数学代写|离散数学作业代写Discrete mathematics代考|MTH315
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离散数学Discrete Mathematics在当今世界，分析性思维是任何扎实教育的关键部分。这种推理的一个重要部分是离散数学，它横跨许多学科。离散数学涉及计数、概率、(复杂形式的)加法和离散集上的极限过程。组合学、图论、函数思想、递归关系、置换和集合论都是离散数学的一部分。序列和级数是这些思想最重要的应用。
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数学代写|离散数学作业代写discrete mathematics代考|SPECIAL TYPES OF RING
In this section we will discuss special types of ring.
Commutative Ring
A ring $R$ is said to be commutative ring if under multiplication
$$
(a \cdot b)=(b . a) \forall a, b \in \mathrm{R} .
$$
Ring with Unit Element
A ring $R$ is said to be ring with unit element if there exist an element $1 \in R$ such that
$$
\text { (1. } a)=(a \cdot 1)=a \forall a \in \mathrm{R}
$$
Null Ring
The singleton set ${0}$ with binary operation + and . defined as
$$
0+0=0 \text { and } 0.0=0
$$
is called a Null Ring or zero Ring.
Boolean Ring
A ring $\mathrm{R}$ is said to be Boolean ring if $a^2=a$ for all $a \in \mathrm{R}$.
Division Ring
A ring $R$ is said to be division ring if the non zero elements of $R$ forms a group under multiplication.
Zero Divisor
Let $\mathrm{R}$ be a commutative ring, a element $a \neq 0 \in \mathrm{R}$ is said to be zero divisor if there exists $b \neq 0$ such that
$$
(a . b)=0 ; \quad a, b \in \mathrm{R}
$$
An integral domain is a commutative ring that has no zero divisors.
Let us consider a set $\mathrm{R}$ of integers. From the discussion given below it is clear that $\mathrm{R}$ is a commutative ring with unit element.
Under Addition
(i) Closure Axiom: We know that the addition of two integer is again an integer. i.e.
$$
a, b \in \mathrm{R} \Rightarrow(a+b) \in \mathrm{R}
$$
(ii) Associative Axiom: We know that addition of integers is associative.
i.e. $\quad a+(b+c)=(a+b)+c ; \quad \forall \quad a, b, c \in \mathrm{R}$
(iii) Existence of Identity : For all $a \in \mathrm{R}$, there exists $0 \in \mathrm{R}$ such that
$$
(a+0)=(0+a)=a
$$
(iv) Existence of Inverse: For every $a \in \mathrm{R}$ there exists $-a \in \mathrm{R}$ such that
$$
a+(-a)=(-a)+a=0 .
$$
(v) Commutative Axiom: For any $a, b \in \mathrm{R}$ we know that the addition of integers is commutative.
i.e.
$$
(a+b)=(b+a)
$$
Under Multiplication
(i) Closure Axiom: We know that multiplication of two integers is again an integer.
i.e. $\quad(a . b) \in \mathrm{R} \quad \forall \quad a, b \in \mathrm{R}$.
(ii) Associative Axiom: We know that integer multiplication is associative.
i.e. $a \cdot(b \cdot c)=(a \cdot b) . c \quad \forall \quad a, b, c \in \mathrm{R}$.
(iii) Distributive Laws: Set of integers follow both left distributive and right distributive property
i.e.
$a \cdot(b+c)=(a \cdot b)+(a \cdot c)$
and
$(b+c) . a=(b \cdot a)+(c \cdot a) \quad \forall a, b, c \in \mathrm{R}$
(iv) Commutative Law: We know that multiplication of integers is commutative, i.e. $\quad(a \cdot b)=(b . a)$ for all $a, b \in \mathrm{R}$.
(v) Unit Element: As R contains integers, so $1 \in \mathrm{R}$.
Again
$$
(a \cdot 1)=(1, a)=a \forall a \in \mathrm{R}
$$
Therefore, $R$ is a commutative ring with unit element.
数学代写|离散数学作业代写discrete mathematics代考|RING WITHOUT ZERO DIVISOR
A commutative ring $\mathrm{R}$ is said to be without zero divisor if for $a, b \in \mathrm{R}$
$a \cdot b=0$ implies $a=0$ or $b=0$ or both $a$ and $b$ are zero.
Set of integers I is a ring without zero divisor as product of integers is zero only if any one of them is zero.
Theorem
A commutative ring $\mathrm{R}$ is without zero divisor if and only if the cancellation law holds.
Proof: (Necessary part) Let the commutative ring $\mathrm{R}$ does not have zero divisor.
$\begin{aligned} \text { Let } & & a, b, c \in \mathrm{R}, a & \neq 0 \text { and } a b=a c \ \Rightarrow & & a b-a c & =0 \ \Rightarrow & & a(b-c) & =0\end{aligned}$
As $a \neq 0$ and $\mathrm{R}$ does not have zero divisor, so we must have $(b-c)=0$. This implies that $b=c$.
Hence left cancellation law holds.
Similarly it can be shown that right cancellation also holds.
(Sufficient part) Let the cancellation law holds in the ring R. We have to show that $\mathrm{R}$ has no zero divisor.
If possible, $\quad$ let $(a \cdot b)=0$ with $\quad a \neq 0$ and $b \neq 0$
$\Rightarrow \quad(a \cdot b)=(a \cdot 0) \quad[\therefore \quad a \cdot 0=0]$
Hence by left cancellation $b=0$. This contradicts to the fact that $b \neq 0$.
Therefore, $\mathrm{R}$ is a ring without zero divisor.
INTEGRAL DOMAIN
A commutative ring without zero divisors is an integral domain.
Set of integers is an integral domain since it forms a commutative ring but does not have zero divisors.
DIVISION RING
If the non-zero elements of a ring $\mathrm{R}$ form a group under multiplication then the ring $\mathrm{R}$ is said to be a division ring.
离散数学代写
数学代写|离散数学作业代写discrete mathematics代考|SPECIAL TYPES OF RING
在本节中，我们将讨论特殊类型的环。
交换环
一个环$R$在乘法下称为可交换环
$$
(a \cdot b)=(b . a) \forall a, b \in \mathrm{R} .
$$
单位元环
如果存在这样一个元素$1 \in R$，则称环$R$为具有单位元素的环
$$
\text { (1. } a)=(a \cdot 1)=a \forall a \in \mathrm{R}
$$
空环
具有二进制操作+和的单例集${0}$。定义为
$$
0+0=0 \text { and } 0.0=0
$$
称为零环或零环。
布尔环
如果一个环$\mathrm{R}$对于所有的$a \in \mathrm{R}$都是$a^2=a$，那么它就是布尔环。
除法环
如果一个环$R$的非零元素在乘法下形成一个群，则称其为除法环$R$。
零除数
设$\mathrm{R}$为可交换环，如果存在$b \neq 0$，则称元素$a \neq 0 \in \mathrm{R}$为零因子
$$
(a . b)=0 ; \quad a, b \in \mathrm{R}
$$
一个积分域是一个没有零因子的交换环。
让我们考虑一个整数集合$\mathrm{R}$。从下面给出的讨论可以清楚地看出$\mathrm{R}$是一个具有单位元素的交换环。
在加法下
闭包公理:我们知道两个整数相加仍然是整数。例如:
$$
a, b \in \mathrm{R} \Rightarrow(a+b) \in \mathrm{R}
$$
(ii)结合公理:我们知道整数的加法是结合的。
即$\quad a+(b+c)=(a+b)+c ; \quad \forall \quad a, b, c \in \mathrm{R}$
(iii)同一性的存在性:对于所有$a \in \mathrm{R}$，存在$0 \in \mathrm{R}$这样
$$
(a+0)=(0+a)=a
$$
(iv)逆的存在性:对于每一个$a \in \mathrm{R}$都存在$-a \in \mathrm{R}$，使得
$$
a+(-a)=(-a)+a=0 .
$$
(v)交换公理:对于任意$a, b \in \mathrm{R}$，我们知道整数的加法是可交换的。
例如:
$$
(a+b)=(b+a)
$$
在乘法下
闭包公理:我们知道两个整数的乘法仍然是整数。
例如:$\quad(a . b) \in \mathrm{R} \quad \forall \quad a, b \in \mathrm{R}$。
(ii)关联公理:我们知道整数乘法是关联的。
例如:$a \cdot(b \cdot c)=(a \cdot b) . c \quad \forall \quad a, b, c \in \mathrm{R}$。
(3)分配律:整数集同时符合左分配律和右分配律
例如:
$a \cdot(b+c)=(a \cdot b)+(a \cdot c)$
和
$(b+c) . a=(b \cdot a)+(c \cdot a) \quad \forall a, b, c \in \mathrm{R}$
(4)交换律:我们知道整数的乘法是可交换的，即$\quad(a \cdot b)=(b . a)$对于所有$a, b \in \mathrm{R}$。
(v)单位元素:因为R包含整数，所以$1 \in \mathrm{R}$。
再一次。
$$
(a \cdot 1)=(1, a)=a \forall a \in \mathrm{R}
$$
因此，$R$是一个具有单位元的交换环。
数学代写|离散数学作业代写discrete mathematics代考|RING WITHOUT ZERO DIVISOR
对$a, b \in \mathrm{R}$来说，交换环$\mathrm{R}$没有零因子
$a \cdot b=0$表示$a=0$或$b=0$，或者$a$和$b$都为零。
整数集合I是一个没有零除数的环，因为整数的乘积只有当其中任何一个为零时才为零。
定理
交换环$\mathrm{R}$没有零因子当且仅当消去律成立。
证明:(必要部分)令交换环$\mathrm{R}$不存在零因子。
$\begin{aligned} \text { Let } & & a, b, c \in \mathrm{R}, a & \neq 0 \text { and } a b=a c \ \Rightarrow & & a b-a c & =0 \ \Rightarrow & & a(b-c) & =0\end{aligned}$
由于$a \neq 0$和$\mathrm{R}$没有零因子，所以必须有$(b-c)=0$。这意味着$b=c$。
因此左勾销法成立。
同样地，可以证明右消去也成立。
(充分部分)让消去定律在环r中成立，我们必须证明$\mathrm{R}$没有零因子。
如果可能的话，$\quad$让$(a \cdot b)=0$与$\quad a \neq 0$和$b \neq 0$并列
$\Rightarrow \quad(a \cdot b)=(a \cdot 0) \quad[\therefore \quad a \cdot 0=0]$
因此通过左消去$b=0$。这与$b \neq 0$。
因此，$\mathrm{R}$是一个没有零因子的环。
积分域
一个没有零因子的交换环是一个积分域。
整数集是一个积分定义域，因为它形成一个可交换环，但没有零除数。
除法环
如果一个环$\mathrm{R}$的非零元素在乘法下形成一个群，那么这个环$\mathrm{R}$就被称为除法环。
微观经济学代写
微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。
线性代数代写
线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。
博弈论代写
现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。
微积分代写
微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。
它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。
计量经济学代写
什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。
根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。
Matlab代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。