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计算机代写|机器学习代写machine learning代考|Evolutionary Compact Parametrization

When defining a compact design of an ECOC, the possible loss of generalization performance has to be taken into account. In order to deal with this problem an evolutionary optimization process is used to find a compact ECOC with high generalization capability.

In order to show the parametrization complexity of the compact ECOC design, we first provide an estimation of the number of different possible ECOC matrices that we can build, and therefore, the search space cardinality. We approximate this number using some simple combinatorial principles. First of all, if we have an $N$-class problem and $B$ possible bits to represent all the classes, we have a set $C W$ with $2^B$ different words. In order to build an ECOC matrix, we select $N$ codewords from $C W$ without replacement. In combinatorics this is represented as $\left(\begin{array}{c}2_N^B \ N\end{array}\right)$, which means that we can construct $V_{2^B}^N=\frac{2^{B} !}{\left(2^B-N\right) !}$ different ECOC matrices. Nevertheless, in the ECOC framework, one matrix and its opposite (swapping all zeros by ones and vice-versa) are considered as the same matrix, since both represent the same partitions of the data. Therefore, the approximated number of possible ECOC matrices with the minimum number of classifiers is $\frac{V_{2 B}^N}{2}=\frac{2^{B} !}{2\left(2^B-N\right) !}$. In addition to the huge cardinality, it is easy to show that this space is neither continuous nor differentiable, because a change in just one bit of the matrix may produce a wrong coding design.

In this type of scenarios, evolutionary approaches are often introduced with good results. Evolutionary algorithms are a wide family of methods that are inspired on the Darwin’s evolution theory, and used to be formulated as optimization processes where the solution space is neither differentiable nor well defined. In these cases, the simulation of natural evolution process using computers results in stochastic optimization techniques which often outperform classical methods of optimization when applied to difficult real-world problems. Although the most used and studied evolutionary algorithms are the Genetic Algorithms (GA), from the publication of the Population Based Incremental Learning (PBIL) in 1995 by Baluja and Caruana [4], a new family of evolutionary methods is striving to find a place in this field. In contrast to $\mathrm{GA}$, those new algorithms consider each value in the chromosome as a random variable, and their goal is to learn a probability model to describe the characteristics of good individuals. In the case of PBIL, if a binary chromosome is used, a uniform distribution is learned in order to estimate the probability of each variable to be one or zero.

In this chapter, we report experiments made with the selected evolutionary strategies – i.e. GA and PBIL. Note that for both Evolutionary Strategies, the encoding step and the adaptation function are exactly equivalent.

计算机代写|机器学习代写machine learning代考|Problem encoding

Problem encoding: The first step in order to use an evolutionary algorithm is to define the problem encoding, which consists of the representation of a certain solution or point in the search space by means of a genotype or alternatively a chromosome [14]. When the solutions or individuals are transformed in order to be represented in a chromosome, the original values (the individuals) are referred as phenotypes, and each one of the possible settings for a phenotype is the allele. Binary encoding is the most common, mainly because the first works about GA used this type of encoding. In binary encoding, every chromosome is a string of bits. Although this encoding is often not natural for many problems and sometimes corrections must be performed after crossover and/or mutation, in our case, the chromosomes represent binary ECOC matrices, and therefore, this encoding perfectly adapts to the problem. Each ECOC is encoded as a binary chromosome $\zeta=$, where $h_i^{c_j} \in{0,1}$ is the expected value of the $i$-th classifier for the class $c_j$, which corresponds to the $i-t h$ bit of the class $c_j$ codeword.

Adaptation function: Once the encoding is defined, we need to define the adaptation function, which associates to each individual its adaptation value to the environment, and thus, their survival probability. In the case of the ECOC framework, the adaptation value must be related to the classification error.

Given a chromosome $\zeta=\left\langle\zeta_0, \zeta_1, \ldots, \zeta_L>\right.$ with $\zeta_i \in{0,1}$, the first step is to recover the ECOC matrix $M$ codified in this chromosome. The elements of $M$ allow to create binary classification problems from the original multi-class problem, following the partitions defined by the ECOC columns. Each binary problem is addressed by means of a binary classifier, which is trained in order to separate both partitions of classes. Assuming that there exists a function $y=f(x)$ that maps each sample $x$ to its real label $y$, training a classifier consists of finding the best parameters $w^$ of a certain function $y=f^{\prime}(x, w)$, in the manner that for any other $w \neq w^, f^{\prime}\left(x, w^\right)$ is a better approximation to $f$ than $f^{\prime}(x, w)$. Once the $w^$ are estimated for each binary problem, the adaptation value corresponds to the classification error. In order to take into account the generalization power of the trained classifiers, the estimation of $w^*$ is performed over a subset of the samples, while the rest of the samples are reserved for a validation set, and the adaptation value $\xi$ is the classification error over that validation subset. The adaptation value for an individual represented by a certain chromosome $\zeta_i$ can be formulated as:
$$
\varepsilon_i\left(P, Y, M_i\right)=\frac{\sum_{j=1}^s \delta\left(\rho_j, M_i\right) \neq y_j}{s},
$$
where $M_i$ is the ECOC matrix encoded in $\zeta_i, P=\left\langle\rho_1, \ldots, \rho_s\right\rangle$ a set of samples, $Y=\left\langle y_1, \ldots, y_s\right\rangle$ the expected labels for samples in $P$, and $\delta$ is the function that returns the classification label applying the decoding strategy.

机器学习代考

计算机代写|机器学习代写machine learning代考|Evolutionary Compact Parametrization

在定义ECOC的紧凑设计时，必须考虑到可能的泛化性能损失。为了解决这一问题，采用进化优化方法寻找具有高泛化能力的紧凑ECOC。

为了显示紧凑ECOC设计的参数化复杂性，我们首先提供了我们可以构建的不同可能ECOC矩阵的数量的估计，从而提供了搜索空间基数。我们用一些简单的组合原理来近似这个数字。首先，如果我们有一个$N$ -class问题，并且有$B$个可能的位来表示所有的class，那么我们就有一个包含$2^B$个不同单词的集合$C W$。为了构建ECOC矩阵，我们从$C W$中选择$N$码字而不进行替换。在组合学中，这表示为$\left(\begin{array}{c}2_N^B \ N\end{array}\right)$，这意味着我们可以构造$V_{2^B}^N=\frac{2^{B} !}{\left(2^B-N\right) !}$不同的ECOC矩阵。然而，在ECOC框架中，一个矩阵和它的对立面(用1交换所有零，反之亦然)被认为是相同的矩阵，因为两者都表示数据的相同分区。因此，具有最小分类器数的可能ECOC矩阵的近似值为$\frac{V_{2 B}^N}{2}=\frac{2^{B} !}{2\left(2^B-N\right) !}$。除了巨大的基数之外，很容易表明这个空间既不是连续的也不是可微的，因为仅仅改变矩阵的一位就可能产生错误的编码设计。

在这种类型的场景中，引入进化方法通常会带来良好的结果。进化算法是受达尔文进化论启发的一大类方法，过去常被表述为求解空间既不可微也不能很好定义的优化过程。在这些情况下，使用计算机模拟自然进化过程的结果是随机优化技术，当应用于困难的现实世界问题时，这种技术通常优于经典的优化方法。虽然使用和研究最多的进化算法是遗传算法(Genetic algorithms, GA)，但从1995年Baluja和Caruana[4]发表的基于种群的增量学习(Population Based Incremental Learning, PBIL)开始，一个新的进化方法家族正在努力在这一领域找到一席之地。与$\mathrm{GA}$相比，这些新算法将染色体中的每个值视为随机变量，其目标是学习一个概率模型来描述优秀个体的特征。在PBIL的情况下，如果使用双染色体，则学习均匀分布以估计每个变量为1或0的概率。

在本章中，我们报告了用选择的进化策略-即GA和PBIL进行的实验。注意，对于两种进化策略，编码步骤和适应函数是完全相同的。

计算机代写|机器学习代写machine learning代考|Problem encoding

问题编码:使用进化算法的第一步是定义问题编码，问题编码包括通过基因型或染色体在搜索空间中表示某个解或点[14]。当溶液或个体被转化以在染色体中表示时，原始值(个体)被称为表型，而表型的每个可能设置都是等位基因。二进制编码是最常见的，主要是因为关于GA的第一个作品使用了这种类型的编码。在二进制编码中，每条染色体都是一串比特。虽然这种编码对于许多问题来说往往是不自然的，有时在交叉和/或突变之后必须进行修正，但在我们的例子中，染色体代表二进制ECOC矩阵，因此，这种编码完美地适应了问题。每个ECOC被编码为一个二进制染色体$\zeta=$，其中$h_i^{c_j} \in{0,1}$是类$c_j$的$i$ -第一个分类器的期望值，它对应于类$c_j$码字的$i-t h$位。

适应函数:一旦编码被定义，我们需要定义适应函数，它与每个个体对环境的适应值相关联，从而与他们的生存概率相关联。对于ECOC框架，自适应值必须与分类误差相关。

给定一条含有$\zeta_i \in{0,1}$的染色体$\zeta=\left\langle\zeta_0, \zeta_1, \ldots, \zeta_L>\right.$，第一步是恢复在该染色体中编码的ECOC矩阵$M$。$M$的元素允许根据ECOC列定义的分区，从原始的多类问题创建二元分类问题。每个二进制问题都是通过一个二进制分类器来解决的，该分类器是为了分离类的两个分区而训练的。假设存在一个函数$y=f(x)$，它将每个样本$x$映射到它的真实标签$y$，那么训练一个分类器就是找到某个函数$y=f^{\prime}(x, w)$的最佳参数$w^$，因为对于任何其他的$w \neq w^, f^{\prime}\left(x, w^\right)$都比$f^{\prime}(x, w)$更接近$f$。一旦对每个二值问题估计出$w^$，其自适应值就对应于分类误差。为了考虑训练的分类器的泛化能力，对样本的一个子集执行$w^*$的估计，而其余的样本保留给一个验证集，并且自适应值$\xi$是该验证子集上的分类误差。以某条染色体$\zeta_i$为代表的个体的适应值可表示为:
$$
\varepsilon_i\left(P, Y, M_i\right)=\frac{\sum_{j=1}^s \delta\left(\rho_j, M_i\right) \neq y_j}{s},
$$
其中$M_i$是在$\zeta_i, P=\left\langle\rho_1, \ldots, \rho_s\right\rangle$中编码的ECOC矩阵(一组样本)，$Y=\left\langle y_1, \ldots, y_s\right\rangle$是$P$中样本的期望标签，$\delta$是应用解码策略返回分类标签的函数。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写

随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。