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常微分方程是为一个或多个独立变量的函数及其导数定义的方程。y’=x+1是一个常微分方程的例子。

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数学代写|常微分方程代写ordinary differential equation代考|Basic Definitions and Classifications

A differential equation is an equation involving some function of interest along with a few of its derivatives. Typically, the function is unknown, and the challenge is to determine what that function could possibly be.

Differential equations can be classified either as “ordinary” or as “partial”. An ordinary differential equation is a differential equation in which the function in question is a function of only one variable. Hence, its derivatives are the “ordinary” derivatives encountered early in calculus. For the most part, these will be the sort of equations we’ll be examining in this text. For example,
$$
\begin{gathered}
\frac{d y}{d x}=4 x^3 \
\frac{d y}{d x}+\frac{4}{x} y=x^2 \
\frac{d^2 y}{d x^2}-2 \frac{d y}{d x}-3 y=65 \cos (2 x)
\end{gathered}
$$ and
$$
4 x^2 \frac{d^2 y}{d x^2}+4 x \frac{d y}{d x}+\left[4 x^2-1\right] y=0
$$
$$
\frac{d^4 y}{d x^4}=81 y
$$
are some differential equations that we will later deal with. In each, $y$ denotes a function that is given by some, yet unknown, formula of $x$. Of course, there is nothing sacred about our choice of symbols. We will use whatever symbols are convenient for the variables and functions, especially if the problem comes from an application and the symbols help remind us of what they denote (such as when we use $t$ for a measurement of time). ${ }^1$

A partial differential equation is a differential equation in which the function of interest depends on two or more variables. Consequently, the derivatives of this function are the partial derivatives developed in the later part of most calculus courses. ${ }^2$ Because the methods for studying partial differential equations often involve solving ordinary differential equations, it is wise to first become reasonably adept at dealing with ordinary differential equations before tackling partial differential equations.

As already noted, this text is mainly concerned with ordinary differential equations. So let us agree that, unless otherwise indicated, the phrase “differential equation” in this text means “ordinary differential equation”. If you wish to further simplify the phrasing to “DE” or even to something like “Diffy-Q”, go ahead. This author, however, will not be so informal.

数学代写|常微分方程代写ordinary differential equation代考|The Basic Notions

Any function that satisfies a given differential equation is called a solution to that differential equation. “Satisfies the equation”, means that, if you plug the function into the differential equation and compute the derivatives, then the result is an equation that is true no matter what real value we replace the variable with. And if that resulting equation is not true for some real values of the variable, then that function is not a solution to that differential equation.
Example 1.1: Consider the differential equation
$$
\frac{d y}{d x}-3 y=0 .
$$
If, in this differential equation, we let $y(x)=e^{3 x}$ (i.e., if we replace $y$ with $e^{3 x}$ ), we get
$$
\begin{aligned}
& \frac{d}{d x}\left[e^{3 x}\right]-3 e^{3 x}=0 \
& \longleftrightarrow \quad 3 e^{3 x}-3 e^{3 x}=0 \
& \longleftrightarrow \quad 0=0 \
& 0 \quad
\end{aligned}
$$
which certainly is true for every real value of $x$. So $y(x)=e^{3 x}$ is a solution to our differential equation.
On the other hand, if we let $y(x)=x^3$ in this differential equation, we get
$$
\begin{aligned}
& \frac{d}{d x}\left[x^3\right]-3 x^3=0 \
& \longrightarrow \quad 3 x^2-3 x^3=0 \
& \longleftrightarrow \quad 3 x^2(1-x)=0 \
& 3 \quad
\end{aligned}
$$
which is true only if $x=0$ or $x=1$. But our interest is not in finding values of $x$ that make the equation true; our interest is in finding functions of $x$ (i.e., $y(x)$ ) that make the equation true for all values of $x$. So $y(x)=x^3$ is not a solution to our differential equation. (And it makes no sense, whatsoever, to refer to either $x=0$ or $x=1$ as solutions, here.)

常微分方程代写

数学代写|常微分方程代写ordinary differential equation代考|Basic Definitions and Classifications

微分方程是涉及一些感兴趣的函数及其一些导数的方程。通常，函数是末知的，挑战在于确定该函数可能 是什么。
微分方程可以分为“普通”或“部分”。常微分方程是一种微分方程，其中所讨论的函数只是一个变量的函 数。因此，它的导数是微积分早期遇到的“普通”导数。在大多数情况下，这些将是我们将在本文中研究的 那种方程式。例如，
$$
\frac{d y}{d x}=4 x^3 \frac{d y}{d x}+\frac{4}{x} y=x^2 \frac{d^2 y}{d x^2}-2 \frac{d y}{d x}-3 y=65 \cos (2 x)
$$
和
$$
\begin{gathered}
4 x^2 \frac{d^2 y}{d x^2}+4 x \frac{d y}{d x}+\left[4 x^2-1\right] y=0 \
\frac{d^4 y}{d x^4}=81 y
\end{gathered}
$$
是我们稍后要处理的一些微分方程。每个， $y$ 表示由一些但末知的公式给出的函数 $x$. 当然，我们对符号的 选择并没有什么神圣的。我们将使用变量和函数方便的任何符号，尤其是当问题来自应用程序并且这些符 号有助于提醒我们它们表示什么时（例如当我们使用 $t$ 用于测量时间）。 1
偏微分方程是一种微分方程，其中感兴趣的函数取决于两个或多个变量。因此，该函数的导数是大多数微 积分课程后期开发的偏导数。 ${ }^2$ 由于研究偏微分方程的方法往往涉及求解常微分方程，因此在研究偏微分 方程之前先合理地熟练处理常微分方程是明智的。
如前所述，本书主要关注常微分方程。所以我们同意，除非另有说明，本文中的“微分方程”一词均指“常微 分方程”。如果您希望将措辞进一步简化为“DE”甚至“Diffy-Q”之类的措辞，请继续。然而，这位作者不会 这么随便。

数学代写|常微分方程代写ordinary differential equation代考|The Basic Notions

任何满足给定微分方程的函数称为该微分方程的解。”满足方程”的意思是，如果将函数代入微分方程并计 算导数，那么无论我们用什么实际值替换变量，结果都是一个正确的方程。如果所得方程对于变量的某些 实数值不成立，则该函数不是该微分方程的解。
示例 1.1：考虑微分方程
$$
\frac{d y}{d x}-3 y=0
$$
如果在这个微分方程中，我们让 $y(x)=e^{3 x}$ (即，如果我们更换 $y$ 和 $e^{3 x}$ )，我们得到
$$
\frac{d}{d x}\left[e^{3 x}\right]-3 e^{3 x}=0 \quad \longleftrightarrow 3 e^{3 x}-3 e^{3 x}=0 \longleftrightarrow 0=0 \quad 0
$$
这对于 $x$. 所以 $y(x)=e^{3 x}$ 是我们的微分方程的解。
另一方面，如果我们让 $y(x)=x^3$ 在这个微分方程中，我们得到
$$
\frac{d}{d x}\left[x^3\right]-3 x^3=0 \quad \longrightarrow 3 x^2-3 x^3=0 \longleftrightarrow 3 x^2(1-x)=0 \quad 3
$$
只有当 $x=0$ 或者 $x=1$. 但我们的兴趣不在于寻找价值 $x$ 使等式成立；我们的兴趣是寻找功能 $x$ （IE， $y(x)$ ) 使等式对所有值都成立 $x$. 所以 $y(x)=x^3$ 不是我们微分方程的解。（无论如何，指代任何一个都 是没有意义的 $x=0$ 或者 $x=1$ 作为解决方案，在这里。)

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写

随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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常微分方程是为一个或多个独立变量的函数及其导数定义的方程。y’=x+1是一个常微分方程的例子。

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数学代写|常微分方程代写ordinary differential equation代考|Linear ODEs

Another important type of ODE which can be solved easily is the linear equation (both homogeneous and non-homogeneous). Let $J$ be a closed interval and $P: J \rightarrow \mathbb{R}$ be a continuous function. An equation of the form
$$
y^{\prime}(x)+P(x) y(x)=0
$$
is called a first order linear homogeneous ODE. If $Q$ is a nonzero continuous function on $J$, then
$$
y^{\prime}(x)+P(x) y(x)=Q(x)
$$
is called a first order linear non-homogeneous ODE. Any first order ODE that we consider in this chapter which is not in any of the forms (2.26) or (2.27) is called a nonlinear $O D E$.

There are many ways to solve (2.26). One of them is to apply the method of separation of variables. On comparing (2.26) with (2.1), we get
$$
f(x)=-P(x), g(y)=\frac{1}{y} .
$$
Therefore a solution to (2.26) is implicitly given by
$$
\begin{gathered}
\int^y \frac{d y}{y}=-\int^x P(x) d x+\tilde{c}, \tilde{c} \in \mathbb{R}, \
y=e^{\tilde{c}} e^{-\int^x P(x) d x} .
\end{gathered}
$$
From the previous relation, we directly obtain that
$$
\phi(x)=c e^{-\int^x P(x) d x}, c \in \mathbb{R},
$$
is a solution to (2.26). We now describe another way of obtaining the solution given in (2.28). Let $\phi$ be a solution to (2.26). On substituting $\phi$ in (2.26) and multiplying with $e^{\int^x P(x) d x}$ on both sides, we arrive at
or
$$
\begin{gathered}
e^{\int^x P(x) d x} \frac{d \phi(x)}{d x}+\frac{d}{d x}\left(e^{\int^x P(x) d x}\right) \phi(x)=0 \
\frac{d}{d x}\left(\phi(x) e^{\int^x P(x) d x}\right)=0
\end{gathered}
$$

数学代写|常微分方程代写ordinary differential equation代考|Well-posedness

Throughout this chapter, we assume that every interval that we consider has a positive length ${ }^3$. We assume that $J$ and $\Omega$ are open intervals in $\mathbb{R}$. Let $\bar{J}$ and $\bar{\Omega}$ denote the smallest closed intervals containing $J$ and $\Omega$, respectively. Let $f: \bar{J} \times \bar{\Omega} \rightarrow \mathbb{R}$ be a function. Consider the problem
$$
\left{\begin{array}{l}
y^{\prime}(x)=f(x, y(x)), x \in J, \
y\left(x_0\right)=y_0 .
\end{array}\right.
$$
Definition 2.2.1. Let $J_1 \subseteq \bar{J}$ be an interval containing $x_0$. We say that a function $\phi: J_1 \rightarrow \mathbb{R}$ is said to be a solution to (2.34) if
(i) $\phi \in C\left(J_1\right) \cap C^1\left(J_1^o\right)$, where $J_1^o$ is the interval (inf $J_1, \sup J_1$ ),
(ii) $\phi(x) \in \Omega, x \in J_1$,
(iii) on substituting $y=\phi$ in (2.34) we get an identity in $J_1$.
Moreover, if $J_1 \backslash\left{x_0\right} \subset J \backslash\left{x_0\right}$, then we say that $\phi$ is a local solution. Otherwise it is called a global solution. If $J_1$ is of the form $\left[x_0, x_1\right]$ or $\left[x_0, x_1\right)$, then we say that $\phi$ is a right solution. If $J_1$ is of the form $\left[x_1, x_0\right]$ or $\left(x_1, x_0\right]$, then we say that $\phi$ is a left solution. If $x_0 \in J_1^o$ then we say that $\phi$ is a bilateral solution. If $J=\left(x_0, x_1\right)$ where $x_1 \in \mathbb{R} \cup{\infty}$, then (2.34) is said to be an initial value problem (IVP) and we deal with the right solutions in the study of IVPs. On the other hand, if $x_0 \in J$ then (2.34) is said to be a Cauchy problem. We usually seek bilateral solutions while studying Cauchy problems.
In fact, one of the main theorems of this chapter is to prove the existence of a bilateral (right) solutions to Cauchy problems (IVPs).

常微分方程代写

数学代写|常微分方程代写ordinary differential equation代考|Linear ODEs

另一种可以轻松求解的重要 ODE 类型是线性方程 (齐次和非齐次) 。让 $J$ 是一个闭区间并且 $P: J \rightarrow \mathbb{R}$ 是连续函数。形式的方程
$$
y^{\prime}(x)+P(x) y(x)=0
$$
称为一阶线性齐次 $\mathrm{ODE}$ 。如果 $Q$ 是一个非零连续函数 $J$ ，然后
$$
y^{\prime}(x)+P(x) y(x)=Q(x)
$$
称为一阶线性非齐次 ODE。我们在本章中考虑的任何不属于 (2.26) 或 (2.27) 形式的一阶 ODE 称为非线 性 $O D E$.
(2.26)有多种求解方法。其中之一是应用变量分离法。将 (2.26) 与 (2.1) 进行比较，我们得到
$$
f(x)=-P(x), g(y)=\frac{1}{y}
$$
因此 (2.26) 的解隐式给出
$$
\int^y \frac{d y}{y}=-\int^x P(x) d x+\tilde{c}, \tilde{c} \in \mathbb{R}, y=e^{\bar{c}} e^{-\int^x P(x) d x}
$$
从前面的关系，我们直接得到
$$
\phi(x)=c e^{-\int^x P(x) d x}, c \in \mathbb{R}
$$
是 (2.26) 的解。我们现在描述另一种获得 (2.28) 中给出的解决方案的方法。让 $\phi$ 是 (2.26) 的解。关于替 代 $\phi$ 在 (2.26) 中乘以 $e^{\int^x P(x) d x}$ 在双方，我们到达
或
$$
e^{\int^x P(x) d x} \frac{d \phi(x)}{d x}+\frac{d}{d x}\left(e^{f^x P(x) d x}\right) \phi(x)=0 \frac{d}{d x}\left(\phi(x) e^{f^x P(x) d x}\right)=0
$$

数学代写|常微分方程代写ordinary differential equation代考|Well-posedness

在本章中，我们假设我们考虑的每个区间的长度都是正数 3 . 我们假设 $J$ 和 $\Omega$ 是开区间 $\mathbb{R}$. 让 $\bar{J}$ 和 $\bar{\Omega}$ 表示包含 的最小闭区间 $J$ 和 $\Omega$ ，分别。让 $f: \bar{J} \times \bar{\Omega} \rightarrow \mathbb{R}$ 成为一个函数。考虑问题 $\$ \$$
Veft {
$$
y^{\prime}(x)=f(x, y(x)), x \in J, y\left(x_0\right)=y_0
$$
正确的。 $\$ \$$
定义 2.2.1。让 $J_1 \subseteq \bar{J}$ 是一个包含的区间 $x_0$. 我们说一个函数 $\phi: J_1 \rightarrow \mathbb{R}$ 据说是 (2.34) 的解，如果 (i) $\phi \in C\left(J_1\right) \cap C^1\left(J_1^o\right)$ ， 在哪里 $J_1^o$ 是区间 $\left(\inf J_1, \sup J_1\right)$,
(二) $\phi(x) \in \Omega, x \in J_1$,
(iii) 关于替代 $y=\phi$ 在 (2.34) 中我们得到一个恒等式 $J_1$. 决方案。如果 $J_1$ 是形式 $\left[x_0, x_1\right]$ 要么 $\left[x_0, x_1\right)$ ，那么我们说 $\phi$ 是一个正确的解决方案。如果 $J_1$ 是形式 $\left[x_1, x_0\right]$ 要么 $\left(x_1, x_0\right]$ ，那么我们说 $\phi$ 是左解。如果 $x_0 \in J_1^o$ 然后我们说 $\phi$ 是双边解决方案。如果
$J=\left(x_0, x_1\right)$ 在哪里 $x_1 \in \mathbb{R} \cup \infty$ ，那么 (2.34) 被称为初始值问题 (IVP) 并且我们在 IVP 的研究中处理正 确的解决方案。另一方面，如果 $x_0 \in J$ 则 (2.34) 被称为柯西问题。我们在研究柯西问题时通常寻求双边 解快方案。
事实上，本章的主要定理之一是证明存在柯西问题 (IVP) 的双边（右）解。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

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非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

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随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

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MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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数学代写|常微分方程代写ordinary differential equation代考|Separation of variables

Consider the ODE of the form
$$
\frac{d}{d x} y(x)=\frac{f(x)}{g(y(x))} .
$$
We assume that $f:\left(a_0, a_1\right) \rightarrow \mathbb{R}$ and $g:\left(b_0, b_1\right) \rightarrow(0, \infty)$ are continuous functions. Wè also assume that there exists $y_0$ in the interval $\left(b_0, b_1\right)$ such that
$$
g\left(y_0\right) \neq 0 .
$$
We define a function $F:\left(a_0, a_1\right) \times\left(b_0, b_1\right) \rightarrow \mathbb{R}$ by
$$
F(x, y)=\int_{y_0}^y g(\xi) d \xi-\int_{x_0}^x f(s) d s, x \in\left(a_0, a_1\right), y \in\left(b_0, b_1\right) .
$$
Since $f$ and $g$ are continuous, $F$ is a $C^1$-function. Moreover for every $x_0 \in$ $\left(a_0, a_1\right)$ we have
$$
\frac{\partial F}{\partial y}\left(x_0, y_0\right)=g\left(y_0\right) \neq 0 \text {. }
$$

Therefore by the implicit function theorem (see Appendix C) there exists $\delta>0$ and a $C^1$-function $\phi:\left(x_0-\delta, x_0+\delta\right) \rightarrow \mathbb{R}$ such that
$$
F(x, \phi(x))=\int_{y_0}^{\phi(x)} g(\xi) d \xi-\int_{x_0}^x f(s) d s=F\left(x_0, y_0\right), x \in\left(x_0-\delta, x_0+\delta\right) .
$$
One can easily prove that $\phi$ is a solution to (2.1). For, on differentiating (2.3) with respect to $x$ (using the Leibniz rule of differentiation ${ }^1$ ) we get
$$
\phi^{\prime}(x) g(\phi(x))-f(x)=0, x \in\left(x_0-\delta, x_0+\delta\right) .
$$
This proves that the function $\phi$ which is implicitly given by the relation $F(x, y)=F\left(x_0, y_0\right)$, is a solution to (2.1). In other words, the relation
$$
\int^y g(y) d y=\int^x f(x) d x+c, c \in \mathbb{R},
$$
where the above integrals are indefinite integrals, defines a solution to (2.1). We now present some examples where this technique is demonstrated.

数学代写|常微分方程代写ordinary differential equation代考|Exact cquations

In this subsection, we present another special form of differential equations called exact equations which can be solved easily. Let $M, N$ be continuous functions in a rectangle
$$
R=\left{(x, y):\left|x-x_0\right| \leq a,\left|y-y_0\right| \leq b\right},
$$
and $N$ does not vanish in $R$. An ODE of the form
$$
N(x, y(x)) y^{\prime}(x)+M(x, y(x))=0,
$$
is said to be exact if there exists a $C^1$-function $F: R \rightarrow \mathbb{R}$ such that
$$
\frac{\partial F}{\partial x}(x, y)=M(x, y), \quad \frac{\partial F}{\partial y}(x, y)=N(x, y),(x, y) \in R .
$$
Example 2.1.8. Show that $y(x) y^{\prime}(x)+x=0$ is an exact equation.
Solution. In order to prove this, we first compare the given equation with (2.18) to get $M(x, y)=x$ and $N(x, y)=y$. It is easy to verify that

$$
F(x, y)=\frac{x^2+y^2}{2},
$$
satisfies (2.19). Hence the given equation is exact.
We now establish the connection between $F$ and the solutions to (2.18). To this end, we suppose (2.18) is exact and $F$ is known to us. We observe that $\frac{\partial F}{\partial y}=N \neq 0$, in $R$. Let $(\tilde{x}, \tilde{y}) \in \mathbb{R}^2$ satisfy $\left|x_0-\tilde{x}\right|<a$ and $\left|y_0-\tilde{y}\right|<b$. Then by the implicit function theorem there exists an interval $(\tilde{x}-\delta, \tilde{x}+\delta)$, which is denoted by $J$, and a $C^1$-function $\phi: J \rightarrow \mathbb{R}$ such that
$$
F(x, \phi(x))=F(\tilde{x}, \tilde{y}), x \in J .
$$
Claim. The function $\phi$ is a solution to (2.18).
For, on differentiating (2.20) with respect to $x$ we get
$$
\frac{\partial F}{\partial x}(x, \phi(x))+\frac{\partial F}{\partial y}(x, \phi(x)) \phi^{\prime}(x)=0, x \in J .
$$
Thus we have
$$
M(x, \phi(x))+N(x, \phi(x)) \phi^{\prime}(x)=0, x \in J,
$$
which proves that $\phi$ is a solution to (2.18). Hence the claim is proved.
Now, we shall revisit Example 2.1.8 and solve the ODE therein.

常微分方程代写

数学代写|常微分方程代写ordinary differential equation代考|Separation of variables

考虑形式的 ODE
$$
\frac{d}{d x} y(x)=\frac{f(x)}{g(y(x))}
$$
我们假设 $f:\left(a_0, a_1\right) \rightarrow \mathbb{R}$ 和 $g:\left(b_0, b_1\right) \rightarrow(0, \infty)$ 是连续函数。我们还假设存在 $y_0$ 在区间 $\left(b_0, b_1\right)$ 这样
$$
g\left(y_0\right) \neq 0 .
$$
我们定义一个函数 $F:\left(a_0, a_1\right) \times\left(b_0, b_1\right) \rightarrow \mathbb{R}$ 经过
$$
F(x, y)=\int_{y_0}^y g(\xi) d \xi-\int_{x_0}^x f(s) d s, x \in\left(a_0, a_1\right), y \in\left(b_0, b_1\right) .
$$
自从 $f$ 和 $g$ 是连续的， $F$ 是一个 $C^1$-功能。此外对于每一个 $x_0 \in\left(a_0, a_1\right)$ 我们有
$$
\frac{\partial F}{\partial y}\left(x_0, y_0\right)=g\left(y_0\right) \neq 0 .
$$
因此根据隐函数定理 (见附录 C) 存在 $\delta>0$ 和一个 $C^1$-功能 $\phi:\left(x_0-\delta, x_0+\delta\right) \rightarrow \mathbb{R}$ 这样
$$
F(x, \phi(x))=\int_{y_0}^{\phi(x)} g(\xi) d \xi-\int_{x_0}^x f(s) d s=F\left(x_0, y_0\right), x \in\left(x_0-\delta, x_0+\delta\right)
$$
可以很容易地证明 $\phi$ 是 (2.1) 的解。因为，关于微分 (2.3) 关于 $x$ (使用莱布尼兹微分法则 ${ }^1$ ) 我们得到
$$
\phi^{\prime}(x) g(\phi(x))-f(x)=0, x \in\left(x_0-\delta, x_0+\delta\right) .
$$
这证明了函数 $\phi$ 这是由关系隐式给出的 $F(x, y)=F\left(x_0, y_0\right)$ ，是 (2.1) 的解。换句话说，关系
$$
\int^y g(y) d y=\int^x f(x) d x+c, c \in \mathbb{R}
$$
其中上述积分是不定积分，定义了 (2.1) 的解。我们现在提供一些演示此技术的示例。

数学代写|常微分方程代写ordinary differential equation代考|Exact cquations

在本小节中，我们介绍另一种特殊形式的微分方程，称为精确方程，它很容易求解。让 $M, N$ 是矩形内的 连续函数
和 $N$ 不会消失 $R$. 形式的 $\mathrm{ODE}$
$$
N(x, y(x)) y^{\prime}(x)+M(x, y(x))=0,
$$
如果存在 $C^1$-功能 $F: R \rightarrow \mathbb{R}$ 这样
$$
\frac{\partial F}{\partial x}(x, y)=M(x, y), \quad \frac{\partial F}{\partial y}(x, y)=N(x, y),(x, y) \in R .
$$
示例 2.1.8。显示 $y(x) y^{\prime}(x)+x=0$ 是一个精确方程。
解决方案。为了证明这一点，我们首先将给定的方程与 (2.18) 进行比较得到 $M(x, y)=x$ 和 $N(x, y)=y$. 很容易验证
$$
F(x, y)=\frac{x^2+y^2}{2}
$$
满足 (2.19)。因此给定的方程是精确的。
我们现在建立之间的连接 $F$ 以及 (2.18) 的解。为此，我们假设 (2.18) 是精确的并且 $F$ 为我们所熟知。我们 观察到 $\frac{\partial F}{\partial y}=N \neq 0$ ， 在 $R$. 让 $(\tilde{x}, \tilde{y}) \in \mathbb{R}^2$ 满足 $\left|x_0-\tilde{x}\right|<a$ 和 $\left|y_0-\tilde{y}\right|<b$. 则由隐函数定理存在 区间 $(\tilde{x}-\delta, \tilde{x}+\delta)$ ，表示为 $J$ ，和一个 $C^1$-功能 $\phi: J \rightarrow \mathbb{R}$ 这样
$$
F(x, \phi(x))=F(\tilde{x}, \tilde{y}), x \in J .
$$
宣称。功能 $\phi$ 是 (2.18) 的解。
因为，关于微分 $(2.20)$ 关于 $x$ 我们得到
$$
\frac{\partial F}{\partial x}(x, \phi(x))+\frac{\partial F}{\partial y}(x, \phi(x)) \phi^{\prime}(x)=0, x \in J .
$$
因此我们有
$$
M(x, \phi(x))+N(x, \phi(x)) \phi^{\prime}(x)=0, x \in J,
$$
这证明 $\phi$ 是 (2.18) 的解。因此，索赔得到证明。
现在，我们将重新审视示例 $2.1 .8$ 并求解其中的 ODE。

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非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

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广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

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常微分方程是为一个或多个独立变量的函数及其导数定义的方程。y’=x+1是一个常微分方程的例子。

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数学代写|常微分方程代写ordinary differential equation代考|Ordinary differential equations

The term ‘equatio differentialis’ (differential equations) was first used by Leibniz in 1676 to denote a relationship between the differentials of two variables. Very soon, this restricted usage was abandoned. Roughly speaking, differential equations are the equations involving one or more dependent variables (unknowns) and their derivatives/partial derivatives. If the unknown in the differential equation is a function of only one variable, then such differential equation is called an ordinary differential equation (ODE).
Notation: Unless specified otherwise, the unknown in the differential equation is denoted by $y$. Let $\mathbb{R}$ denote the set of real numbers, and $J$ be an open interval in $\mathbb{R}$. Throughout the book we denote the derivative of the function $y: J \rightarrow \mathbb{R}$ with respect to $x$ by either
$$
\frac{d}{d x} y(x) \text { or } \frac{d y}{d x}(x) \text { or } y^{\prime}(x) .
$$
When there is no ambiguity regarding the argument in the function $y$, we denote the derivative simply with $\frac{d y}{d x}$ or $y^{\prime}$. Similarly, let $y^{\prime \prime}$ and $y^{\prime \prime \prime}$ denote the second and the third derivative of $y$, respectively. In general, for $k \in \mathbb{N}$, $y^{(k)}$ or $\frac{d^k y}{d x^k}$ denotes the $k$-th order derivative of $y$.
With this notation, examples of ODEs are
$$
\begin{gathered}
\frac{d}{d x} y(x)=\left(\frac{d^2}{d x^2} y(x)\right)^5+y^2(x), x \in(0,1), \
y^{\prime}=3 y^2+(\sin x) y+\log \left(\cos ^2 y\right), x \in \mathbb{R} .
\end{gathered}
$$
The order of an ODE is the largest number $k$ such that the $k$-th order derivative of the unknown is present in the ODE. For example, the order of (1.1) is two.
At the beginning, it may look like tools from the integral calculus are sufficient to study ODEs. But very soon one realizes that to develop methods to solve or analyze them, one needs notions from subjects like analysis, linear algebra, etc. In fact, the study of differential equations motivated crucial development of many areas of mathematics: the theory of Fourier series and more general orthogonal expansions, integral transformations, Hilbert spaces, and Lebesgue integration to name a few.

数学代写|常微分方程代写ordinary differential equation代考|Applications of ODEs

Many laws in physics, chemistry, biology etc., can be easily expressed using differential equations. One of the reasons for this is the following. The quantity $y^{\prime}(x)$ can be interpreted as the rate of change of the quantity $y$ with respect to the quantity $x$. In many natural phenomena, there is a relationship between the unknowns (which are relatively difficult to measure), the rate of change of the unknowns with respect to a known quantity, and the other known quantities (which are easy to measure) that govern the process. When this relationship is expressed in mathematics, it turns out to be a (system of) differential equation(s). Therefore the study of ODEs is crucial in understanding physical sciences. In fact, much of the theory developed in ODEs owes to the questions/situations raised in the study of subjects like mechanics, astronomy, electronics etc.
Listing all the available ODE models in any branch of science is an impossible task. Therefore in this chapter, we present a few ODE models which arise from physics and biology which can be solved or analyzed using the material in the book. We begin with models from physics.

Example 1.2.1 (Radioactivity and half-life). Let $N(t)$ denote the number of radioactive active atoms in a substance of a fixed quantity at time $t$. Then a model for the decay of the number of radioactive atoms is
$$
\begin{gathered}
\frac{d}{d t} N(t)=-k N(t), t>0, \
N\left(t_0\right)=N_0,
\end{gathered}
$$
where $k>0$. Equation (1.3b) is known as the initial condition. This kind of models are studied in detail in Chapter 2, Subsection 2.1.3. One can easily verify that the solution to (1.3a) is
$$
N(t)=N_0 e^{-k\left(t-t_0\right)}, t>t_0 .
$$
The half-life of a specific radioactive isotope is defined as the time taken for half of its radioactive atoms to decay. In fact, the half-life is independent of the quantity of the radioactive material. We now calculate the half-life of an isotope using (1.3a) if $k$ is known explicitly. For, it is enough to find $T$ at which $N(T)=\frac{N_0}{2}$. From (1.4) we have
$$
N(T)=N_0 e^{-k\left(T-t_0\right)}=\frac{N_0}{2}
$$

常微分方程代写

数学代写|常微分方程代写ordinary differential equation代考|Ordinary differential equations

莱布尼茨于 1676 年首次使用术语“equatio differentialis”（微分方程）来表示两个变量的微分之间的关 系。很快，这种限制性使用被放弃了。粗略地说，微分方程是涉及一个或多个因变量（末知数）及其导 数/偏导数的方程。如果微分方程中的末知数是只有一个变量的函数，则这样的微分方程称为常微分方程 (ODE)。
符号: 除非另有说明，微分方程中的末知数表示为 $y$. 让 $\mathbb{R}$ 表示实数集，并且 $J$ 是一个开区间 $\mathbb{R}$. 在整本书 中，我们表示函数的导数 $y: J \rightarrow \mathbb{R}$ 关于 $x$ 通过任何一个
$$
\frac{d}{d x} y(x) \text { or } \frac{d y}{d x}(x) \text { or } y^{\prime}(x) .
$$
当函数中的参数没有歧义时 $y$ ，我们简单地用导数表示 $\frac{d y}{d x}$ 要么 $y^{\prime}$. 同样，让 $y^{\prime \prime}$ 和 $y^{\prime \prime \prime}$ 表示的二阶和三阶导 数 $y$ ，分别。一般来说，对于 $k \in \mathbb{N}, y^{(k)}$ 要么 $\frac{d^k y}{d x^k}$ 表示 $k$-th阶导数 $y$.
使用这种表示法， ODE 的示例是
$$
\frac{d}{d x} y(x)=\left(\frac{d^2}{d x^2} y(x)\right)^5+y^2(x), x \in(0,1), y^{\prime}=3 y^2+(\sin x) y+\log \left(\cos ^2 y\right), x \in \mathbb{R}
$$
$\mathrm{ODE}$ 的阶数是最大数 $k$ 这样的 $k \mathrm{ODE}$ 中存在末知数的 -th 阶导数。例如，(1.1) 的阶数为二。
开始，积分学中的工具似乎足以研究 $\mathrm{ODE}$ 。但很快人们就会意识到，要开发解决或分析它们的方法， 需要来自分析、线性代数等学科的概念。事实上，微分方程的研究推动了数学许多领域的重要发展：傅立 叶级数理论以及更一般的正交展开、积分变换、莃尔伯特空间和勒贝格积分等等。

数学代写|常微分方程代写ordinary differential equation代考|Applications of ODEs

物理、化学、生物等领域的许多定律，都可以很容易地用微分方程来表达。其原因之一如下。数量 $y^{\prime}(x)$ 可以解释为数量的变化率 $y$ 关于数量 $x$. 在许多自然现象中，末知数（相对难以测量）、末知数相对于已知 量的变化率和其他已知量 (易于测量) 之间存在关系过程。当这种关系用数学表达时，它就是一个 (系 统) 微分方程。因此，ODE 的研究对于理解物理科学至关重要。事实上，在 ODE 中发展的大部分理论都 归功于在力学、天文学、电子学等学科的研究中提出的问题/情况。
列出任何科学分支中所有可用的 ODE 模型是一项不可能完成的任务。因此，在本章中，我们介绍了一些 源自物理学和生物学的 ODE 模型，可以使用本书中的材料对其进行求解或分析。我们从物理学模型开 始。
示例 1.2.1 （放射性和半衰期）。让 $N(t)$ 表示某一时刻一定数量的物质中放射性活性原子的数量 $t$. 那么放 射性原子数量衰减的模型是
$$
\frac{d}{d t} N(t)=-k N(t), t>0, N\left(t_0\right)=N_0,
$$
在哪里 $k>0$. 方程 (1.3b) 称为初始条件。此类模型在第 2 章 $2.1 .3$ 小节中进行了详细研究。可以很容易 地验证 (1.3a) 的解是
$$
N(t)=N_0 e^{-k\left(t-t_0\right)}, t>t_0 .
$$
特定放射性同位素的半衰期定义为其放射性原子衰变一半所需的时间。事实上，半衰期与放射性物质的数 量无关。我们现在使用 (1.3a) 计算同位素的半衰期，如果 $k$ 明确知道。因为，找到就足够了 $T$ 在哪个 $N(T)=\frac{N_0}{2}$. 从 (1.4) 我们有
$$
N(T)=N_0 e^{-k\left(T-t_0\right)}=\frac{N_0}{2}
$$

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常微分方程是为一个或多个独立变量的函数及其导数定义的方程。y’=x+1是一个常微分方程的例子。

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数学代写|常微分方程代写ordinary differential equation代考|Complex Solutions

One often encounters complex valued solutions of linear differential equations, and such solutions may be useful even though the equation itself has real valued coefficients and does not seem to invite a passage to the complex realm. For example, the equation $y^{(4)}+y=0$ has a solution basis comprising the four functions $e^{x / \sqrt{2}} \cos (x / \sqrt{2}), \quad e^{x / \sqrt{2}} \sin (x / \sqrt{2}), \quad e^{-x / \sqrt{2}} \cos (x / \sqrt{2}), \quad e^{-x / \sqrt{2}} \sin (x / \sqrt{2})$,

but if we allow complex valued solutions we can write another basis, algebraically simpler, comprising the functions
$$
e^{\omega x}, \quad e^{i \omega x}, \quad e^{-\omega x}, \quad e^{-i \omega x},
$$
where $\omega=(1+i) / \sqrt{2}$. The second basis might prove useful even when we seek, at the end of the day, a real valued solution. How these bases can be found is a topic taken later in this chapter.

For now we note that complex valued functions defined in the real interval $I$ form a vector space over the complex field $\mathbb{C}$. They can be differentiated in the obvious way, by differentiating the real part and the imaginary part, thus:
$$
y^{\prime}(x)=u^{\prime}(x)+i v^{\prime}(x),
$$
where $y(x)=u(x)+i v(x)$ and the functions $u$ and $v$ are real valued. It is now obvious that $u+i v$ is a solution of (1.5) (which has only real valued coefficient functions) if and only if $u$ and $v$ are individually real valued solutions. This says that the space of complex valued solutions is the complexification of the space of real solutions; it is a vector space over $\mathbb{C}$ with dimension $n$.

We can go further and suppose that the coefficient functions $p_1, \ldots, p_n$ have complex values, as well as the inhomogeneous term $g$ and the initial values. The analogues of the propositions of this section hold for complex equations without change, although they do not obviously follow from Proposition 1.3. The vector space of solutions of the homogeneous equation will be an $n$-dimensional vector space over $\mathbb{C}$ of complex valued functions. However, in this chapter we restrict ourselves to equations with real coefficients, as their properties can be derived from the as yet unproved Proposition 1.3.

It is important to understand that the independent variable $x$ is always real. At this point, we do not need differentiation with respect to a complex variable, which leads to the theory of complex analytic functions. The notion of a differential equation in the complex domain, for which a solution is a function of a complex variable, is not touched upon in this text.

数学代写|常微分方程代写ordinary differential equation代考|Homogeneous Linear Equations with Constant Coefficients

In this section we study the homogeneous equation
$$
p_n y^{(n)}+p_{n-1} y^{(n-1)}+\cdots+p_1 y^{\prime}+p_0 y=0
$$
with constant coefficients $p_0, \ldots, p_n$. We assume here that $p_n \neq 0$ so we could (but do not) divide throughout by $p_n$ to convert the equation to standard form. The solution space is an $n$-dimensional vector space of functions on the real line ]$-\infty, \infty[$. If the coefficients are real and we admit only real valued functions then it is $n$-dimensional over $\mathbb{R}$. If we admit complex valued solutions (and we are forced to do this if some coefficients are not real) then it is $n$-dimensional over $\mathbb{C}$. In this chapter we only study equations with real coefficients, but it may be still be advantageous to allow complex valued solutions.
Closely associated with the differential equation is the polynomial
$$
P(X):=p_n X^n+p_{n-1} X^{n-1}+\cdots+p_1 X+p_0
$$
and the so-called indicial equation ${ }^3$
$$
P(X)=0 .
$$
The roots of the indicial equation play a fundamental role in the theory of the linear equation with constant coefficients.
Proposition $1.11$

1. The function $e^{\lambda x}$ is a solution of (1.17) if and only if $\lambda$ is a root of the indicial equation.
2. Suppose that the indicial equation has $n$ distinct roots $\lambda_1, \ldots, \lambda_n$, possibly complex. Then the functions
   $$
   e^{\lambda_1 x}, \ldots, e^{\lambda_n x}
   $$
   form a solution basis.

常微分方程代写

数学代写|常微分方程代写ordinary differential equation代考|Complex Solutions

人们经常会遇到线性微分方程的复值解，即使方程本身具有实值系数并且似乎没有进入复数领域的通道， 这样的解也可能有用。例如，等式 $y^{(4)}+y=0$ 具有包含四个功能的解决方案基础 $e^{x / \sqrt{2}} \cos (x / \sqrt{2}), \quad e^{x / \sqrt{2}} \sin (x / \sqrt{2}), \quad e^{-x / \sqrt{2}} \cos (x / \sqrt{2}), \quad e^{-x / \sqrt{2}} \sin (x / \sqrt{2})$,
但是如果我们允许复值的解决方案，我们可以编写另一个基础，代数上更简单，包括函数
$$
e^{\omega x}, \quad e^{i \omega x}, e^{-\omega x}, \quad e^{-i \omega x},
$$
在哪里 $\omega=(1+i) / \sqrt{2}$. 即使我们在一天结束时寻求真正有价值的解决方案，第二个基础也可能被证明 是有用的。如何找到这些基是本章后面的主题。
现在我们注意到在实数区间中定义的复值函数 $I$ 在复数域上形成向量空间 $\mathbb{C}$. 通过区分实部和虚部，可以以 明显的方式区分它们，因此：
$$
y^{\prime}(x)=u^{\prime}(x)+i v^{\prime}(x)
$$
在哪里 $y(x)=u(x)+i v(x)$ 和功能 $u$ 和 $v$ 是真正有价值的。现在很明显 $u+i v$ 是 (1.5) 的解 (只有实值 系数函数）当且仅当 $u$ 和 $v$ 是单独真正有价值的解决方案。这表示复值解空间是实解空间的复化；它是一个 向量空间 $\mathbb{C}$ 有维度 $n$.
我们可以更进一步，假设系数函数 $p_1, \ldots, p_n$ 具有复数值，以及非齐次项 $g$ 和初始值。本节命题的类比适 用于没有变化的复方程，尽管它们显然不是从命题 $1.3$ 推导出来的。齐次方程解的向量空间为 $n$ 维向量空 间 $\mathbb{C}$ 的复杂值函数。然而，在本章中，我们将自己限制在具有实系数的方程中，因为它们的性质可以从尚 末证明的命题 $1.3$ 中推导出来。
重要的是要理解自变量 $x$ 总是真实的。在这一点上，我们不需要对一个复杂的变量进行微分，这就引出了 复杂的解析函数理论。复数域中微分方程的概念，其解是复数变量的函数，本文末涉及。

数学代写|常微分方程代写ordinary differential equation代考|Homogeneous Linear Equations with Constant Coefficients

在本节中，我们研究齐次方程
$$
p_n y^{(n)}+p_{n-1} y^{(n-1)}+\cdots+p_1 y^{\prime}+p_0 y=0
$$
常数系数 $p_0, \ldots, p_n$. 我们在这里假设 $p_n \neq 0$ 所以我们可以 (但不) 除以 $p_n$ 将方程式转换为标准形式。 解空间是 $n$ 实线上函数的维向量空间 $]-\infty, \infty[$. 如果系数是实数并且我们只接受实值函数那么它是 $n$-维度 过 $\mathbb{R}$. 如果我们接受复值解 (如果某些系数不是实数，我们将被迫这样做）那么它是 $n$-维度过 $\mathbb{C}$. 在本章 中，我们只研究具有实系数的方程，但允许复值解可能仍然是有利的。
与微分方程密切相关的是多项式
$$
P(X):=p_n X^n+p_{n-1} X^{n-1}+\cdots+p_1 X+p_0
$$
和所谓的指标方程 ${ }^3$
$$
P(X)=0 .
$$
指示方程的根在常系数线性方程的理论中起着基础性的作用。 圭张1.11

1. 功能 $e^{\lambda x}$ 是 (1.17) 的解当且仅当 $\lambda$ 是指示方程的根。
2. 假设指示方程有 $n$ 不同的根源 $\lambda_1, \ldots, \lambda_n$ ，可能很复杂。然后是函数
   $$
   e^{\lambda_1 x}, \ldots, e^{\lambda_n x}
   $$
   形成解决方案的基础。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写

随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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数学代写|常微分方程代写ordinary differential equation代考|The Wronskian

Let $u_1, \ldots, u_n$ be a sequence of $n$ functions each of which is $n-1$ times differentiable in an interval $I$. We do not assume that they are the solutions of any differential equation. The determinant
$$
W\left(u_1, \ldots, u_n\right)(x):=\left|\begin{array}{ccc}
u_1(x) & \ldots & u_n(x) \
u_1^{\prime}(x) & \ldots & u_n^{\prime}(x) \
\vdots & & \vdots \
u_1^{(n-1)}(x) & \ldots & u_n^{(n-1)}(x)
\end{array}\right|
$$
is called the Wronskian of the functions $u_1, \ldots, u_n$. It is a function on the interval $I$.
Proposition 1.5 Let the coefficient functions $p_0, \ldots, p_{n-1}$ be continuous in the open interval I. Let $u_1, \ldots, u_n$ be $n$ solutions of (1.5) on the interval I and let $x_0 \in I$. Then the solutions $u_1, \ldots, u_n$ form a basis for the space $E$ of all solutions of $(1.5)$ on I if and only if $W\left(u_1, \ldots, u_n\right)\left(x_0\right) \neq 0$.

Proof In the proof of Proposition $1.4$ we saw that the mapping $\kappa: E \rightarrow \mathbb{R}^n$, that maps each solution to its vector of Cauchy data at $x_0$, is a vector space isomorphism. It follows that $n$ solutions $u_1, \ldots, u_n$ form a basis of $E$ if and only if the $n$ vectors $\kappa\left(u_1\right), \ldots, \kappa\left(u_n\right)$ form a basis of $\mathbb{R}^n$. The necessary and sufficient condition for this is that the determinant $W\left(u_1, \ldots, u_n\right)\left(x_0\right)$ is not 0 , since these vectors constitute its columns.

Observing that the point $x_0$ in Proposition $1.5$ can be any point in the interval $I$, we obtain the following:

Proposition 1.6 Let the coefficient functions $p_0, \ldots, p_{n-1}$ be continuous in the open interval I. Let $u_1, \ldots, u_n$ be $n$ solutions of (1.5) on the interval I. Then either the Wronskian $W\left(u_1, \ldots, u_n\right)(x)$ is non-zero for every $x$ in I or it is zero for every $x$ in $I$.

Even though Proposition $1.6$ follows at once from Proposition $1.5$ there is an interesting formula due to Abel that leads to the same conclusion. It shows that $W\left(u_1, \ldots, u_n\right)(x)$ satisfies a first order linear differential equation.

数学代写|常微分方程代写ordinary differential equation代考|Non-homogeneous Equations

Proposition $1.8$ Let the coefficient functions $p_0, \ldots, p_{n-1}$ be continuous in the open interval I and let the function $g$ be continuous in I. Let $v(x)$ be a solution on I of the non-homogeneous equation
$$
y^{(n)}+p_{n-1}(x) y^{(n-1)}+\cdots+p_1(x) y^{\prime}+p_0(x) y=g(x) .
$$

Let $u_1, \ldots, u_n$ be a solution basis for the homogeneous equation. Then the general solution of (1.8) can be written
$$
y(x)=c_1 u_1(x)+\cdots+c_n u_n(x)+v(x)
$$
where $c_1, \ldots, c_n$ are arbitrary constants.
The function $v(x)$ in this proposition is traditionally called a particular solution of the non-homogeneous equation. In spite of its name, any solution can be used as a particular solution.

Proof In the first place the formula (1.9) is a solution of (1.8) however the constants $c_1, \ldots, c_n$ are chosen. Now let $y(x)$ be a solution of (1.8). Consider the function $z(x):=y(x)-v(x)$. It is easily seen that $z(x)$ satisfies the homogeneous equation, and hence is of the form $c_1 u_1(x)+\cdots+c_n u_n(x)$ for a certain choice of the constants.

Next we prove the existence of a particular solution. In fact we do more. We show that once a solution basis is known for the homogeneous equation a particular solution can be found by quadratures. The classical procedure is called the method of variation of parameters.

常微分方程代写

数学代写|常微分方程代写ordinary differential equation代考|The Wronskian

让 $u_1, \ldots, u_n$ 是一个序列 $n$ 每个函数是 $n-1$ 区间内可微的次数 $I$. 我们不假设它们是任何微分方程的解。 行列式
被称为函数的 Wronskian $u_1, \ldots, u_n$. 是区间上的函数 $I$.
命题 $1.5$ 让系数函数 $p_0, \ldots, p_{n-1}$ 在开区间 I 中连续。让 $u_1, \ldots, u_n$ 是 $n(1.5)$ 在区间 I 上的解并令 $x_0 \in I$. 然后是解决方案 $u_1, \ldots, u_n$ 为空间打下基础 $E$ 的所有解决方案 $(1.5)$ 在我当且仅当 $W\left(u_1, \ldots, u_n\right)\left(x_0\right) \neq 0$
证明在命题的证明中 $1.4$ 我们看到映射 $\kappa: E \rightarrow \mathbb{R}^n$ ，它将每个解映射到其 Cauchy 数据向量 $x_0$ ，是向量 空间同构。它遵循 $n$ 解决方案 $u_1, \ldots, u_n$ 形成一个基础 $E$ 当且仅当 $n$ 载体 $\kappa\left(u_1\right), \ldots, \kappa\left(u_n\right)$ 形成一个基 础 $\mathbb{R}^n$. 其充分必要条件是行列式 $W\left(u_1, \ldots, u_n\right)\left(x_0\right)$ 不是 0 ，因为这些向量构成了它的列。
观察点 $x_0$ 在命题中 $1.5$ 可以是区间中的任意一点 $I$ ，我们得到以下内容:
命题 $1.6$ 让系数函数 $p_0, \ldots, p_{n-1}$ 在开区间 I 中连续。让 $u_1, \ldots, u_n$ 是 $n(1.5)$ 在区间 I 上的解。然后要么 是 Wronskian $W\left(u_1, \ldots, u_n\right)(x)$ 对每个都非零 $x$ 在我或它为零 $x$ 在 $I$.
即使命题1.6立即遵循命题 $1.5$ 有一个来自 Abel 的有趣公式可以得出相同的结论。这表明 $W\left(u_1, \ldots, u_n\right)(x)$ 满足一阶线性微分方程。

数学代写|常微分方程代写ordinary differential equation代考|Non-homogeneous Equations

主张 $1.8$ 让系数函数 $p_0, \ldots, p_{n-1}$ 在开区间 I 中连续并让函数 $g$ 在 I 中连续。让 $v(x)$ 是非齐次方程 I 上的解
$$
y^{(n)}+p_{n-1}(x) y^{(n-1)}+\cdots+p_1(x) y^{\prime}+p_0(x) y=g(x) .
$$
让 $u_1, \ldots, u_n$ 是齐次方程的解基础。那么(1.8)的通解可以写成
$$
y(x)=c_1 u_1(x)+\cdots+c_n u_n(x)+v(x)
$$
在哪里 $c_1, \ldots, c_n$ 是任意常数。
功能 $v(x)$ 在这个命题中，传统上称为非齐次方程的特解。尽管名称如此，但任何解决方案都可以用作特定 解决方案。
证明 首先，公式 (1.9) 是 (1.8) 的解，但是常数 $c_1, \ldots, c_n$ 被选中。现在让 $y(x)$ 是 (1.8) 的解。考虑函数 $z(x):=y(x)-v(x)$. 很容易看出 $z(x)$ 满足齐次方程，因此具有以下形式 $c_1 u_1(x)+\cdots+c_n u_n(x)$ 对于常数的特定选择。
接下来证明特解的存在性。事实上我们做得更多。我们表明，一旦已知齐次方程的解基，就可以通过正交 找到一个特定的解。经典程序称为参数变化法。

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广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

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MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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数学代写|常微分方程代写ordinary differential equation代考|First Order Linear Equations

The first order linear equation is
$$
y^{\prime}+p(x) y=g(x)
$$
By a general solution of a differential equation is meant a function of $x$ involving arbitrary constants $A, B, \ldots$ which is a solution for all values of the constants and is such that all possible solutions are obtained by assigning appropriate values to the constants.

Obviously a general solution is not unique (just as a vector space does not have a unique basis). Nevertheless, we often use the definite article and speak of “the general solution”, somehow regarding them as being equivalent to each other. Sometimes a general solution is referred to as a complete solution.

Proposition 1.1 If $p$ and $g$ are continuous in the interval 1 then a general solution of (1.3) is given by
$$
y(x)=e^{-M(x)}\left(C+\int g(x) e^{M(x)} d x\right)
$$
where $C$ is an arbitrary constant, $M(x):=\int p(x) d x$ is an antiderivative of $p(x)$ in I and $\int g(x) e^{M(x)} d x$ is an antiderivative of $g(x) e^{M(x)}$ in I.
Notes
(1) A formula such as (1.4) that solves a differential equation by means of antiderivatives is traditionally called a solution by quadrature, that being an old name for integration. The first order linear equation requires in general two quadratures.
(2) A function $f$ continuous in an interval $I$ possesses an antiderivative in $I$. It is a solution of the simplest possible differential equation $d y / d x=f(x)$. The fundamental theorem of calculus provides one of the form
$$
F(x)=\int_{x_0}^x f(t) d t, \quad(x \in I)
$$
where $x_0$ is an arbitrarily chosen base point in $I$ (but there may be others not obtainable by selecting a base point $x_0$ ).
(3) If $F$ is an antiderivative of $f$ then so is $F+C$ where $C$ is any constant function. Any two antiderivatives of $F$ in the same interval differ by a constant.

数学代写|常微分方程代写ordinary differential equation代考|The nth Order Linear Equation

No method is known that solves the general $n$th order, linear differential equation by quadratures if $n \geq 2$. Only special cases, such as equations with constant coefficients, can be solved by these methods.
Functions on an interval $I$ can be added pointwise to build new functions
$$
\left(f_1+f_2\right)(x)=f_1(x)+f_2(x), \quad(x \in I) .
$$
They can be multiplied by scalars
$$
(\lambda f)(x)=\lambda f(x), \quad(x \in I) .
$$
They therefore form a vector space over the real number field $\mathbb{R}$. All references to vector spaces, for the time heing, will mean vector spaces over the field $R$.
The following proposition is now easy to check (and the reader should do it):
Proposition 1.2 The solutions of an nth order, homogeneous, linear differential equation
$$
y^{(n)}+p_{n-1}(x) y^{(n-1)}+\cdots+p_1(x) y^{\prime}+p_0(x) y=0
$$
constitute a vector space of functions on the interval $I$.

Of course the zero function $y=0$ is a solution of (1.5) but $a$ priori we do not know whether there are others if $n \geq 2$ (the case $n=1$ being satisfactorily dealt with by Proposition 1.1). We now state the fundamental existence theorem for (1.5). We shall prove it in a later chapter.

Proposition $1.3$ Let the coefficient functions $p_0, \ldots, p_{n-1}$ be continuous in the open interval I. Let $x_0 \in I$ and let numbers $a_1, \ldots, a_n$ be given. Then the problem (1.5) has a unique solution in the interval I that satisfies the $n$ conditions
$$
y\left(x_0\right)=a_1, \quad y^{\prime}\left(x_1\right)=a_2, \quad \ldots \quad y^{(n-1)}\left(x_0\right)=a_n
$$
Problem (1.5) together with the conditions (1.6) is called the initial value problem, or Cauchy problem, for the differential equation (1.5). The conditions (1.6) are called the initial conditions or Cauchy conditions. From Proposition $1.3$ we now deduce a remarkable result:

Proposition 1.4 Let the coefficient functions $p_0, \ldots, p_{n-1}$ be continuous in the open interval 1 . Then the space of solutions of (1.5) is an n-dimensional vector space of functions defined in the interval $I$.

常微分方程代写

数学代写|常微分方程代写ordinary differential equation代考|First Order Linear Equations

一阶线性方程为
$$
y^{\prime}+p(x) y=g(x)
$$
微分方程的通解是指以下的函数 $x$ 涉及任意常数 $A, B, \ldots$ 这是常量所有值的解，并且所有可能的解都是通 过为常量分配适当的值来获得的。
显然，通解不是唯一的（就像向量空间没有唯一的基础一样）。然而，我们却经常用定冠词说“通解”，不 知何故把它们看成是等价的。有时，通用解决方案称为完整解决方案。
命题 $1.1$ 如果 $p$ 和 $g$ 在区间 1 中是连续的，则 (1.3) 的通解由下式给出
$$
y(x)=e^{-M(x)}\left(C+\int g(x) e^{M(x)} d x\right)
$$
在哪里 $C$ 是任意常数， $M(x):=\int p(x) d x$ 是的反导数 $p(x)$ 在我和 $\int g(x) e^{M(x)} d x$ 是的反导数 $g(x) e^{M(x)}$ in I.
Notes
(1) 诸如 (1.4) 之类的通过反导数求解微分方程的公式传统上称为求积法解，这是积分的旧名称。一阶线性 方程通常需要两个正交。
(2) 一个函数 $f$ 在一个区间内连续 $I$ 具有反导数 $I$. 它是最简单的微分方程的解 $d y / d x=f(x)$. 微积分的基 本定理提供了一种形式
$$
F(x)=\int_{x_0}^x f(t) d t, \quad(x \in I)
$$
在哪里 $x_0$ 是任意选择的基点 $I$ (但可能还有其他无法通过选择基点获得的 $x_0$ ).
(3) 如果 $F$ 是的反导数 $f$ 那么也是 $F+C$ 在哪里 $C$ 是任何常数函数。的任意两个反导数 $F$ 在同一区间内相差 一个常数。

数学代写|常微分方程代写ordinary differential equation代考|The nth Order Linear Equation

没有已知的方法可以解决一般问题 $n$th 阶，线性微分方程由正交如果 $n \geq 2$. 这些方法只能解决特殊情 况，例如常系数方程。
区间函数 $I$ 可以逐点添加以构建新功能
$$
\left(f_1+f_2\right)(x)=f_1(x)+f_2(x), \quad(x \in I) .
$$
它们可以乘以标量
$$
(\lambda f)(x)=\lambda f(x), \quad(x \in I) .
$$
因此，它们在实数域上形成一个向量空间 $\mathbb{R}$. 所有对向量空间的引用，暂时指的是场上的向量空间 $R$. 下面的命题现在很容易验证（读者应该这样做）： 命题 $1.2$ 一个 $n$ 阶齐次线性微分方程的解
$$
y^{(n)}+p_{n-1}(x) y^{(n-1)}+\cdots+p_1(x) y^{\prime}+p_0(x) y=0
$$
构成区间上函数的向量空间 $I$.
当然是零函数 $y=0$ 是 (1.5) 的解，但是 $a$ 先验我们不知道是否还有其他人如果 $n \geq 2$ (案子 $n=1$ 由提案 1.1 令人满意地处理）。我们现在陈述 (1.5) 的基本存在定理。我们将在后面的章节中证明。
主张 $1.3$ 让系数函数 $p_0, \ldots, p_{n-1}$ 在开区间 I 中连续。让 $x_0 \in I$ 并让数字 $a_1, \ldots, a_n$ 被给予。则问题 （1.5）在区间 I 内有唯一解满足 $n$ 条件
$$
y\left(x_0\right)=a_1, \quad y^{\prime}\left(x_1\right)=a_2, \quad \ldots \quad y^{(n-1)}\left(x_0\right)=a_n
$$
问题 (1.5) 连同条件 (1.6) 称为微分方程 (1.5) 的初值问题或柯西问题。条件 (1.6) 称为初始条件或柯 西条件。从命题 $1.3$ 我们现在推断出一个显着的结果:
命题 $1.4$ 让系数函数 $p_0, \ldots, p_{n-1}$ 在开区间 1 中连续。那么(1.5)的解空间是定义在区间中的函数的 $n$ 维向 量空间 $I$.

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写

随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

R语言代写	问卷设计与分析代写
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常微分方程是为一个或多个独立变量的函数及其导数定义的方程。y’=x+1是一个常微分方程的例子。

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数学代写|常微分方程代写ordinary differential equation代考|Reparametrization of Time

Suppose that $U$ is an open set in $\mathbb{R}^n, f: U \rightarrow \mathbb{R}^n$ is a smooth function, and $g: U \rightarrow \mathbb{R}$ is a positive smooth function. What is the relationship among the solutions of the differential equations
$$
\begin{aligned}
\dot{x} & =f(x), \
\dot{x} & =g(x) f(x) ?
\end{aligned}
$$
The vector fields defined by $f$ and $g f$ have the same direction at each point in $U$, only their lengths are different. Thus, by our geometric interpretation of autonomous differential equations, it is intuitively clear that the differential equations (1.10) and (1.11) have the same phase portraits in $U$. This fact is a corollary of the next proposition.

Proposition 1.14. If $J \subset \mathbb{R}$ is an open interval containing the origin and $\gamma: J \rightarrow \mathbb{R}^n$ is a solution of the differential equation (1.10) with $\gamma(0)=$ $x_0 \in U$, then the function $B: J \rightarrow \mathbb{R}$ given by
$$
B(t)=\int_0^t \frac{1}{g(\gamma(s))} d s
$$
is invertible on its range $K \subseteq \mathbb{R}$. If $\rho: K \rightarrow J$ is the inverse of $B$, then the identity
$$
\rho^{\prime}(t)=g(\gamma(\rho(t))
$$
holds for all $t \in K$, and the function $\sigma: K \rightarrow \mathbb{R}^n$ given by $\sigma(t)=\gamma(\rho(t))$ is the solution of the differential equation (1.11) with initial condition $\sigma(0)=$ $x_0$

数学代写|常微分方程代写ordinary differential equation代考|Stability and the Direct Method of Lyapunov

Let us consider a rest point $x_0$ for the autonomous differential equation
$$
\dot{x}=f(x), \quad x \in \mathbb{R}^n .
$$
A continuous function $V: U \rightarrow \mathbb{R}$, where $U \subseteq \mathbb{R}^n$ is an open set with $x_0 \in U$, is called a Lyapunov function for the differential equation (1.15) at $x_0$ provided that

(i) $V\left(x_0\right)=0$,
(ii) $V(x)>0$ for $x \in U-\left{x_0\right}$,
(iii) the function $x \mapsto \operatorname{grad} V(x)$ is continuous for $x \in U-\left{x_0\right}$, and, on this set, $\dot{V}(x):=\operatorname{grad} V(x) \cdot f(x) \leq 0$.
If, in addition,
(iv) $\dot{V}(x)<0$ for $x \in U-\left{x_0\right}$
then $V$ is called a strict Lyapunov function.
Theorem $1.30$ (Lyapunov’s Stability Theorem). If $x_0$ is a rest point for the differential equation (1.15) and $V$ is a Lyapunov function for the system al $x_0$, then $x_0$ is slable. If, in addilion, $V$ is a slricl Lyapunov function, then $x_0$ is asymptotically stable.

The idea of Lyapunov’s method is very simple. In many cases the level sets of $V$ are “spheres” surrounding the rest point $x_0$ as in Figure 1.10. Suppose this is the case and let $\phi_t$ denote the flow of the differential equation (1.15). If $y$ is in the level set $\mathcal{S}c=\left{x \in \mathbb{R}^n: V(x)=c\right}$ of the function $V$, then, by the chain rule, we have that $$ \left.\frac{d}{d t} V\left(\phi_t(y)\right)\right|{t=0}=\operatorname{grad} V(y) \cdot f(y) \leq 0
$$

常微分方程代写

数学代写|常微分方程代写ordinary differential equation代考|Reparametrization of Time

假设 $U$ 是一个开集 $\mathbb{R}^n, f: U \rightarrow \mathbb{R}^n$ 是光滑函数，并且 $g: U \rightarrow \mathbb{R}$ 是正平滑函数。微分方程解之间的关 系是什么
$$
\dot{x}=f(x), \dot{x} \quad=g(x) f(x) ?
$$
由定义的矢量场 $f$ 和 $g f$ 在每个点都有相同的方向 $U$ ，只是它们的长度不同。因此，通过我们对自治微分方 程的几何解释，可以直观地看出微分方程 (1.10) 和 (1.11) 具有相同的相图 $U$. 这个事实是下一个命题的推 论。
提案 1.14。如果 $J \subset \mathbb{R}$ 是一个开区间，包含原点和 $\gamma: J \rightarrow \mathbb{R}^n$ 是微分方程 (1.10) 的解，其中 $\gamma(0)=$ $x_0 \in U$ ，那么函数 $B: J \rightarrow \mathbb{R}$ 由
$$
B(t)=\int_0^t \frac{1}{g(\gamma(s))} d s
$$
在其范围内是可逆的 $K \subseteq \mathbb{R}$. 如果 $\rho: K \rightarrow J$ 是的倒数 $B$ ，那么身份
$$
\rho^{\prime}(t)=g(\gamma(\rho(t))
$$
对所有人都适用 $t \in K$ ，和功能 $\sigma: K \rightarrow \mathbb{R}^n$ 由 $\sigma(t)=\gamma(\rho(t))$ 是具有初始条件的微分方程 (1.11) 的解 $\sigma(0)=x_0$

数学代写|常微分方程代写ordinary differential equation代考|Stability and the Direct Method of Lyapunov

让我们考虑一个休息点 $x_0$ 对于自主微分方程
$$
\dot{x}=f(x), \quad x \in \mathbb{R}^n .
$$
连续函数 $V: U \rightarrow \mathbb{R}$ ，在哪里 $U \subseteq \mathbb{R}^n$ 是一个开集 $x_0 \in U$ ，称为微分方程 (1.15) 的 Lyapunov 函数 $x_0$ 前提是
(一世) $V\left(x_0\right)=0$ ，
(ii) $V(x)>0$ 为了 $\mathrm{x} \backslash \mathrm{in} \mathrm{U}$-Veft{{_O\right } } \text { , }
(iii) 函数 $x \mapsto \operatorname{grad} V(x)$ 是连续的 $\mathrm{x} \backslash$ in U-\left{x_0\right } } \text { ，并且，在这个集合上， } $\dot{V}(x):=\operatorname{grad} V(x) \cdot f(x) \leq 0$
如果，此外，
(iv) $\dot{V}(x)<0$ 为了 $\mathrm{x} \backslash$ in U-\left } { \mathrm { x } _ { – } \text { 아ight } }
然后 $V$ 称为严格李亚普诺夫函数。
定理 $1.30$ (李亚普诺夫稳定性定理) 。如果 $x_0$ 是微分方程 (1.15) 的静止点，并且 $V$ 是系统 al 的 Lyapunov 函数 $x_0$ ，然后 $x_0$ 是平板。如果，此外， $V$ 是 slricl Lyapunov 函数，则 $x_0$ 是渐近稳定的。
Lyapunov 方法的思想非常简单。在许多情况下，水平集 $V$ 是围绕休息点的“球体” $x_0$ 如图 $1.10$ 所示。假设 是这种情况，让 $\phi_t$ 表示微分方程 (1.15) 的流向。如果 $y$ 在水平集中
$$
\frac{d}{d t} V\left(\phi_t(y)\right) \mid t=0=\operatorname{grad} V(y) \cdot f(y) \leq 0
$$

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

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非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

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有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

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随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

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随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

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MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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常微分方程是为一个或多个独立变量的函数及其导数定义的方程。y’=x+1是一个常微分方程的例子。

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数学代写|常微分方程代写ordinary differential equation代考|Geometric Interpretation of Autonomous Systems

In this section we will describe a very important geometric interpretation of the autonomous differential equation
$$
\dot{x}=f(x), \quad x \in \mathbb{R}^n .
$$
The function given by $x \mapsto(x, f(x))$ defines a vector field on $\mathbb{R}^n$ associated with the differential equation (1.7). Here the first component of the function specifies the base point and the second component specifies the vector at this base point. A solution $t \mapsto \phi(t)$ of (1.7) has the property that its tangent vector at each time $t$ is given by
$$
(\phi(t), \dot{\phi}(t))=(\phi(t), f(\phi(t))) .
$$
In other words, if $\xi \in \mathbb{R}^n$ is on the orbit of this solution, then the tangent line to the orbit at $\xi$ is generated by the vector $(\xi, f(\xi))$, as depicted in Figure 1.1.

We have just mentioned two essential facts: $(i)$ There is a one-to-one correspondence between vector fields and autonomous differential equations. (ii) Every tangent vector to a solution curve is given by a vector in the vector field. These facts suggest that the geometry of the associated vector field is closely related to the geometry of the solutions of the differential equation when the solutions are viewed as curves in a Euclidean space. This geometric interpretation of the solutions of autonomous differential equations provides a deep insight into the general nature of the solutions of differential equations, and at the same time suggests the “geometric method” for studying differential equations: qualitative features expressed geometrically are paramount; analytic formulas for solutions are of secondary importance. Finally, let us note that the vector field associated with a differential equation is given explicitly. Thus, one of the main goals of the geometric method is to derive qualitative properties of solutions directly from the vector field without “solving” the differential equation.

数学代写|常微分方程代写ordinary differential equation代考|Flows

An important property of the set of solutions of the autonomous differential equation (1.7),
$$
\dot{x}=f(x), \quad x \in \mathbb{R}^n,
$$
is the fact that these solutions form a one-parameter group that defines a phase flow. More precisely, let us define the function $\phi: \mathbb{R} \times \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^n$ as follows: For $x \in \mathbb{R}^n$, let $t \mapsto \phi(t, x)$ denote the solution of the autonomous differential equation (1.7) such that $\phi(0, x)=x$.

We know that solutions of a differential equation may not exist for all $t \in \mathbb{R}$. However, for simplicity, let us assume that every solution does exist for all time. If this is the case, then each solution is called complete, and the fact that $\phi$ defines a one-parameter group is expressed concisely as follows:
$$
\phi(t+s, x)=\phi(t, \phi(s, x)) .
$$
In view of this equation, if the solution starting at time zero at the point $x$ is continued until time $s$, when it reaches the point $\phi(s, x)$, and if a new solution at this point with initial time zero is continued until time $t$, then this new solution will reach the same point that would have been reached if the original solution, which started at time zero at the point $x$, is continued until time $t+s$.

The prototypical example of a flow is provided by the general solution of the ordinary differential equation $\dot{x}=a x, x \in \mathbb{R}, a \in \mathbb{R}$. The solution is given by $\phi\left(t, x_0\right)=e^{a t} x_0$, and it satisfies the group property
$$
\phi\left(t+s, x_0\right)=e^{a(t+s)} x_0=e^{a t}\left(e^{a s} x_0\right)=\phi\left(t, e^{a s} x_0\right)=\phi\left(t, \phi\left(s, x_0\right)\right) .
$$
For the general case, let us suppose that $t \mapsto \phi(t, x)$ is the solution of the differential equation (1.7). Fix $s \in \mathbb{R}, x \in \mathbb{R}^n$, and define
$$
\psi(t):=\phi(t+s, x), \quad \gamma(t):=\phi(t, \phi(s, x)) .
$$

常微分方程代写

数学代写|常微分方程代写ordinary differential equation代考|Geometric Interpretation of Autonomous Systems

在本节中，我们将描述自治微分方程的一个非常重要的几何解释
$$
\dot{x}=f(x), \quad x \in \mathbb{R}^n .
$$
给出的函数 $x \mapsto(x, f(x))$ 定义一个矢量场 $\mathbb{R}^n$ 与微分方程 (1.7) 相关联。这里函数的第一个分量指定基 点，第二个分量指定该基点处的向量。一个解法 $t \mapsto \phi(t)(1.7)$ 的性质是它的切向量在每一时刻 $t$ 是（谁) 给的
$$
(\phi(t), \dot{\phi}(t))=(\phi(t), f(\phi(t))) .
$$
换句话说，如果 $\xi \in \mathbb{R}^n$ 在这个解的轨道上，那么轨道的切线在 $\xi$ 由向量生成 $(\xi, f(\xi))$ ，如图 1.1 所示。
我们刚才提到了两个基本事实：(i)向量场与自治微分方程之间存在一一对应关系。(ii) 解曲线的每个切向 量由向量场中的向量给出。这些事实表明，当解被视为欧几里德空间中的曲线时，相关矢量场的几何形状 与微分方程解的几何形状密切相关。这种对自治微分方程解的几何解释提供了对微分方程解的一般性质的 深刻洞察，同时提出了研究微分方程的“几何方法”：用几何表达的定性特征是最重要的；解决方案的解析 公式是次要的。最后，让我们注意到与微分方程相关的矢量场是明确给出的。因此，几何方法的主要目标 之一是直接从向量场中导出解的定性性质，而无需“求解”微分方程。

数学代写|常微分方程代写ordinary differential equation代考|Flows

自治微分方程 (1.7) 解集的一个重要性质，
$$
\dot{x}=f(x), \quad x \in \mathbb{R}^n,
$$
事实上，这些解决方案形成了一个定义相流的单参数组。更准确地说，让我们定义函数 $\phi: \mathbb{R} \times \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^n$ 如下: 对于 $x \in \mathbb{R}^n$ ，让 $t \mapsto \phi(t, x)$ 表示自治微分方程 (1.7) 的解，使得 $\phi(0, x)=x$
我们知道微分方程的解可能并不对所有人都存在 $t \in \mathbb{R}$. 然而，为简单起见，让我们假设每个解决方案确实 一直存在。如果是这种情况，那么每个解决方案都被称为完整的，并且事实是 $\phi$ 定义一个单参数组，简明 表达如下:
$$
\phi(t+s, x)=\phi(t, \phi(s, x)) .
$$
鉴于此等式，如果解从时间零开始于点 $x$ 一直持续到时间 $s$ ，当它到达点 $\phi(s, x)$ ，并且如果此时初始时间为 零的新解一直持续到时间 $t$ ，那么这个新的解决方案将达到与原始解决方案相同的点，原始解决方案从时间 零开始 $x$ ，一直持续到时间 $t+s$.
流的原型示例由常微分方程的通解提供 $\dot{x}=a x, x \in \mathbb{R}, a \in \mathbb{R}$. 解决方案由 $\phi\left(t, x_0\right)=e^{a t} x_0$ ，并且满 足群性质
$$
\phi\left(t+s, x_0\right)=e^{a(t+s)} x_0=e^{a t}\left(e^{a s} x_0\right)=\phi\left(t, e^{a s} x_0\right)=\phi\left(t, \phi\left(s, x_0\right)\right) .
$$
对于一般情况，让我们假设 $t \mapsto \phi(t, x)$ 是微分方程 (1.7) 的解。使固定 $s \in \mathbb{R}, x \in \mathbb{R}^n$ ，并定义
$$
\psi(t):=\phi(t+s, x), \quad \gamma(t):=\phi(t, \phi(s, x))
$$

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写

随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

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MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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常微分方程是为一个或多个独立变量的函数及其导数定义的方程。y’=x+1是一个常微分方程的例子。

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数学代写|常微分方程代写ordinary differential equation代考|Existence and Uniqueness

Let $J \subseteq \mathbb{R}, U \subseteq \mathbb{R}^n$, and $\Lambda \subseteq \mathbb{R}^k$ be open subsets, and suppose that $f: J \times U \times \Lambda \rightarrow \mathbb{R}^n$ is a smooth function. Here the term “smooth” means that the function $f$ is continuously differentiable. An ordinary differential equation (ODE) is an equation of the form
$$
\dot{x}=f(t, x, \lambda)
$$
where the dot denotes differentiation with respect to the independent variable $t$ (usually a measure of time), the dependent variable $x$ is a vector of state variables, and $\lambda$ is a vector of parameters. As convenient terminology, especially when we are concerned with the components of a vector differential equation, we will say that equation (1.1) is a system of differential equations. Also, if we are interested in changes with respect to parameters, then the differential equation is called a family of differential equations.
Example 1.1. The forced van der Pol oscillator
$$
\begin{aligned}
& \dot{x}_1=x_2, \
& \dot{x}_2=b\left(1-x_1^2\right) x_2-\omega^2 x_1+a \cos \Omega t
\end{aligned}
$$
is a differential equation with $J=\mathbb{R}, x=\left(x_1, x_2\right) \in U=\mathbb{R}^2$,
$$
\Lambda=\left{(a, b, \omega, \Omega):(a, b) \in \mathbb{R}^2, \omega>0, \Omega>0\right},
$$
and $f: \mathbb{R} \times \mathbb{R}^2 \times \Lambda \rightarrow \mathbb{R}^2$ defined in components by
$$
\left(t, x_1, x_2, a, b, \omega, \Omega\right) \mapsto\left(x_2, b\left(1-x_1^2\right) x_2-\omega^2 x_1+a \cos \Omega t\right) .
$$
If $\lambda \in \Lambda$ is fixed, then a solution of the differential equation (1.1) is a function $\phi: J_0 \rightarrow U$ given by $t \mapsto \phi(t)$, where $J_0$ is an open subset of $J$, such that
$$
\frac{d \phi}{d t}(t)=f(t, \phi(t), \lambda)
$$
for all $t \in J_0$.
In this context, the words “trajectory,” “phase curve,” and “integral curve” are also used to refer to solutions of the differential equation (1.1). However, it is useful to have a term that refers to the image of the solution in $\mathbb{R}^n$. Thus, we define the orbit of the solution $\phi$ to be the set ${\phi(t) \in U$ : $\left.t \in J_0\right}$

数学代写|常微分方程代写ordinary differential equation代考|Types of Differential Equations

Differential equations may be classified in several different ways. In this section we note that the independent variable may be implicit or explicit, and that higher order derivatives may appear.
An autonomous differential equation is given by
$$
\dot{x}=f(x, \lambda), \quad x \in \mathbb{R}^n, \quad \lambda \in \mathbb{R}^k ;
$$
that is, the function $f$ does not depend explicitly on the independent variable. If the function $f$ does depend explicitly on $t$, then the corresponding differential equation is called nonautonomous.

In physical applications, we often encounter equations containing second, third, or higher order derivatives with respect to the independent variable. These are called second order differential equations, third order differential equations, and so on, where the the order of the equation refers to the order of the highest order derivative with respect to the independent variable that appears explicitly. In this hierarchy, a differential equation is called a first order differential equation.

Recall that Newton’s second law-the rate of change of the linear momentum acting on a body is equal to the sum of the forces acting on the body -involves the second derivative of the position of the body with respect to time. Thus, in many physical applications the most common differential equations used as mathematical models are second order differential equations. For example, the natural physical derivation of van der Pol’s equation leads to a second order differential equation of the form
$$
\ddot{u}+b\left(u^2-1\right) \dot{u}+\omega^2 u=a \cos \Omega t .
$$
An essential fact is that every differential equation is equivalent to a first order system. To illustrate, let us consider the conversion of van der Pol’s equation to a first order system. For this, we simply define a new variable $v:=\dot{u}$ so that we obtain the following system:
$$
\begin{aligned}
\dot{u} & =v \
\dot{v} & =-\omega^2 u+b\left(1-u^2\right) v+a \cos \Omega t .
\end{aligned}
$$

常微分方程代写

数学代写|常微分方程代写ordinary differential equation代考|Existence and Uniqueness

让 $J \subseteq \mathbb{R}, U \subseteq \mathbb{R}^n$ ，和 $\Lambda \subseteq \mathbb{R}^k$ 是开子集，并假设 $f: J \times U \times \Lambda \rightarrow \mathbb{R}^n$ 是平滑函数。这里术语 “平 滑”意味着函数 $f$ 是连续可微的。常微分方程 (ODE) 是以下形式的方程
$$
\dot{x}=f(t, x, \lambda)
$$
其中点表示相对于自变量的微分 $t$ （通常是时间的度量），因变量 $x$ 是状态变量的向量，并且 $\lambda$ 是一个参数 向量。作为方便的术语，特别是当我们关注向量微分方程的分量时，我们会说方程 (1.1) 是一个微分方程 组。此外，如果我们对参数的变化感兴趣，则微分方程称为微分方程族。
示例 1.1。强制范德波尔振荡器
$$
\dot{x}_1=x_2, \quad \dot{x}_2=b\left(1-x_1^2\right) x_2-\omega^2 x_1+a \cos \Omega t
$$
是一个微分方程 $J=\mathbb{R}, x=\left(x_1, x_2\right) \in U=\mathbb{R}^2$ ，
ILambda $=\backslash$ eft $\left{\left(a, b\right.\right.$, Iomega, \Omega):(a, b) \in $\backslash m a t h b b{R}^{\wedge} 2$, lomega $>0$, \Omega $>0$ \right } } \text { , }
和 $f: \mathbb{R} \times \mathbb{R}^2 \times \Lambda \rightarrow \mathbb{R}^2$ 在组件中定义
$$
\left(t, x_1, x_2, a, b, \omega, \Omega\right) \mapsto\left(x_2, b\left(1-x_1^2\right) x_2-\omega^2 x_1+a \cos \Omega t\right) .
$$
如果 $\lambda \in \Lambda$ 是固定的，则微分方程 (1.1) 的解是一个函数 $\phi: J_0 \rightarrow U$ 由 $t \mapsto \phi(t)$ ，在哪里 $J_0$ 是一个 开子集 $J$, 这样
$$
\frac{d \phi}{d t}(t)=f(t, \phi(t), \lambda)
$$
对所有人 $t \in J_0$.
在这种情况下，”轨迹”、“相位曲线”和”积分曲线”等词也用于指代微分方程 (1.1) 的解。但是，使用一个术 语来引用解决方案的图像是很有用的 $\mathbb{R}^n$. 因此，我们定义解的轨道 $\phi$ 成为集合

数学代写|常微分方程代写ordinary differential equation代考|Types of Differential Equations

微分方程可以用几种不同的方式分类。在本节中，我们注意到自变量可能是隐式的或显式的，并且可能出 现高阶导数。
自主微分方程由下式给出
$$
\dot{x}=f(x, \lambda), \quad x \in \mathbb{R}^n, \quad \lambda \in \mathbb{R}^k ;
$$
即函数 $f$ 不明确依赖于自变量。如果函数 $f$ 确实明确地依赖于 $t$ ，则相应的微分方程称为非自治微分方程。
在物理应用中，我们经常遇到包含关于自变量的二阶、三阶或更高阶导数的方程。这些被称为二阶微分方 程、三阶微分方程等，其中方程的阶数是指相对于显式出现的自变量的最高阶导数的阶数。在这个层次 中，微分方程称为一阶微分方程。
回想一下牛顿第二定律一一作用在物体上的线性动量的变化率等于作用在物体上的力的总和一一涉及物体 位置相对于时间的二阶导数。因此，在许多物理应用中，用作数学模型的最常见的微分方程是二阶微分方 程。例如，van der Pol 方程的自然物理推导导致二阶微分方程的形式
$$
\ddot{u}+b\left(u^2-1\right) \dot{u}+\omega^2 u=a \cos \Omega t .
$$
一个重要的事实是每个微分方程都等价于一阶系统。为了说明，让我们考虑将 van der Pol 方程转换为一 阶系统。为此，我们只需定义一个新变量 $v:=\dot{u}$ 从而得到如下系统:
$$
\dot{u}=v \dot{v} \quad=-\omega^2 u+b\left(1-u^2\right) v+a \cos \Omega t .
$$

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

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有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

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