物理代写|广义相对论代写General relativity代考|MATH4105
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广义相对论是阿尔伯特-爱因斯坦在1907至1915年间提出的引力理论。广义相对论说,观察到的质量之间的引力效应是由它们对时空的扭曲造成的。
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物理代写|广义相对论代写General relativity代考|The Parameterized Post-Newtonian Formalism
Parameterized post-Newtonian formalism is actually known as PPN formalism. When one considers the slow motion and weak field limit, then full gravitational theory turns into a simple form. This estimation is recognized as the post-Newtonian limit. It is more precise to the exact phenomena than standard Newtonian gravitational theory. The metric in gravitational theory and the spacetime metric in this limit has the same structure. In PPN formalism, metric can be expressed as the dimensionless gravitational potentials of varying degrees of smallness, which is an expansion about the flat Minkowskian metric $\left(h_{i j}=\operatorname{diag}(1,-1,-1,-1)\right)$. This formalism is frequently used for calculations of the phenomena where the gravitational field is very weak and the velocities are nonrelativistic, e.g., calculations in the solar system.
In general theory of relativity, consider a spherically symmetric metric
$$
d s^2=A(r)(c d t)^2-B(r) d r^2-r^2\left(d \theta^2+\sin ^2 \theta d \phi^2\right)
$$
The spacetime geometry outside of a spherical symmetric body (star) of mass $M$ is Schwarzschild spacetime. In agreement with Newtonian theory, i.e., static weak field metric, the forms of $A$ and $B$ should be
$$
A(r)=1-\frac{2 G M}{c^2 r}+\ldots \ldots, \quad B(r)=1+\ldots \ldots .
$$
The first post-Newtonian correction is expressed as
$$
\begin{aligned}
& A(r)=1-\frac{2 G M}{c^2 r}+2(\beta-\gamma)\left(\frac{2 G M}{c^2 r}\right)^2+\ldots \ldots \
& B(r)=1+2 \gamma\left(\frac{G M}{c^2 r}\right)+\ldots \ldots
\end{aligned}
$$
Here, $\beta$ and $\gamma$ are two PPN parameters. Note that these parameters may vary for different gravitational theories. For Schwarzschild metric in general relativity, $\beta=\gamma=1$.
物理代写|广义相对论代写General relativity代考|Perihelion Precession
To obtain the desired features, we take the general static and spherically symmetric configuration as
$$
d s^2=A(r) c^2 d t^2-B(r) d r^2-C(r)\left(d \theta^2+\sin ^2 \theta d \phi^2\right)
$$
Now, we begin with the Lagrangian, which can be written as
$$
£=A c^2 \dot{t}^2-B \dot{r}^2-C \dot{\theta}^2-C \sin ^2 \theta \dot{\phi}^2
$$
Here over dot indicates the differentiation with respect to the affine parameter $\tau$.
Since the gravitational field is isotropic so angular momentum is conserved. Therefore, geodesic of any arbitrary body (either massive planets or massless photons) are planar. Without any loss of generality, we can select the equatorial plane as $\theta=\frac{\pi}{2}$. Hence, the Lagrangian assumes the following form
$$
£=A c^2 \dot{t}^2-B \dot{r}^2-C \dot{\phi}^2
$$
with massless particle photon, $£=0$ and for any massive particle, $£=1$.
Using the generalized coordinates $q_i$ and generalized velocities $\dot{q}_i$, the Euler-Lagrange equations
$$
\frac{d}{d s}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i}\right)-\frac{\partial L}{\partial q_i}=0
$$
give
$$
A c^2 \dot{t}=E \text { and } C \dot{\phi}=L
$$
Here $E$ and $L$ denote the energy and momentum of the particle, respectively, such that
$$
\dot{t}=\frac{E}{c^2 A} \text { and } \dot{\phi}=\frac{L}{C}
$$
and hence with these notations Eq. (7.33) becomes
$$
f=\frac{E^2}{A c^2}-B \dot{r}^2-\frac{L^2}{C},
$$
which, after some mathematical calculations, is written as
$$
\dot{r}^2=-\frac{£}{B}+\frac{E^2}{A B c^2}-\frac{L^2}{B C}
$$
广义相对论代考
物理代写|广义相对论代写General relativity代考|The Parameterized Post-Newtonian Formalism
参数化的后牛顿形式主义实际上被称为 PPN 形式主义。当考虑慢运动和弱场极限时,全引力理论就变成 了一种简单的形式。这种估计被认为是后牛顿极限。它比标准的牛顿引力理论更精确地描述了确切的现 象。引力理论中的度量和这个极限下的时空度量具有相同的结构。在 PPN 形式主义中,度量可以表示为 不同程度的小的无量纲引力势,它是关于平面 Minkowskian 度量的扩展 $\left(h_{i j}=\operatorname{diag}(1,-1,-1,-1)\right)$ . 这种形式主义经常用于引力场非常弱且速度非相对论的现象的计算,例如太阳系中的计算。 在广义相对论中,考虑一个球对称度量
$$
d s^2=A(r)(c d t)^2-B(r) d r^2-r^2\left(d \theta^2+\sin ^2 \theta d \phi^2\right)
$$
球形对称质量体 (恒星) 外的时空几何 $M$ 是史瓦西时空。与牛顿理论一致,即静态弱场度量,形式为 $A$ 和 $B$ 应亥
$$
A(r)=1-\frac{2 G M}{c^2 r}+\ldots \ldots, \quad B(r)=1+\ldots \ldots
$$
第一次后牛顿校正表示为
$$
A(r)=1-\frac{2 G M}{c^2 r}+2(\beta-\gamma)\left(\frac{2 G M}{c^2 r}\right)^2+\ldots \ldots \quad B(r)=1+2 \gamma\left(\frac{G M}{c^2 r}\right)+\ldots \ldots
$$
这里, $\beta$ 和 $\gamma$ 是两个 PPN 参数。请注意,这些参数可能因不同的引力理论而异。对于广义相对论中的 Schwarzschild 度量, $\beta=\gamma=1$.
物理代写|广义相对论代写General relativity代考|Perihelion Precession
为了获得所需的特征,我们将一般静态和球对称配置作为
$$
d s^2=A(r) c^2 d t^2-B(r) d r^2-C(r)\left(d \theta^2+\sin ^2 \theta d \phi^2\right)
$$
现在,我们从拉格朗日量开始,它可以写成
$$
£=A c^2 \dot{t}^2-B \dot{r}^2-C \dot{\theta}^2-C \sin ^2 \theta \dot{\phi}^2
$$
这里的点表示相对于仿射参数的微分 $\tau$.
由于引力场是各向同性的,所以角动量守恒。因此,任何物体 (大质量行星或无质量光子) 的测地线都是 平面的。不失一般性,我们可以选择赤道面作为 $\theta=\frac{\pi}{2}$. 因此,拉格朗日量采用以下形式
$$
£=A c^2 \dot{t}^2-B \dot{r}^2-C \dot{\phi}^2
$$
无质量粒子光子, $£=0$ 对于任何大质量粒子, $£=1$.
使用广义坐标 $q_i$ 和广义速度 $\dot{q}_i$ , 欧拉-拉格朗日方程
$$
\frac{d}{d s}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i}\right)-\frac{\partial L}{\partial q_i}=0
$$
给
$$
A c^2 \dot{t}=E \text { and } C \dot{\phi}=L
$$
这里 $E$ 和 $L$ 分别表示粒子的能量和动量,使得
$$
\dot{t}=\frac{E}{c^2 A} \text { and } \dot{\phi}=\frac{L}{C}
$$
因此使用这些符号 Eq。(7.33) 变成
$$
f=\frac{E^2}{A c^2}-B \dot{r}^2-\frac{L^2}{C}
$$
经过一些数学计算,它被写成
$$
\dot{r}^2=-\frac{E}{B}+\frac{E^2}{A B c^2}-\frac{L^2}{B C}
$$
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金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。
非参数统计代写
非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。
有限元方法代写
有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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随机分析代写
随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。
时间序列分析代写
随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。
回归分析代写
多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
MATLAB代写
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