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拓扑学是数学的一个分支，有时被称为 “橡胶板几何”，在这个分支中，如果两个物体可以通过弯曲、扭曲、拉伸和收缩等空间运动连续变形为彼此，同时不允许撕开或粘在一起的部分，则被认为是等效的。
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数学代写|拓扑学代写Topology代考|TYCHONOFF’S THEOREM AND LOCALLY COMPACT SPACES
The main theorem of this section, to the effect that any product of compact spaces is compact, is perhaps the most important single theorem of general topology. We shall use it repeatedly throughout the rest of this book, and the reader will come to see that its commanding position is due largely to the fact that in the higher levels of our subject many spaces constructed for special purposes turn out to be closed subspaces of products of compact spaces. Such a subspace is necessarily compact, and since compact spaces are so pleasant to work with, this makes the resulting theory much cleaner and smoother than would otherwise be the case.
Theorem A (Tychonoff’s Theorem). The product of any non-empty class of compact spaces is compact.
PRooF. Let $\left{X_i\right}$ be a non-empty class of compact spaces, and form the product $X=P_i X_i$. Let $\left{F_j\right}$ be a non-empty subclass of the defining closed subbase for the product topology on $X$. This means that each $F_j$ is a product of the form $F_j=P_i F_{i j}$, where $F_{i j}$ is a closed subset of $X_i$ which equals $X_i$ for all $i$ ‘s but one. We assume that the class $\left{F_j\right}$ has the finite intersection property, and by virtue of Theorem 21-F we conclude the proof by showing that $\bigcap_j F_j$ is non-empty. For a given fixed $i,\left{F_{i j}\right}$ is a class of closed subsets of $X_i$ with the finite intersection property; and by the assumed compactness of $X_i$ (and Theorem 21-D), there exists a point $x_i$ in $X_i$ which belongs to $\bigcap_j F_{i j}$. If we do this for each $i$, we obtain a point $x=\left{x_i\right}$ in $X$ which is in $\bigcap_j F_j$.
As our first application of Tychonoff’s theorem, we prove an extension of the classical Heine-Borel theorem. We prepare the way for this proof by defining what we mean by open and closed rectangles in the $n$-dimensional Euclidean space $R^n$. If $\left(a_i, b_i\right)$ is a bounded open interval on the real line for each $i=1,2, \ldots, n$, then the subset of $R^n$ defined by
$$
P_{i=1}^n\left(a_i, b_i\right)=\left{\left(x_1, x_2, \ldots, x_n\right): a_i<x_i<b_i \text { for each } i\right}
$$
is called an open rectangle in $R^n$. A closed rectangle is defined similarly, as a product of $n$ closed intervals.
数学代写|拓扑学代写Topology代考|COMPACTNESS FOR METRIC SPACES
In all candor, we must admit that the intuitive meaning of compactness for topological spaces is somewhat elusive. This concept, however, is so vitally important throughout topology that we consider it worthwhile to devote this and the next section to giving several equivalent forms of compactness for the special case of a metric space. Some of these are quite useful in applications and are perhaps more directly comprehensible than the open cover definition. We hope they will help
${ }^1$ It is worth remarking that the high-powered machinery used in this proof is not really necessary for proving the theorem. There are other proofs which are more elementary in nature, but we prefer the one given here because it illustrates some of our current concepts and tools.
the reader to achieve a fuller understanding of the geometric significance of compactness. ${ }^1$
We begin by recalling the classical Bolzano-Weierstrass theorem: if $X$ is a closed and bounded subset of the real line, then every infinite subset of $X$ has a limit point in $X$. This suggests that we consider the property expressed here as one which a general metric space may or may not possess. A metric space is said to have the Bolzano-Weierstrass property if every infinite subset has a limit point. Another property closely allied to this is that of sequential compactness: a metric space is said to be sequentially compact if every sequence in it has a convergent subsequence. Our main purpose in this section is to prove that each of these properties is equivalent to compactness in the case of a metric space. The following is an outline of our procedure: we first prove that these two properties are equivalent to one another; next, that compactness implies the Bolzano-Weierstrass property; and finally, that sequential compactness implies compactness. The first two of these steps are relatively simple, but the last involves several stages.
Theorem A. A metric space is sequentially compact $\Leftrightarrow$ it has the BolzanoWeierstrass property.
PRoor. Let $X$ be a metric space, and assume first that $X$ is sequentially compact. We show that an infinite subset $A$ of $X$ has a limit point. Since $A$ is infinite, a sequence $\left{x_n\right}$ of distinct points can be extracted from $A$. By our assumption of sequential compactness, this sequence has a subsequence which converges to a point $x$. Theorem 12-A shows that $x$ is a limit point of the set of points of the subsequence, and since this set is a subset of $A, x$ is also a limit point of $A$.
拓扑学代考
数学代写|拓扑学代写Topology代考|TYCHONOFF’S THEOREM AND LOCALLY COMPACT SPACES
本节的主要定理，即紧空间的任何乘积都是紧的，可能是一般拓扑最重要的单定理。我们将在本书的其余 部分反复使用它，读者会发现它的主导地位主要是由于这样一个事实，即在我们的主题的更高层次上，许 多为特殊目的而构建的空间最终证明是封闭的子空间紧凑空间的产品。这样的子空间必然是紧致的，而且 由于紧致空间的工作非常㓱快，这使得所得到的理论比其他情况下的理论更清晰、更流畅。
定理 A (Tychonoff 定理) 。任何非空类紧致空间的乘积都是紧致的。 封闭子基的非空子类 $X$. 这意味着每个 $F_j$ 是形式的产物 $F_j=P_i F_{i j}$ ，在哪里 $F_{i j}$ 是的闭子集 $X_i$ 等于 $X_i$ 对全部 $i$ 只有一个。我们假设类 $\backslash$ 左{F_j右 $}$ 具有有限交特性，并且根据定理 21-F，我们通过证明 ${ }j F_j$ 是 非空的。对于给定的固定 $i$, i, left{F ${i \mathrm{i}} \backslash r i g h t}$ 是一类闭子集 $X_i$ 具有有限交集属性；并通过假定的紧凑性 $X_i$ (和定理 21-D)，存在一个点 $x_i$ 在 $X_i$ 属于 $\bigcap_j F{i j}$. 如果我们对每个人都这样做 $i$, 我们得到一个点
作为 Tychonoff 定理的第一个应用，我们证明了经典 Heine-Borel 定理的扩展。我们通过在 $n$-维欧几里 德空间 $R^n$. 如果 $\left(a_i, b_i\right)$ 是每个实线上的有界开区间 $i=1,2, \ldots, n$ ，那么子集 $R^n$ 被定义为
称为开矩形 $R^n$. 一个封闭的矩形被类似地定义为 $n$ 闭区间。
数学代写|拓扑学代写Topology代考|COMPACTNESS FOR METRIC SPACES
坦率地说，我们必须承认拓扑空间的紧性的直观含义有些难以捉摸。然而，这个概念在整个拓扑中是如此 重要，以至于我们认为值得将这一节和下一节专门用于为度量空间的特殊情况给出几种等价形式的紧凑 性。其中一些在应用程序中非常有用，并且可能比开放覆盖定义更直接地理解。我们希望他们能提供帮助 1 值得一提的是，这个证明中使用的高性能机器并不是证明定理所必需的。还有其他一些本质上更基本的 证明，但我们更喜欢这里给出的证明，因为它说明了我们当前的一些概念和工具。
使读者对紧性的几何意义有更全面的理解。1
我们首先回顾经典的 Bolzano-Weierstrass 定理：如果 $X$ 是实线的封闭有界子集，则每个无限子集 $X$ 有 一个极限点 $X$. 这表明我们将此处表达的属性视为一般度量空间可能具有或不具有的属性。如果每个无限 子集都有一个极限点，则称度量空间具有 Bolzano-Weierstrass 性质。另一个与此密切相关的性质是序贯 紧致性：如果一个度量空间中的每个序列都有一个收敛的子序，则称该度量空间是序贯紧致的。本节的主 要目的是证明这些性质中的每一个都等价于度量空间情况下的紧致性。以下是我们程序的概要：我们首先 证明这两个性质彼此等价；接下来，这种紧凑性意味着 Bolzano-Weierstrass 属性；最后，顺序紧凑性意 味着紧凑性。这些步㡜中的前两个相对简单，
定理 A. 度量空间是序贯紧的 $\Leftrightarrow$ 它具有 BolzanoWeierstrass 属性。
普鲁尔。让 $X$ 是一个度量空间，并首先假设 $X$ 是顺序紧凑的。我们证明了一个无限子集 $A$ 的 $X$ 有一个极限 序列有一个收敛到一个点的子序列 $x$. 定理 12-A 表明 $x$ 是子序列点集的一个极限点，并且由于这个集是 $A, x$ 也是一个极限点 $A$.
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金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。
非参数统计代写
非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。
有限元方法代写
有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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随机分析代写
随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。
时间序列分析代写
随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。
回归分析代写
多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。