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代数拓扑学是数学的一个分支，使用抽象代数的工具来研究拓扑空间。其基本目标是找到代数不变量，对拓扑空间进行同构分类，尽管通常大多数的分类是同构等价的。

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数学代写|代数拓扑代写Algebraic topology代考|Operations on Spaces

Cell complexes have a very nice mixture of rigidity and flexibility, with enough rigidity to allow many arguments to proceed in a combinatorial cell-by-cell fashion and enough flexibility to allow many natural constructions to be performed on them. Here are some of those constructions.

Products. If $X$ and $Y$ are cell complexes, then $X \times Y$ has the structure of a cell complex with cells the products $e_\alpha^m \times e_\beta^n$ where $e_\alpha^m$ ranges over the cells of $X$ and $e_\beta^n$ ranges over the cells of $Y$. For example, the cell structure on the torus $S^1 \times S^1$ described at the beginning of this section is obtained in this way from the standard cell structure on $S^1$. For completely general CW complexes $X$ and $Y$ there is one small complication: The topology on $X \times Y$ as a cell complex is sometimes finer than the product topology, with more open sets than the product topology has, though the two topologies coincide if either $X$ or $Y$ has only finitely many cells, or if both $X$ and $Y$ have countably many cells. This is explained in the Appendix. In practice this subtle issue of point-set topology rarely causes problems, however.

Quotients. If $(X, A)$ is a CW pair consisting of a cell complex $X$ and a subcomplex $A$, then the quotient space $X / A$ inherits a natural cell complex structure from $X$. The cells of $X / A$ are the cells of $X-A$ plus one new 0-cell, the image of $A$ in $X / A$. For a cell $e_\alpha^n$ of $X-A$ attached by $\varphi_\alpha: S^{n-1} \rightarrow X^{n-1}$, the attaching map for the corresponding cell in $X / A$ is the composition $S^{n-1} \rightarrow X^{n-1} \rightarrow X^{n-1} / A^{n-1}$.

For example, if we give $S^{n-1}$ any cell structure and build $D^n$ from $S^{n-1}$ by attaching an $n$-cell, then the quotient $D^n / S^{n-1}$ is $S^n$ with its usual cell structure. As another example, take $X$ to be a closed orientable surface with the cell structure described at the beginning of this section, with a single 2-cell, and let $A$ be the complement of this 2-cell, the 1-skeleton of $X$. Then $X / A$ has a cell structure consisting of a 0 -cell with a 2-cell attached, and there is only one way to attach a cell to a 0-cell, by the constant map, so $X / A$ is $S^2$.
Suspension. For a space $X$, the suspension $S X$ is the quotient of $X \times I$ obtained by collapsing $X \times{0}$ to one point and $X \times{1}$ to another point. The motivating example is $X=S^n$, when $S X=S^{n+1}$ with the two ‘suspension points’ at the north and south poles of $S^{n+1}$, the points $(0, \cdots, 0, \pm 1)$. One can regard $S X$ as a double cone on $X$, the union of two copies of the cone $C X=(X \times I) /(X \times{0})$. If $X$ is a CW complex, so are $S X$ and $C X$ as quotients of $X \times I$ with its product cell structure, $I$ being given the standard cell structure of two 0 -cells joined by a 1-cell.

Suspension becomes increasingly important the farther one goes into algebraic topology, though why this should be so is certainly not evident in advance. One especially useful property of suspension is that not only spaces but also maps can be suspended. Namely, a map $f: X \rightarrow Y$ suspends to $S f: S X \rightarrow S Y$, the quotient map of $f \times \mathbb{1}: X \times I \rightarrow Y \times I$.

数学代写|代数拓扑代写Algebraic topology代考|Collapsing Subspaces

The operation of collapsing a subspace to a point usually has a drastic effect on homotopy type, but one might hope that if the subspace being collapsed already has the homotopy type of a point, then collapsing it to a point might not change the homotopy type of the whole space. Here is a positive result in this direction:
|f If $(X, A)$ is a CW pair consisting of a CW complex $X$ and a contractible subcomplex $A$, then the quotient map $X \rightarrow X / A$ is a homotopy equivalence.

A proof will be given later in Proposition 0.17, but for now let us look at some examples showing how this result can be applied.

Example 0.7: Graphs. The three graphs $0-\infty$ D are homotopy equivalent since each is a deformation retract of a disk with two holes, but we can also deduce this from the collapsing criterion above since collapsing the middle edge of the first and third graphs produces the second graph.

More generally, suppose $X$ is any graph with finitely many vertices and edges. If the two endpoints of any edge of $X$ are distinct, we can collapse this edge to a point, producing a homotopy equivalent graph with one fewer edge. This simplification can be repeated until all edges of $X$ are loops, and then each component of $X$ is either an isolated vertex or a wedge sum of circles.

This raises the question of whether two such graphs, having only one vertex in each component, can be homotopy equivalent if they are not in fact just isomorphic graphs. Exercise 12 at the end of the chapter reduces the question to the case of connected graphs. Then the task is to prove that a wedge sum $\bigvee_m S^1$ of $m$ circles is not homotopy equivalent to $V_n S^1$ if $m \neq n$. This sort of thing is hard to do directly. What one would like is some sort of algebraic object associated to spaces, depending only on their homotopy type, and taking different values for $\bigvee_m s^1$ and $V_n s^1$ if $m \neq n$. In fact the Euler characteristic does this since $V_m S^1$ has Euler characteristic $1-m$. But it is a rather nontrivial theorem that the Euler characteristic of a space depends only on its homotopy type. A different algebraic invariant that works equally well for graphs, and whose rigorous development requires less effort than the Euler characteristic, is the fundamental group of a space, the subject of Chapter 1 .

代数拓扑代考

数学代写|代数拓扑代写Algebraic topology代考|Operations on Spaces

单元复合体具有非常好的刚性和灵活性的混合体，具有足够的刚性以允许许多参数以逐个单元 的组合方式进行，并且具有足够的灵活性以允许在它们上执行许多自然构造。这是其中的一些 结构。
产品。如果 $X$ 和 $Y$ 是细胞复合体，那么 $X \times Y$ 具有细胞复合体的结构 细胞产物 $e_\alpha^m \times e_\beta^n$ 在哪 里 $e_\alpha^m$ 范围遍及细胞 $X$ 和 $e_\beta^n$ 范围遍及细胞 $Y$. 例如，圆环上的细胞结构 $S^1 \times S^1$ 本节开头描述 的是通过这种方式从标准单元结构中获得的 $S^1$. 对于完全通用的 CW复合体 $X$ 和 $Y$ 有一个小问 题: $X \times Y$ 因为单元复合体有时比乘积拓扑更精细，具有比乘积拓扑更多的开集，尽管如果 两个拓扑重合 $X$ 或者 $Y$ 只有有限多个单元格，或者如果两者 $X$ 和 $Y$ 有可数个细胞。这在附录中 解释。然而，在实践中，点集拓扑的这个微妙问题很少引起问题。
商。如果 $(X, A)$ 是由细胞复合体组成的 CW 对 $X$ 和一个子复合体 $A$ ，那么商空间 $X / A$ 继承了 天然的细胞复合结构 $X$. 的细胞 $X / A$ 是细胞 $X-A$ 加上一个新的 0 细胞，图像 $A$ 在 $X / A$. 对 于一个单元格 $e_\alpha^n$ 的 $X-A$ 附于 $\varphi_\alpha: S^{n-1} \rightarrow X^{n-1}$, 中相应单元格的附加映射 $X / A$ 是组成 $S^{n-1} \rightarrow X^{n-1} \rightarrow X^{n-1} / A^{n-1}$.
例如，如果我们给 $S^{n-1}$ 任何细胞结构和构建 $D^n$ 从 $S^{n-1}$ 通过附上 $n$-cell，然后是商 $D^n / S^{n-1}$ 是 $S^n$ 具有通常的细胞结构。再举个例子，拿 $X$ 是一个封闭的可定向曲面，具有本节开头描述 的单元结构，具有单个 2 单元，并且让 $A$ 是这个 2-cell 的补集，1-skeleton $X$. 然后 $X / A$ 有一 个细胞结构，由一个 0 细胞和一个 2 细胞组成，并且只有一种方法可以通过常量映射将一个细 胞附加到一个 0 细胞，所以 $X / A$ 是 $S^2$.
暂停。对于一个空间 $X$, 暂停 $S X$ 是商 $X \times I$ 通过折叠获得 $X \times 0$ 一点和 $X \times 1$ 到另一点。激 励的例子是 $X=S^n$ ，什么时候 $S X=S^{n+1}$ 在北极和南极的两个 “悬挂点” $S^{n+1}$ ，点 $(0, \cdots, 0, \pm 1)$. 一个可以考虑 $S X$ 作为双锥 $X$ ，两个锥体副本的并集
$C X=(X \times I) /(X \times 0)$. 如果 $X$ 是 $\mathrm{CW}$ 复形，所以是 $S X$ 和 $C X$ 作为商 $X \times I$ 凭借其产品 细胞结构， $I$ 被陚予由一个 1 单元连接的两个 0 单元的标准单元结构。
随着代数拓扑的深入，悬架变得越来越重要，尽管事先肯定不清楚为什么会如此。悬浮的一个 特别有用的特性是不仅空间而且地图都可以悬浮。即，一张地图 $f: X \rightarrow Y$ 暂停到 $S f: S X \rightarrow S Y$ ，的商图 $f \times 1: X \times I \rightarrow Y \times I$.

数学代写|代数拓扑代写Algebraic topology代考|Collapsing Subspaces

已经具有点的同伦类型，那么将其折㳬成点可能不会改变同伦类型整个空间。这是在这个方向 上的积级结果:
|f 如果 $(X, A)$ 是由 $\mathrm{CW}$ 复合体组成的 $\mathrm{CW}$ 对 $X$ 和一个可收缩的子复合体 $A$ ，那么商图 $X \rightarrow X / A$ 是同伦等价。
稍后将在命题 $0.17$ 中给出证明，但现在让我们看一些例子来说明如何应用这个结果。
示例 0.7: 图形。三张图 $0-\infty D$ 是同伦等价的，因为每个都是带有两个孔的圆盘的变形缩 回，但我们也可以从上面的折疍准则中推断出这一点，因为折叠第一个和第三个图的中间边缘 会产生第二个图。
更一般地，假设 $X$ 是任何具有有限多个顶点和边的图。如果任意一条边的两个端点 $X$ 是不同 的，我们可以将这条边折疊成一个点，产生一个少了一条边的同伦等价图。可以重复这种简 化，直到 $X$ 是循环，然后是的每个组件 $X$ 是孤立的顶点或圆的楔和。
这就提出了这样一个问题: 如果两个这样的图在每个分量中只有一个顶点，那么如果它们实际 上不仅仅是同构图，它们是否可以同伦等价。本章末尾的练习 12 将问题简化为连通图的情 况。那么任务就是证明一个楔和 $\bigvee_m S^1$ 的 $m$ circles 不是同伦等价于 $V_n S^1$ 如果 $m \neq n$. 这种 事情很难直接做。人们想要的是某种与空间相关联的代数对象，仅取决于它们的同伦类型，并 为 $\bigvee_m s^1$ 和 $V_n s^1$ 如果 $m \neq n$. 事实上，欧拉特性是这样做的，因为 $V_m S^1$ 具有欧拉特性
$1-m$. 但空间的欧拉特征仅取决于其同伦类型是一个相当重要的定理。一个不同的代数不变 量同样适用于图，并且其严格的发展比欧拉特征需要更少的努力，是空间的基本群，第1 章的 主题。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写

随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

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MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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数学代写|代数拓扑代写Algebraic topology代考|Homotopy and Homotopy Type

One of the main ideas of algebraic topology is to consider two spaces to be equivalent if they have ‘the same shape’ in a sense that is much broader than homeomorphism. To take an everyday example, the letters of the alphabet can be written either as unions of finitely many straight and curved line segments, or in thickened forms that are compact regions in the plane bounded by one or more simple closed curves. In each case the thin letter is a subspace of the thick letter, and we can continuously shrink the thick letter to the thin one. A nice way to do this is to decompose a thick letter, call it $\mathbf{X}$, into line segments connecting each point on the outer boundary of $\mathbf{X}$ to a unique point of the thin subletter $\mathbf{X}$, as indicated in the figure. Then we can shrink $\mathbf{X}$ to $\mathbf{X}$ by sliding each point of $\mathbf{X}-\mathbf{X}$ into $X$ along the line segment that contains it. Points that are already in $X$ do not move.
We can think of this shrinking process as taking place during a time interval $0 \leq t \leq 1$, and then it defines a family of functions $f_t: \mathbf{X} \rightarrow \mathbf{X}$ parametrized by $t \in I=$ $[0,1]$, where $f_t(x)$ is the point to which a given point $x \in \mathbf{X}$ has moved at time $t$. Naturally we would like $f_t(x)$ to depend continuously on both $t$ and $x$, and this will be true if we have each $x \in \mathbf{X}-\mathrm{X}$ move along its line segment at constant speed so as to reach its image point in $\mathrm{X}$ at time $t=1$, while points $x \in \mathrm{X}$ are stationary, as remarked earlier.

Examples of this sort lead to the following general definition. A deformation retraction of a space $X$ onto a subspace $A$ is a family of maps $f_t: X \rightarrow X, t \in I$, such that $f_0=\mathbb{1}$ (the identity map), $f_1(X)=A$, and $f_t \mid A=\mathbb{1}$ for all $t$. The family $f_t$ should be continuous in the sense that the associated map $X \times I \rightarrow X,(x, t) \mapsto f_t(x)$, is continuous.

It is easy to produce many more examples similar to the letter examples, with the deformation retraction $f_t$ obtained by sliding along line segments. The figure on the left below shows such a deformation retraction of a Möbius band onto its core circle.

数学代写|代数拓扑代写Algebraic topology代考|Cell Complexes

A familiar way of constructing the torus $S^1 \times S^1$ is by identifying opposite sides of a square. More generally, an orientable surface $M_g$ of genus $g$ can be constructed from a polygon with $4 g$ sides by identifying pairs of edges, as shown in the figure in the first three cases $g=1,2,3$. The $4 g$ edges of the polygon become a union of $2 g$ circles in the surface, all intersecting in a single point. The interior of the polygon can be thought of as an open disk, or a 2-cell, attached to the union of the $2 g$ circles. One can also regard the union of the circles as being obtained from their common point of intersection, by attaching $2 g$ open arcs, or 1-cells. Thus the surface can be built up in stages: Start with a point, attach 1-cells to this point, then attach a 2-cell.

A natural generalization of this is to construct a space by the following procedure:
(1) Start with a discrete set $X^0$, whose points are regarded as 0-cells.
(2) Inductively, form the $n$-skeleton $X^n$ from $X^{n-1}$ by attaching $n$-cells $e_\alpha^n$ via maps $\varphi_\alpha: S^{n-1} \rightarrow X^{n-1}$. This means that $X^n$ is the quotient space of the disjoint union $X^{n-1} \amalg_\alpha D_\alpha^n$ of $X^{n-1}$ with a collection of $n$-disks $D_\alpha^n$ under the identifications $x \sim \varphi_\alpha(x)$ for $x \in \partial D_\alpha^n$. Thus as a set, $X^n=X^{n-1} \amalg_\alpha e_\alpha^n$ where each $e_\alpha^n$ is an open $n$-disk.
(3) One can either stop this inductive process at a finite stage, setting $X=X^n$ for some $n<\infty$, or one can continue indefinitely, setting $X=\bigcup_n X^n$. In the latter case $X$ is given the weak topology: A set $A \subset X$ is open (or closed) iff $A \cap X^n$ is open (or closed) in $X^n$ for each $n$.

代数拓扑代考

数学代写|代数拓扑代写Algebraic topology代考|Homotopy and Homotopy Type

代数拓扑的主要思想之一是如果两个空间在比同肧更广泛的意义上具有“相同的形状”，则认为 它们是等价的。举一个日常例子，字母表中的字母既可以写成有限多条直线和曲线段的并集， 也可以写成加厚形式，即平面上由一条或多条简单闭合曲线界定的紧凑区域。在每种情况下， 沺字母都是粗字母的子空间，我们可以不断地将粗字母缩小为细字母。一个很好的方法是分解 一个厚字母，称它为 $\mathbf{X}$ ，成连接外边界上每个点的线段 $\mathbf{X}$ 到薄副字母的独特点 $\mathbf{X}$ ，如图所示。 然后我们可以收缩 $\mathbf{X}$ 到 $\mathbf{X}$ 通过滑动每个点 $\mathbf{X}-\mathbf{X}$ 进入 $X$ 沿着包含它的线段。已经存在的点 $X$ 不要动。
我们可以认为这个收缩过程发生在一个时间间隔内 $0 \leq t \leq 1$, 然后它定义了一系列函数 $f_t: \mathbf{X} \rightarrow \mathbf{X}$ 参数化 $t \in I=[0,1]$ ，在哪里 $f_t(x)$ 是给定点到的点 $x \in \mathbf{X}$ 有时间移动 $t$. 我们 自然愿意 $f_t(x)$ 持续依赖两者t和 $x$ ，如果我们有每个 $x \in \mathbf{X}-\mathbf{X}$ 沿其线段匀速运动，到达其 象点 $\mathrm{X}$ 在时间 $t=1$ ，而点 $x \in \mathrm{X}$ 是静止的，如前所述。
比类示例引出以下一般定义。空间的变形收缩 $X$ 到一个子空间 $A$ 是地图族 $f_t: X \rightarrow X, t \in I$ 这样 $f_0=1$ (身份映射)， $f_1(X)=A$ ，和 $f_t \mid A=1$ 对全部 $t$. 家庭 $f_t$ 在关联地图的意义 上应该是连续的 $X \times I \rightarrow X,(x, t) \mapsto f_t(x)$, 是连续的。
㡾容易产生更多类似于字母示例的示例，变形收缩 $f_t$ 通过沿线段滑动获得。左下图显示了莫比 乌斯带在其核心圆上的变形收缩。

数学代写|代数拓扑代写Algebraic topology代考|Cell Complexes

一种熟悉的环面构造方法 $S^1 \times S^1$ 是通过识别正方形的相对边。更一般地，可定向表面 $M_g$ 属 的 $g$ 可以从一个多边形构造 $4 g$ 通过识别边对来确定边，如图中前三种情况 $g=1,2,3$. 这 $4 g$ 多 边形的边成为的并集 $2 g$ 表面上的圆圈，全部相交于一个点。多边形的内部可以被认为是一个开 放的磁盘，或者一个 2 单元格，连接到 $2 g$ 界。人们也可以认为圆的并集是从它们的公共交点获 得的，通过附加 $2 g$ 开弧，或 1-cells。因此，表面可以分阶段构建: 从一个点开始，将 1-cells 附加到该点，然后附加 2-cells。
对此的自然概括是通过以下过程构造空间:
(1) 从离散集开始 $X^0$ ，其点被视为 0 单元格。
(2) 归纳地，形成 $n$-骨骼 $X^n$ 从 $X^{n-1}$ 通过附加 $n$-细胞 $e_\alpha^n$ 通过地图 $\varphi_\alpha: S^{n-1} \rightarrow X^{n-1}$. 这意 味着 $X^n$ 是不相交并集的商空间 $X^{n-1} \amalg_\alpha D_\alpha^n$ 的 $X^{n-1}$ 与一系列 $n$-磁盘 $D_\alpha^n$ 在标识下 $x \sim \varphi_\alpha(x)$ 为了 $x \in \partial D_\alpha^n$. 因此作为一个集合， $X^n=X^{n-1} \amalg_\alpha e_\alpha^n$ 每个 $e_\alpha^n$ 是一个开放的 $n$ -磁盘。
(3) 可以在有限阶段停止这个归纳过程，设置 $X=X^n$ 对于一些 $n<\infty$ ，或者一个可以无限 期地继续，设置 $X=\bigcup_n X^n$. 在后一种情况下 $X$ 给定弱拓扑： A集合 $A \subset X$ 是开放的（或封 闭的) 当且仅当 $A \cap X^n$ 在中打开 (或关闭) $X^n$ 每个 $n$.

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金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

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广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

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有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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如果你也在 怎样代写代数拓扑Algebraic topology这个学科遇到相关的难题，请随时右上角联系我们的24/7代写客服。

代数拓扑学是数学的一个分支，使用抽象代数的工具来研究拓扑空间。其基本目标是找到代数不变量，对拓扑空间进行同构分类，尽管通常大多数的分类是同构等价的。

statistics-lab™ 为您的留学生涯保驾护航 在代写代数拓扑Algebraic topology方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的统计Statistics代写服务。我们的专家在代写代数拓扑Algebraic topology代写方面经验极为丰富，各种代写代数拓扑Algebraic topology相关的作业也就用不着说。

我们提供的代数拓扑Algebraic topology及其相关学科的代写，服务范围广, 其中包括但不限于:

• Statistical Inference 统计推断
• Statistical Computing 统计计算
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• Statistical Machine Learning 统计机器学习
• Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析
• Foundations of Data Science 数据科学基础

数学代写|代数拓扑代写Algebraic topology代考|The shape of a space

Two topological spaces $X, Y$ are homeomorphic (written as $X \cong Y$ ) if there exists a homeomorphism $X \rightarrow Y$, i.e. a continuous mapping which has a continuous inverse. We also say that $X, Y$ have the same (topological) shape, or the same homeomorphism-type.

To prove that two given spaces have the same shape can require long computations, in order to build a homeomorphism between them, but is generally a ‘confined’ problem.

To prove that they are not homeomorphic can be quite difficult, and enticing, even when we clearly ‘see’ that they have a different shape: we must prove that there cannot exist a homeomorphism between them.
The proof is generally based on a ‘topological property’ (invariant up to homeomorphism) which holds in one of them but not in the other: connectedness, compactness, separation or countability axioms, higher forms of connectedness, etc. When these topological properties are explored throughout algebraic structures we enter in the domain of Algebraic Topology.

The following exercises show two families of spaces which is important to classify; the first classification can be achieved with the usual means of General Topology, the second will be completed later, using singular homology.

Exercises and complements. The solutions to these exercises can be found in Chapter 8.
(a) (The shape of the intervals, I) Any non-degenerate interval of the euclidean line is homeomorphic to $] 0,1[$, or $[0,1[$, or $[0,1]$.
Hints. It is an easy exercise of Calculus, which can be solved using affine linear functions and some elementary transcendental functions: see 8.1.1. (One can also use rational functions and their pastings, but the argument would be longer.)

数学代写|代数拓扑代写Algebraic topology代考|Classifying maps

Studying the maps $f: X \rightarrow Y$ between two topological spaces, we are also interested in classifying them, ‘up to continuous deformation’.

Let us recall that two maps $f, g: X \rightarrow Y$ are said to be homotopic (written as $f \simeq g$ ) if there is a map $\varphi: X \times \mathbb{I} \rightarrow Y$ defined on the cylinder $I(X)=X \times \mathbb{I}$ (with the product topology), that coincides with $f$ on the lower basis of the cylinder and with $g$ on the upper one
$$
\begin{aligned}
& \varphi: X \times \mathbb{I} \rightarrow Y, \
& \varphi(x, 0)=f(x), \quad \varphi(x, 1)=g(x) \quad(\text { for } x \in X),
\end{aligned}
$$
forming a continuous deformation of $f$ into $g$. This is easily proved to be an equivalence relation (see 1.4.4). The homotopy will also be written as $\varphi: f \simeq g: X \rightarrow Y$.

A point $x \in X$ can be identified with the corresponding map $x:{} \rightarrow X$, defined on the singleton space. A homotopy $a: x \simeq x^{\prime}:{} \rightarrow X$ is then the same as a path in $X$ from $x$ to $x^{\prime}$, i.e. a map such that
$$
a: \mathbb{I} \rightarrow X, \quad a(0)=x, \quad a(1)=x^{\prime} .
$$
On the other hand, a homotopy $\varphi: f \simeq g: X \rightarrow Y$ gives a family of paths $\varphi(x,-): \mathbb{I} \rightarrow Y$ from $f(x)$ to $g(x)$, indexed by $x \in X$ and varying continuously on $X$.

Exercises and complements. (a) The classification of the maps ${*} \rightarrow X$ up to homotopy amounts to the partition of $X$ in path components.
(b) We have two maps $f, g: X \rightarrow Y$ with values in a euclidean space $Y$ (i.e. a subspace of some $\mathbb{R}^n$ ).

If $Y$ is a convex subset of $\mathbb{R}^n$ (i.e. for all $y, y^{\prime} \in Y$, the line segment from $y$ to $y^{\prime}$ is contained in $Y$ ), the maps $f$ and $g$ are always homotopic. More generally, the same holds if, for every $x \in X$, the line segment from $f(x)$ to $g(x)$ is contained in $Y$.
Hints. We can use the linear structure of $\mathbb{R}^n$ to define the affine homotopy
$$
\varphi: f \simeq g: X \rightarrow Y, \quad \varphi(x, t)=(1-t) f(x)+t g(x),
$$
which describes, at each $x \in X$, the line segment from $f(x)$ to $g(x)$, and is indeed an affine linear map in the variable $t \in \mathbb{I}$.

代数拓扑代考

数学代写|代数拓扑代写Algebraic topology代考|The shape of a space

两个拓扑空间 $X, Y$ 是同胚的 (写成 $X \cong Y$ )如果存在同胚 $X \rightarrow Y$ ，即具有连续逆的连续映射。我们 还说 $X, Y$ 具有相同的（拓扑) 形状，或相同的同胚类型。
证明两个给定空间具有相同的形状可能需要很长时间的计算，以便在它们之间建立同胚，但这通常是一 个“受限”问题。
要证明它们不是同胚的可能非常困难，但也很诱人，即使我们清楚地“看到”它们具有不同的形状：我们 必须证明它们之间不存在同胚。
证明通常基于“拓扑属性”（直到同胚不变），它在其中一个中成立但在另一个中不成立：连通性、紧凑 性、分离或可数性公理、更高形式的连通性等。当这些拓扑属性是在我们进入代数拓扑领域的整个代数 结构中进行探索。
下面的练习展示了两个对分类很重要的空间族；第一个分类可以用一般拓扑学的常用手段来实现，第二 个将在稍后完成，使用奇异同调。
练习和补充。这些练习的答案可以在第 8 章中找到
。 $] 0,1[$ ，或者 $[0,1[$ ，或者 $[0,1]$
提示。这是一个简单的微积分练习，可以使用仿射线性函数和一些基本的超越函数来解决：见 8.1.1。
(也可以使用有理函数及其粘贴，但论证会更长。)

数学代写|代数拓扑代写Algebraic topology代考|Classifying maps

研究地图 $f: X \rightarrow Y$ 在两个拓扑空间之间，我们也有兴趣对它们进行分类，“直至连续变形”。
让我们回想一下那两张地图 $f, g: X \rightarrow Y$ 被称为同伦 (写为 $f \simeq g$ ) 如果有地图 $\varphi: X \times \mathbb{I} \rightarrow Y$ 定 义在圆柱体上 $I(X)=X \times \mathbb{I}$ (与产品拓扑结构)，这与 $f$ 在圆柱体的下部基础上，并带有 $g$ 在上一个
$$
\varphi: X \times \mathbb{I} \rightarrow Y, \quad \varphi(x, 0)=f(x), \quad \varphi(x, 1)=g(x) \quad(\text { for } x \in X),
$$
形成连续变形 $f$ 进入 $g$. 这很容易证明是一个等价关系 (见1.4.4) 。同伦也可以写成 $\varphi: f \simeq g: X \rightarrow Y$.
一个点 $x \in X$ 可以用对应的地图识别 $x: \rightarrow X$, 定义在单例空间上。同伦 $a: x \simeq x^{\prime}: \rightarrow X$ 然后与 中的路径相同 $X$ 从 $x$ 到 $x^{\prime}$ ，即这样的地图
$$
a: \mathbb{I} \rightarrow X, \quad a(0)=x, \quad a(1)=x^{\prime} .
$$
另一方面，同伦 $\varphi: f \simeq g: X \rightarrow Y$ 给出了一系列路径 $\varphi(x,-): \mathbb{I} \rightarrow Y$ 从 $f(x)$ 到 $g(x)$, 索引为 $x \in X$ 并不断变化 $X$.
练习和补充。(a) 地图的分类* $\rightarrow X$ 直到同伦等于划分 $X$ 在路径组件中。
(b) 我们有两张地图 $f, g: X \rightarrow Y$ 具有欧几里得空间中的值 $Y$ (即一些子空间 $\mathbb{R}^n$ ).
如果 $Y$ 是一个凸子集 $\mathbb{R}^n$ (即对所有 $y, y^{\prime} \in Y$ ，线段来自 $y$ 到 $y^{\prime}$ 包含在 $Y$ )，地图 $f$ 和 $g$ 总是同伦的。更一 般地，如果对于每个 $x \in X$ ，线段来自 $f(x)$ 到 $g(x)$ 包含在 $Y$.
提示。我们可以使用线性结构 $\mathbb{R}^n$ 定义仿射同伦
$$
\varphi: f \simeq g: X \rightarrow Y, \quad \varphi(x, t)=(1-t) f(x)+t g(x),
$$
这揊述了，在每个 $x \in X$ ，线段来自 $f(x)$ 到 $g(x)$ ，并且确实是变量中的仿射线性映射 $t \in \mathbb{I}$.

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

tatistics-lab作为专业的留学生服务机构，多年来已为美国、英国、加拿大、澳洲等留学热门地的学生提供专业的学术服务，包括但不限于Essay代写，Assignment代写，Dissertation代写，Report代写，小组作业代写，Proposal代写，Paper代写，Presentation代写，计算机作业代写，论文修改和润色，网课代做，exam代考等等。写作范围涵盖高中，本科，研究生等海外留学全阶段，辐射金融，经济学，会计学，审计学，管理学等全球99%专业科目。写作团队既有专业英语母语作者，也有海外名校硕博留学生，每位写作老师都拥有过硬的语言能力，专业的学科背景和学术写作经验。我们承诺100%原创，100%专业，100%准时，100%满意。

随机分析代写

随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

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数学代写|代数拓扑代写Algebraic topology代考|Translations and underlying affinities

As already said, Algebraic Topology is a ‘discipline of translations’, from topology to algebra. Each translation gives a partial view of spaces and maps, in a particular perspective. This simplified picture may be able to solve the problem we are studying; otherwise, another translation might do.

The grammar of this discipline is provided by elementary category theory, reviewed here in some sections of Chapter 1 , as far as this makes clear how the translation works.

As a simple instance, the fact that the functor $H_n$ transforms a disjoint union of spaces $\cup X_i$ into a direct sum $\oplus H_n\left(X_i\right)$ of abelian groups is the outer appearance of an underlying property, the preservation of categorical sums: a disjoint union of spaces and a direct sum of abelian groups satisfy the same categorical universal property (see 1.6.2).

The effectiveness of a translation likely depends on the affinity between the two languages involved, in our case the source category of topological spaces versus the algebraic category of destination. In this regard, the category Ab is sufficiently flexible to offer ‘covariant translations’, by homology theories, and ‘contravariant translations’, by cohomology theories.

Less flexible categories, like those of rings and graded algebras, can only give a ‘mirror-image’, by a cohomology functor $H^$. But this translation is far richer than viewing $H^(X)$ as a mere graded abelian group.

The roots of this phenomenon can be found in an affinity between Top and Rng ${ }^{\text {op }}$, the dual of the category of rings; an affinity expressed in theorems, like Gelfand duality, and in formal categorical aspects sketched in 5.5.9.

数学代写|代数拓扑代写Algebraic topology代考|An inductive approach on structural bases

Notions will be presented in a concrete, ‘inductive’ way, starting from elementary examples. Whenever possible, the reader will be guided to build the theory through a series of exercises.

On the other hand, the roots of the interplay between Topology and Algebra, formalised in Homological Algebra and Category Theory, will be investigated more deeply than usual in an introductory book.

Algebraic Topology is a complex domain, with ramifications in diverse fields. After covering the basic parts, and some more advanced ones, we shall sketch several developments that do not have a place here, giving extensive references for further study.

The exposition will be particularly elementary and detailed in Chapter 1 and the first part of Chapter 2: this is not a book on general topology or abelian groups, but the reader will be invited (and guided) to check the topological or algebraic ground on which we are building. This point made, we shall go on more quickly.

Chapters 1 and 2 form a basic introduction to singular homology; Chapters 1 and 6 play the same role for homotopy groups; the three of them can give a preliminary view of Algebraic Topology.

The only prerequisites are general topology and the very basic theory of groups, abelian groups and rings. Categories and functors are introduced when their need arises. The same holds for the part of Homological Algebra used here: exact sequences, chain complexes of abelian groups, tensor products and Hom-functors, their derived functors.

For the fascinating field of Algebraic Topology there are elementary textbooks, like Vick [Vi] and Massey [Mas3], and more advanced ones, like Hilton-Wylie [HiW], Spanier [Sp2] and Hatcher [Ha]; the last is freely downloadable. The history of this discipline is dealt with in Dieudonné [Di].

For Homological Algebra we shall refer to Cartan-Eilenberg [CE] and Mac Lane [M1]; for General Topology to Kelley [Ke], Munkres [Mu] and Bourbaki [Bou2].

Category Theory is exposed in well-known books, like Mac Lane [M2], Borceux [Bo1, Bo2, Bo3], Adámek, Herrlich and Strecker [AHS]. The author’s [G5] is a textbook for beginners, also devoted to applications in Algebra, Topology, Algebraic Topology and Homological Algebra.

代数拓扑代考

数学代写|代数拓扑代写Algebraic topology代考|Translations and underlying affinities

如前所述，代数拓扑是从拓扑到代数的“翻译学科”。每个翻译都以特定的视角给出了空间和地图的局部视图。这张简化图或许可以解决我们正在研究的问题；否则，可能需要另一种翻译。

这门学科的语法由基本范畴论提供，在第 1 章的某些部分中进行了回顾，以阐明翻译的工作原理。

作为一个简单的例子，仿函数Hn变换不相交的空间并集∪X我成一个直和⊕Hn(X我)阿贝尔群的外在表现是潜在性质，分类和的保存：空间的不相交联合和阿贝尔群的直和满足相同的分类普遍性质（见 1.6.2）。

翻译的有效性可能取决于所涉及的两种语言之间的亲和力，在我们的例子中是拓扑空间的源类别与目的地的代数类别。在这方面，类别 Ab 足够灵活，可以通过同调理论提供“协变翻译”，并通过上同调理论提供“逆变翻译”。

不太灵活的类别，如环和分级代数的类别，只能通过上同调函子 $H^ 给出“镜像”.乙在吨吨H我秒吨rAn秒升A吨我欧n我秒FArr我CH这是r吨HAn在我这是在我nGH^ (X)$ 作为单纯的分级阿贝尔群。

这种现象的根源可以在 Top 和 Rng 之间的亲和力中找到在 , 环类的对偶；在定理中表达的亲和力，如 Gelfand 对偶性，以及在 5.5.9 中概述的形式分类方面。

数学代写|代数拓扑代写Algebraic topology代考|An inductive approach on structural bases

从基本示例开始，概念将以具体的“归纳”方式呈现。只要有可能，读者将被引导通过一系列练习来构建理论。

另一方面，拓扑学和代数之间相互作用的根源，在同调代数和范畴论中形式化，将在介绍性书籍中比平时更深入地研究。

代数拓扑是一个复杂的领域，在不同领域都有分支。在介绍了基本部分和一些更高级的部分之后，我们将概述此处没有的几个发展，为进一步研究提供广泛的参考。

第 1 章和第 2 章第一部分的阐述将特别初级和详细：这不是一本关于一般拓扑或阿贝尔群的书，但将邀请（并引导）读者检查拓扑或代数基础，其中我们正在建设。说完这一点，我们将继续进行得更快。

第一章和第二章是单数同调的基本介绍；第 1 章和第 6 章对同伦群起着相同的作用；他们三者可以初步了解代数拓扑。

唯一的先决条件是一般拓扑和群、阿贝尔群和环的非常基本的理论。类别和仿函数在需要时引入。这同样适用于这里使用的同源代数部分：精确序列、阿贝尔群的链复形、张量积和 Hom 函子，它们的派生函子。

对于迷人的代数拓扑领域，有初级教科书，如 Vick [Vi] 和 Massey [Mas3]，以及更高级的教科书，如 Hilton-Wylie [HiW]、Spanier [Sp2] 和 Hatcher [Ha]；最后一个可以免费下载。这门学科的历史在 Dieudonné [Di] 中有论述。

对于同调代数，我们将参考 Cartan-Eilenberg [CE] 和 Mac Lane [M1]；对于 Kelley [Ke]、Munkres [Mu] 和 Bourbaki [Bou2] 的一般拓扑学。

范畴论在著名书籍中有所介绍，例如 Mac Lane [M2]、Borceux [Bo1、Bo2、Bo3]、Adámek、Herrlich 和 Strecker [AHS]。作者的[G5]是一本初学者教材，也致力于在代数、拓扑、代数拓扑和同调代数方面的应用。

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金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

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非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

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随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

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数学代写|代数拓扑代写Algebraic topology代考|Homology and cohomology theories

Basically, a homology theory is a sequence of transformations $H_n(-)$; each of them turns a topological space $X$ into an abelian group $H_n(X)$, and a continuous mapping $f: X \rightarrow Y$ into a homomorphism $H_n(f): H_n(X) \rightarrow$ $H_n(Y)$. In this transformation, composition of maps and identity maps are preserved:

• for consecutive maps $f: X \rightarrow Y$ and $g: Y \rightarrow Z$, we have: $H_n(g f)=$ $H_n(g) H_n(f)$
• for a space $X$ we have: $H_n(\mathrm{id} X)=$ id $H_n(X)$.
  In the basic terminology of category theory, each $H_n$ is a covariant functor, from the category Top of topological spaces (and continuous mappings) to the category Ab of abelian groups (and homomorphisms). As an obvious consequence, each $H_n$ preserves invertible arrows: it transforms a homeomorphism of spaces into an isomorphism of groups.

In fact, a homology theory turns up in a richer form: for every ‘relative pair’ $(X, A)$ of topological spaces (where $A$ is a subspace of $X$ ), and a fixed abelian group $G$, we have a sequence of groups $H_n(X, A ; G)$ of relative homology, with coefficients in $G$. The basic case is absolute homology with integral coefficients: $H_n(X)=H_n(X, \emptyset ; \mathbb{Z})$.

On the other hand, a cohomology theory $H^n(-)$ takes a continuous mapping $f: X \rightarrow Y$ to a homomorphism $H^n(f): H^n(Y) \rightarrow H^n(X)$, reversing the direction of arrows, reversing composition and preserving identities. Here also we have an enriched version, for relative pairs of topological spaces and a coefficient group $G$.

An important fact appears: the cohomology groups with coefficients in a ring $R$ have a graded multiplication, and their family forms a graded $R$-algebra. We shall study singular cohomology (a by-product of singular homology), and briefly review other theories, namely Alexander-Spanier cohomology and de Rham cohomology, which naturally arise in contravariant form.

数学代写|代数拓扑代写Algebraic topology代考|An outline

Chapter 1 is an introduction to the goals and methods of Algebraic Topology, with a brief analysis of the elementary issues of category theory involved in the interface between topology and algebra.

Chapter 2 introduces singular homology, the simplest homology theory of general topological spaces, showing how to compute the homology groups, and get information on spaces and maps. Section $2.4$ is devoted to the homology groups of the spheres, and their consequences: for instance, the Theorem of Topological Dimension, the topological degree of a map $\mathbb{S}^n \rightarrow \mathbb{S}^n$, and the theorem about vector fields on even-dimensional spheres. Several computations of homology groups can be found in Sections 2.5, 2.6.
Singular homology is constructed in the cubical form, that – in the author’s opinion – gives a simpler approach. The more usual simplicial form is briefly presented in Section 2.8; their equivalence is proved in Section 5.6.

In Chapter 3 we extend singular homology to relative pairs $(X, A)$. Section $3.3$ shows how relative homology is able to investigate local features, for instance the local and global orientation of topological manifolds. The Eilenberg-Steenrod axioms for relative homology theories are listed in Section 3.4, and verified for relative singular homology. Alexander-Spanier cohomology, described in Section 3.5, satisfies the dual axioms, for a relative cohomology theory; its graded product is dealt with in Section 3.6. Similarly, de Rham cohomology of differentiable manifolds gives a graded algebra on the real field (see Section 3.7).

Singular homology and cohomology with a coefficient group is studied in Chapters 4 and 5. Varying the coefficient group we may be able to get results that the ordinary theory (with integral coefficients) cannot obtain, as shown in Subsection 4.3.7. All this requires some tools of Homological Algebra, namely the tensor and torsion products for homology, or the Hom and Ext functors for cohomology (in Sections $4.1$ and 5.1-5.3).

Chapter 5 also explores the multiplicative structure of singular cohomology with coefficients in a ring (in Section 5.5), and the homology groups of a product of spaces (in Section 5.6). The latter are detemined by EilenbergMac Lane’s Acyclic Model Theorem, which is also used to prove the equivalence of the cubical and simplicial constructions of singular homology.
Chapter 6 is an introduction to the fundamental groupoid and homotopy groups, with their relationship to singular homology.

Chapter 7 briefly reviews issues that have already appeared in the previous chapters, on category theory (categorical limits and adjoint functors) and general topology (the compact-open topology). Finally Chapter 8 gathers most solutions to the exercises of the previous chapters.

代数拓扑代考

数学代写|代数拓扑代写Algebraic topology代考|Homology and cohomology theories

基本上，同调理论是一系列变换 $H_n(-)$; 他们每个人都变成了一个拓扑空间 $X$ 进入阿贝尔群 $H_n(X)$ ， 和连续映射 $f: X \rightarrow Y$ 变成同态 $H_n(f): H_n(X) \rightarrow H_n(Y)$. 在此转换中，映射和恒等映射的组合 被保留:

• 对于连续的地图 $f: X \rightarrow Y$ 和 $g: Y \rightarrow Z$ ，我们有: $H_n(g f)=H_n(g) H_n(f)$
• 一个空间 $X$ 我们有: $H_n(\mathrm{id} X)=\operatorname{ID} H_n(X)$.
  在范畴论的基本术语中，每个 $H_n$ 是协变函子，从拓扑空间（和连续映射）的类别 Top 到交换群 (和同态) 的类别 $A b$ 。作为一个明显的结果，每个 $H_n$ 保留可逆箭头：它将空间的同构变换为群 的同构。
  事实上，同源理论以更丰富的形式出现：对于每一对“亲缘关系” $(X, A)$ 拓扑空间（其中 $A$ 是一个子空 间 $X$ )，和固定阿贝尔群 $G$ ，我们有一系列的组 $H_n(X, A ; G)$ 的相对同源性，系数在 $G$. 基本情况是具 有积分系数的绝对同调: $H_n(X)=H_n(X, \emptyset ; \mathbb{Z})$.
  另一方面，上同调理论 $H^n(-)$ 采用连续映射 $f: X \rightarrow Y$ 同态 $H^n(f): H^n(Y) \rightarrow H^n(X)$ ，反转 箭头的方向，反转构图并保留身份。这里我们还有一个丰富的版本，用于拓扑空间的相对对和系数组 $G$
  一个重要的事实出现了：系数在环中的上同调群 $R$ 有一个分级乘法，他们的家庭形成一个分级 $R$-代 数。我们将研究奇异上同调（奇异同调的副产品），并简要回顾其他理论，即 Alexander-Spanier 上 同调和 de Rham 上同调，它们自然以逆变形式出现。

数学代写|代数拓扑代写Algebraic topology代考|An outline

第一章介绍了代数拓扑的目标和方法，简要分析了拓扑与代数接口所涉及的范畴论的基本问题。
第二章介绍了奇异同调，即一般拓扑空间的最简单的同调理论，展示了如何计算同调群，并得到空间和 映射的信息。部分 $2.4$ 致力于球体的同源群及其结果：例如，拓扑维数定理，地图的拓扑度 $\mathbb{S}^n \rightarrow \mathbb{S}^n$ ，以及关于偶数维球体上矢量场的定理。同调群的几种计算可以在第 2.5、2.6 节中找到。
奇异同调是以立方形式构建的，在作者看来，这提供了一种更简单的方法。 $2.8$ 节简要介绍了更常见的 单纯形；它们的等价性在 $5.6$ 节中得到证明。
在第 3 章中，我们将单数同源性扩展到相对对 $(X, A)$. 部分 $3.3$ 展示了相对同源性如何能够研究局部特 征，例如拓扑流形的局部和全局方向。相对同源理论的 Eilenberg-Steenrod 公理在 $3.4$ 节中列出，并 验证了相对奇异同源性。Alexander-Spanier 上同调，如第 $3.5$ 节所述，满足对偶公理，用于相对上同 调理论；其分级产品在第 $3.6$ 节中处理。类似地，可微流形的 de Rham 上同调给出了实域上的分级代 数（见第 $3.7$ 节)。
第四章和第五章研究了具有系数群的奇异同调和上同调。改变系数群，我们可以得到普通理论（具有积 分系数）无法得到的结果，如4.3.7小节所示。所有这些都需要一些同调代数的工具，即用于同调的张 量和挠率积，或用于上同调的 Hom 和 Ext 函子（在第4.1和 5.1-5.3）。
第 5 章还探讨了环中系数奇异上同调的乘法结构 (第 $5.5$ 节) 和空间乘积的同调群 (第 $5.6$ 节)。后者 由 EilenbergMac Lane 的非循环模型定理确定，该定理也用于证明奇异同调的立方构造和单纯构造的 等价性。
第 6 章介绍基本群群和同伦群，以及它们与奇异同调的关系。
第 7 章简要回顾了前面几章中已经出现的问题，关于范畴论（范畴极限和伴随函子) 和一般拓扑 (紧开拓扑）。最后，第 8 章收集了前几章习题的大部分答案。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

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MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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