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拓扑学Topology作为一个活跃的研究领域，已基本完成。作为一种通用的数学语言，它的长期使用已经完善了它的定义和定理体系。如今，研究一般拓扑的确更像是学习一门语言，而不是学习数学:人们必须学习许多新单词，而大多数定理的证明却极其简单。但是定理的数量是巨大的。这并不奇怪，因为它们扮演着规范词汇使用的规则角色。
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数学代写|拓扑学代写Topology代考|The characteristic foliation
Recall that by a singular (and oriented) 1-dimensional foliation on the surface $S$ we mean an equivalence class of vector fields, where two vector fields $X, X^{\prime}$ are called equivalent if there is a smooth function $f: S \rightarrow \mathbb{R}^{+}$such that $X^{\prime}=f X$.
We now fix an area form $\Omega$ on $S$, compatible with the given orientation. This allows us to make the following definition, where we set $\beta:=\beta_0$.
Definition 4.6.1 The characteristic foliation $S_{\xi}$ on $S$ induced by the contact structure $\xi$ is the singular 1-dimensional foliation represented by the vector field $X$ that is defined by
$$
i_X \Omega=\beta .
$$
Notice that different choices of area form $\Omega$ and different choices of contact form $\alpha$ for the cooriented contact structure $\xi$ differ by a positive function, so the equivalence class of $X$ as a singular 1-dimensional foliation does indeed depend on $S$ and $\xi$ only. Furthermore, observe that by (4.4) and (4.1) the points $p \in S$ with $X_p=0$ are precisely those points of $S$ where the contact plane $\xi_p$ coincides with the tangent plane $T_p S$; if $X_p \neq \mathbf{0}$, then the line in $T_p S$ spanned by $X_p$ equals $T_p S \cap \xi_p$, since $\alpha_p\left(X_p\right)=\beta_p\left(X_p\right)=0$.
Definition 4.6.2 The divergence $\operatorname{div}{\Omega}(X)$ of a vector field $X$ on $S$ with respect to the area form $\Omega$ is defined by $\mathcal{L}_X \Omega=\operatorname{div}{\Omega}(X) \Omega$; using the Cartan formula we can rewrite this as
$$
\operatorname{div}_{\Omega}(X) \Omega=d\left(i_X \Omega\right) .
$$
数学代写|拓扑学代写Topology代考|Convex surfaces
In some of the examples of the previous section we saw how useful a statement such as Lemma 4.6.4 may be for writing down explicit contact forms. In the present section we collect a few more basic facts about vertically invariant contact structures on $S \times \mathbb{R}$ and a related concept, viz. convex surfaces. Here the emphasis will be on those results that we want to use in the next section for manipulating the characteristic foliation. The real power of convex surface theory will be explained in Section 4.8 below.
Definition 4.6.16 A convex surface $S$ in $(M, \xi)$ is an embedded surface with the property that there is a contact vector field (see Defn. 1.5.7) defined near and transverse to $S$.
Remark 4.6.17 This terminology, introduced by Giroux [104], is – as Giroux himself admits – a little unfortunate, since there is really no distinction between ‘convex’ and ‘concave’ in the present context. The notion ‘con’ has been suggested but seems unlikely to catch on, at least in the French literature.
Example 4.6.18 The vector field $Y:=x \partial_x+y \partial_y+2 z \partial_z$ is a contact vector field for the standard contact structure $\xi_2=\operatorname{ker} \alpha_2$ on $\mathbb{R}^3$, where $\alpha_2=d z+x d y-y d x$, since $\mathcal{L}_Y \alpha_2=2 \alpha_2$. This vector field is transverse to $S^2$, so the unit sphere is a convex surface in $\left(\mathbb{R}^3, \xi_2\right)$.
As before, our surface $S$ is always understood to be oriented, although most statements carry over to non-orientable surfaces.
Lemma 4.6.19 A closed surface $S \subset(M, \xi=\operatorname{ker} \alpha)$ is convex if and only if there is an embedding $\Psi: S \times \mathbb{R} \rightarrow M$ (with image inside an arbitrarily small prescribed neighbourhood of $S$ ) such that $p \mapsto \Psi(p, 0)$ defines the inclusion of $S$ in $M$, and $\Psi^* \alpha$ determines a vertically invariant (i.e. $\mathbb{R}$-invariant) contact structure on $S \times \mathbb{R}$.
拓扑学代考
数学代写|拓扑学代写Topology代考|The characteristic foliation
回想一下，在表面$S$上一个奇异的(定向的)一维叶理是指等价的向量场，其中两个向量场$X, X^{\prime}$被称为等价的，如果有一个平滑函数$f: S \rightarrow \mathbb{R}^{+}$使得$X^{\prime}=f X$。
现在我们在$S$上固定一个与给定方向兼容的区域表单$\Omega$。这允许我们创建以下定义，并在其中设置$\beta:=\beta_0$。
4.6.1接触结构$\xi$诱导的$S$上的特征叶理$S_{\xi}$是向量场$X$表示的一维奇异叶理，定义为
$$
i_X \Omega=\beta .
$$
注意，对于共取向接触结构$\xi$，不同选择的面积形式$\Omega$和不同选择的接触形式$\alpha$有一个正函数不同，因此，作为一维奇异叶状结构的$X$的等价类确实只依赖于$S$和$\xi$。此外，通过(4.4)和(4.1)可以观察到，$p \in S$与$X_p=0$的点正是$S$的接触平面$\xi_p$与切平面$T_p S$重合的点;如果是$X_p \neq \mathbf{0}$，那么$T_p S$中由$X_p$张成的直线等于$T_p S \cap \xi_p$，因为$\alpha_p\left(X_p\right)=\beta_p\left(X_p\right)=0$。
4.6.2在$S$上的矢量场$X$相对于面积形式$\Omega$的散度$\operatorname{div}{\Omega}(X)$定义为$\mathcal{L}X \Omega=\operatorname{div}{\Omega}(X) \Omega$;用卡坦公式我们可以把它写成
$$
\operatorname{div}{\Omega}(X)
\Omega=d\left(i_X \Omega\right) .
$$
数学代写|拓扑学代写Topology代考|Convex surfaces
在前一节的一些例子中，我们看到了引理4.6.4这样的语句对于写出显式的联系表单是多么有用。在本节中，我们收集了一些关于$S \times \mathbb{R}$上垂直不变接触结构的基本事实和一个相关的概念，即凸面。在这里，重点将放在那些结果上，我们希望在下一节中使用这些结果来操纵特征叶理。凸面理论的真正威力将在下面的第4.8节中解释。
定义4.6.16 $(M, \xi)$中的凸面$S$是一个嵌入面，其性质是在$S$附近和横向定义有一个接触向量场(见定义1.5.7)。
注释4.6.17这个术语是由吉鲁[104]引入的，正如吉鲁自己承认的那样，这有点不幸，因为在目前的上下文中，“凸”和“凹”之间确实没有区别。“con”这个概念已经被提出，但似乎不太可能流行起来，至少在法国文学中是这样。
向量场$Y:=x \partial_x+y \partial_y+2 z \partial_z$是$\mathbb{R}^3$上标准接触结构$\xi_2=\operatorname{ker} \alpha_2$的接触向量场，其中$\alpha_2=d z+x d y-y d x$，因为$\mathcal{L}_Y \alpha_2=2 \alpha_2$。这个向量场横向于$S^2$，所以单位球是$\left(\mathbb{R}^3, \xi_2\right)$的一个凸面。
像以前一样，我们的曲面$S$总是被理解为有取向的，尽管大多数语句适用于非定向曲面。
引理4.6.19一个封闭曲面 $S \subset(M, \xi=\operatorname{ker} \alpha)$ 凸当且仅当有嵌入 $\Psi: S \times \mathbb{R} \rightarrow M$ 的任意小的指定邻域内的图像 $S$ )这样 $p \mapsto \Psi(p, 0)$ 定义的包含 $S$ 在 $M$，和 $\Psi^* \alpha$ 确定垂直不变量(即。 $\mathbb{R}$(不变)接触结构 $S \times \mathbb{R}$．
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金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。
非参数统计代写
非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。
有限元方法代写
有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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随机分析代写
随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。
时间序列分析代写
随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。
回归分析代写
多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
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MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。