物理代写|电动力学代写electromagnetism代考|ELEC3104
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电动力学是物理学的一个分支，处理快速变化的电场和磁场。
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物理代写|电动力学代写electromagnetism代考|Stochastic Integration
The idea or purpose of stochastic integration is to define a random variable $\mathcal{S}{t}=$ $$ \int{0}^{t} \mathcal{Z}(s) d \mathcal{X}(s), \text { or } \int_{0}^{t} f(\mathcal{X}(s)) d \mathcal{X}(s)
$$
where $S_{t}$ is a random or unpredictable quantity, depending in a particular manner on unpredictable entities $\mathcal{X}$ and $\mathcal{Z}$; and where
$$
\mathcal{X},=(\mathcal{X}(s): 0<s \leq t), \quad \mathcal{Z},=(\mathcal{Z}(s): 0<s \leq t)
$$
are stochastic processes and $\mathcal{S}_{t}$ depends on time $t$. In textbooks, the integrand is usually presented as $f(s)$, but $\mathcal{Z}(s)$ is used here in order to emphasise that the integrand is intended to be random.
The integrand $\mathcal{Z}(s)$ (or, when appropriate, $f(\mathcal{X}(s))$ ) is to be regarded as a measurable function-as is $\mathcal{X}(s)$ – with respect to a probability space $(\Omega, \mathcal{A}, P)$.
If $\mathcal{Z}(s)$ is a deterministic or non-random function $g(s)$ of $s$, its value at time $s$ is a definite (non-random) number which, whenever necessary, can be regarded as a degenerate random variable. If $\mathcal{Z}(s)$ is the same random variable for each $s$ in $t_{j-1} \leq s<t_{j}$, each $j$, then the process $\mathcal{Z}$ is a step function. (In textbooks, the term elementary function is often applied to this.)
The most important kind of stochastic integral is where $\mathcal{X},=(\mathcal{X}(s))_{0<s \leq t}$, is standard Brownian motion, and this particular case (called the Itô integral) is outlined here. The main steps are as follows.
I1 Suppose the integrand $\mathcal{Z}(s)$ is a step function, with constant random variable value $\mathcal{Z}(s)=\mathcal{Z}{j-1}$ for $t{j-1} \leq s<t_{j}, 0=t_{0}<t_{1}<\cdots<t_{n}=t$. Then define
$$
\mathcal{S}{t}=\int{0}^{t} \mathcal{Z}(s) d \mathcal{X}(s):=\sum_{j=1}^{n} \mathcal{Z}{j-1}\left(\mathcal{X}\left(t{j}\right)-\mathcal{X}\left(t_{j-1}\right)\right)
$$
In this case (that is, $\mathcal{Z}(s)$ a step function), the Itô isometry holds for expected values:
$$
\mathbf{E}\left(\mathcal{S}{t}^{2}\right)=\mathbf{E}\left(\int{0}^{t}(\mathcal{Z}(s))^{2} d s\right)
$$
I2 Suppose the process $\mathcal{Z}(s)$ (not necessarily a step function) satisfies
$$
\mathrm{E}\left(\int_{0}^{t}(\mathcal{Z}(s))^{2} d s\right)<\infty
$$
Then there exists a sequence of step functions (processes) $\left{\mathcal{Z}^{(p)}(s)\right}, p=$ $1,2,3, \ldots$ such that
$$
\lim {p \rightarrow \infty} \mathrm{E}\left(\int{0}^{t}\left|\mathcal{Z}{j}^{(p)}(s)-\mathcal{Z}(s)\right|^{2} d s\right)=0 $$ I3 For such $\mathcal{Z}(s)$, define its stochastic integral $\mathcal{S}{t}$ with respect to the process $\mathcal{X}(s)$ as
$$
\begin{aligned}
\mathcal{S}{t}=\int{0}^{t} \mathcal{Z}(s) d \mathcal{X}(s) &:=\lim {p \rightarrow \infty} \mathcal{S}{t}^{(p)}=\lim {p \rightarrow \infty} \int{0}^{t} \mathcal{Z}^{(p)}(s) d \mathcal{X}(s) \
&=\lim {p \rightarrow \infty} \sum{j_{p}=1}^{n_{p}} \mathcal{Z}{j{p}}^{(p)}\left(\mathcal{X}\left(t_{j_{p}}\right)-\mathcal{X}\left(t_{j_{p}-1}\right)\right)
\end{aligned}
$$
I4 If $\mathcal{X}$ is Brownian motion the latter limit exists.
物理代写|电动力学代写electromagnetism代考|Random Variation
The previous chapter makes reference to random variables as functions which are measurable with respect to some probability domain. This conception of random variation is quite technical, and the aim of this chapter is to illuminate it by focussing on some fundamental features.
In broad practical terms, random variation is present when unpredictable outcomes can, in advance of actual occurrence, be estimated to within some margin of error. For instance, if a coin is tossed we can usually predict that heads is an outcome which is no more or no less likely than tails. So if an experiment consists of ten throws of the coin, it is no surprise if the coin falls heads-up on, let us say, between four and six occasions. This is an estimated outcome of the experiment, with estimated margin of error.
In fact, with a little knowledge of binomial probability distributions, we can predict that there is approximately 40 per cent chance that heads will be thrown on four, five or six occasions out of the ten throws. So if a ten-throw trial is repeated one hundred times, the outcome should be four, five, or six heads for approximately four hundred of the one thousand throws.
Such knowledge enables us to estimate good betting odds for placing a wager that a toss of the coin will produce this outcome. This is the “naive or realistic” view.
Can this fairly easily understandable scenario be expressed in the technical language of probability theory, as in Chapter 1 above? What is the probability space $(\Omega, \mathcal{A}, P)$ ? What is the $P$-measurable function which represents the random variable corresponding to a single toss of a coin?
The following remarks are intended to provide a link between the “naive or realistic” view, and the “sophisticated or mathematical” interpretation of this underlying reality.
The possible outcomes of an experiment consisting of a single throw of the coin are $\mathrm{H}$ (for heads) and $\mathrm{T}$ (for tails). Suppose a sample space $\Omega$ for this
experiment consists of the pair of numbers, 0 and 1 . Let $\mathcal{A}$ be the family of all subsets of $\Omega$ :
$$
\Omega={0,1}, \quad \mathcal{A}={\varnothing,{0},{1},{0,1}} ;
$$
and define a probability measure $P$ by
$$
P(\varnothing)=0, \quad P({0})=\frac{1}{2}, \quad P({1})=\frac{1}{2}, \quad P({0,1})=P(\Omega)=1 \text {. }
$$
Then, trivially, $\mathcal{A}$ is a $\sigma$-algebra of subsets of $\Omega$, and $P$ is, trivially, countably additive $^{1}$ on $\mathcal{A}$, so $(\Omega, \mathcal{A}, P)$ is a probability measure space.
The set of outcomes of a single throw of a coin is the set $V={H, T}$, and the family of subsets of $V$ is
$$
\mathcal{V}={\varnothing,{\mathrm{H}},{\mathrm{T}},{\mathrm{H}, \mathrm{T}}}
$$
and $(V, V)$ is a measurable space. Define the following function to represent the coin tossing experiment:
$$
\mathcal{X}: \Omega \mapsto V, \quad \mathcal{X}(0)=\mathrm{H}, \quad \mathcal{X}(1)=\mathrm{T}
$$
物理代写|电动力学代写electromagnetism代考|Probability and Riemann Sums
Elementary statistical calculation is often learned by performing exercises such as the following.
Example 4 A sample of 100 individuals is selected, their individual weights are measured, and the results are summarized in Table 2.2. Estimate the mean weight and standard deviation of the weights in the sample.
Sometimes calculation of the mean and standard deviation is done by setting out the workings as in Table 2.3. The observed weights of the sample members are grouped or classified in intervals $I$, and the proportion of weights in each interval $I$ is denoted by $F(I)$. A representative weight $x$ is chosen from each interval $I$. The function $f(x)$ is $x^{2}$ since, in this case, these values are needed in order to estimate the variance. Completing the calculation, the estimate of the arithmetic mean weight in the sample is
$$
\sum x F(I)=44 \mathrm{~kg},
$$
while the variance of the weights is approximately
$$
\sum x^{2} F(I)-(44)^{2}=2580-1936=644 \mathrm{~kg}^{2} .
$$
The latter calculation, involving $\sum x^{2} F(I)$, has the form $\sum f(x) F(I)$ with $f(x)=x^{2}$. The expressions $\sum x F(I)$ and $\sum f(x) F(I)$ have the form of Riemann sums, in which the interval of real numbers $[0,100]$ is partitioned by the intervals $I$, and where each $x$ is a representative data-value in the corresponding interval $I$. Thus the sums
$$
\sum x F(I) \text { and } \sum f(x) F(I)
$$
are approximations to the Stieltjes (or Riemann-Stieltjes) integrals
$$
\int_{J} x d F \text { and } \int_{J} f(x) d F, \text { respectively; }
$$
the domain of integration $[0,100]$ being denoted by $J$.
电动力学代考
物理代写|电动力学代写electromagnetism代考|Stochastic Integration
随机积分的思想或目的是定义一个随机变量 $\mathcal{S} {t}=$ \int {0}^{t} \mathcal{Z}(s) d \mathcal{X}(s), \text { 或 } \int_{0}^{t} f(\mathcal{X}( s)) d \mathcal{X}(s)
在H和r和$小号吨$一世s一个r一个nd○米○r在npr和d一世C吨一个bl和q在一个n吨一世吨是,d和p和nd一世nG一世n一个p一个r吨一世C在l一个r米一个nn和r○n在npr和d一世C吨一个bl和和n吨一世吨一世和s$X$一个nd$从$;一个nd在H和r和
\mathcal{X},=(\mathcal{X}(s): 0<s \leq t), \quad \mathcal{Z},=(\mathcal{Z}(s): 0<s \leq t )
$$
是随机过程和小号吨取决于时间吨. 在教科书中，被积函数通常表示为F(s)， 但从(s)在这里使用是为了强调被积函数是随机的。
被积体从(s)（或者，在适当的时候，F(X(s))) 被认为是一个可测量的函数——原样X(s)– 关于概率空间(Ω,一个,磷).
如果从(s)是确定性或非随机函数G(s)的s, 它的时间值s是一个确定的（非随机）数，在必要时可以将其视为退化随机变量。如果从(s)是每个相同的随机变量s在吨j−1≤s<吨j， 每个j，那么过程从是阶跃函数。（在教科书中，术语初等函数经常用于此。）
最重要的随机积分是X,=(X(s))0<s≤吨, 是标准的布朗运动，这里概述了这种特殊情况（称为伊藤积分）。主要步骤如下。
I1 假设被积函数从(s)是阶跃函数，具有恒定的随机变量值从(s)=从j−1为了吨j−1≤s<吨j,0=吨0<吨1<⋯<吨n=吨. 然后定义
小号吨=∫0吨从(s)dX(s):=∑j=1n从j−1(X(吨j)−X(吨j−1))
在这种情况下（即，从(s)阶跃函数），Itô 等距适用于期望值：
和(小号吨2)=和(∫0吨(从(s))2ds)
I2 假设过程从(s)（不一定是阶跃函数）满足
和(∫0吨(从(s))2ds)<∞
然后存在一系列步骤函数（过程）\left{\mathcal{Z}^{(p)}(s)\right}, p=\left{\mathcal{Z}^{(p)}(s)\right}, p= 1,2,3,…这样
林p→∞和(∫0吨|从j(p)(s)−从(s)|2ds)=0I3 对于此类从(s), 定义其随机积分小号吨关于过程X(s)作为
小号吨=∫0吨从(s)dX(s):=林p→∞小号吨(p)=林p→∞∫0吨从(p)(s)dX(s) =林p→∞∑jp=1np从jp(p)(X(吨jp)−X(吨jp−1))
I4 如果X是布朗运动，存在后一个极限。
物理代写|电动力学代写electromagnetism代考|Random Variation
前一章提到随机变量是关于某个概率域可测量的函数。这种随机变化的概念是相当技术性的，本章的目的是通过关注一些基本特征来阐明它。
从广义上讲，当不可预测的结果可以在实际发生之前被估计在一定的误差范围内时，就会出现随机变化。例如，如果抛硬币，我们通常可以预测正面是一个结果，它与反面的可能性相同或相同。因此，如果一个实验由十次投掷硬币组成，那么硬币正面朝上（假设是四到六次）就不足为奇了。这是实验的估计结果，具有估计的误差范围。
事实上，只要对二项式概率分布有一点了解，我们就可以预测，在十次投掷中，有 4、5 或 6 次出现正面朝上的概率大约为 40%。因此，如果十掷试验重复一百次，结果应该是四、五或六次正面，大约一千次掷中的四百次。
这样的知识使我们能够估计出良好的投注赔率来下注，即抛硬币会产生这种结果。这是“天真或现实”的观点。
这个相当容易理解的场景是否可以用概率论的技术语言来表达，就像上面第 1 章那样？什么是概率空间(Ω,一个,磷)? 是什么磷- 表示与单次抛硬币相对应的随机变量的可测量函数？
以下评论旨在提供“天真或现实”观点与对这一潜在现实的“复杂或数学”解释之间的联系。
一次投掷硬币的实验的可能结果是H（用于头部）和吨（尾巴）。假设一个样本空间Ω为了这
实验由一对数字 0 和 1 组成。让一个是所有子集的族Ω :
Ω=0,1,一个=∅,0,1,0,1;
并定义一个概率测度磷经过
磷(∅)=0,磷(0)=12,磷(1)=12,磷(0,1)=磷(Ω)=1.
然后，琐碎地，一个是一个σ- 子集的代数Ω， 和磷是，平凡，可数加法1上一个， 所以(Ω,一个,磷)是一个概率测度空间。
单次投掷硬币的结果集合是集合在=H,吨, 和子集族在是
在=∅,H,吨,H,吨
和(在,在)是一个可测量的空间。定义以下函数来表示抛硬币实验：
X:Ω↦在,X(0)=H,X(1)=吨
物理代写|电动力学代写electromagnetism代考|Probability and Riemann Sums
基本统计计算通常是通过执行以下练习来学习的。
实施例 4 选取 100 个人作为样本，测量他们的个人体重，结果总结在表 2.2 中。估计样本中权重的平均权重和标准差。
有时，平均值和标准差的计算是通过列出表 2.3 中的工作原理来完成的。样本成员的观测权重按区间分组或分类我，以及每个区间的权重比例我表示为F(我). 代表权重X从每个区间中选择我. 功能F(X)是X2因为在这种情况下，需要这些值来估计方差。完成计算，样本中算术平均权重的估计值为
∑XF(我)=44 ķG,
而权重的方差约为
∑X2F(我)−(44)2=2580−1936=644 ķG2.
后一种计算，涉及∑X2F(我), 有形式∑F(X)F(我)和F(X)=X2. 表达式∑XF(我)和∑F(X)F(我)有黎曼和的形式，其中实数的区间[0,100]由区间划分我, 并且每个X是对应区间内的代表数据值我. 因此总和
∑XF(我) 和 ∑F(X)F(我)
是 Stieltjes（或 Riemann-Stieltjes）积分的近似值
∫ĴXdF 和 ∫ĴF(X)dF, 分别;
整合领域[0,100]表示为Ĵ.
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金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。
非参数统计代写
非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。
有限元方法代写
有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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随机分析代写
随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。
时间序列分析代写
随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。
回归分析代写
多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。