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交换代数本质上是对代数数论和代数几何中出现的环的研究。在代数数论中，代数整数的环是Dedekind环，因此它构成了一类重要的换元环。
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数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|Integral Dependence
Given any ring homomorphism $\varphi: R \longrightarrow R^{\prime}$, it is quite convenient for our purposes to view $R^{\prime}$ as an $R$-algebra with respect to $\varphi$; see $1.4 / 3$. In particular, $R^{\prime}$ carries then a structure of an $R$-module, where products of type $r \cdot r^{\prime}$ for $r \in R, r^{\prime} \in R^{\prime}$ are defined by $r \cdot r^{\prime}=\varphi(r) \cdot r^{\prime}$, using the multiplication on $R^{\prime}$.
Definition 1. Let $\varphi: R \longrightarrow R^{\prime}$ be a homomorphism of rings. An element $x \in R^{\prime}$ is called integral over $R$ with respect to $\varphi$, or is said to depend integrally on $R$ with respect to $\varphi$, if it satisfies a so-called integral equation over $R$, i.e. if there are elements $a_{1}, \ldots, a_{n} \in R$ such that
$$
x^{n}+a_{1} x^{n-1}+\ldots+a_{n}=0 .
$$
The ring $R^{\prime}$ is called integral over $R$, or $\varphi$ is called integral, if each $x \in R^{\prime}$ is integral over $R$.
Furthermore, $\varphi$ is called finite if it equips $R^{\prime}$ with the structure of a finite $R$ – module.
If $R=K$ and $R^{\prime}=K^{\prime}$ are fields, then $\varphi$ is injective and we may view $K$ as a subfield of $K^{\prime}$. Recall that the extension of fields $K \subset K^{\prime}$ is called algebraic if $K^{\prime}$ is integral over $K$.
Remark 2. Let $\varphi: R \hookrightarrow R^{\prime}$ be a monomorphism of integral domains such that $R^{\prime}$ is integral over $R$. Then $R$ is a field if and only if $R^{\prime}$ is a field.
Proof. Assume first that $R$ is a field and let $x \neq 0$ be an element in $R^{\prime}$. Then $x$ satisfies an integral equation over $R$,
$$
x^{n}+a_{1} x^{n-1}+\ldots+a_{n}=0, \quad a_{1}, \ldots, a_{n} \in R .
$$
Dividing out a suitable power of $x$, we may assume $a_{n} \neq 0$ and, hence, that $a_{n}$ is invertible in $R$. In the field of fractions of $R^{\prime}$ we can multiply the equation by $x^{-1}$. This yields
$$
x^{-1}=-a_{n}^{-1}\left(x^{n-1}+a_{1} x^{n-2}+\ldots+a_{n-1}\right) \in R^{\prime}
$$
hence $R^{\prime}$ is a field.
数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|Noether Normalization and Hilbert’s Nullstellensatz
In this section we want to illustrate the concept of integral dependence by discussing polynomial rings $K[X]=K\left[X_{1}, \ldots, X_{n}\right]$ over a field $K$, for a finite set of variables $X=\left(X_{1}, \ldots, X_{n}\right)$. As we know already from $1.5 / 14, K[X]$ is Noetherian. Furthermore, it follows from the Lemma of Gauß (see [3], 2.7/1) that $K[X]$ is factorial and, hence, normal by $3.1 / 10$.
Let $A$ be a $K$-algebra and call a set of elements $x_{1}, \ldots, x_{n} \in$ A algebraically independent over $K$ if the $K$-homomorphism $K\left[X_{1}, \ldots, X_{n}\right] \rightarrow A$ substituting $x_{i}$ for the variable $X_{i}$ is injective, and algebraically dependent otherwise. Furthermore, as before, let us write $K\left[x_{1}, \ldots, x_{n}\right] \subset A$ for the image of such a substitution homomorphism. Recall that $A$ is called a $K$-algebra of finite type if there is a surjective $K$-homomorphism $K\left[X_{1}, \ldots, X_{n}\right] \cdot A$ or, in other words, if there exist elements $x_{1}, \ldots, x_{n} \in A$ such that $A=K\left[x_{1}, \ldots, x_{n}\right]$.
Theorem 1 (Noether’s Normalization Lemma). Let $A$ be a $K$-algebra of finite type. If $A \neq 0$, there exists a finite injective $K$-homomorphism
$$
K\left[Y_{1}, \ldots, Y_{d}\right] \longleftrightarrow A
$$
for a certain set of variables $Y_{1}, \ldots, Y_{d}$.
The proof of the Normalization Temma needs a terhnical recursion step, which is of interest by itself and which we will prove first.
Lemma 2. Let $K\left[x_{1}, \ldots, x_{n}\right]$ be a $K$-algebra of finite type and consider an element $y \in K\left[x_{1}, \ldots, x_{n}\right]$ given by some expression
$()$ $$ y=\sum_{\left(\nu_{1}, \ldots, \nu_{n}\right) \in I} a_{\nu_{1}, \ldots, \nu_{n}} x_{1}^{\nu_{1}} \ldots x_{n}^{\nu_{n}} $$ with coefficients $a_{\nu_{1}, \ldots, \nu_{n}} \in K^{}$, where the summation extends over a finite nonempty index set $I \subset \mathbb{N}^{n}$; in particular, $n \geq 1$. Then there exist elements $y_{1}, \ldots, y_{n-1} \in K\left[x_{1}, \ldots, x_{n}\right]$ such that the canonical monomorphism
$$
K\left[y_{1}, \ldots, y_{n-1}, y\right] \hookrightarrow K\left[x_{1}, \ldots, x_{n}\right]
$$
is finite.
数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|The Cohen-Seidenberg Theorems
In the present section we fix an integral ring homomorphism $\varphi: R \longrightarrow R^{\prime}$ and discuss the relationship between prime ideals in $R$ and $R^{\prime}$. Given a (prime) ideal $\mathfrak{P} \subset R^{\prime}$, we write $\mathfrak{P} \cap R$ for the restricted (prime) ideal $\varphi^{-1}(\mathfrak{P}) \subset R$.
Proposition 1. Let $\varphi: R \longrightarrow R^{\prime}$ be an integral ring homomorphism.
(i) A prime ideal $\mathfrak{P} \subset R^{\prime}$ is maximal if and only if its restriction $\mathfrak{p}=\mathfrak{P} \cap R$ is maximal in $R$.
(ii) Let $\mathfrak{P}{1}, \mathfrak{P}{2} \subset R^{\prime}$ be prime ideals satisfying $\mathfrak{P}{1} \cap R=\mathfrak{P}{2} \cap R$. Then $\mathfrak{P}{1} \subset \mathfrak{P}{2}$ implies $\mathfrak{P}{1}=\mathfrak{P}{2}$.
Proof. In the situation of (i), the map $\varphi$ induces an integral monomorphism of integral domains $R / \mathfrak{p} \longrightarrow R^{\prime} / \mathfrak{P}$, and we see from $3.1 / 2$ that $R / \mathfrak{p}$ is a field if and only if $R^{\prime} / \mathfrak{P}$ is a field. Hence, $\mathfrak{p}$ is maximal in $R$ if and only if $\mathfrak{P}$ is maximal in $R^{\prime}$.
Now let $\mathfrak{P}{1}, \mathfrak{P}{2} \subset R^{\prime}$ be two prime ideals as required in (ii), namely such that the induced ideals $\mathfrak{p}=\mathfrak{P}{1} \cap R$ and $\mathfrak{P}{2} \cap R$ coincide in $R$. Let $S=R-\mathfrak{p}$ and consider the ring homomorphism $R_{S} \longrightarrow R_{\varphi(S)}^{\prime}$ induced from $\varphi$, which is integral by $3.1 / 3$ (ii) since $\varphi$ is integral. Then, by $1.2 / 7$, the ideal $S^{-1} \mathfrak{p}$ generated by $\mathfrak{p}$ in $R_{S}$ is maximal. Likewise we can consider the ideals $S^{-1} \mathfrak{P}{1}$ and $S^{-1} \mathfrak{P}{2}$ generated by $\mathfrak{P}{1}$ and $\mathfrak{Y}{2}$ in $R_{\varphi(S)}^{\prime}$. These are prime by $1.2 / 5$ since $\varphi(S)$ is disjoint from $\mathfrak{F}{1}$ and $\mathfrak{P}{2}$. Then $\mathfrak{q}{1}=S^{-1} \mathfrak{P}{1} \cap R_{S}$ and $\mathfrak{q}{2}=S^{-1} \mathfrak{P}{2} \cap R_{S}$ are prime ideals in $R_{S}$ that contain $S^{-1} \mathfrak{p}$. Because $S^{-1} \mathfrak{p}$ is maximal in $R_{S}$, we get $S^{-1} \mathfrak{p}=\mathfrak{q}{1}=\mathfrak{q}{2}$. Thus, $S^{-1} \mathfrak{F}{1}$ and $S^{-1} \mathfrak{F}{2}$ are two ideals in $R_{\varphi(S)}^{\prime}$ whose restrictions to $R_{S}$ are maximal. But then, by (i), we know that $S^{-1} \mathfrak{P}{1}$ and $S^{-1} \mathfrak{F}{2}$ are maximal in $R_{\varphi(S)}^{\prime}$ and it follows $S^{-1} \mathfrak{P}{1}=S^{-1} \mathfrak{F}{2}$ from $\mathfrak{P}{1} \subset \mathfrak{F}{2}$. Since $\mathfrak{F}{1}=S^{-1} \mathfrak{F}{1} \cap R^{\prime}$ and $\mathfrak{F}{2}=S^{-1} \mathfrak{F}{2} \cap R^{\prime}$ by $1.2 / 5$, we conclude $\mathfrak{F}{1}=\mathfrak{F}{2}$, as desired.
交换代数代考
数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|Integral Dependence
给定任何环同态披:R⟶R′, 很方便我们的目的查看R′作为一个R-关于代数披; 看1.4/3. 尤其是，R′然后携带一个结构R-module，其中产品类型r⋅r′为了r∈R,r′∈R′定义为r⋅r′=披(r)⋅r′, 使用乘法R′.
定义 1. 让披:R⟶R′是环的同态。一个元素X∈R′称为积分过R关于披，或者说完全依赖于R关于披, 如果它满足所谓的积分方程R，即如果有元素一个1,…,一个n∈R这样
Xn+一个1Xn−1+…+一个n=0.
戒指R′称为积分过R， 或者披称为积分，如果每个X∈R′是积分超过R.
此外，披被称为有限的，如果它装备R′具有有限的结构R- 模块。
如果R=ķ和R′=ķ′是字段，那么披是单射的，我们可以查看ķ作为一个子领域ķ′. 回想一下字段的扩展ķ⊂ķ′被称为代数如果ķ′是积分超过ķ.
备注 2. 让披:RR′是整数域的单态，使得R′是积分超过R. 然后R是一个字段当且仅当R′是一个字段。
证明。首先假设R是一个字段，让X≠0成为其中的一个元素R′. 然后X满足一个积分方程R,
Xn+一个1Xn−1+…+一个n=0,一个1,…,一个n∈R.
分配合适的功率X，我们可以假设一个n≠0因此，一个n是可逆的R. 在分数领域R′我们可以将方程乘以X−1. 这产生
X−1=−一个n−1(Xn−1+一个1Xn−2+…+一个n−1)∈R′
因此R′是一个字段。
数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|Noether Normalization and Hilbert’s Nullstellensatz
在本节中，我们将通过讨论多项式环来说明积分依赖的概念ķ[X]=ķ[X1,…,Xn]在一个领域ķ, 对于一组有限的变量X=(X1,…,Xn). 正如我们已经知道的那样1.5/14,ķ[X]是诺特式的。此外，从 Gauß 引理（见 [3], 2.7/1）得出ķ[X]是阶乘，因此是正常的3.1/10.
让一个做一个ķ-代数并调用一组元素X1,…,Xn∈一个代数独立的ķ如果ķ-同态ķ[X1,…,Xn]→一个替代X一世对于变量X一世是单射的，否则是代数相关的。此外，和以前一样，让我们写ķ[X1,…,Xn]⊂一个对于这样的代换同态的图像。回顾一个被称为ķ- 有限类型的代数，如果有一个满射ķ-同态ķ[X1,…,Xn]⋅一个或者，换句话说，如果存在元素X1,…,Xn∈一个这样一个=ķ[X1,…,Xn].
定理 1（Noether 的归一化引理）。让一个做一个ķ-有限类型的代数。如果一个≠0, 存在一个有限内射ķ-同态
ķ[是1,…,是d]⟷一个
对于一组特定的变量是1,…,是d.
Normalization Temma 的证明需要一个 terhnical recursion 步骤，这本身就很有趣，我们将首先证明它。
引理 2. 让ķ[X1,…,Xn]做一个ķ-有限类型的代数并考虑一个元素是∈ķ[X1,…,Xn]由某个表达式给出
()
是=∑(ν1,…,νn)∈我一个ν1,…,νnX1ν1…Xnνn有系数一个ν1,…,νn∈ķ，其中总和扩展到有限的非空索引集我⊂ñn; 尤其是，n≥1. 然后存在元素是1,…,是n−1∈ķ[X1,…,Xn]使得规范单态
ķ[是1,…,是n−1,是]ķ[X1,…,Xn]
是有限的。
数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|The Cohen-Seidenberg Theorems
在本节中，我们修复了一个积分环同态披:R⟶R′并讨论了主要理想之间的关系R和R′. 给定一个（主要）理想磷⊂R′， 我们写磷∩R对于受限（主要）理想披−1(磷)⊂R.
命题 1. 让披:R⟶R′是一个整环同态。
(i) 一个主要理想磷⊂R′当且仅当它的限制是最大的p=磷∩R是最大的R.
(ii) 让磷1,磷2⊂R′成为满足的首要理想磷1∩R=磷2∩R. 然后磷1⊂磷2暗示磷1=磷2.
证明。在 (i) 的情况下，地图披导致积分域的积分单态R/p⟶R′/磷，我们从3.1/2那R/p是一个字段当且仅当R′/磷是一个字段。因此，p是最大的R当且仅当磷是最大的R′.
现在让磷1,磷2⊂R′是 (ii) 中要求的两个素理想，即使得诱导理想p=磷1∩R和磷2∩R恰逢R. 让小号=R−p并考虑环同态R小号⟶R披(小号)′诱导自披, 它是积分3.1/3(ii) 因为披是积分。然后，由1.2/7， 理想小号−1p由产生p在R小号是最大的。同样，我们可以考虑理想小号−1磷1和小号−1磷2由产生磷1和是2在R披(小号)′. 这些是主要的1.2/5自从披(小号)与F1和磷2. 然后q1=小号−1磷1∩R小号和q2=小号−1磷2∩R小号是最理想的R小号包含小号−1p. 因为小号−1p是最大的R小号，我们得到小号−1p=q1=q2. 因此，小号−1F1和小号−1F2是两个理想R披(小号)′谁的限制R小号是最大的。但是，通过 (i)，我们知道小号−1磷1和小号−1F2是最大的R披(小号)′它紧随其后小号−1磷1=小号−1F2从磷1⊂F2. 自从F1=小号−1F1∩R′和F2=小号−1F2∩R′经过1.2/5, 我们得出结论F1=F2， 如预期的。
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金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。
非参数统计代写
非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。
有限元方法代写
有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。
时间序列分析代写
随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。
回归分析代写
多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
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