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热力学是对热、功、温度和能量之间关系的研究。热力学定律描述了一个系统中的能量如何变化，以及该系统是否能对其周围环境进行有用的工作。
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物理代写|热力学代写thermodynamics代考|Grand Canonical Free Energy/Potential
For many applications, the system is subject to a constant temperature and a constant chemical potential. Therefore, we want to define a new thermodynamic potentialgrand canonical potential (or grand canonical free energy) that includes $T$ and $\mu$ in the variables.
Recall
$$
\begin{aligned}
&\mathrm{U}=\mathrm{U}\left(\mathrm{S}, \mathrm{V}, \mathrm{N}1, \ldots, \mathrm{N}{\mathrm{r}}\right)=\mathrm{TS}-\mathrm{PV}+\sum \mu_{\mathrm{i}} \mathrm{N}{\mathrm{i}} \ &\mathrm{dU}=\mathrm{TdS}-\mathrm{PdV}+\sum \mu{\mathrm{i}} \mathrm{dN}{\mathrm{i}} \end{aligned} $$ Apply the partial Legendre transformation to the internal energy function $\mathrm{U}$, $$ \psi=\mathrm{Y}-\sum{\mathrm{k}+1}^{\mathrm{n}} \mathrm{P}{\mathrm{i}} \mathrm{X}{\mathrm{i}} \quad \text { and } \quad \mathrm{P}{\mathrm{i}}=\frac{\partial \mathrm{Y}}{\partial \mathrm{X}{\mathrm{i}}}
$$
the grand canonical free energy function is defined as the following:
$$
\begin{aligned}
\Omega &=\mathrm{U}-\mathrm{TS}-\sum \mu_{\mathrm{i}} \mathrm{N}{\mathrm{i}}=-\mathrm{PV} \ \mathrm{d} \Omega &=\mathrm{dU}-\mathrm{d}(\mathrm{TS})-\mathrm{d}\left(\sum \mu{\mathrm{i}} \mathrm{N}{\mathrm{i}}\right) \ &=-\mathrm{SdT}-\mathrm{PdV}-\sum \mathrm{N}{\mathrm{i}} \mathrm{d} \mu_{\mathrm{i}}
\end{aligned}
$$
As seen from the above equation, the grand canonical free energy is a function of temperature $\mathrm{T}$, volume $\mathrm{V}$ and chemical potentials $\mu_{\mathrm{i}}$,
$$
\Omega=\Omega\left(\mathrm{T}, \mathrm{V},\left{\mu_{\mathrm{i}}\right}\right)
$$
Comparing it with
$$
\mathrm{U}=\mathrm{U}\left(\mathrm{S}, \mathrm{V},\left{\mathrm{N}{\mathrm{i}}\right}\right) $$ we see that $\mathrm{T}$ and $\mu{\mathrm{i}}$ in the $\Omega$ function replace $\mathrm{S}$ and $\mathrm{N}{\mathrm{i}}$ in the U function. For a process with constant $\mathrm{T}$ and $\mu{\mathrm{i}}$ (i.e., thermal and chemical equilibrium), the change in the grand canonical free energy is the mechanical work,
$$
\mathrm{d} \Omega=-\mathrm{PdV}=\mathrm{dW} .
$$
物理代写|热力学代写thermodynamics代考|Helmholtz Potential Minimum Principle
Consider a composite system consisting of two subsystems separated by a partition, as illustrated in the figure below. In subsystem A (left side), there is a dilute aqueous solution consisting of water and a salt (e.g., $\mathrm{NaC1}$ ). There is only water in subsystem $B$ (right side). However, the water presents in two phases (i.e., liquid and vapor) in subsystem B. Assume that the total volume and the total mass of the system are constant. The system is surrounded by a thermal reservoir.
The constraints for the combined system (the system and the reservoir) are:
$$
\begin{aligned}
&\mathrm{U}+\mathrm{U}^{\mathrm{R}}=\text { constant } \
&\mathrm{N}{\mathrm{i}}=\text { constant }, \quad i=1,2, \ldots r \ &\mathrm{~V}{\text {Total }}-\text { constant }
\end{aligned}
$$
The internal constraints are (1) the subsystems are separated by a rigid partition so that the volumes of the subsystems are constant. (2) The partition is semi-permeable, and only water molecules can pass through the partition.
$$
\begin{aligned}
&N_{A W}+N_{B W}^L+N_{B W}^V=\text { constant } \
&\mathrm{N}{\text {solute }}=\text { constant, } \ &V_A=\text { constant } \ &V_B=V{B L}+V_{B V}=\mathrm{constant}
\end{aligned}
$$
where the subscripts $\mathrm{A}$ and $\mathrm{B}$ stand for the subsystem $\mathrm{A}$ and subsystem $\mathrm{B}$; the subscript W stands for water; and the subscript or superscripts L and V stand for liquid and vapor, respectively.
We would like to find (1) what thermodynamic function should be used as the thermodynamic potential to model this system, and (2) the equilibrium conditions for this system.
热力学代写
物理代写|热力学代写thermodynamics代考|Grand Canonical Free Energy/Potential
在许多应用中，系统受制于一个恒定的温度和一个恒定的化学势。因此，我们想定义一个新的热力学势–大典范势（或大典范自由能），其中包括变量中的$T$和$mu$。
回顾一下
$$
\begin{aligned}
&mathrm{U}=\mathrm{U}\left(\mathrm{S}, \mathrm{V}, \mathrm{N}1, \ldots, \mathrm{N}{mathrm{r}}\right)=\mathrm{TS}-\mathrm{PV}+\sum 缪{mathrm{i}}. \mathrm{N}{\mathrm{i}} \
&\mathrm{dU}=\mathrm{TdS}-\mathrm{PdV}+\sum \mu_{\mathrm{i}} \mathrm{dN}{\mathrm{i}} \end{aligned} $$ 对内能函数$\mathrm{U}$ 应用部分 Legendre变换。 $$ \psi=\mathrm{Y}-\sum{\mathrm{k}+1}^{\mathrm{n}} \mathrm{P}{\mathrm{i}} \mathrm{X}{\mathrm{i}} \夸张的文字 { 和}。\夸张的是，mathrm{P}{mathrm{i}}=frac{partial /mathrm{Y}}{partial /mathrm{X}{mathrm{i}}。
$$
大经典自由能函数定义如下。
$$
\begin{aligned}
\Omega &=mathrm{U}-mathrm{TS}-sum `mu_{mathrm{i}}. \mathrm{N}{\mathrm{i}}=-\mathrm{PV} \ \Omega \Omega &=mathrm{dU}-mathrm{d}(\mathrm{TS})-mathrm{d}\left(\sum \mu{mathrm{i}}{mathrm{N}{mathrm{i}}}right) \
&=-\mathrm{SdT}-\mathrm{PdV}-\sum \mathrm{N}{\mathrm{i}} \ǞǞǞǞ \mu{mathrm{i}}。
\end{aligned}
$$
从上式可以看出，大典自由能是温度$mathrm{T}$、体积$mathrm{V}$和化学势$mu_{mathrm{i}}$的函数。
$$
\Omega=\Omega\left(\mathrm{T}, \mathrm{V},\left{\mu_{\mathrm{i}}\right}\right)
$$
将其与
$$
\mathrm{U}=\mathrm{U}\left(\mathrm{S}, \mathrm{V},\left{\mathrm{N}{\mathrm{i}}\right}\right) $$ 我们看到$mathrm{T}$和$mu{mathrm{i}}$在$Omega$函数中取代$mathrm{S}$和$mathrm{N}{mathrm{i}}$在U函数中。对于一个具有恒定的$mathrm{T}$和$mu{mathrm{i}}$的过程（即热平衡和化学平衡），大典自由能的变化就是机械功。
$$
\䗖䗖䗖 \Omega=-\mathrm{PdV}=\mathrm{dW} .
$$
物理代写|热力学代写thermodynamics代考|Helmholtz Potential Minimum Principle
考虑一个由两个子系统组成的复合系统，如下图所示，被一个隔板隔开。在子系统A（左侧），有一个由水和盐（例如$mathrm{NaC1}$）组成的稀水溶液。子系统B$（右侧）中只有水。然而，水在子系统B中呈现为两相（即液态和气态）。假设该系统的总体积和总质量是恒定的。该系统被一个热库所包围。
组合系统（系统和水库）的约束条件是。
$$
\begin{aligned}
&mathrm{U}+mathrm{U}^{mathrm{R}}=text { constant }。\
&mathrm{N}{mathrm{i}=text { constant }，i=1,2，ldot r &mathrm{~V}{text {Total }-text { constant }。
\end{aligned}
$$
内部约束是：(1)子系统被一个刚性分区分开，所以子系统的体积是恒定的。(2) 分区是半渗透性的，只有水分子可以通过分区。
$$
\begin{aligned}
&N_{A W}+N_{B W}^L+N_{B W}^V=text { constant } \
&mathrm{N}{text {solute }=text { constant, }。\ &V_A=text { constant }（常数）。\ &V_B=V{B L}+V_{B V}=mathrm{常数}。
\end{aligned}
$$
其中下标$mathrm{A}$和$mathrm{B}$代表子系统$mathrm{A}$和子系统$mathrm{B}$；下标W代表水；下标或上标L和V分别代表液体和蒸汽。
我们希望找到（1）应该用什么热力学函数作为热力学势来模拟这个系统，以及（2）这个系统的平衡条件。
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金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。
非参数统计代写
非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。
有限元方法代写
有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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随机分析代写
随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。
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随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。
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多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
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