统计代写|统计推断代写Statistical inference代考|Sta732
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统计推断Statistical Inference指的是一个研究领域，我们在面对不确定性的情况下，根据我们观察到的数据，试图推断世界的未知特性。它是一个数学框架，在许多情况下量化我们的常识所说的话，但在常识不够的情况下，它允许我们超越常识。对正确的统计推断的无知会导致错误的决策和浪费金钱。就像对其他领域的无知一样，对统计推断的无知也会让别人操纵你，让你相信一些错误的事情是正确的。
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统计代写|统计推断代写Statistical inference代考|The Likelihood Function
Let $f(\mathbf{x} \mid \theta)$ denote the joint pdf or pmf of the sample $\mathbf{X}=$ $\left(X_1, \ldots, X_n\right)$. Then, given that $\mathbf{X}=\mathbf{x}$ is observed, the function of $\theta$ defined by
$$
L(\theta \mid \mathbf{x})=f(\mathbf{x} \mid \theta)
$$
is called the likelihood function.
If $\mathbf{X}$ is a discrete random vector, then $L(\theta \mid \mathbf{x})=P_\theta(\mathbf{X}=\mathbf{x})$. If we compare the likelihood function at two parameter points and find that
$$
P_{\theta_1}(\mathbf{X}=\mathbf{x})=L\left(\theta_1 \mid \mathbf{x}\right)>L\left(\theta_2 \mid \mathbf{x}\right)=P_{\theta_2}(\mathbf{X}=\mathbf{x}),
$$
then the sample we actually observed is more likely to have occurred if $\theta=\theta_1$ than if $\theta=\theta_2$, which can be interpreted as saying that $\theta_1$ is a more plausible value for the true value of $\theta$ than is $\theta_2$. Many different ways have been proposed to use this information, but certainly it seems reasonable to examine the probability of the sample we actually observed under various possible values of $\theta$. This is the information provided by the likelihood function.
If $X$ is a continuous, real-valued random variable and if the pdf of $X$ is continuous in $x$, then, for small $\epsilon, P_\theta(x-\epsilon<X<x+\epsilon)$ is approximately $2 \epsilon f(x \mid \theta)=2 \epsilon L(\theta \mid x)$ (this follows from the definition of a derivative). Thus,
$$
\frac{P_{\theta_1}(x-\epsilon<X<x+\epsilon)}{P_{\theta_2}(x-\epsilon<X<x+\epsilon)} \approx \frac{L\left(\theta_1 \mid x\right)}{L\left(\theta_2 \mid x\right)},
$$
and comparison of the likelihood function at two parameter values again gives an approximate comparison of the probability of the observed sample value, $\mathbf{x}$.
Definition 6.3.1 almost sems to be defining the likelihood function to be the same as the pdf or pmf. The only distinction between these two functions is which variable is considered fixed and which is varying. When we consider the pdf or $\operatorname{pmf} f(\mathbf{x} \mid \theta)$, we are considering $\theta$ as fixed and $\mathbf{x}$ as the variable; when we consider the likelihood function $L(\theta \mid \mathbf{x})$, we are considering $\mathbf{x}$ to be the observed sample point and $\theta$ to be varying over all possible parameter values.
统计代写|统计推断代写Statistical inference代考|The Formal Likelihood Principle
For discrete distributions, the Likelihood Principle can be derived from two intuitively simpler ideas. This is also true, with some qualifications, for continuous distributions. In this subsection we will deal only with discrete distributions. Berger and Wolpert (1984) provide a thorough discussion of the Likelihood Principle in both the discrete and continuous cases. These results were first proved by Birnbaum (1962) in a landmark paper, but our presentation more closely follows that of Berger and Wolpert.
Formally, we define an experiment $E$ to be a triple $(\mathbf{X}, \theta,{f(\mathbf{x} \mid \theta)})$, where $\mathbf{X}$ is a random vector with $\operatorname{pmf} f(\mathbf{x} \mid \theta)$ for some $\theta$ in the parameter space $\Theta$. An experimenter, knowing what experiment $E$ was performed and having observed a particular sample $\mathbf{X}=\mathbf{x}$, will make some inference or draw some conclusion about $\theta$. This conclusion we denote by $\operatorname{Ev}(E, \mathbf{x})$, which stands for the evidence about $\theta$ arising from $E$ and $\mathbf{x}$.
Example 6.3.4 (Evidence function) Let $E$ be the experiment consisting of observing $X_1, \ldots, X_n$ iid $\mathrm{n}\left(\mu, \sigma^2\right), \sigma^2$ known. Since the sample mean, $\bar{X}$, is a sufficient statistic for $\mu$ and $\mathrm{E} \bar{X}=\mu$, we might use the observed value $\bar{X}=\bar{x}$ as an estimate of $\mu$. To give a measure of the accuracy of this estimate, it is common to report the standard deviation of $\bar{X}, \sigma / \sqrt{n}$. Thus we could define $\operatorname{Ev}(E, \mathbf{x})=(\bar{x}, \sigma / \sqrt{n})$. Here we see that the $\bar{x}$ coordinate depends on the observed sample $\mathbf{x}$, while the $\sigma / \sqrt{n}$ coordinate depends on the knowledge of $E$.
To relate the concept of an evidence function to something familiar we now restate the Sufficiency Principle of Section 6.2 in terms of these concepts.
FORMAL SUFFICIENCY PRINCIPLE: Consider experiment $E=(\mathbf{X}, \theta,{f(\mathbf{x} \mid \theta)})$ and suppose $T(\mathbf{X})$ is a sufficient statistic for $\theta$. If $\mathbf{x}$ and $\mathbf{y}$ are sample points satisfying $T(\mathbf{x})=T(\mathbf{y})$, then $\operatorname{Ev}(E, \mathbf{x})=\operatorname{Ev}(E, \mathbf{y})$.
统计推断代考
统计代写|统计推断代写Statistical inference代考|The Likelihood Function
设$f(\mathbf{x} \mid \theta)$为样本的联合pdf或pmf $\mathbf{X}=$$\left(X_1, \ldots, X_n\right)$。然后，假设观察到$\mathbf{X}=\mathbf{x}$，则$\theta$的函数定义为
$$
L(\theta \mid \mathbf{x})=f(\mathbf{x} \mid \theta)
$$
称为似然函数。
如果$\mathbf{X}$是离散随机向量，则$L(\theta \mid \mathbf{x})=P_\theta(\mathbf{X}=\mathbf{x})$。如果我们比较两个参数点的似然函数，我们会发现
$$
P_{\theta_1}(\mathbf{X}=\mathbf{x})=L\left(\theta_1 \mid \mathbf{x}\right)>L\left(\theta_2 \mid \mathbf{x}\right)=P_{\theta_2}(\mathbf{X}=\mathbf{x}),
$$
那么我们实际观察到的样本更有可能发生在$\theta=\theta_1$而不是$\theta=\theta_2$的情况下，这可以解释为$\theta_1$比$\theta_2$更有可能是$\theta$的真实值。已经提出了许多不同的方法来使用这些信息，但当然，在$\theta$的各种可能值下检查我们实际观察到的样本的概率似乎是合理的。这是由似然函数提供的信息。
如果$X$是一个连续的实值随机变量，如果$X$的pdf在$x$中是连续的，那么，对于小的$\epsilon, P_\theta(x-\epsilon<X<x+\epsilon)$近似为$2 \epsilon f(x \mid \theta)=2 \epsilon L(\theta \mid x)$(这是由导数的定义得出的)。因此，
$$
\frac{P_{\theta_1}(x-\epsilon<X<x+\epsilon)}{P_{\theta_2}(x-\epsilon<X<x+\epsilon)} \approx \frac{L\left(\theta_1 \mid x\right)}{L\left(\theta_2 \mid x\right)},
$$
在两个参数值处的似然函数的比较再次给出了观测样本值的概率的近似比较，$\mathbf{x}$。
定义6.3.1似乎将似然函数定义为与pdf或pmf相同。这两个函数之间的唯一区别是哪个变量是固定的，哪个是变化的。当我们考虑pdf或$\operatorname{pmf} f(\mathbf{x} \mid \theta)$时，我们认为$\theta$是固定的，$\mathbf{x}$是变量;当我们考虑似然函数$L(\theta \mid \mathbf{x})$时，我们认为$\mathbf{x}$是观测样本点，$\theta$在所有可能的参数值上都是变化的。
统计代写|统计推断代写Statistical inference代考|The Formal Likelihood Principle
对于离散分布，似然原理可以从两个直观上更简单的概念推导出来。这对于连续分布也是成立的，但有一些限定条件。在本小节中，我们只处理离散分布。Berger和Wolpert(1984)对离散和连续情况下的似然原理进行了深入的讨论。这些结果首先由Birnbaum(1962)在一篇具有里程碑意义的论文中证明，但我们的介绍更接近Berger和Wolpert。
形式上，我们将一个实验$E$定义为一个三元$(\mathbf{X}, \theta,{f(\mathbf{x} \mid \theta)})$，其中$\mathbf{X}$是一个随机向量，对于参数空间$\Theta$中的某个$\theta$来说是一个随机向量$\operatorname{pmf} f(\mathbf{x} \mid \theta)$。实验者，知道做了什么实验$E$，观察了一个特定的样本$\mathbf{X}=\mathbf{x}$，就会对$\theta$做出一些推断或得出一些结论。我们用$\operatorname{Ev}(E, \mathbf{x})$表示这个结论，它代表了从$E$和$\mathbf{x}$产生的关于$\theta$的证据。
例6.3.4(证据函数)设$E$为观察$X_1, \ldots, X_n$ iid $\mathrm{n}\left(\mu, \sigma^2\right), \sigma^2$的已知实验。由于样本均值$\bar{X}$是$\mu$和$\mathrm{E} \bar{X}=\mu$的充分统计量，我们可以使用观测值$\bar{X}=\bar{x}$作为$\mu$的估计值。为了给出这个估计的准确性，通常报告$\bar{X}, \sigma / \sqrt{n}$的标准偏差。因此我们可以定义$\operatorname{Ev}(E, \mathbf{x})=(\bar{x}, \sigma / \sqrt{n})$。在这里，我们看到$\bar{x}$坐标取决于观察到的样本$\mathbf{x}$，而$\sigma / \sqrt{n}$坐标取决于$E$的知识。
为了将证据功能的概念与我们熟悉的东西联系起来，我们现在根据这些概念重申第6.2节的充分性原则。
形式充分性原则:考虑实验$E=(\mathbf{X}, \theta,{f(\mathbf{x} \mid \theta)})$，假设$T(\mathbf{X})$是$\theta$的充分统计量。如果$\mathbf{x}$和$\mathbf{y}$是满足$T(\mathbf{x})=T(\mathbf{y})$的样本点，则$\operatorname{Ev}(E, \mathbf{x})=\operatorname{Ev}(E, \mathbf{y})$。
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金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。
非参数统计代写
非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。
有限元方法代写
有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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随机分析代写
随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。
时间序列分析代写
随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。
回归分析代写
多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。