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拓扑学Topology作为一个活跃的研究领域，已基本完成。作为一种通用的数学语言，它的长期使用已经完善了它的定义和定理体系。如今，研究一般拓扑的确更像是学习一门语言，而不是学习数学:人们必须学习许多新单词，而大多数定理的证明却极其简单。但是定理的数量是巨大的。这并不奇怪，因为它们扮演着规范词汇使用的规则角色。
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数学代写|拓扑学代写Topology代考|Legendrian knots
Proof of Theorem 3.3.1 – Legendrian case First of all, we consider a curve $\gamma$ in standard $\mathbb{R}^3$. In order to find a $C^0$-close Legendrian approximation of $\gamma$, we simply need to choose a $C^0$-close approximation of its front projection $\gamma_{\mathrm{F}}$ by a regular curve without vertical tangencies and with isolated cusps (we call such a curve a front) in such a way, that the slope of the front at the parameter value $s$ is close to $-x(s)$ (see Figure 3.7). Then the Legendrian lift of this front is the desired $C^0$-approximation of $\gamma$.
If $\gamma$ is defined on a closed interval, then the Legendrian approximation of $\gamma$ may be assumed to have the same endpoints, simply by choosing the slope of the front (in the above construction) appropriately at the endpoints. If $\gamma$ is already Legendrian near its endpoints, then the approximation of $\gamma_{\mathrm{F}}$ may be assumed to coincide with $\gamma_{\mathrm{F}}$ near the endpoints, so that the Legendrian lift coincides with $\gamma$ near the endpoints.
Hence, given a knot in an arbitrary contact 3-manifold, we can cut it (by the Lebesgue lemma) into finitely many little pieces that lie in Darboux charts. There we can use the preceding recipe to find a Legendrian approximation. Since, as just observed, one can find such approximations on intervals with given boundary condition, this procedure yields a Legendrian approximation of the full knot.
Locally (i.e. in $\mathbb{R}^3$ ) the described procedure does not introduce any selfintersections in the approximating curve, provided we approximate $\gamma_{\mathrm{F}}$ by a front with only transverse self-intersections. Since the original knot was embedded, the same will then be true for its Legendrian $C^0$-approximation. Likewise, in the local procedure we can avoid introducing any non-trivial knotting; then the Legendrian $C^0$-approximation will be (topologically) isotopic to the knot we started with.
数学代写|拓扑学代写Topology代考|Transverse knots
The quickest proof of the transverse case of Theorem 3.3.1 is via the Legendrian case.
Proof of Theorem 3.3.1 – transverse case By the Legendrian case of this theorem, the given knot $\gamma$ can be $C^0$-approximated by a Legendrian knot. This, in turn, can be $C^0$-approximated by a positive or negative transverse push-off, as described on page 95 .
Remark 3.3.2 If $\gamma$ is defined on a closed interval, the above construction can easily be modified so that the transverse approximation coincides with $\gamma$ at the endpoints.
The following parametric version of this approximation result will be used in the classification of overtwisted contact structures on 3 -manifolds (Section 4.7).
Lemma 3.3.3 Let $\xi_t, t \in[0,1]$, be a continuous family of cooriented contact structures on a 3-manifold $M$, and $\gamma_t:[a, b] \rightarrow M, t \in[0,1]$, a continuous family of embeddings. Then, arbitrarily $C^0$-close to this family of embeddings, one can find a continuous family of embeddings $\widetilde{\gamma}_t:[a, b] \rightarrow M$ with $\widetilde{\gamma}_t$ positively transverse to $\xi_t$ and $\widetilde{\gamma}_t(a)=\gamma(a), \widetilde{\gamma}_t(b)=\gamma(b)$ for all $t \in[0,1]$.
拓扑学代考
数学代写|拓扑学代写Topology代考|Legendrian knots
定理3.3.1的证明- Legendrian案例首先，我们考虑标准$\mathbb{R}^3$中的曲线$\gamma$。为了找到$\gamma$的$C^0$ -近Legendrian近似，我们只需要选择其锋面投影$\gamma_{\mathrm{F}}$的$C^0$ -近近似，通过一条没有垂直切线且具有孤立尖点的规则曲线(我们称这种曲线为锋面)，这样，锋面在参数值$s$处的斜率接近$-x(s)$(见图3.7)。那么这个锋面的Legendrian升力就是$\gamma$的期望的$C^0$ -近似。
如果$\gamma$在封闭区间上定义，那么$\gamma$的Legendrian近似可以假设具有相同的端点，只需在端点处适当地选择前面的斜率(在上述构造中)。如果$\gamma$在其端点附近已经是Legendrian，那么可以假设$\gamma_{\mathrm{F}}$的近似值与$\gamma_{\mathrm{F}}$在端点附近重合，因此Legendrian升力与$\gamma$在端点附近重合。
因此，给定任意接触3流形中的一个结，我们可以(通过勒贝格引理)将其切割成有限多个位于达布图中的小块。在那里，我们可以用前面的公式找到一个勒让德近似。因为，正如刚才所观察到的，人们可以在给定边界条件的区间上找到这样的近似，这个过程产生了完整结的Legendrian近似。
在局部(即在$\mathbb{R}^3$中)，所描述的过程不会在近似曲线中引入任何自交，假设我们通过仅具有横向自交的前沿近似$\gamma_{\mathrm{F}}$。因为原来的结是嵌入的，同样的道理也适用于它的Legendrian $C^0$ -近似。同样，在局部过程中，我们可以避免引入任何非平凡的打结;那么Legendrian $C^0$ -近似将(拓扑上)与我们开始的结相同。
数学代写|拓扑学代写Topology代考|Transverse knots
证明定理3.3.1的横向情形最快的方法是通过Legendrian情形。
定理3.3.1的证明-横向情况根据该定理的Legendrian情况，给定的结$\gamma$可以$C^0$ -近似为Legendrian结。反过来，这可以$C^0$ -近似为正或负横向推离，如第95页所述。
注3.3.2如果$\gamma$定义在封闭区间上，则可以很容易地修改上述构造，使其在端点处的横向近似与$\gamma$重合。
这个近似结果的以下参数版本将用于3 -流形上的超扭曲接触结构的分类(第4.7节)。
设$\xi_t, t \in[0,1]$为3流形$M$上连续的共向接触结构族，$\gamma_t:[a, b] \rightarrow M, t \in[0,1]$为连续的嵌入族。然后，任意$C^0$ -接近这个嵌入族，可以找到一个连续的嵌入族$\widetilde{\gamma}_t:[a, b] \rightarrow M$, $\widetilde{\gamma}_t$正横向到$\xi_t$和$\widetilde{\gamma}_t(a)=\gamma(a), \widetilde{\gamma}_t(b)=\gamma(b)$，所有$t \in[0,1]$。
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金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。
非参数统计代写
非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。
有限元方法代写
有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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随机分析代写
随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。
时间序列分析代写
随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。
回归分析代写
多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。