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金融代写|交易策略作业代写Trading strategy代考|Descriptive Statistics
Before conducting various analyses and simulations, it is extremely important to interpret the representative statistics of the data. Table $2.1$ provides the summary statistics of the Henry Hub and the PJM.
Considering that each future has a maturity of one month, we set each spot price to January 29, 2021 and each future to December 30, 2020 to simulate the spot-future arbitrage described later in Sect. 2.3.1. Because we extract only the days when both the Henry Hub and PJM data are available, we have 1511 and 1477 observations for the futures and spot prices, respectively.
The mean and median are numerical values located in the center of the economic variables. The mean $\bar{x}$ of the series $\left(x_i \mid i=1,2, \ldots, N\right)$ is calculated as
$$
\bar{x}=\frac{1}{N} \sum_{i=1}^N x_i .
$$
On the other hand, the median is a value located in the center of each series arranged in descending order. The medians of these futures and spot series are at the 756th and 739th values, respectively. If the number of observations is even, then the median is the average of the two data points in the center. Thus, the median is a more stable index expressing the middle than the mean because outlier values have less effect. Figure $2.1$ shows three distribution examples with the same mean, but different medians. Table $2.1$ indicates that both the mean and median of each future are higher than those of each spot. In other words, both Henry Hub and PJM tend to be contango. We can infer that the supply and demand are not very tight during this period. We can express the relationship between the future price $p_f$ and its spot price $p_s$ as
$$
p_f=p_s e^{c_c \Delta T},
$$ where $C_c$ is the cost of carry expressed in terms of yield and $\Delta T$ is the period from the present to maturity. The cost of carry is the sum of the risk-free interest rate and holding cost, expressed as yield minus the convenience yield. Therefore, if their supply and demand remained tight during the period, then the utility of holding their spots would be increasing. Thus, their costs of carry should become negative, and their futures should become lower than their spots. In addition, the medians of both the Henry Hub future and spot prices are higher than their respective means. Therefore, we can expect to find many outliers in the left tail of each distribution. On the contrary, the medians of both the PJM future and spot prices are lower than their respective means. Therefore, we can expect to find many outliers in the right tail of each distribution.
金融代写|交易策略作业代写Trading strategy代考|Cointegration Test
Figures $2.1$ and $2.2$ bring to mind the long-term equilibrium relationship between Henry Hub and the PJM in both futures and spot markets. However, as all four variables accept the unit root hypothesis, we must suspect a spurious regression.
Engle and Granger [7] introduced the concept of “cointegration,” which connects multiple unpredictable stochastic variables with a unit root. If a linear combination of multiple unit root processes is stationary, then these variables have a cointegrated relationship. In other words: suppose that the following vector consists of $v$ variables in a unit root process:
$$
\mathbf{X}t={ }^T\left(x{1 t}, x_{2 t}, \ldots, x_{v t}\right)
$$
The following linear combination is derived from the inner product of the $v$ dimensional coefficient vector and $\mathbf{X}t$ : $$ \boldsymbol{\beta} \mathbf{X}_t=\left(\beta_1, \beta_2, \ldots, \beta_v\right)^T\left(x{1 t}, x_{2 t}, \ldots, x_{v t}\right)
$$
If $\boldsymbol{\beta} \boldsymbol{X}t$ is a stationary process, then $x{1 t}, x_{2 t}, \ldots, x_{v t}$ have a cointegrated relationship. Additionally,
$$
\boldsymbol{\beta}=\left(\beta_1, \beta_2, \ldots, \beta_v\right)
$$
is the cointegrating vector. If there is cointegration between some variables, then the deviation of the observed values from their long-term equilibrium is a stable stochastic process. Because many economic variables have unit roots, this concept is very often applied in a wide range of fields to examine the relationships between economic variables.
Therefore, we test whether the Henry Hub and PJM prices are cointegrated and expect to use this cointegrated relationship in the trading strategies.
Engle and Granger’s [7] proposed test for cointegration has limitations. First, it does not expect a system with three or more variables to have two or more cointegration relationships. Second, the test results may change when the variables are interchanged.
交易策略代考
金融代写|交易策略作业代写Trading strategy代考|Descriptive Statistics
在进行各种分析和模拟之前，解释数据的代表性统计数据非常重要。桌子 $2.1$ 提供 Henry Hub 和 PJM 的汇总统 计数据。
考虑到每个期货的到期日为一个月，我们将每个现货价格设置为 2021 年 1 月 29 日，将每个期货设置为 2020 年 12 月 30 日，以模拟稍后在第 1 节中描述的现货-期货套利。2.3.1. 因为我们只提取 Henry Hub 和 PJM 数据 都可用的日期，所以我们分别有 1511 和 1477 个期货和现货价格观察值。
均值和中位数是位于经济变量中心的数值。均值 $\bar{x}$ 该系列的 $\left(x_i \mid i=1,2, \ldots, N\right)$ 计算为
$$
\bar{x}=\frac{1}{N} \sum_{i=1}^N x_i
$$
另一方面，中位数是位于按降序排列的每个系列的中心的值。这些期货和现货系列的中值分别位于第 756 位和 第 739 位。如果观察的个数是偶数，那么中位数就是中心两个数据点的平均值。因此，中位数是比平均值更稳 定的表示中间值的指标，因为离群值的影响较小。数字 $2.1$ 显示均值相同但中位数不同的三个分布示例。桌子 2.1表示每个期货的均值和中值均高于每个现货的均值和中值。换句话说，Henry Hub 和 PJM 都倾向于正价 差。我们可以推断，这段时间供需不是很紧张。我们可以表达末来价格之间的关系 $p_f$ 及其现货价格 $p_s$ 作为
$$
p_f=p_s e^{c_c \Delta T},
$$
在哪里 $C_c$ 是以收益率表示的持有成本和 $\Delta T$ 是从现在到到期的时期。持有成本是无风险利率和持有成本之和， 表示为收益率减去便利收益率。因此，如果在此期间他们的供需仍然紧张，那么持有现货的效用就会增加。因 此，他们的持有成本应该变为负值，他们的期货价格应该低于现货价格。此外，Henry Hub 期货和现货价格的 中位数均高于各自的均值。因此，我们可以期望在每个分布的左尾找到许多异常值。相反，PJM 期货和现货价格 的中位数均低于各自的均值。因此，我们可以期望在每个分布的右尾找到许多异常值。
金融代写|交易策略作业代写Trading strategy代考|Cointegration Test
数字 $2.1$ 和 $2.2$ 让我们想起 Henry Hub 和 PJM 在期货和现货市场上的长期均衡关系。然而，由于所有四个变量都 接受单位根假设，我们必须怀疑虚假回归。
Engle 和 Granger [7] 引入了”协整”的概念，它将多个不可预测的随机变量与一个单位根联系起来。如果多个单 位根过程的线性组合是平稳的，则这些变量具有协整关系。换句话说：假设以下向量由 $v$ 单位根过程中的变量:
$$
\mathbf{X} t={ }^T\left(x 1 t, x_{2 t}, \ldots, x_{v t}\right)
$$
下面的线性组合是从 $v$ 维度系数向量和 $\mathbf{X} t$ :
$$
\boldsymbol{\beta} \mathbf{X}t=\left(\beta_1, \beta_2, \ldots, \beta_v\right)^T\left(x 1 t, x{2 t}, \ldots, x_{v t}\right)
$$
如果 $\boldsymbol{\beta} \boldsymbol{X} t$ 是平稳过程，那么 $x 1 t, x_{2 t}, \ldots, x_{v t}$ 有协整关系。此外，
$$
\boldsymbol{\beta}=\left(\beta_1, \beta_2, \ldots, \beta_v\right)
$$
是协整向量。如果某些变量之间存在协整关系，则观测值与其长期均衡的偏差是一个稳定的随机过程。由于许多 经济变量都有单位根，因此这个概念经常被广泛应用于研究经济变量之间关系的领域。
因此，我们测试 Henry Hub 和 PJM 价格是否协整，并期望在交易策略中使用这种协整关系。
恩格尔和格兰杰 [7] 提出的协整检验有局限性。首先，它不期望具有三个或更多变量的系统具有两个或更多协整 关系。其次，当变量互换时，测试结果可能会发生变化。
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金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。
非参数统计代写
非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。
有限元方法代写
有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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随机分析代写
随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。
时间序列分析代写
随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。
回归分析代写
多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。