统计代写|统计推断代写Statistical inference代考|STAT5160
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统计推断Statistical Inference指的是一个研究领域，我们在面对不确定性的情况下，根据我们观察到的数据，试图推断世界的未知特性。它是一个数学框架，在许多情况下量化我们的常识所说的话，但在常识不够的情况下，它允许我们超越常识。对正确的统计推断的无知会导致错误的决策和浪费金钱。就像对其他领域的无知一样，对统计推断的无知也会让别人操纵你，让你相信一些错误的事情是正确的。
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统计代写|统计推断代写Statistical inference代考|L088 Function Optimality
A decision theoretic analysis, as in Section 7.3.4, may be used to compare hypothesis tests, rather than just comparing them via their power functions. To carry out this kind of analysis, we must specify the action space and loss function for our hypothesis testing problem.
In a hypothesis testing problem, only two actions are allowable, “accept $H_0$ ” or “reject $H_0$.” These two actions might be denoted $a_0$ and $a_1$, respectively. The action space in hypothesis testing is the two-point set $\mathcal{A}=\left{a_0, a_1\right}$. A decision rule $\delta(\mathbf{x})$ (a hypothesis test) is a function on $\mathcal{X}$ that takes on only two values, $a_0$ and $a_1$. The set $\left{\mathbf{x}: \delta(\mathbf{x})=a_0\right}$ is the acceptance region for the test, and the set $\left{\mathbf{x}: \delta(\mathbf{x})=a_1\right}$ is the rejection region, just as in Definition 8.1.3.
The loss function in a hypothesis testing problem should reflect the fact that, if $\theta \in \Theta_0$ and decision $a_1$ is made, or if $\theta \in \Theta_0^c$ and decision $a_0$ is made, a mistake has been made. But in the other two possible cases, the correct decision has been made. Since there are only two possible actions, the loss function $L(\theta, a)$ in a hypothesis testing problem is composed of only two parts. The function $L\left(\theta, a_0\right)$ is the loss incurred for various values of $\theta$ if the decision to accept $H_0$ is made, and $L\left(\theta, a_1\right)$ is the loss incurred for various values of $\theta$ if the decision to reject $H_0$ is made.
The simplest kind of loss in a testing problem is called $0-1$ loss and is defined by
$$
L\left(\theta, a_0\right)=\left{\begin{array}{ll}
0 & \theta \in \Theta_0 \
1 & \theta \in \Theta_0^{\mathrm{c}}
\end{array} \quad \text { and } \quad L\left(\theta, a_1\right)= \begin{cases}1 & \theta \in \Theta_0 \
0 & \theta \in \Theta_0^{\mathrm{c}} .\end{cases}\right.
$$
With $0-1$ loss, the value 0 is lost if a correct decision is made and the value 1 is lost if an incorrect decision is made. This is a particularly simple situation in which both types of error have the same consequence. A slightly more realistic loss, one that gives different costs to the two types of error, is generalized 0-1 loss,
$$
L\left(\theta, a_0\right)=\left{\begin{array}{cc}
0 & \theta \in \Theta_0 \
c_{\mathrm{II}} & \theta \in \Theta_0^{\mathrm{c}}
\end{array} \quad \text { and } \quad L\left(\theta, a_1\right)=\left{\begin{array}{cc}
c_{\mathrm{I}} & \theta \in \Theta_0 \
0 & \theta \in \Theta_0^{\mathrm{c}}
\end{array}\right.\right.
$$
统计代写|统计推断代写Statistical inference代考|Monotonic Power FUnction
In this chapter we used the property of MLR quite extensively, particularly in relation to properties of power functions of tests. The concept of stochastic ordering can also be used to obtain properties of power functions. (Recall that stochastic ordering has already been encountered in previous chapters, for example, in Exercises $1.49,3.41-3.43$, and 5.19 . A cdf $F$ is stochastically greater than a cdf $G$ if $F(x) \leq G(x)$ for all $x$, with strict inequality for some $x$, which implies that if $X \sim F, Y \sim G$, then $P(X>x) \geq P(Y>x)$ for all $x$, with strict inequality for some $x$. In other words, $F$ gives more probability to greater values.)
In terms of hypothesis testing, it is of ten the case that the distribution under the alternative is stochastically greater than under the null distribution. For example, if we have a random sample from a $\mathrm{n}\left(\theta, \sigma^2\right)$ population and are interested in testing $H_0: \theta \leq \theta_0$ versus $H_1: \theta>\theta_0$, it is true that all the distributions in the alternative are stochastically greater than all those in the null. Gilat (1977) uses the property of stochastic ordering, rather than MLR, to prove monotonicity of power functions under general conditions.
The likelihood ratio $L\left(\theta_1 \mid \mathbf{x}\right) / L\left(\theta_0 \mid \mathbf{x}\right)=f\left(\mathbf{x} \mid \theta_1\right) / f\left(\mathbf{x} \mid \theta_0\right)$ plays an important role in the testing of $H_0: \theta=\theta_0$ versus $H_1: \theta=\theta_1$. This ratio is equal to the LRT statistic $\lambda(\mathbf{x})$ for values of $\mathbf{x}$ that yield small values of $\lambda$. Also, the Neyman-Pearson Lemma says that the UMP level $\alpha$ test of $H_0$ versus $H_1$ can be defined in terms of this ratio. This likelihood ratio also has an important Bayesian interpretation. Suppose $\pi_0$ and $\pi_1$ are our prior probabilities for $\theta_0$ and $\theta_1$. Then, the posterior odds in favor of $\theta_1$ are
$$
\frac{P\left(\theta=\theta_1 \mid \mathbf{x}\right)}{P\left(\theta=\theta_0 \mid \mathbf{x}\right)}=\frac{f\left(\mathbf{x} \mid \theta_1\right) \pi_1 / m(\mathbf{x})}{f\left(\mathbf{x} \mid \theta_0\right) \pi_0 / m(\mathbf{x})}=\frac{f\left(\mathbf{x} \mid \theta_1\right)}{f\left(\mathbf{x} \mid \theta_0\right)} \cdot \frac{\pi_1}{\pi_0}
$$
$\pi_1 / \pi_0$ are the prior odds in favor of $\theta_1$. The likelihood ratio is the amount these prior odds should be adjusted, having observed the data $\mathbf{X}=\mathbf{x}$, to obtain the posterior odds. If the likelihood ratio equals 2 , then the prior odds are doubled. The likelihood ratio does not depend on the prior probabilities. Thus, it is interpreted as the evidence in the data favoring $H_1$ over $H_0$. This kind of interpretation is discussed by Royall (1997).
统计推断代考
统计代写|统计推断代写Statistical inference代考|L088 Function Optimality
如第7.3.4节所述，决策理论分析可以用于比较假设检验，而不仅仅是通过它们的幂函数进行比较。为了进行这种分析，我们必须为假设检验问题指定动作空间和损失函数。
在假设检验问题中，只允许两个动作，“接受$H_0$”或“拒绝$H_0$”，这两个动作可以分别表示为$a_0$和$a_1$。假设检验中的动作空间是两点集$\mathcal{A}=\left{a_0, a_1\right}$。决策规则$\delta(\mathbf{x})$(假设检验)是$\mathcal{X}$上的一个函数，它只接受两个值$a_0$和$a_1$。集合$\left{\mathbf{x}: \delta(\mathbf{x})=a_0\right}$为测试的接受区域，集合$\left{\mathbf{x}: \delta(\mathbf{x})=a_1\right}$为拒绝区域，定义8.1.3。
假设检验问题中的损失函数应该反映这样一个事实:如果做出了$\theta \in \Theta_0$和$a_1$决策，或者如果做出了$\theta \in \Theta_0^c$和$a_0$决策，那么就犯了一个错误。但在另外两种可能的情况下，已经做出了正确的决定。由于只有两种可能的行为，假设检验问题中的损失函数$L(\theta, a)$仅由两部分组成。如果决定接受$H_0$，则函数$L\left(\theta, a_0\right)$是对$\theta$的各种值造成的损失，如果决定拒绝$H_0$，则函数$L\left(\theta, a_1\right)$是对$\theta$的各种值造成的损失。
测试问题中最简单的一种损耗称为$0-1$损耗，定义为
$$
L\left(\theta, a_0\right)=\left{\begin{array}{ll}
0 & \theta \in \Theta_0 \
1 & \theta \in \Theta_0^{\mathrm{c}}
\end{array} \quad \text { and } \quad L\left(\theta, a_1\right)= \begin{cases}1 & \theta \in \Theta_0 \
0 & \theta \in \Theta_0^{\mathrm{c}} .\end{cases}\right.
$$
对于$0-1$ loss，如果做出正确的决策，则丢失值0，如果做出错误的决策，则丢失值1。这是一种特别简单的情况，其中两种类型的错误具有相同的结果。一种更现实的损失是广义的0-1损失，它会给两种错误带来不同的代价，
$$
L\left(\theta, a_0\right)=\left{\begin{array}{cc}
0 & \theta \in \Theta_0 \
c_{\mathrm{II}} & \theta \in \Theta_0^{\mathrm{c}}
\end{array} \quad \text { and } \quad L\left(\theta, a_1\right)=\left{\begin{array}{cc}
c_{\mathrm{I}} & \theta \in \Theta_0 \
0 & \theta \in \Theta_0^{\mathrm{c}}
\end{array}\right.\right.
$$
统计代写|统计推断代写Statistical inference代考|Monotonic Power FUnction
这一章中，我们相当广泛地使用了MLR的性质，特别是与幂函数的性质有关的测试。随机排序的概念也可以用来得到幂函数的性质。(回想一下，随机排序已经在前面的章节中遇到过，例如，在练习中 $1.49,3.41-3.43$5.19。A cdf $F$ 随机大于CDF $G$ 如果 $F(x) \leq G(x)$ 对所有人 $x$，对一些人来说是严格的不平等 $x$，这意味着如果 $X \sim F, Y \sim G$那么， $P(X>x) \geq P(Y>x)$ 对所有人 $x$，对一些人来说是严格的不平等 $x$． 换句话说， $F$ 给更大的值更多的概率。)
在假设检验方面，备选分布下的分布随机地大于零分布下的分布。例如，如果我们有一个来自$\mathrm{n}\left(\theta, \sigma^2\right)$总体的随机样本，并且对$H_0: \theta \leq \theta_0$和$H_1: \theta>\theta_0$的测试感兴趣，那么替代中的所有分布都随机地大于null中的所有分布。Gilat(1977)利用随机排序的性质，而不是MLR，证明了一般条件下幂函数的单调性。
似然比$L\left(\theta_1 \mid \mathbf{x}\right) / L\left(\theta_0 \mid \mathbf{x}\right)=f\left(\mathbf{x} \mid \theta_1\right) / f\left(\mathbf{x} \mid \theta_0\right)$在$H_0: \theta=\theta_0$对$H_1: \theta=\theta_1$的检验中起着重要作用。对于产生较小的$\lambda$值的$\mathbf{x}$，该比率等于LRT统计值$\lambda(\mathbf{x})$。此外，内曼-皮尔逊引理表明，$H_0$与$H_1$的UMP水平$\alpha$测试可以根据该比率来定义。这个似然比也有一个重要的贝叶斯解释。假设$\pi_0$和$\pi_1$是$\theta_0$和$\theta_1$的先验概率。那么，支持$\theta_1$的后验概率为
$$
\frac{P\left(\theta=\theta_1 \mid \mathbf{x}\right)}{P\left(\theta=\theta_0 \mid \mathbf{x}\right)}=\frac{f\left(\mathbf{x} \mid \theta_1\right) \pi_1 / m(\mathbf{x})}{f\left(\mathbf{x} \mid \theta_0\right) \pi_0 / m(\mathbf{x})}=\frac{f\left(\mathbf{x} \mid \theta_1\right)}{f\left(\mathbf{x} \mid \theta_0\right)} \cdot \frac{\pi_1}{\pi_0}
$$
$\pi_1 / \pi_0$是支持$\theta_1$的优先赔率。似然比是观察数据$\mathbf{X}=\mathbf{x}$后，调整这些先验几率以获得后验几率的数量。如果似然比等于2，则先前的概率加倍。似然比不依赖于先验概率。因此，它被解释为数据中的证据有利于$H_1$而不是$H_0$。Royall(1997)讨论了这种解释。
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金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。
非参数统计代写
非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。
有限元方法代写
有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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随机分析代写
随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。
时间序列分析代写
随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。
回归分析代写
多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。