数学代写|复杂网络代写complex networks代考|NIT1104
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数学代写|复杂网络代写complex networks代考|Limit of Dense Graphs with Poissonian Degree Distribution
The special form of the Poissonian degree distribution has led to numerous simplifications so far. Two crucial simplifications are the cancellations of the term $\left(n_0+2 n\right)$ ! which decouples the sums in (6.28) and the fact that for this distribution the degree and excess degree distributions are indeed the same which simplifies the calculation of the energy per node in (6.33).
These simplifications allow us to investigate the scaling of the ground state energies of the bi-partitioning problem for Poissonian graphs in the limit of large average degree. We will show that this allows us to recover the results of the replica calculations of Fu and Anderson [15] plus correction terms. The Bessel functions in (6.28) can be approximated for large arguments $x \gg n$ and fixed $n$ as
$$
I_1(n, x) \approx \frac{e^x}{\sqrt{2 \pi x}}
$$
Using this approximation we obtain for the order parameter $\eta_1$ the following equation:
$$
2 \eta_1 \approx 1-\left(4 \pi \lambda \eta_1\right)^{-1 / 2} .
$$
Equation (6.35) is approximated using (6.38) and (6.39) as
$$
X_\lambda \approx \frac{1}{2} \sqrt{\frac{1}{\pi \lambda}} \sqrt{\eta_1}=\eta_1-2 \eta_1^2 .
$$
Now we expand the solution of (6.39) in powers of $1 / \lambda$ which leads to an approximation for $\eta_1$ and hence $\eta_1^2$ as
$$
\begin{aligned}
\eta_1 & \approx \frac{1}{2}-\frac{1}{4} \sqrt{\frac{2}{\pi \lambda}}-\frac{1}{8 \pi \lambda}+\mathcal{O}\left(\lambda^{-3 / 2}\right) \text { and } \
\eta_1^2 & \approx \frac{1}{4}-\frac{1}{4} \sqrt{\frac{2}{\pi \lambda}}+\mathcal{O}\left(\lambda^{-3 / 2}\right) .
\end{aligned}
$$
数学代写|复杂网络代写complex networks代考|q-Partitioning of a Bethe Lattice with three Links per Node
Thus far we have dealt with bi-partitions of graphs with arbitrary degree distribution as one of the cases where we can write the field equations as a system of coupled polynomials. The other special case for which this can be done is a Bethe lattice where every node has exactly $k=3$ neighbors. Then, every edge leads to a node with excess degree $d=2$ and we can write for the order parameters $\eta_\tau$ the following equation:
$$
\begin{aligned}
\eta_\tau= & \sum_{\alpha=1}^{\tau-1}\left(\begin{array}{c}
\tau \
\alpha
\end{array}\right) \eta_\alpha \eta_{\tau-\alpha}+\eta_\tau^2+2 \eta_\tau \sum_{\alpha=1}^{q-\tau}\left(\begin{array}{c}
q-\tau \
\alpha
\end{array}\right) \eta_{\tau+\alpha} \
& +\sum_{\alpha=1}^{q-\tau} \sum_{\beta=1}^{q-\tau-\alpha}\left(\begin{array}{c}
q-\tau \
\alpha
\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}
q-\tau-\alpha \
\beta
\end{array}\right) \eta_{\tau+\alpha} \eta_{\tau+\beta} .
\end{aligned}
$$
This is easily interpreted. A message with $\tau$ non-zero entries can be formed by combining two messages, one with $\alpha<\tau$ and one with $\tau-\alpha$ non-zero entries which do not overlap as in the first term. Then, two messages with exactly $\tau$ non-zero entries may overlap as in the second term. The third term denotes the possibility of combining one message with $\tau$ and one with $\alpha>\tau$ non-zero entries, while the last stands for the possibility of having an overlap of exactly $\tau$ non-zero entries when combining two messages which both have more than $\tau$ non-zero entries.
With the order parameters at hand, we can write the energy per link directly using (6.20). For the energy per node, unfortunately, we cannot write a simple expression for all numbers of parts $q$ and have to calculate $\Delta E_1$ by using Monte Carlo methods. It is interesting to study the ground state energy and modularity as a function of the number of parts $q$. Naturally, the absolute value of the ground state energy decreases as we divide the random lattice into more and more parts. However, when looking at the modularity, we see that the term $1 / q$ which we have to subtract from the negative value of the energy in (6.3) decreases for larger numbers of $Q$. Plotting $E_{g s}$ vs. $q^{-1 / 2}$ in Fig. 6.3 we observe a linear dependence which together with (6.3) suggests the existence of an optimal number of $q$ which maximizes the modularity $Q_q$. Empirically, we find by fitting our data
$$
E_g(q)=E_{\infty}-\frac{B}{\sqrt{q}},
$$
with $E_{\infty}=-1.141$ and $B=0.3496$. This is a remarkable result as it shows that even for large numbers of $q$ we can still satisfy 2.3 of the 3 connections per node on average. This is not much less than the 2.78 links per node which can be satisfied when partitioning in only two parts. This also means that practically every node has two or more links into its own community, which again means that every random Bethe lattice of connectivity $d+1=3$ has a community structure if the definitions of Radicchi et al. are applied. Plugging (6.45) into (6.3) we can find the number of parts which maximizes $Q_q$ as
$$
q^*=\frac{k^2}{B^2} \approx 74 .
$$
数学代写|复杂网络代写complex networks代考|Limit of Dense Graphs with Poissonian Degree Distribution
泊松度分布的特殊形式迄今已导致了许多简化。两个重要的简化是消去了$\left(n_0+2 n\right)$ !它解耦了(6.28)中的和，并且对于这个分布，度分布和多余度分布确实是相同的，这简化了(6.33)中每个节点能量的计算。
这些简化使我们能够研究大平均度极限下泊松图双分划问题的基态能量的标度问题。我们将表明，这使我们能够恢复Fu和Anderson[15]的副本计算结果加上校正项。(6.28)中的贝塞尔函数可以近似为大参数$x \gg n$和固定的$n$ as
$$
I_1(n, x) \approx \frac{e^x}{\sqrt{2 \pi x}}
$$
利用这个近似，我们可以得到阶参量$\eta_1$的下式:
$$
2 \eta_1 \approx 1-\left(4 \pi \lambda \eta_1\right)^{-1 / 2} .
$$
式(6.35)用式(6.38)和式(6.39)近似表示
$$
X_\lambda \approx \frac{1}{2} \sqrt{\frac{1}{\pi \lambda}} \sqrt{\eta_1}=\eta_1-2 \eta_1^2 .
$$
现在我们将(6.39)的解展开为$1 / \lambda$的幂，从而得到$\eta_1$的近似值，因此得到$\eta_1^2$ as
$$
\begin{aligned}
\eta_1 & \approx \frac{1}{2}-\frac{1}{4} \sqrt{\frac{2}{\pi \lambda}}-\frac{1}{8 \pi \lambda}+\mathcal{O}\left(\lambda^{-3 / 2}\right) \text { and } \
\eta_1^2 & \approx \frac{1}{4}-\frac{1}{4} \sqrt{\frac{2}{\pi \lambda}}+\mathcal{O}\left(\lambda^{-3 / 2}\right) .
\end{aligned}
$$
数学代写|复杂网络代写complex networks代考|q-Partitioning of a Bethe Lattice with three Links per Node
到目前为止，我们已经处理了任意度分布图的双分区，作为我们可以将场方程写成耦合多项式系统的一种情况。另一种特殊情况是贝特格，每个节点都有$k=3$个邻居。然后，每条边都指向一个具有多余度$d=2$的节点，我们可以将阶参数$\eta_\tau$写成如下公式:
$$
\begin{aligned}
\eta_\tau= & \sum_{\alpha=1}^{\tau-1}\left(\begin{array}{c}
\tau \
\alpha
\end{array}\right) \eta_\alpha \eta_{\tau-\alpha}+\eta_\tau^2+2 \eta_\tau \sum_{\alpha=1}^{q-\tau}\left(\begin{array}{c}
q-\tau \
\alpha
\end{array}\right) \eta_{\tau+\alpha} \
& +\sum_{\alpha=1}^{q-\tau} \sum_{\beta=1}^{q-\tau-\alpha}\left(\begin{array}{c}
q-\tau \
\alpha
\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}
q-\tau-\alpha \
\beta
\end{array}\right) \eta_{\tau+\alpha} \eta_{\tau+\beta} .
\end{aligned}
$$
这很容易解释。包含$\tau$非零条目的消息可以通过组合两个消息来形成，一个包含$\alpha<\tau$，另一个包含$\tau-\alpha$非零条目，它们不像第一个项那样重叠。然后，两个完全具有$\tau$非零条目的消息可能像第二项一样重叠。第三项表示将一个消息与$\tau$和一个消息与$\alpha>\tau$非零条目组合在一起的可能性，而最后一项表示在组合两个消息时恰好有$\tau$个非零条目重叠的可能性，这两个消息都有超过$\tau$个非零条目。
有了顺序参数，我们可以直接使用式(6.20)写出每个链路的能量。对于每个节点的能量，不幸的是，我们不能写出一个简单的表达式为所有数量的部分$q$，必须通过使用蒙特卡罗方法计算$\Delta E_1$。研究基态能量和模块化作为零件数量的函数$q$是很有趣的。当我们将随机晶格分成越来越多的部分时，基态能量的绝对值自然会减小。然而，当观察模块化时，我们看到，我们必须从(6.3)中的负值中减去的项$1 / q$随着$Q$的数量增加而减少。在图6.3中绘制$E_{g s}$与$q^{-1 / 2}$，我们观察到线性依赖关系，它与(6.3)一起表明存在最优数量$q$，使模块化$Q_q$最大化。根据经验，我们通过拟合我们的数据来发现
$$
E_g(q)=E_{\infty}-\frac{B}{\sqrt{q}},
$$
有$E_{\infty}=-1.141$和$B=0.3496$。这是一个显著的结果，因为它表明，即使对于大量的$q$，我们仍然可以平均满足每个节点3个连接中的2.3个。这并不比每个节点的2.78个链接少多少，如果只划分为两个部分，就可以满足这个要求。这也意味着实际上每个节点都有两个或多个链接到自己的社区，这再次意味着如果应用Radicchi等人的定义，每个连接的随机Bethe格$d+1=3$都有一个社区结构。将(6.45)代入(6.3)，我们可以找到使$Q_q$ as最大化的零件数
$$
q^*=\frac{k^2}{B^2} \approx 74 .
$$
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随机过程代考
在概率论概念中，随机过程是随机变量的集合。 若一随机系统的样本点是随机函数，则称此函数为样本函数，这一随机系统全部样本函数的集合是一个随机过程。 实际应用中，样本函数的一般定义在时间域或者空间域。 随机过程的实例如股票和汇率的波动、语音信号、视频信号、体温的变化，随机运动如布朗运动、随机徘徊等等。
贝叶斯方法代考
贝叶斯统计概念及数据分析表示使用概率陈述回答有关未知参数的研究问题以及统计范式。后验分布包括关于参数的先验分布，和基于观测数据提供关于参数的信息似然模型。根据选择的先验分布和似然模型，后验分布可以解析或近似，例如，马尔科夫链蒙特卡罗 (MCMC) 方法之一。贝叶斯统计概念及数据分析使用后验分布来形成模型参数的各种摘要，包括点估计，如后验平均值、中位数、百分位数和称为可信区间的区间估计。此外，所有关于模型参数的统计检验都可以表示为基于估计后验分布的概率报表。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
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多元统计分析代考
基础数据: $N$ 个样本， $P$ 个变量数的单样本，组成的横列的数据表
变量定性: 分类和顺序；变量定量：数值
数学公式的角度分为: 因变量与自变量
时间序列分析代写
随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。
回归分析代写
多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
MATLAB代写
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