数学代写|常微分方程代写ordinary differential equation代考|MATH211
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常微分方程是为一个或多个独立变量的函数及其导数定义的方程。y’=x+1是一个常微分方程的例子。
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数学代写|常微分方程代写ordinary differential equation代考|Qualitative analysis of first-order equations
As already noted in the previous section, only very few ordinary differential equations are explicitly solvable. Fortunately, in many situations a solution is not needed and only some qualitative aspects of the solutions are of interest. For example, does it stay within a certain region, what does it look like for large $t$, etc.
Moreover, even in situations where an exact solution can be obtained, a qualitative analysis can give a better overview of the behavior than the formula for the solution. For example, consider the logistic growth model (Problem 1.16)
$$
\dot{x}(t)=(1-x(t)) x(t)-h,
$$
which can be solved by separation of variables. To get an overview we plot the corresponding right hand side $f(x)=(1-x) x-h$ : Since the sign of $f(x)$ tells us in what direction the solution will move, all we have to do is to discuss the sign of $f(x)$ ! For $0<h<\frac{1}{4}$ there are two zeros $x_{1,2}=\frac{1}{2}(1 \pm \sqrt{1-4 h})$. If we start at one of these zeros, the solution will stay there for all $t$. If we start below $x_1$ the solution will decrease and converge to $-\infty$. If we start above $x_1$ the solution will increase and converge to $x_2$. If we start above $x_2$ the solution will decrease and again converge to $x_2$.
At $h=\frac{1}{4}$ a bifurcation occurs: The two zeros coincide $x_1=x_2$ but otherwise the analysis from above still applies. For $h>\frac{1}{4}$ there are no zeros and all solutions decrease and converge to $-\infty$.
So we get a complete picture just by discussing the sign of $f(x)$ ! More generally we have the following result for the first-order autonomous initial value problem (Problem 1.27)
$$
\dot{x}=f(x), \quad x(0)=x_0,
$$
where $f$ is such that solutions are unique (e.g. $f \in C^1$ ).
(i) If $f\left(x_0\right)=0$, then $x(t)=x_0$ for all $t$.
(ii) If $f\left(x_0\right) \neq 0$, then $x(t)$ converges to the first zero left $\left(f\left(x_0\right)<0\right)$ respectively right $\left(f\left(x_0\right)>0\right)$ of $x_0$. If there is no such zero the solution converges to $-\infty$, respectively $\infty$.
If our differential equation is not autonomous, the situation becomes a bit more involved. As a prototypical example let us investigate the differential equation
$$
\dot{x}=x^2-t^2 .
$$
It is of Riccati type and according to the previous section, it cannot be solved unless a particular solution can be found. But there does not seem to be a solution which can be easily guessed. (We will show later, in Problem 4.8, that it is explicitly solvable in terms of special functions.)
数学代写|常微分方程代写ordinary differential equation代考|Qualitative analysis of first-order periodic equations
Some of the most interesting examples are periodic ones, where $f(t+1, x)=$ $f(t, x)$ (without loss we have assumed the period to be one). So let us consider the logistic growth model with a time dependent harvesting term
$$
\dot{x}(t)=(1-x(t)) x(t)-h \cdot(1-\sin (2 \pi t)),
$$
where $h \geq 0$ is some positive constant. In fact, we could replace $1-\sin (2 \pi t)$ by any nonnegative periodic function $g(t)$ and the analysis below will still hold.
The solutions corresponding to some initial conditions for $h=0.2$ are depicted below.
It looks like all solutions starting above some value $x_1$ converge to a periodic solution starting at some other value $x_2>x_1$, while solutions starting below $x_1$ diverge to $-\infty$.
They key idea is to look at the fate of an arbitrary initial value $x$ after precisely one period. More precisely, let us denote the solution which starts at the point $x$ at time $t=0$ by $\phi(t, x)$. Then we can introduce the Poincaré map via
$$
P(x)=\phi(1, x) .
$$
By construction, an initial condition $x_0$ will correspond to a periodic solution if and only if $x_0$ is a fixed point of the Poincaré map, $P\left(x_0\right)=x_0$. In fact, this follows from uniqueness of solutions of the initial value problem, since $\phi(t+1, x)$ again satisfies $\dot{x}=f(t, x)$ if $f(t+1, x)=f(t, x)$. So $\phi\left(t+1, x_0\right)=\phi\left(t, x_0\right)$ if and only if equality holds at the initial time $t=0$, that is, $\phi\left(1, x_0\right)=\phi\left(0, x_0\right)=x_0$.
We begin by trying to compute the derivative of $P(x)$ as follows. Set
$$
\theta(t, x)=\frac{\partial}{\partial x} \phi(t, x)
$$
and differentiate the differential equation
$$
\dot{\phi}(t, x)=(1-\phi(t, x)) \phi(t, x)-h \cdot(1-\sin (2 \pi t)),
$$
with respect to $x$ (we will justify this step in Theorem 2.10). Then we obtain
$$
\dot{\theta}(t, x)=(1-2 \phi(t, x)) \theta(t, x)
$$
and assuming $\phi(t, x)$ is known we can use Problem $1.13$ to write down the solution
$$
\theta(t, x)=\exp \left(\int_0^t(1-2 \phi(s, x)) d s\right) .
$$
常微分方程代写
数学代写|常微分方程代写ordinary differential equation代考|Qualitative analysis of first-order equations
如前一节所述，只有极少数常微分方程是可明确解的。幸运的是，在许多情况下，不需要解决方案，只对解决方案 的一些定性方面感兴趣。例如，它是否停留在某个区域内，它看起来像大 $t$ ，ETC。
此外，即使在可以获得精确解的情况下，定性分析也可以比解的公式更好地概述行为。例如，考虑逻辑增长模型 (问题 1.16)
$$
\dot{x}(t)=(1-x(t)) x(t)-h,
$$
这可以通过变量分离来解决。为了获得概览，我们绘制相应的右侧 $f(x)=(1-x) x-h$ : 自从签到 $f(x)$ 告诉我 们解决方案将朝哪个方向发展，我们所要做的就是讨论 $f(x) !$ 为了 $0\frac{1}{4}$ 没有零点，所有解都 减少并收敛到 $-\infty$.
所以我们只要讨论 $f(x)$ ! 更一般地，对于一阶自主初始值问题（问题 1.27)，我们有以下结果
$$
\dot{x}=f(x), \quad x(0)=x_0,
$$
在哪里 $f$ 是这样的解决方案是唯一的（例如 $f \in C^1$ ) 。
$(一)$ 如果 $f\left(x_0\right)=0$ ，然后 $x(t)=x_0$ 对所有人 $t$.
(ii) 如果 $f\left(x_0\right) \neq 0$ ，然后 $x(t)$ 收玫到左边的第一个零 $\left(f\left(x_0\right)<0\right)$ 分别对 $\left(f\left(x_0\right)>0\right)$ 的 $x_0$. 如果没有这样的 零，则解收敛到 $-\infty$ ，分别 $\infty$.
如果我们的微分方程不是自主的，情况就会变得更加复杂。作为一个典型的例子，让我们研究微分方程
$$
\dot{x}=x^2-t^2 .
$$
它是 Riccati 类型的，根据前面的部分，除非找到特定的解决方案，否则它无法解决。但似乎没有一个容易猜到的 解决方案。(我们将在后面的问题 $4.8$ 中证明，它可以用特殊函数显式解决。)
数学代写|常微分方程代写ordinary differential equation代考|Qualitative analysis of first-order periodic equations
一些最有趣的例子是周期性的，其中 $f(t+1, x)=f(t, x)$ (没有损失，我们假设周期为一)。因此，让我们考 虑具有时间相关收获项的逻辑增长模型
$$
\dot{x}(t)=(1-x(t)) x(t)-h \cdot(1-\sin (2 \pi t)),
$$
在哪里 $h \geq 0$ 是一些正常数。事实上，我们可以替换 $1-\sin (2 \pi t)$ 由任何非负周期函数 $g(t)$ 下面的分析仍然成 立。
对应于一些初始条件的解 $h=0.2$ 如下图所示。
看起来所有解决方案都从某个值开始 $x_1$ 收敛到从某个其他值开始的周期解 $x_2>x_1$ ，而解决方案从下面开始 $x_1$ 发 散到 $-\infty$.
他们的关键思想是查看任意初始值的命运 $x$ 怙好在一个时期之后。更准确地说，让我们表示从点开始的解决方案 $x$ 有时 $t=0$ 经过 $\phi(t, x)$. 然后我们可以通过
$$
P(x)=\phi(1, x) .
$$
通过构造，初始条件 $x_0$ 将对应于周期解当且仅当 $x_0$ 是庞加莱图的一个不动点， $P\left(x_0\right)=x_0$. 事实上，这源于初 始值问题的解的唯一性，因为 $\phi(t+1, x)$ 再次满足 $\dot{x}=f(t, x)$ 如果 $f(t+1, x)=f(t, x)$. 所以 $\phi\left(t+1, x_0\right)=\phi\left(t, x_0\right)$ 当且仅当等式在初始时间成立 $t=0$ ，那是， $\phi\left(1, x_0\right)=\phi\left(0, x_0\right)=x_0$.
我们首先尝试计算 $P(x)$ 如下。放
$$
\theta(t, x)=\frac{\partial}{\partial x} \phi(t, x)
$$
并微分方程
$$
\dot{\phi}(t, x)=(1-\phi(t, x)) \phi(t, x)-h \cdot(1-\sin (2 \pi t)),
$$
关于 $x$ (我们将在定理 $2.10$ 中证明这一步的合理性)。然后我们得到
$$
\dot{\theta}(t, x)=(1-2 \phi(t, x)) \theta(t, x)
$$
并假设 $\phi(t, x)$ 已知我们可以使用问题 $1.13$ 写下解决方案
$$
\theta(t, x)=\exp \left(\int_0^t(1-2 \phi(s, x)) d s\right) .
$$
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金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。
非参数统计代写
非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。
有限元方法代写
有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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随机分析代写
随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。
时间序列分析代写
随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。
回归分析代写
多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。
