数学代写|概率论代写Probability theory代考|SF2940
如果你也在 怎样代写概率论Probability Theory 这个学科遇到相关的难题，请随时右上角联系我们的24/7代写客服。概率论Probability Theory是研究与随机现象有关的概率的数学分支。一个随机现象可能有几种结果。概率论用一定的形式概念描述某一特定结果发生的几率。
概率论Probability Theory某些随机变量在概率论中经常出现，因为它们很好地描述了许多自然或物理过程。因此，它们的分布在概率论中具有特殊的重要性。一些基本的离散分布有离散均匀分布、伯努利分布、二项式分布、负二项式分布、泊松分布和几何分布。重要的连续分布包括连续均匀分布、正态分布、指数分布、分布和分布。
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数学代写|概率论代写Probability theory代考|APPENDIX: STIRLING’S FORMULA
An estimate of $n !$ that is of importance both in numerical calculations and theoretical analysis is Stirling’s formula
$$
n ! \sim n^n e^{-n} \sqrt{2 \pi n}
$$
in the sense that
$$
\lim {n \rightarrow \infty} \frac{n !}{\left(n^n e^{-n} \sqrt{2 \pi n}\right)}=1 $$ Proof. Define $(2 n) !$ ! (read $2 n$ semifactorial) as $2 n(2 n-2)(2 n-4) \cdots$ $6(4)(2)$, and $(2 n+1) ! !$ as $(2 n+1)(2 n-1) \cdots(5)(3)(1)$. We first show that (a) $$ \frac{(2 n) ! !}{(2 n+1) ! !}<\frac{\pi}{2} \frac{(2 n-1) ! !}{(2 n) ! !}<\frac{(2 n-2) ! !}{(2 n-1) ! !} $$ Let $I_k=\int_0^{\pi / 2}(\cos x)^k d x, k=0,1,2, \ldots$ Then $I_0=\pi / 2, I_1=1$. Integrating by parts, we obtain $I_k=\int_0^{\pi / 2}(\cos x)^{k-1} d(\sin x)=\int_0^{\pi / 2}(k-1)(\cos x)^{k-2}$ $\sin ^2 x d x$. Since $\sin ^2 x=1-\cos ^2 x$, we have $I_k=(k-1) I{k-2}-(k-1) I_k$ or $I_k=[(k-1) / k] I_{k-2}$. By iteration, we obtain $I_{2 n}=(\pi / 2)[(2 n-1) ! ! /$ $(2 n) ! !]$ and $I_{2 n+1}=[(2 n) ! ! /(2 n+1) ! !]$. Since $(\cos x)^k$ decreases with $k$, so does $I_k$, and hence $I_{2 n+1}<I_{2 n}<I_{2 n-1}$, and (a) is proved.
(b) Let $Q_n=\left(\begin{array}{c}2^n \ n\end{array}\right) / 2^{2 n}$. Then
$$
\lim _{n \rightarrow \infty} Q_n \sqrt{n \pi}=1
$$
To prove this, write
$$
\begin{aligned}
Q_n & =\frac{(2 n) !}{n ! n ! 2^{2 n}}=\frac{(2 n) !}{\left(2^n n !\right)^2} \
& =\frac{(2 n) !}{((2 n)(2 n-2) \cdots(4)(2))^2}=\frac{(2 n-1) ! !}{(2 n) ! !}
\end{aligned}
$$
Thus, by (a),
$$
\frac{(2 n) ! !}{(2 n+1) ! !}<\frac{\pi}{2} Q_n<\frac{(2 n-2) ! !}{(2 n-1) ! !}
$$
Multiply this inequality by
$$
\frac{(2 n-1) ! !}{(2 n-2) ! !}=\frac{(2 n-1) ! !}{(2 n) ! !} \frac{(2 n) ! !}{(2 n-2) ! !}=Q_n(2 n)
$$
to obtain
$$
\frac{2 n}{2 n+1}<n \pi Q_n{ }^2<1
$$
If we let $n \rightarrow \infty$, we obtain $n \pi Q_n{ }^2 \rightarrow 1$, proving (b).
(c) Proof of Stirling’s formula. Let $c_n=n ! / n^n e^{-n} \sqrt{2 \pi n}$. We must show that $c_n \rightarrow 1$ as $n \rightarrow \infty$. Consider $(n+1) ! / n !=n+1$. We have
$$
\begin{aligned}
\frac{(n+1) !}{n !} & =\frac{c_{n+1}(n+1)^{n+1} e^{-(n+1)} \sqrt{2 \pi(n+1)}}{c_n n^n e^{-n} \sqrt{2 \pi n}} \
& =\left(\frac{c_{n+1}}{c_n}\right) e^{-1}\left(\frac{n+1}{n}\right)^n \frac{(n+1)^{3 / 2}}{\sqrt{n}}
\end{aligned}
$$
数学代写|概率论代写Probability theory代考|DEFINITION OF A RANDOM VARIABLE
Intuitively, a random variable is a quantity that is measured in connection with a random experiment. If $\Omega$ is a sample space, and the outcome of the experiment is $\omega$, a measuring process is carried out to obtain a number $R(\omega)$. Thus a random variable is a real-valued function on a sample space. (The formal definition, which is postponed until later in the section, is somewhat more restrictive.)
Example 1. Throw a coin 10 times, and let $R$ be the number of heads. We take $\Omega=$ all sequences of length 10 with components $H$ and $T ; 2^{10}$ points altogether. A typical sample point is $\omega=H H T H T T H H T H$. For this point $R(\omega)=6$. Another random variable, $R_1$, is the number of times a head is followed immediately by a tail. For the point $\omega$ above, $R_1(\omega)=3$.
Example 2. Pick a person at random from a certain population and measure his height and weight. We may take the sample space to be the plane $E^2$, that is, the set of all pairs $(x, y)$ of real numbers, with the first coordinate $x$ representing the height and the second coordinate $y$ the weight (we can take care of the requirement that height and weight be nonnegative by assigning probability 0 to the complement of the first quadrant). Let $R_1$ be the height of the person selected, and let $R_2$ be the weight. Then $R_1(x, y)=x, R_2(x, y)=y$. As another example, let $R_3$ be twice the height plus the cube root of the weight; that is, $R_3=2 R_1+\sqrt[3]{R_2}$. Then $R_3(x, y)=$ $2 R_1(x, y)+\sqrt[3]{R_2(x, y)}=2 x+\sqrt[3]{y}$.
Example 3. Throw two dice. We may take the sample space to be the set of all pairs of integers $(x, y), x, y=1,2, \ldots, 6$ (36 points in all).
Let $R_1=$ the result of the first toss. Then $R_1(x, y)=x$.
Let $R_2=$ the sum of the two faces. Then $R_2(x, y)=x+y$.
Let $R_3=1$ if at least one face is an even number; $R_3=0$ otherwise.
Then $R_3(6,5)=1 ; R_3(3,6)=1 ; R_3(1,3)=0$, and so on.
概率论代考
数学代写|概率论代写Probability theory代考|APPENDIX: STIRLING’S FORMULA
在数值计算和理论分析中都很重要的对$n !$的估计是斯特林公式
$$
n ! \sim n^n e^{-n} \sqrt{2 \pi n}
$$
从某种意义上说
$$
\lim {n \rightarrow \infty} \frac{n !}{\left(n^n e^{-n} \sqrt{2 \pi n}\right)}=1 $$证明。定义$(2 n) !$ !(读取$2 n$半阶乘)为$2 n(2 n-2)(2 n-4) \cdots$$6(4)(2)$, $(2 n+1) ! !$为$(2 n+1)(2 n-1) \cdots(5)(3)(1)$。我们首先表明(a) $$ \frac{(2 n) ! !}{(2 n+1) ! !}<\frac{\pi}{2} \frac{(2 n-1) ! !}{(2 n) ! !}<\frac{(2 n-2) ! !}{(2 n-1) ! !} $$让$I_k=\int_0^{\pi / 2}(\cos x)^k d x, k=0,1,2, \ldots$然后$I_0=\pi / 2, I_1=1$。分部积分，得到$I_k=\int_0^{\pi / 2}(\cos x)^{k-1} d(\sin x)=\int_0^{\pi / 2}(k-1)(\cos x)^{k-2}$$\sin ^2 x d x$。因为$\sin ^2 x=1-\cos ^2 x$，我们有$I_k=(k-1) I{k-2}-(k-1) I_k$或$I_k=[(k-1) / k] I_{k-2}$。通过迭代得到$I_{2 n}=(\pi / 2)[(2 n-1) ! ! /$$(2 n) ! !]$和$I_{2 n+1}=[(2 n) ! ! /(2 n+1) ! !]$。由于$(\cos x)^k$随$k$减小，$I_k$也减小，因此$I_{2 n+1}<I_{2 n}<I_{2 n-1}$得到证明。
(b)让$Q_n=\left(\begin{array}{c}2^n \ n\end{array}\right) / 2^{2 n}$。然后
$$
\lim _{n \rightarrow \infty} Q_n \sqrt{n \pi}=1
$$
为了证明这一点，写下来
$$
\begin{aligned}
Q_n & =\frac{(2 n) !}{n ! n ! 2^{2 n}}=\frac{(2 n) !}{\left(2^n n !\right)^2} \
& =\frac{(2 n) !}{((2 n)(2 n-2) \cdots(4)(2))^2}=\frac{(2 n-1) ! !}{(2 n) ! !}
\end{aligned}
$$
因此，通过(a)，
$$
\frac{(2 n) ! !}{(2 n+1) ! !}<\frac{\pi}{2} Q_n<\frac{(2 n-2) ! !}{(2 n-1) ! !}
$$
将这个不等式乘以
$$
\frac{(2 n-1) ! !}{(2 n-2) ! !}=\frac{(2 n-1) ! !}{(2 n) ! !} \frac{(2 n) ! !}{(2 n-2) ! !}=Q_n(2 n)
$$
获取
$$
\frac{2 n}{2 n+1}<n \pi Q_n{ }^2<1
$$
令$n \rightarrow \infty$，得到$n \pi Q_n{ }^2 \rightarrow 1$，证明(b)。
(c)斯特林公式的证明。让$c_n=n ! / n^n e^{-n} \sqrt{2 \pi n}$。我们必须将$c_n \rightarrow 1$表示为$n \rightarrow \infty$。考虑$(n+1) ! / n !=n+1$。我们有
$$
\begin{aligned}
\frac{(n+1) !}{n !} & =\frac{c_{n+1}(n+1)^{n+1} e^{-(n+1)} \sqrt{2 \pi(n+1)}}{c_n n^n e^{-n} \sqrt{2 \pi n}} \
& =\left(\frac{c_{n+1}}{c_n}\right) e^{-1}\left(\frac{n+1}{n}\right)^n \frac{(n+1)^{3 / 2}}{\sqrt{n}}
\end{aligned}
$$
数学代写|概率论代写Probability theory代考|DEFINITION OF A RANDOM VARIABLE
直观地说，随机变量是在随机实验中测量的量。如果$\Omega$是一个样本空间，实验结果为$\omega$，则进行测量过程，得到一个数字$R(\omega)$。因此，随机变量是样本空间上的实值函数。(正式的定义将推迟到本节后面的部分，它在某种程度上更具限制性。)
例1。投掷硬币10次，设$R$为正面的次数。我们取$\Omega=$所有长度为10的序列，其组成部分为$H$和$T ; 2^{10}$。一个典型的样本点是$\omega=H H T H T T H H T H$。对于这一点$R(\omega)=6$。另一个随机变量$R_1$是正面紧接着反面的次数。对于上面的$\omega$点，$R_1(\omega)=3$。
例2。从一定的人群中随机挑选一个人，测量他的身高和体重。我们可以将样本空间作为平面$E^2$，即所有实数对$(x, y)$的集合，第一个坐标$x$表示高度，第二个坐标$y$表示权重(我们可以通过为第一象限的补赋概率0来满足高度和权重非负的要求)。设$R_1$为被选者的身高，$R_2$为体重。然后$R_1(x, y)=x, R_2(x, y)=y$。另一个例子，设$R_3$等于两倍的高度加上重量的立方根;也就是$R_3=2 R_1+\sqrt[3]{R_2}$。然后是$R_3(x, y)=$$2 R_1(x, y)+\sqrt[3]{R_2(x, y)}=2 x+\sqrt[3]{y}$。
例3。掷两个骰子。我们可以取样本空间为所有整数对的集合$(x, y), x, y=1,2, \ldots, 6$(总共36个点)。
让$R_1=$公布第一次掷硬币的结果。然后$R_1(x, y)=x$。
设$R_2=$为两个面之和。然后$R_2(x, y)=x+y$。
设$R_3=1$，如果至少有一个面是偶数;$R_3=0$否则。
然后是$R_3(6,5)=1 ; R_3(3,6)=1 ; R_3(1,3)=0$，等等。
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金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。
非参数统计代写
非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。
有限元方法代写
有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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随机分析代写
随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。
时间序列分析代写
随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。
回归分析代写
多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。