文修改和润色，网课代做，exam代考等等。写作范围涵盖高中，本科，研究生等海外留学全阶段，辐射金融，经济学，会计学，审计学，管理学等全球99%专业科目。写作团队既有专业英语母语作者，也有海外名校硕博留学生，每位写作老师都拥有过硬的语言能力，专业的学科背景和学术写作经验。我们承诺100%原创，100%专业，100%准时，100%满意。

随机分析代写

随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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如果你也在 怎样代写泛函分析Functional Analysis这个学科遇到相关的难题，请随时右上角联系我们的24/7代写客服。

泛函分析，数学分析的分支，处理函数，或函数的函数。它作为一个独立的领域出现在20世纪，当时人们意识到不同的数学过程，从算术到微积分程序，表现出非常相似的特性。

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我们提供的泛函分析Functional Analysis及其相关学科的代写，服务范围广, 其中包括但不限于:

• Statistical Inference 统计推断
• Statistical Computing 统计计算
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数学代写|泛函分析作业代写Functional Analysis代考|Finite-Dimensional Spaces

It is instructive to start with duality of finite-dimensional spaces. As we have seen, every finite-dimensional Banach space is isomorphic to $\mathbb{K}^d$ for some integer $d \geqslant 1$. The dual of $\mathbb{K}^d$ is determined as follows.

Every $\xi \in \mathbb{K}^d$ determines an element $\phi_{\xi} \in\left(\mathbb{K}^d\right)^$ by the prescription $$ \phi_{\xi}(x):=x \cdot \xi=\sum_{n=1}^d x_n \xi_n, \quad x \in \mathbb{K}^d $$ Indeed, the Cauchy-Schwarz inequality implies $\left|\phi_{\xi}(x)\right| \leqslant|x||\xi|$, from which it follows that $\phi_{\xi}$ is bounded and $\left|\phi_{\xi}\right| \leqslant|\xi|$. Conversely, every $\phi \in\left(\mathbb{K}^d\right)^$ is of this form. To see this, let $e_1, \ldots, e_d$ be the standard unit vectors of $\mathbb{K}^d$ and set $\xi_n:=\phi\left(e_n\right)$. Then $\xi:=\left(\xi_1, \ldots, \xi_d\right) \in \mathbb{K}^d$ and, for all $x=\left(x_1, \ldots, x_d\right)=\sum_{n=1}^d x_n e_n$,
$$
\phi(x)=\phi\left(\sum_{n=1}^d x_n e_n\right)=\sum_{n=1}^d x_n \phi\left(e_n\right)=\sum_{n=1}^d x_n \xi_n=x \cdot \xi=\phi_{\xi}(x) .
$$
It follows that $\phi=\phi_{\xi}$. Moreover, $|\xi|^2=\phi_{\xi}(\bar{\xi}) \leqslant\left|\phi_{\xi}\right||\xi|$. Together with the inequality $\left|\phi_{\xi}\right| \leqslant|\xi|$ it follows that $\left|\phi_{\xi}\right|=|\xi|$.
In summary, the correspondence $\phi_{\xi} \leftrightarrow \xi$ establishes an isometric isomorphism
$$
\left(\mathbb{K}^d\right)^* \simeq \mathbb{K}^d
$$

数学代写|泛函分析作业代写Functional Analysis代考|Sequence Spaces

The above proof scheme can easily be extended to identify the duals of the infinitedimensional sequence spaces $c_0$ and $\ell^p$. We begin by proving that the dual of $c_0$ can be identified with $\ell^1$. Every $\xi \in \ell^1$ determines an element $\phi_{\xi} \in\left(c_0\right)^$ by the prescription $$ \phi_{\xi}(x):=\sum_{n \geqslant 1} x_n \xi_n, \quad x \in c_0 $$ Indeed, $$ \left|\phi_{\xi}(x)\right| \leqslant\left(\sup {n \geqslant 1}\left|x_n\right|\right) \sum{n \geqslant 1}\left|\xi_n\right|=|x|_{\infty}|\xi|_1,
$$
so $\phi_{\xi}$ is bounded and $\left|\phi_{\xi}\right| \leqslant|\xi|_1$. Conversely, every $\phi \in\left(c_0\right)^$ is of this form. To see this, let $\left(e_n\right){n \geqslant 1}$ be the sequence of standard unit vectors of $c_0$ and set $\xi_n:=\phi\left(e_n\right)$. We claim that $\sum{n \geqslant 1}\left|\xi_n\right|<\infty$. To see this, choose scalars $c_n \in \mathbb{K}$ of modulus one such that $c_n \xi_n=\left|\xi_n\right|$. The sequence $\left(c_1, \ldots, c_N, 0,0, \ldots\right)$ belongs to $c_0$ and has norm one, and
$$
\sum_{n=1}^N\left|\xi_n\right|=\sum_{n=1}^N c_n \xi_n=\phi\left(\sum_{n=1}^N c_n e_n\right) \leqslant|\phi|
$$
Since $N \geqslant 1$ was arbitrary, this establishes the claim, with bound $|\xi|_1 \leqslant|\phi|$. It follows that $\xi=\left(\xi_1, \xi_2, \ldots\right)$ belongs to $\ell^1$ and for all $x \in c_0$ we have
$$
\phi(x)=\phi\left(\sum_{n \geqslant 1} x_n e_n\right)=\sum_{n \geqslant 1} x_n \phi\left(e_n\right)=\sum_{n \geqslant 1} x_n \xi_n=\phi_{\xi}(x)
$$

It follows that $\phi=\phi_{\xi}$, and the preceding bounds combine to the norm equality $\left|\phi_{\xi}\right|=$ $|\xi|_1$. In summary, the correspondence $\phi_{\xi} \leftrightarrow \xi$ establishes an isometric isomorphism
$$
\left(c_0\right)^* \simeq \ell^1
$$
In much the same way one proves that the dual of $\ell^p, 1 \leqslant p<\infty$, can be represented as $\ell^q$, where $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$. More precisely, every element of $\ell^q$ defines a bounded functional $\phi_{\xi} \in\left(\ell^p\right)^*$ of norm $\left|\phi_{\xi}\right| \leqslant|\xi|_p$ by the same formula as before, this time using Hölder’s inequality
$$
\left|\phi_{\xi}(x)\right|=\left|\sum_{n \geqslant 1} x_n \xi_n\right| \leqslant|x|_p|\xi|_q
$$

泛函分析代写

数学代写|泛函分析作业代写Functional Analysis代考|Finite-Dimensional Spaces

从有限维空间的对偶性开始是有益的。正如我们所见，每个有限维 Banach 空间同构于 $\mathbb{K}^d$ 对于某个整数 $d \geqslant 1$. 的对偶 $K^d{ }^d$ 确定如下。
$$
\phi_{\xi}(x):=x \cdot \xi=\sum_{n=1}^d x_n \xi_n, \quad x \in \mathbb{K}^d
$$
实际上，Cauchy-Schwarz 不等式意味着 $\left|\phi_{\xi}(x)\right| \leqslant|x||\xi|$ ，由此得出 $\phi_{\xi}$ 是有界的并且 $\left|\phi_{\xi}\right| \leqslant|\xi|$. 相 $\mathbb{K}^d$ 并设置 $\xi_n:=\phi\left(e_n\right)$. 然后 $\xi:=\left(\xi_1, \ldots, \xi_d\right) \in \mathbb{K}^d$ 并且，对于所有人
$$
\begin{aligned}
x=\left(x_1, \ldots, x_d\right) & =\sum_{n=1}^d x_n e_n \
\phi(x) & =\phi\left(\sum_{n=1}^d x_n e_n\right)=\sum_{n=1}^d x_n \phi\left(e_n\right)=\sum_{n=1}^d x_n \xi_n=x \cdot \xi=\phi_{\xi}(x) .
\end{aligned}
$$
它遵循 $\phi=\phi_{\xi}$. 而且， $|\xi|^2=\phi_{\xi}(\bar{\xi}) \leqslant\left|\phi_{\xi}\right||\xi|$. 与不平等一起 $\left|\phi_{\xi}\right| \leqslant|\xi|$ 它遵循 $\left|\phi_{\xi}\right|=|\xi|$.
总之，信件 $\phi_{\xi} \leftrightarrow \xi$ 建立等距同构
$$
\left(\mathbb{K}^d\right)^* \simeq \mathbb{K}^d
$$

数学代写|泛函分析作业代写Functional Analysis代考|Sequence Spaces

上面的证明方案可以很容易地扩展到识别无限维序列空间的对偶 $c_0$ 和 $\ell^p$. 我们首先证明 $c_0$ 可以识别为 $\ell^1$.
$$
\phi_{\xi}(x):=\sum_{n \geqslant 1} x_n \xi_n, \quad x \in c_0
$$
的确，
$$
\left|\phi_{\xi}(x)\right| \leqslant\left(\sup n \geqslant 1\left|x_n\right|\right) \sum n \geqslant 1\left|\xi_n\right|=|x|{\infty}|\xi|_1 $$ 所以 $\phi{\xi}$ 是有界的并且 $\left|\phi_{\xi}\right| \leqslant|\xi|1$. 相反，每个\lphi linVleft(c_olright)^ 是这种形式。为了看到这一点，让 $\left(e_n\right) n \geqslant 1$ 是标准单位向量的序列 $c_0$ 并设置 $\xi_n:=\phi\left(e_n\right)$. 我们声称 $\sum n \geqslant 1\left|\xi_n\right|<\infty$. 要看到这一 点，请选择标量 $c_n \in \mathbb{K}$ 模数一使得 $c_n \xi_n=\left|\xi_n\right|$. 序列 $\left(c_1, \ldots, c_N, 0,0, \ldots\right)$ 属于 $c_0$ 并且有标准一，并 且 $$ \sum{n=1}^N\left|\xi_n\right|=\sum_{n=1}^N c_n \xi_n=\phi\left(\sum_{n=1}^N c_n e_n\right) \leqslant|\phi|
$$
自从 $N \geqslant 1$ 是任意的，这确立了主张，具有约束力 $|\xi|1 \leqslant|\phi|$. 它遵循 $\xi=\left(\xi_1, \xi_2, \ldots\right)$ 属于 $\ell^1$ 对于所有 $人 x \in c_0$ 我们有 $$ \phi(x)=\phi\left(\sum{n \geqslant 1} x_n e_n\right)=\sum_{n \geqslant 1} x_n \phi\left(e_n\right)=\sum_{n \geqslant 1} x_n \xi_n=\phi_{\xi}(x)
$$
它遵循 $\phi=\phi_{\xi}$ ，和前面的边界结合到范数相等 $\left|\phi_{\xi}\right|=|\xi|1$. 总之，信件 $\phi{\xi} \leftrightarrow \xi$ 建立等距同构
$$
\left(c_0\right)^* \simeq \ell^1
$$
以几乎相同的方式证明 $\ell^p, 1 \leqslant p<\infty$ ，可以表示为 $\ell^q$ ，在哪里 $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$. 更准确地说，每一个元素 $\ell^q$ 定义有界泛函 $\phi_{\xi} \in\left(\ell^p\right)^*$ 规范的 $\left|\phi_{\xi}\right| \leqslant|\xi|p$ 通过与之前相同的公式，这次使用 Hölder 不等式 $$ \left|\phi{\xi}(x)\right|=\left|\sum_{n \geqslant 1} x_n \xi_n\right| \leqslant|x|_p|\xi|_q
$$

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写

随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

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多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

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MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

R语言代写	问卷设计与分析代写
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• Statistical Inference 统计推断
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数学代写|泛函分析作业代写Functional Analysis代考|The Hermite Polynomials

In this section we prove that the Hermite polynomials form an orthonormal basis for $L^2(\mathbb{R}, \gamma)$, where $\gamma$ is the standard Gaussian measure on $\mathbb{R}$. This is the Borel probability measure on $\mathbb{R}$ which is given, for Borel sets $B \subseteq \mathbb{R}$, by
$$
\gamma(B)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_B \exp \left(-\frac{1}{2} x^2\right) \mathrm{d} x
$$
The Hermite polynomials will resurface in Chapters 9,13 , and 15 in connection with the spectral theorem, the Ornstein-Uhlenbeck semigroup, and second quantisation, respectively.

Definition 3.31. For $n \in \mathbb{N}$ the Hermite polynomials $H_n: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ are defined by the identity
$$
H(t, x):=\exp \left(t x-\frac{1}{2} t^2\right)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{t^n}{n !} H_n(x), \quad t, x \in \mathbb{R}
$$
The first five Hermite polynomials are given by
$$
\begin{aligned}
& H_0(x)=1 \
& H_1(x)=x \
& H_2(x)=x^2-1 \
& H_3(x)=x^3-3 x
\end{aligned}
$$

$$
H_4(x)=x^4-6 x^2+3 .
$$
By induction one shows that
$$
H_n(x)=\sum_{k=0}^{\lfloor n / 2\rfloor} \frac{(-1)^k}{2^k} \frac{n !}{k !(n-2 k) !} x^{n-2 k}, \quad n \in \mathbb{N} .
$$
Proposition 3.32. The Hermite polynomials have the following properties:
(i) $H_n(-x)=(-1)^n H_n(x)$;
(ii) $H_{n+2}(x)=x H_{n+1}(x)-(n+1) H_n(x)$;
(iii) $H_{n+1}^{\prime}(x)=(n+1) H_n(x)$;
(iv) $H_n$ is a monic polynomial of order $n$.
Proof Property (i) follows from the identity $H(t,-x)=H(-t, x)$, (ii) from the identity $\frac{\partial H}{\partial t}(t, x)=(x-t) H(t, x)$, and (iii) from $\frac{\partial H}{\partial x}(t, x)=t H(t, x)$. Assertion (iv) follows from
(ii) and the fact that $H_0(x)=1$.

数学代写|泛函分析作业代写Functional Analysis代考|Tensor Bases

Let $\mu_j$ be a finite Borel measure on a compact metric space $K_j$ for each $j=1, \ldots, k$, and let $K=K_1 \times \cdots \times K_k$ and $\mu=\mu_1 \times \cdots \times \mu_k$ be their products. If $\left(f_n^{(j)}\right){n \geqslant 1}$ is an orthonormal basis for $L^2\left(K_j, \mu_k\right)$ for each $j=1, \ldots, k$, then the functions $$ f_n(x):=f{n_1}^{(1)}\left(x_1\right) \cdots f_{n_k}^{(k)}\left(x_k\right), \quad n \in{1,2, \ldots}^k
$$
form an orthonormal basis for $L^2(K, \mu)$. Orthonormality being clear, in view of Theorem 3.21 it remains to check that the span of the functions $f_n$ is dense. This follows from the fact that $C(K)$ is dense in $L^2(K, \mu)$ by the observation in Remark 2.31 and the fact that functions of the form $g(x):=g^{(1)}\left(x_1\right) \cdots g^{(k)}\left(x_k\right)$ with $g^{(j)} \in C\left(K_j\right)$ for all $j=1, \ldots, k$ are dense in $C(K)$ by Example 2.10. Since each of the functions $g^{(j)}$ can be approximated in $L^2\left(K_j, \mu_j\right)$ by linear combinations of the functions $f_n^{(j)}, g$ can be approximated in $L^2(K, \mu)$ by linear combinations of the functions $f_n$.

This is a special case of a more general construction involving tensor products of Hilbert spaces (see Chapters 14 and 15 , in particular $(14.3)$ ): if $\left(h_n^{(j)}\right){n \geqslant 1}$ is an orthonormal basis for the Hilbert space $H_j, j=1, \ldots, k$, then the vectors $$ h_n(x):=h{n_1}^{(1)} \otimes \cdots \otimes h_{n_k}^{(k)}, \quad n \in{1,2, \ldots}^k,
$$
form an orthonormal basis for the Hilbert space tensor product $H=H_1 \otimes \cdots \otimes H_k$.

泛函分析代写

数学代写|泛函分析作业代写Functional Analysis代考|The Hermite Polynomials

在本节中，我们将证明 Hermite 多项式构成了以下的标准正交基 $L^2(\mathbb{R}, \gamma)$ ， 在哪里 $\gamma$ 是标准高斯测度 $\mathbb{R}$. 这是 Borel 概率测度 $\mathbb{R}$ 这是给定的，对于 Borel 集 $B \subseteq \mathbb{R}$ ，经过
$$
\gamma(B)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_B \exp \left(-\frac{1}{2} x^2\right) \mathrm{d} x
$$
Hermite 多项式将在第 9、13 章和第 15 章中重新出现，分别与谱定理、Ornstein-Uhlenbeck 半群和二 次量化相关。
定义 3.31。为了 $n \in \mathbb{N}$ 埃尔米特多项式 $H_n: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ 由身份定义
$$
H(t, x):=\exp \left(t x-\frac{1}{2} t^2\right)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{t^n}{n !} H_n(x), \quad t, x \in \mathbb{R}
$$
前五个 Hermite 多项式由下式给出
$$
\begin{gathered}
H_0(x)=1 \quad H_1(x)=x H_2(x)=x^2-1 \quad H_3(x)=x^3-3 x \
H_4(x)=x^4-6 x^2+3 .
\end{gathered}
$$
通过归纳表明
$$
H_n(x)=\sum_{k=0}^{\lfloor n / 2\rfloor} \frac{(-1)^k}{2^k} \frac{n !}{k !(n-2 k) !} x^{n-2 k}, \quad n \in \mathbb{N}
$$
提案 3.32。Hermite 多项式具有以下性质:
$$
\begin{aligned}
& \text { (i) } H_n(-x)=(-1)^n H_n(x) \text {; } \
& \text { (二) } H_{n+2}(x)=x H_{n+1}(x)-(n+1) H_n(x) \text {; } \
& \text { (三) } H_{n+1}^{\prime}(x)=(n+1) H_n(x) \text {; }
\end{aligned}
$$
(四) $H_n$ 是阶的一元多项式 $n$.
证明属性 (i) 从恒等式得出 $H(t,-x)=H(-t, x)$ ，(ii) 从身份 $\frac{\partial H}{\partial t}(t, x)=(x-t) H(t, x)$ ，以及
(iii) 来自 $\frac{\partial H}{\partial x}(t, x)=t H(t, x)$. 断言 (iv) 从
(ii) 得出，事实是 $H_0(x)=1$.

数学代写|泛函分析作业代写Functional Analysis代考|Tensor Bases

让 $\mu_j$ 是坚度量空间上的有限 Borel 测度 $K_j$ 每个 $j=1, \ldots, k$ ，然后让 $K=K_1 \times \cdots \times K_k$ 和 $\mu=\mu_1 \times \cdots \times \mu_k$ 成为他们的产品。如果 $\left(f_n^{(j)}\right) n \geqslant 1$ 是正交基 $L^2\left(K_j, \mu_k\right)$ 每个 $j=1, \ldots, k_r$ 那 么函数
$$
f_n(x):=f n_1^{(1)}\left(x_1\right) \cdots f_{n_k}^{(k)}\left(x_k\right), \quad n \in 1,2, \ldots{ }^k
$$
形成正交基础 $L^2(K, \mu)$. 正交性很清楚，鉴于定理 3.21，仍然要检查函数的跨度 $f_n$ 是密集的。这是因为 $C(K)$ 密集在 $L^2(K, \mu)$ 通过备注 2.31 中的观察以及表格的功能这一事实
$g(x):=g^{(1)}\left(x_1\right) \cdots g^{(k)}\left(x_k\right)$ 和 $g^{(j)} \in C\left(K_j\right)$ 对全部 $j=1, \ldots, k$ 密集在 $C(K)$ 通过示例 2.10。
由于每个函数 $g^{(j)}$ 可以近似为 $L^2\left(K_j, \mu_j\right)$ 通过函数的线性组合 $f_n^{(j)}, g$ 可以近似为 $L^2(K, \mu)$ 通过函数的 线性组合 $f_n$.
这是涉及莃尔伯特空间张量积的更一般构造的特例（参见第 14 章和第 15 章，特别是(14.3)）： 如果 $\left(h_n^{(j)}\right) n \geqslant 1$ 是莃尔伯特空间的正交基 $H_j, j=1, \ldots, k$, 那么向量
$$
h_n(x):=h n_1^{(1)} \otimes \cdots \otimes h_{n_k}^{(k)}, \quad n \in 1,2, \ldots{ }^k,
$$
形成希尔伯特空间张量积的正交基 $H=H_1 \otimes \cdots \otimes H_k$.

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写

随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

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回归分析代写

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数学代写|泛函分析作业代写Functional Analysis代考|Elementary Properties of the Weak* Topology

When $X$ is a Banach space and $Y$ is a dense subspace, the dual spaces $X^$ and $Y^$ are canonically isomorphic because every bounded linear functional on $Y$ extends uniquely to a bounded linear functional on $X$. The extension has the same norm as the original linear functional on $Y$ and hence the canonical isomorphism $X^* \rightarrow Y^:\left.x^ \mapsto x^\right|_Y$ is an isometry. However, the wcak topologics of $X^$ and $Y^$ may diffcr dramatically. Namcly, by part (i) of Theorem $3.12$ the space of weak* conlinuous linear funclionals on $Y^$ can be identified with the original normed vector space $Y$ and so may be much smaller than the space of weak continuous linear functionals on $X^$. In other words, the completion of a normed vector space is a Banach space and both spaces have the same dual space, however, their weak topologies differ. Thus great care must be taken when dealing with the weak* topology of the dual space of a normed vector space versus that of the dual space of a Banach space.

Corollary 3.25 (Weak* Continuous Linear Functionals). Let $X$ be a real normed vector space and let $\Lambda: X^* \rightarrow \mathbb{R}$ be a linear functional on its dual space. Then the following are equivalent.
(i) $\Lambda$ is continuous with respect to the weak ${ }^$ topology on $X^$.
(ii) The kernel of $\Lambda$ is a weak* closed linear subspace of $X^$. (iii) $\Lambda$ belongs to the image of the inclusion $\iota: X \rightarrow X^{ }$ in (2.39), i.e. there exists an element $x \in X$ such that $\Lambda\left(x^\right)=\left\langle x^, x\right\rangle$ for all $x^ \in X^*$.

Proof. This follows directly from part (i) of Theorem $3.12$ and the definition of the weak* topology in Example 3.9.
Corollary 3.26 (Weak* Closure of a Subspace). Let. $X$ he a real normed. vector space and let $E \subset X^$ be a lincar subspace of its dual spacc. Then the following holds. (i) The linear subspace $\left({ }^{\perp} E\right)^{\perp}$ is the weak $k^$ closure of $E$.
(ii) $E$ is weak $k^$ closed if and only if $E=\left({ }^{\perp} E\right)^{\perp}$ (iii) $E$ is weak ${ }^$ dense in $X^$ if and only if ${ }^{\perp} E={0}$. Proof. By Corollary $3.25$ the pre-annihilator of $E$ is the space of weak continuous linear functionals on $X^$ that vanish on $E$. Hence part (i) follows from part (ii) of Theorem 3.12. Part (ii) follow directly from (i). Part (iii) follows from (i) and the fact that any subset $S \subset X$ satisfies $S^{\perp}=X^$ if and only if $S \subset{0}$ by Corollary 2.35. This proves Corollary $3.26$.

数学代写|泛函分析作业代写Functional Analysis代考|The Banach–Alaoglu Theorem

We prove two versions of the Banach-Alaoglu Theorem. The first version holds for separable normed vector spaces and asserts that every bounded sequence in the dual space has a weak* convergent subsequence.
Theorem 3.30 (Banach-Alaoglu: The Separable Case).
Let $X$ be a separable real normed vector space. Then every bounded sequence in the dual space $X^$ has a weak convergent subsequence.

Proof. Let subset $D=\left{x_1, x_2, x_3, \ldots\right} \subset X$ be a countable dense subset and let $\left(x_n^\right){n \in \mathbb{N}}$ be a bounded sequence in $X^$. Then the standard diagonal sequence argument shows that there is a subsequence $\left(x{n_i}^\right){i \in \mathbb{N}}$ such that the sequence of real numbers $\left(\left\langle x{n_i}^, x_k\right\rangle\right){i \in \mathbb{N}}$ converges for every $k \in \mathbb{N}$. More precisely, the sequence $\left(\left\langle x_n^, x_1\right\rangle\right){n \in \mathbb{N}}$ is bounded and hence has a convergent subsequence $\left(\left\langle x_{n_{i, 1}}^, x_1\right\rangle\right){i \in \mathbb{N}}$. Since the sequence $\left(\left\langle x{n_{i, 1}}^, x_2\right\rangle\right){i \in \mathbb{N}}$ is bounded it has a convergent subsequence $\left(\left\langle x{n_{i, 2}}^, x_2\right\rangle\right){i \in \mathbb{N}}$. Continue by induction and use the axiom of dependent choice (see page 10) to construct a sequence of subsequences $\left(x{n_{i, k}}\right){i \in \mathbb{N}}$ such that, for every $k \in \mathbb{N},\left(x{n_{i, k+1}}\right){i \in \mathbb{N}}$ is a subsequence of $\left(x{n_{i, k}}\right){i \in \mathbb{N}}$ and the sequence $\left(\left\langle x{n_{i, k}}^, x_k\right\rangle\right){i \in \mathbb{N}}$ converges. Now consider the diagonal subsequence $x{n_i}^:=x_{n_{i, i}}^$. Then the sequence $\left(\left\langle x_{n_i}^, x_k\right\rangle\right)_{i \in \mathbb{N}}$ converges for every $k \in \mathbb{N}$ as claimed.

With this understood, it follows from the equivalence of (ii) and (iii) in Theorem 2.5, with $Y=\mathbb{R}$ and $A_i$ replaced by the bounded linear functional $x_{n_i}^: X \rightarrow \mathbb{R}$, that there exists an element $x^ \in X^$ such that $\left\langle x^, x\right\rangle=$ $\lim {i \rightarrow \infty}\left\langle x{n_i}^, x\right\rangle$ for all $x \in X$. Hence the sequence $\left(x_{n_i}^\right)_{i \in \mathbb{N}}$ converges to $x^$ in the weak topology as claimed. This proves Theorem $3.30$.

Example 3.31. This example shows that the hypothesis that $X$ is separable cannot be removed in Theorem 3.30. The Banach space $X=\ell^{\infty}$ with the supremum norm is not separable. For $n \in \mathbb{N}$ define the bounded linear functional $\Lambda_n: \ell^{\infty} \rightarrow \mathbb{R}$ by $\Lambda_n(x):=x_n$ for $x=\left(x_i\right){i \in \mathbb{N}} \in \ell^{\infty}$. Then the sequence $\left(\Lambda_n\right){n \in \mathbb{N}}$ in $X^$ does not have a weak convergent subsequence. To see this, let $n_1<n_2<n_3<\cdots$ be any sequence of positive integers and define the sequence $x=\left(x_i\right){i \in \mathbb{N}} \in \ell^{\infty}$ by $x_i:=1$ for $i=n{2 k}$ with $k \in \mathbb{N}$ and by $x_i:=-1$ otherwise. Then $\Lambda_{n_k}(x)=x_{n_k}=(-1)^k$ and hence the sequence of real numbers $\left(\Lambda_{n_k}(x)\right){k \in \mathbb{N}}$ does not converge. Thus the subsequence $\left(\Lambda{n_k}\right)_{k \in \mathbb{N}}$ in $X^$ does not converge in the weak topology.

泛函分析代写

数学代写|泛函分析作业代写Functional Analysis代考|Elementary Properties of the Weak* Topology

什么时候 $X$ 是巴拿赫空间，并且 $Y$ 是稠密子空间，对偶空间 $\mathrm{X}^{\wedge}$ 和是^是规范同构的，因为每个有界线 性泛函 $Y$ 唯一地扩展到有界线性泛函 $X$. 扩展具有与原始线性泛函相同的范数 $Y$ 因此规范同构 的不同。Namcly，由定理的 (i) 部分 $3.12$ 上的弱连续线性泛函的空间是^可以用原始赋范向量空间 来标识 $Y$ 因此可能比上的弱连续线性泛函空间小得䏧 $\mathrm{X}^{\wedge}$. 换言之，赋范向量空间的补全是一个Banach 空间，两个空间具有相同的对偶空间，但弱拓扑不同。因此，在处理赋范向量空间的对偶空间与 Banach 空间的对偶空间的弱拓扑时，必须格外小心。
推论 $3.25$ (弱连续线性泛函）。让 $X$ 是实数珷范向量空间，令 $\Lambda: X^ \rightarrow \mathbb{R}$ 是其对偶空间上的线性 泛函。那么以下是等价的。
(我) $\Lambda$ 对于弱者是连续的 {}$^{\wedge}$ 拓扑上 $\mathrm{X}^{\wedge}$.
(ii) 内核 $\Lambda$ 是一个弱封闭线性子空间 $\mathrm{X}^{\wedge}$. (三) $\Lambda$ 属于包含的形象 $\iota: X \rightarrow X$ 在 (2.39) 中，即存在一个 元素 $x \in X$ 这样 $\backslash$ Lambda\left( $\left(\mathrm{x}^{\wedge} \backslash\right.$ right $)=\backslash$ left $\backslash$ langle $\mathrm{x}^{\wedge}, \mathrm{x} \backslash$ right $\backslash$ rangle 对全部 $x^{\in} X^$.
证明。这直接来自定理的 (i) 部分 $3.12$ 以及示例 $3.9$ 中 weak* 拓扑的定义。
推论 $3.26$ (子空间的弱*闭包) 。让。 $X$ 他是一个真正的规范。向量空间并让E子集X^是其对偶 spacc 的线性子空间。然后以下内容成立。(i) 线性子空间 $\left({ }^{\perp} E\right)^{\perp}$ 是弱者 $\mathrm{k}^{\wedge}$ 关闭 $E$.
(二) $E$ 弱 $\mathrm{k}^{\wedge}$ 关闭当且仅当 $E=\left({ }^{\perp} E\right)^{\perp}$ (三) $E$ 弱 {}$^{\wedge}$ 密密麻麻 $\mathrm{X}^{\wedge}$ 当且仅当 ${ }^{\perp} E=0$. 证明。通过推论
$3.25$ 的预歼化者 $E$ 是上的弱连续线性泛函空间 $\mathrm{X}^{\wedge}$ 消失在 $E$. 因此，第 (i) 部分来自定理 $3.12$ 的第 (ii) 部 分。第 (ii) 部分直接来自 (i)。第 (iii) 部分来自 (i) 以及任何子集的事实 $S \subset X$ 满足 $\mathrm{S}^{\wedge}{\backslash p e r p}=\mathrm{X}^{\wedge}$ 当且仅 当 $S \subset 0$ 根据推论 2.35。这证明了推论 $3.26$.

数学代写|泛函分析作业代写Functional Analysis代考|The Banach–Alaoglu Theorem

我们证明了 Banach-Alaoglu 定理的两个版本。第一个版本适用于可分离赋范向量空间，并断言对偶空 间中的每个有界序列都有一个弱*收敛子序列。
定理 $3.30$ (Banach-Alaoglu：可分格) 。
让 $X$ 是一个可分实赋范向量空间。那么对偶空间 $\$ X^{\wedge} \$$ 中的每一个有界序列都有一个弱收敛子序列。
\eft $\left(X_{_} n^{\wedge} \backslash r i g h t\right){n \backslash i n \backslash m a t h b b{N}}$ 是一个有界序列 X^. 那么标准对角序列论证表明有一个子序列
序列 $\left(\left\langle x_n^{\prime} x_1\right\rangle\right) n \in \mathbb{N}$ 是有界的，因此有一个收敛的子序列 $\left(\left\langle x_{n_{i, 1}}^{\prime} x_1\right\rangle\right) i \in \mathbb{N}$. 由于顺序
$\left(\left\langle x n_{i, 1} x_2\right\rangle\right) i \in \mathbb{N}$ 是有界的，它有一个收敛的子序列 $\left(\left\langle x n_{i, 2}{ }^{\prime} x_2\right\rangle\right) i \in \mathbb{N}$. 继续归纳并使用依赖选择 公理 (参见第 10 页) 来构造子序列序列 $\left(x n_{i, k}\right) i \in \mathbb{N}$ 这样，对于每个 $k \in \mathbb{N},\left(x n_{i, k+1}\right) i \in \mathbb{N}$ 是的 子序列 $\left(x n_{i, k}\right) i \in \mathbb{N}$ 和顺序 $\left(\left\langle x n_{i, k} x_k x_k\right\rangle\right) i \in \mathbb{N}$ 收敛。现在考虑对角子序列 $\mathrm{x}\left{\mathrm{n}{-} \mathrm{i}^{\wedge}:=\mathrm{x} _\left{\mathrm{n} _{i, \mathrm{i}}^{\wedge} \text {. 然 }\right.\right.$ 后顺序 $\left(\left\langle x{n_i} x_k\right\rangle\right){i \in \mathbb{N}}$ 收敛于每个 $k \in \mathbb{N}$ 正如所声称的那样。 有了这个理解，就可以从定理 $2.5$ 中 (ii) 和 (iii) 的等价性得出， $Y=\mathbb{R}$ 和 $A_i$ 替换为有界线性泛函 $x{n_i}^{:} X \rightarrow \mathbb{R}$ ，存在一个元素 $X{ }^{\mathrm{x}^{\wedge} \text { 在 } \mathrm{X}^{\wedge}}$ 这样 $\left\langle x^{\prime} x\right\rangle=\lim i \rightarrow \infty\left\langle x n_i{ }^{\prime} x\right\rangle$ 对全部 $x \in X$. 因此序列 Veft(X_{n_i $\left.}^{\wedge} \backslash r i g h t\right){i \backslash$ \in \mathbb ${\mathrm{N}}}$ 收敛于 $\mathrm{x}^{\wedge}$ 在所声称的弱拓扑中。这证明定理3.30.
示例 3.31。这个例子表明假设 $X$ 在定理 $3.30$ 中是不可分离的。巴拿赫空间 $X=\ell^{\infty}$ 与最高规范密不 可分。为了 $n \in \mathbb{N}$ 定义有界线性泛函 $\Lambda_n: \ell^{\infty} \rightarrow \mathbb{R}$ 经过 $\Lambda_n(x):=x_n$ 为了 $x=\left(x_i\right) i \in \mathbb{N} \in \ell^{\infty}$. 然后顺序 $\left(\Lambda_n\right) n \in \mathbb{N}$ 在 $\mathrm{X}^{\wedge}$ 没有弱收敛子序列。为了看到这一点，让 $n_1<n_2<n_3<\cdots$ 是任何正 整数序列并定义序列 $x=\left(x_i\right) i \in \mathbb{N} \in \ell^{\infty}$ 经过 $x_i:=1$ 为了 $i=n 2 k$ 和 $k \in \mathbb{N}$ 并通过 $x_i:=-1$ 否 则。然后 $\Lambda_{n_k}(x)=x_{n_k}=(-1)^k$ 因此实数序列 $\left(\Lambda_{n_k}(x)\right) k \in \mathbb{N}$ 不收敛。因此后续 $\left(\Lambda n_k\right)_{k \in \mathbb{N}}$ 在 $\mathrm{X}^{\wedge}$ 不收敛于弱拓扑。

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数学代写|泛函分析作业代写Functional Analysis代考|Definition and Examples

Recall that the product topology on a product $X \times Y$ of two topological spaces $X$ and $Y$ is defined as the weakest topology on $X \times Y$ that contains all subsets of the form $U \times V$ where $U \subset X$ and $V \subset Y$ are open. Equivalently, it is the weakest topology on $X \times Y$ such that the projections $\pi_X: X \times Y \rightarrow X$ and $\pi_Y: X \times Y \rightarrow Y$ are continuous.
Definition $3.1$ (Topological Vector Space).
A topological vector space is a pair $(X, \mathscr{U})$ where $X$ is a real vector space and $\mathscr{U} \subset 2^X$ is a topology such that the structure maps
$$
X \times X \rightarrow X:(x, y) \mapsto x+y, \quad \mathbb{R} \times X \rightarrow X:(\lambda, x) \mapsto \lambda x
$$
are continuous with respect to the product topologies on $X \times X$ and $\mathbb{R} \times X$. A topological vector space $(X, \mathscr{U})$ is called locally convex if, for every open set $U \subset X$ and every $x \in U$, there is an open set $V \subset X$ such that
$$
x \in V \subset U, \quad V \text { is convex. }
$$
Example $3.2$ (Strong Topology). Every normed vector space $(X,|\cdot|)$ is a topological vector space with the topology $\mathscr{U}^{\mathrm{s}}:=\mathscr{U}(X,|\cdot|)$ induced by the norm as in Definition 1.2. This is sometimes called the strong topology or norm topology to distinguish it from other weaker topologies discussed below.

Example 3.3 (Smooth Functions). The space $X:=C^{\infty}(\Omega)$ of smooth functions on an open subset $\Omega \subset \mathbb{R}^n$ is a locally convex Hausdorff topological vector space. The topology is given by uniform convergence with all derivatives on compact sets and is induced by the complete metric
$$
d(f, g):=\sum_{\ell=1}^{\infty} 2^{-\ell} \frac{|f-g|_{C^{\ell}\left(K_{\ell}\right)}}{1+|f-g|_{C^{\ell}\left(K_{\ell}\right)}} .
$$
Here $K_{\ell} \subset \Omega$ is an exhausting sequence of compact sets.

数学代写|泛函分析作业代写Functional Analysis代考|Convex Sets

This subsection picks up the topic of separating a pair of nonempty disjoint convex sets by a hyperplane. For normed vector spaces this problem was examined in Section 2.3.3. The main result (Theorem 2.41) and its proof carry over almost verbatim to topological vector spaces (see Theorem 3.11). The next lemma shows that the closure and interior of a convex subset of a topological vector space are again convex.

Lemma 3.10. Let $X$ be a topological vector space and let $K \subset X$ be a convex subset. Then the closure $\bar{K}$ and the interior $\operatorname{int}(K)$ are convex subsets of $X$. Moreover, if $\operatorname{int}(K) \neq \emptyset$ then $K \subset \overline{\operatorname{int}(K)}$.

Proof. We prove that $\operatorname{int}(K)$ is convex. Let $x_0, x_1 \in \operatorname{int}(K)$, choose a real number $0<\lambda<1$, and define $x_\lambda:=(1-\lambda) x_0+\lambda x_1$. Choose open sets $U_0, U_1 \subset X$ such that $x_0 \subset U_0 \subset K$ and $x_1 \subset U_1 \subset K$ and define
$$
U:=\left(U_0-x_0\right) \cap\left(U_1-x_1\right)=\left{x \in X \mid x_0+x \in U_0, x_1+x \in U_1\right} .
$$
Then $U \subset X$ is an open set containing the origin such that $x_0+U \subset K$ and $x_1+U \subset K$. Since $K$ is convex, this implies that $x_\lambda+U$ is an open subset of $K$ containing $x_\lambda$. Hence $x_\lambda \in \operatorname{int}(K)$.

We prove that $\bar{K}$ is convex. Let $x_0, x_1 \in \bar{K}$, choose a real number $0<\lambda<1$, and define $x_\lambda:=(1-\lambda) x_0+\lambda x_1$. Let $U$ be an open neighborhood of $x_\lambda$. Then the set
$$
W:=\left{\left(y_0, y_1\right) \in X \times X \mid(1-\lambda) y_0+\lambda y_1 \in U\right}
$$
is an open neighborhood of the pair $\left(x_0, x_1\right)$, by continuity of addition and scalar multiplication. Hence there exist open sets $U_0, U_1 \subset X$ such that
$$
x_0 \in U_0, \quad x_1 \in U_1, \quad U_0 \times U_1 \subset W .
$$
Since $x_0, x_1 \in \bar{K}$, the sets $U_0 \cap K$ and $U_1 \cap K$ are nonempty. Choose elements $y_0 \in U_0 \cap K$ and $y_1 \in U_1 \cap K$. Then $\left(y_0, y_1\right) \in U_0 \times U_1 \subset W$ and hence $y_\lambda:=(1-\lambda) y_0+\lambda y_1 \in U \cap K$. Thus $U \cap K \neq \emptyset$ for every open neighborhood $U$ of $x_\lambda$ and so $x_\lambda \in \bar{K}$.

We prove the last assertion. Assume $\operatorname{int}(K) \neq \emptyset$ and fix an element $x \in K$. Then the set $U_x:={t x+(1-t) y \mid y \in \operatorname{int}(K), 0<t \leq 1}$ is open and contained in $K$. Hence $U_x \subset \operatorname{int}(K)$ and so $x \in \bar{U}_x \subset \overline{\operatorname{int}(K)}$. This proves Lemma $3.10$.

泛函分析代写

数学代写|泛函分析作业代写Functional Analysis代考|Definition and Examples

回想一下产品上的产品拓扑 $X \times Y$ 两个拓扑空间 $X$ 和 $Y$ 被定义为最弱的拓扑 $X \times Y$ 包含表单的所有 子集 $U \times V$ 在哪里 $U \subset X$ 和 $V \subset Y$ 是开放的。等价地，它是最弱的拓扑 $X \times Y$ 这样的预测 $\pi_X: X \times Y \rightarrow X$ 和 $\pi_Y: X \times Y \rightarrow Y$ 是连续的。
定义 $3.1$ (拓扑向量空间)。
一个拓扑向量空间是一对 $(X, \mathscr{U})$ 在哪里 $X$ 是一个实向量空间并且 $\mathscr{U} \subset 2^X$ 是一个拓扑结构映射
$$
X \times X \rightarrow X:(x, y) \mapsto x+y, \quad \mathbb{R} \times X \rightarrow X:(\lambda, x) \mapsto \lambda x
$$
相对于产品拓扑结构是连续的 $X \times X$ 和 $\mathbb{R} \times X$. 拓扑向量空间 $(X, \mathscr{U})$ 被称为局部凸的如果，对于每 个开集 $U \subset X$ 每一个 $x \in U$ ，有一个开集 $V \subset X$ 这样
$x \in V \subset U, \quad V$ is convex.
例子 $3.2$ (强拓扑) 。每个眻范向量空间 $(X,|\cdot|)$ 是一个拓扑向量空间，拓扑 $\mathscr{U}^{\mathrm{s}}:=\mathscr{U}(X,|\cdot|)$ 由定 义 $1.2$ 中的规范引起。这有时被称为强䂲扑或规范拓扑，以将其与下面讨论的其他较弱拓扑区分开来。
示例 $3.3$ (平滑函数）。空间 $X:=C^{\infty}(\Omega)$ 开子集上的光滑函数 $\Omega \subset \mathbb{R}^n$ 是局部凸的 Hausdorff拓扑 向量空间。拓扑由紧矤集上所有导数的一致收敛给出，并由完整度量导出
$$
d(f, g):=\sum_{\ell=1}^{\infty} 2^{-\ell} \frac{|f-g|{C^{\ell}\left(K{\ell}\right)}}{1+|f-g|{C^{\ell}\left(K{\ell}\right)}} .
$$
这里 $K_{\ell} \subset \Omega$ 是紧集的穷尽序列。

数学代写|泛函分析作业代写Functional Analysis代考|Convex Sets

本小节讨论用超平面分离一对非空不相交凸集的主题。对于赋范向量空间，这个问题在 $2.3 .3$ 节中进行 了检查。主要结果（定理 2.41）及其证明几乎一字不差地适用于拓扑向量空间（见定理 3.11）。下一 个引理表明拓扑向量空间的凸子集的闭包和内部也是凸的。
引理 3.10。让 $X$ 是一个拓扑向量空间并且让 $K \subset X$ 是一个凸子集。然后关闭 $\bar{K}$ 和内部int $(K)$ 是凸子 集 $X$. 此外，如果int $(K) \neq \emptyset$ 然后 $K \subset \overline{\operatorname{int}(K)}$.
证明。我们证明 $\operatorname{int}(K)$ 是凸的。让 $x_0, x_1 \in \operatorname{int}(K)$ ， 选择一个实数 $0<\lambda<1$ ，并定义 $x_\lambda:=(1-\lambda) x_0+\lambda x_1$. 选择开集 $U_0, U_1 \subset X$ 这样 $x_0 \subset U_0 \subset K$ 和 $x_1 \subset U_1 \subset K$ 并定义
然后 $U \subset X$ 是一个包含原点的开集，使得 $x_0+U \subset K$ 和 $x_1+U \subset K$. 自从 $K$ 是凸的，这意味着
我们证明 $\bar{K}$ 是凸的。让 $x_0, x_1 \in \bar{K}$, 选择一个实数 $0<\lambda<1$, 并定义 $x_\lambda:=(1-\lambda) x_0+\lambda x_1$. 让 $U$ 成为一个开放的社区 $x_\lambda$. 然后是套装
是一对的开邻域 $\left(x_0, x_1\right)$ ，通过加法和标量乘法的连续性。因此存在开集 $U_0, U_1 \subset X$ 这样
$$
x_0 \in U_0, \quad x_1 \in U_1, \quad U_0 \times U_1 \subset W .
$$
自从 $x_0, x_1 \in \bar{K}$ ，集合 $U_0 \cap K$ 和 $U_1 \cap K$ 是非空的。选择元素 $y_0 \in U_0 \cap K$ 和 $y_1 \in U_1 \cap K$. 然后 $\left(y_0, y_1\right) \in U_0 \times U_1 \subset W$ 因此 $y_\lambda:=(1-\lambda) y_0+\lambda y_1 \in U \cap K$. 因此 $U \cap K \neq \emptyset$ 对于每个开 放的社区 $U$ 的 $x_\lambda$ 所以 $x_\lambda \in \bar{K}$.
我们证明最后的断言。认为 $\operatorname{int}(K) \neq \emptyset$ 并修复一个元素 $x \in K$. 然后是套装
$U_x:=t x+(1-t) y \mid y \in \operatorname{int}(K), 0<t \leq 1$ 是开放的，包含在 $K$. 因此 $U_x \subset \operatorname{int}(K)$ 所以 $x \in \bar{U}_x \subset \overline{\operatorname{int}(K)}$. 这证明了引理 $3.10$.

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写

随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

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多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

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MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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