数学代写|拓扑学代写Topology代考|NORMAL AND UNITARY OPERATORS

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拓扑学是数学的一个分支,有时被称为 “橡胶板几何”,在这个分支中,如果两个物体可以通过弯曲、扭曲、拉伸和收缩等空间运动连续变形为彼此,同时不允许撕开或粘在一起的部分,则被认为是等效的。

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数学代写|拓扑学代写Topology代考|NORMAL AND UNITARY OPERATORS

An operator $N$ on $H$ is said to be normal if it commutes with its adjoint, that is, if $N N^=N^ N$. The reason for the importance of normal operators will not become clear until the next chapter. We shall see that they are the most general operators on $H$ for which a simple and revealing structure theory is possible. Our purpose in this section is to present a few of their more elementary properties which are necessary for our later work.

It is obvious that every self-adjoint operator is normal, and that if $N$ is normal and $\alpha$ is any scalar, then $\alpha N$ is also normal. Further, the limit $N$ of any convergent sequence $\left{N_k\right}$ of normal operators is normal; for we know that $N_k^* \rightarrow N^$, so $$ \begin{aligned} & \left|N N^-N^* N\right| \leq\left|N N^-N_k N_k^\right|+\left|N_k N_k^-N_k{ }^ N_k\right| \
& \quad+\left|N_k^* N_k-N N^* N\right|=\left|N N^-N_k N_k^\right|+\left|N_k^* N_k-N^* N\right| \rightarrow 0,
\end{aligned}
$$
which implies that $N N^-N^ N=0$. These remarks prove
Theorem A. The set of all normal operators on $H$ is a closed subset of $\mathrm{OB}(H)$ which contains the set of all self-adjoint operators and is closed under scalar multiplication.

It is natural to wonder whether the sum and product of two normal operators are necessarily normal. They are not, but nevertheless, we can say a little in this direction.

Theorem B. If $N_1$ and $N_2$ are normal operators on $H$ with the property that either commutes with the adjoint of the other, then $N_1+N_2$ and $N_1 N_2$ are normal.
PROOF. It is clear by taking adjoints that
$$
N_1 N_2^=N_2^ N_1 \Leftrightarrow N_2 N_1^=N_1^ N_2 \text {, }
$$
so the assumption implies that each commutes with the adjoint of the other. To show that $N_1+N_2$ is normal under the stated conditions, we have only to compare the results of the following computations:
$$
\text { and } \begin{aligned}
\left(N_1+N_2\right)\left(N_1+N_2\right)^* & =\left(N_1+N_2\right)\left(N_1^+N_2^\right) \
& =N_1 N_1^+N_1 N_2^+N_2 N_1{ }^+N_2 N_2{ }^ \
\left(N_1+N_2\right) \left(N_1+N_2\right) & =\left(N_1^+N_2^\right)\left(N_1+N_2\right) \ & =N_1^ N_1+N_1^* N_2+N_2^* N_1+N_2^* N_2
\end{aligned}
$$

数学代写|拓扑学代写Topology代考|DETERMINANTS AND THE SPECTRUM OF AN OPERATOR

Determinants are often advertised to students of elementary mathematics as a computational device of great value and efficiency for solving numerical problems involving systems of linear equations. This is somewhat misleading, for their value in problems of this kind is very limited. On the other hand, they do have definite importance as a theoretical tool. Briefly, they provide a numerical means of distinguishing between singular and non-singular matrices (and operators).

This is not the place for developing the theory of determinants in any detail. Instead, we assume that the reader already knows something about them, and we confine ourselves to listing a few of their simpler properties which are relevant to our present interests.

Let $\left[\alpha_{i j}\right]$ be an $n \times n$ matrix. The determinant of this matrix, which we denote by $\operatorname{det}\left(\left[\alpha_{i j}\right]\right)$, is a scalar associated with it in such a way that
(1) $\operatorname{det}\left(\left[\delta_{i j}\right]\right)=1$;
(2) $\operatorname{det}\left(\left[\alpha_{i j}\right]\left[\beta_{i j}\right]\right)=\operatorname{det}\left(\left[\alpha_{i j}\right]\right) \operatorname{det}\left(\left[\beta_{i j}\right]\right)$;
(3) $\operatorname{det}\left(\left[\alpha_{i j}\right]\right) \neq 0 \Leftrightarrow\left[\alpha_{i j}\right]$ is non-singular; and
(4) $\operatorname{det}\left(\left[\alpha_{i j}\right]-\lambda\left[\delta_{i j}\right]\right)$ is a polynomial, with complex coefficients, of degree $n$ in the variable $\lambda$.

The determinant function det is thus a scalar-valued function of matrices which has certain properties. In elementary work, the determinant of a matrix is usually written out with vertical bars, as follows,
$$
\operatorname{det}\left(\left[\alpha_{i j}\right]\right)=\left|\begin{array}{cccc}
\alpha_{11} & \alpha_{12} & \cdots & \alpha_{1 n} \
\alpha_{21} & \alpha_{22} & \cdots & \alpha_{2 n} \
\cdots & \cdots & \cdots & \alpha_n \
\alpha_{n 1} & \alpha_{n 2} & \cdots & \alpha_{n n}
\end{array}\right|,
$$
and is evaluated by complicated procedures which are of no concern to us here.

We now consider an operator $T$ on $H$. If $B$ and $B^{\prime}$ are bases for $H$, then the matrices $\left[\alpha_{i j}\right]$ and $\left[\beta_{i j}\right]$ of $T$ relative to $B$ and $B^{\prime}$ may be entirely different, but nevertheless they have the same determinant. For we know from the previous section that there exists a non-singular matrix $\left[\gamma_{i j}\right]$ such that
$$
\left[\beta_{i j}\right]=\left[\gamma_{i j}\right]^{-1}\left[\alpha_{i j}\right]\left[\gamma_{i j}\right] ;
$$

拓扑学代考

数学代写|拓扑学代写Topology代考|LINEAR SPACES

我们在第二节介绍了线性空间。14,我们还提到了它们的一些更简单的属性。我们目前的目的是更详细 地发展这些系统的理论。
我们首先根据我们现在可用的概念重述定义。读者会记得,标量指的是实数系统或复数系统。线性空间 (或向量空间) 是加法阿贝尔群 $L$ (其元素称为向量) 具有任何标量的属性 $\alpha$ 和任何向量 $x$ 可以通过称为 标量乘法的运算组合以产生向量 $\alpha x$ 以这样的方式
(1) $\alpha(x+y)=\alpha x+\alpha y$;
(2) $(\alpha+\beta) x=\alpha x+\beta x$
(3) $(\alpha \beta) x=\alpha(\beta x)$
(4) $1 \cdot x=x$.
因此,线性空间是一个加法阿贝尔群,其元素可以以合理的方式与数字相乘,但不一定彼此相乘(如环 的情况)。线性空间加法和标量乘法中的两个主要运算称为线性运算,其零元素通常称为原点。
根据标量是实数还是复数,线性空间被称为实线性空间或复线性空间。将数值系数称为标量的优点是我 们避免将自己投入到真实情况或复杂情况中,并且可以自由地同时为两者发展理论。 ${ }^1$ 在后面的章节中, 我们将专门关注复杂的线性空间,但目前我们宁愿敞开大门。
在继续讨论线性空间的一般理论之前,我们先举几个例子。

数学代写|拓扑学代写Topology代考|THE DIMENSION OF A LINEAR SPACE

让 $L$ 是一个线性空间,让 $S=\backslash \mid e f t\left{x_{-} 1, x_{-} 2, \backslash d o t s, x_{_} n \backslash r i g h t\right}$ 是一个有限的非空向量集 $L . \quad S$ 如果存在标 量,则称其线性相关 $\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n$ ,不是所有的都是 0 ,这样
$$
\alpha_1 x_1+\alpha_2 x_2+\cdots+\alpha_n x_n=0
$$
如果 $S$ 不是线性相关的,则称为线性无关;这显然意味着如果 Eq。(1) 对某些标量系数成立 $\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n$ ,那么所有这些标量必然为 0 。换句话说, $S$ 如果其向量的平凡线性组合(所有标量系数 都等于 0 ) 是唯一等于 0 的平凡线性组合,则它是线性无关的;如果其向量的某些非平凡线性组合等于 0 ,则它是线性相关的。在任何一种情况下,正如我们所知,子空间中的向量 $[S]$ 跨越 $S$ 恰好是线性组合
$$
x=\alpha_1 x_1+\alpha_2 x_2+\cdots+\alpha_n x_n
$$
的 $x_i$ 的。的线性独立性的意义 $S$ 依据的事实是,如果 $S$ 是线性独立的,那么每个向量 $x$ 在 $[S]$ 以这种形式 唯一表达:因为如果我们也有
$$
x=\beta_1 x_1+\beta_2 x_2+\cdots+\beta_n x_n
$$
然后从 (2) 中减去 (3) 得到
$$
\left(\alpha_1-\beta_1\right) x_1+\left(\alpha_2-\beta_2\right) x_2+\cdots+\left(\alpha_n-\beta_n\right) x_n=0
$$
从中-通过的线性独立性 $S$-我们获得 $\alpha_i-\beta_i=0$ 或者 $\alpha_i=\beta_1$ 每一个 $i$. 此外,线性独立性 $S$ 不仅意味着 这种唯一性,而且还被它所暗示,因为向量 0 在 $[S]$ 以形式唯一表达
$$
0=0 \cdot x_1+0 \cdot x_2+\cdots+0 \cdot x_n
$$
正是线性独立性的意思 $S$.

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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