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交换代数本质上是对代数数论和代数几何中出现的环的研究。在代数数论中，代数整数的环是Dedekind环，因此它构成了一类重要的换元环。
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数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|Extension of Coefficients
Let $\varphi: R \longrightarrow R^{\prime}$ be a ring homomorphism and $N^{\prime}$ an $R^{\prime}$-module. Then $N^{\prime}$ can be viewed as an $R$-module via $\varphi ;$ just look at $N^{\prime}$ as an additive group and define the scalar multiplication by $r x^{\prime}=\varphi(r) x^{\prime}$ for elements $r \in R$ and $x^{\prime} \in N^{\prime}$, where $\varphi(r) x^{\prime}$ is the product on $N^{\prime}$ as an $R^{\prime}$-module. We say that the $R$-module structure on $N^{\prime}$ is obtained by restriction of coefficients with respect to $\varphi$. In particular, $R^{\prime}$ itself can be viewed as an $R$-module via $\varphi$, and we see that the tensor product $M \otimes_{R} R^{\prime}$, for any $R$-module $M$, makes sense as an $R$-module. It is easily seen that $M \otimes_{R} R^{\prime}$ can even be viewed as an $R^{\prime}$-module. Indeed, let $a^{\prime} \in R^{\prime}$ and consider the $R$-bilinear map
$$
M \times R^{\prime} \longrightarrow M \otimes_{R} R^{\prime}, \quad\left(x, b^{\prime}\right) \longmapsto x \otimes a^{\prime} b^{\prime},
$$
as well as the induced $R$-linear map
$$
M \otimes_{R} R^{\prime} \longrightarrow M \otimes_{R} R^{\prime}, \quad x \otimes b^{\prime} \longmapsto x \otimes a^{\prime} b^{\prime} .
$$
Taking the latter as multiplication by $a^{\prime} \in R^{\prime}$ on $M \otimes_{R} R^{\prime}$, it is straightforward to see that the additive group $M \otimes_{R} R^{\prime}$ becomes an $R^{\prime}$-module this way. We say that $M \otimes_{R} R^{\prime}$, viewed as an $R^{\prime}$-module, is obtained from $M$ by extension of coefficients with respect to $\varphi$. More generally, given any $R^{\prime}$-module $N^{\prime}$, we can view the tensor product $M \otimes_{R} N^{\prime}$ as an $R^{\prime}$-module, just by using the map
$$
R^{\prime} \times\left(M \otimes_{R} N^{\prime}\right) \longrightarrow M \otimes_{R} N^{\prime}, \quad\left(a^{\prime}, x \otimes y^{\prime}\right) \longmapsto x \otimes a^{\prime} y^{\prime},
$$
as scalar multiplication.
数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|Faithfully Flat Descent of Module Properties
For any ring homomorphism $R \longrightarrow R^{\prime}$, the process $\cdot \otimes_{R} R^{\prime}$ of tensoring with $R^{\prime}$ over $R$ can be viewed as an assignment that attaches to an $R$-module $M$ the $R^{\prime}$-module $M \otimes_{R} R^{\prime}$ and to a morphism of $R$-modules $\varphi: M^{\prime} \longrightarrow M$ the corresponding morphism of $R^{\prime}$-modules $\varphi \otimes \mathrm{id}: M^{\prime} \otimes_{R} R^{\prime} \longrightarrow M \otimes_{R} R^{\prime}$. We talk about a so-called functor from the category of $R$-modules to the category of $R^{\prime}$-modules. As will be seen in Section $4.6$, the general problem of descent is, in some sense, to find an inverse to this process. As a preparation, categories and their functors will be discussed more extensively in Section 4.5. At this place we start descent theory by looking at several module properties that behave well when switching back and forth between $R$ – and $R^{\prime}$-modules by means of extension of coefficients via tensor products.
Proposition 1. Let $M$ be an $R$-module and $R \longrightarrow R^{\prime}$ a ring homomorphism.
(i) If $M$ is of finite type over $R$, then $M \otimes_{R} R^{\prime}$ is of finite type over $R^{\prime}$.
(ii) If $M$ is of finite presentation over $R$, then $M \otimes_{R} R^{\prime}$ is of finite presentation over $R^{\prime}$.
(iii) If $M$ is a flat $R$-module, then $M \otimes_{R} R^{\prime}$ is a flat $R^{\prime}$-module.
(iv) If $M$ is a faithfully flat $R$-module, then $M \otimes_{R} R^{\prime}$ is a faithfully flat $R^{\prime}-$ module.
(v) If $R \longrightarrow R^{\prime}$ is faithfully flat in the sense that $R^{\prime}$ is a faithfully flat $R$-module via $R \longrightarrow R^{\prime}$, then the reversed implications of (i)-(iv) hold as well.
Proof. If
$$
R^{n} \longrightarrow M \longrightarrow 0
$$
or
$$
R^{m} \longrightarrow R^{n} \longrightarrow M \longrightarrow 0
$$
are exact sequences of $R$-modules, then the sequences obtained by tensoring with $R^{\prime}$ over $R$ are exact by $4.2 / 1$. Using the fact that the isomorphisms $R^{m} \otimes_{R} R^{\prime} \simeq\left(R^{\prime}\right)^{m}$ and $R^{n} \otimes_{R} R^{\prime} \simeq\left(R^{\prime}\right)^{n}$ furnished by $4.1 / 9$ are, in fact, isomorphisms of $R^{\prime}$-modules, assertions (i) and (ii) are clear.
Now let $M$ be a flat $R$-module. To establish (iii), we have to show for every monomorphism of $R^{\prime}$-modules $E^{\prime} \longrightarrow E$ that the tensorized map
$$
E^{\prime} \otimes_{R^{\prime}}\left(R^{\prime} \otimes_{R} M\right) \longrightarrow E \otimes_{R^{\prime}}\left(R^{\prime} \otimes_{R} M\right)
$$
is injective as well. To do this, look at the commutative diagram
$$
E^{\prime} \otimes_{R^{\prime}}\left(R^{\prime} \otimes_{R} M\right) \longrightarrow E \otimes_{R^{\prime}}\left(R^{\prime} \otimes_{R} M\right)
$$
where the vertical maps are the canonical isomorphisms from $4.3 / 2$. Since $M$ is a flat $R$-module, the lower horizontal homomorphism is injective and the same holds for the upper horizontal one.
数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|Categories and Functors
The language of categories and their functors is an essential tool in advanced Algebraic Geometry. Implicitly this concept has already appeared in earlier sections, mostly in the form of “universal properties”. But we need to make more intensive use of it, especially for the descent of modules in Section 4.6. Since pure category theory is not very enlightening by itself, we have chosen to include only basic material al this place.
Definition 1. A category $\mathfrak{C}$ consists of a collection ${ }^{2} \mathrm{Ob}(\mathfrak{C})$ of so-called objects and, for each pair of objects $X, Y \in \mathrm{Ob}(\mathfrak{C})$, of a set $\operatorname{Hom}(X, Y)$ of so-called morphisms (or arrows), together with a law of composition
$$
\operatorname{Hom}(Y, Z) \times \operatorname{Hom}(X, Y) \longrightarrow \operatorname{Hom}(X, Z), \quad(g, f) \longmapsto g \circ f
$$
for any objects $X, Y, Z \in \mathrm{Ob}(\mathfrak{C})$. The following conditions are required:
(i) The composition of morphisms is associative.
(ii) For all $X \in \mathrm{Ob}(\mathfrak{C})$ there is a morphism $\mathrm{id}{X} \in \operatorname{Hom}(X, X)$ such that $\mathrm{id}{X} \circ f=f$ for all $f \in \operatorname{Hom}(Y, X)$ and $f \circ \mathrm{id}{X}=f$ for all $f \in \operatorname{Hom}(X, Y)$. Note that $\mathrm{id}{X}$ is unique, it is called the identity morphism on $X$.
Sometimes we write $\operatorname{Hom}{\mathfrak{C}}(X, Y)$ instead of $\operatorname{Hom}(X, Y)$, in order to specify the category $\mathfrak{C}$ whose morphisms are to be considered. In most cases, morphisms between objects $X, Y$ are indicated by arrows $X \longrightarrow Y$, thereby appealing to the concept of a (set theoretical) map. However, since only the above conditions (i) and (ii) are required, morphisms can be much more general than just maps. A morphism $f: X \longrightarrow Y$ between two objects of $\mathfrak{C}$ is called an isomorphism if there is a morphism $g: Y \longrightarrow X$ such that $g \circ f=\mathrm{id}{X}$ and $f \circ g=\mathrm{id}_{Y}$. Let us consider some examples.
交换代数代考
数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|Extension of Coefficients
让披:R⟶R′是一个环同态和ñ′一个R′-模块。然后ñ′可以看作是R-模块通过披;看看ñ′作为一个加法组并定义标量乘法rX′=披(r)X′对于元素r∈R和X′∈ñ′， 在哪里披(r)X′产品在ñ′作为一个R′-模块。我们说R- 模块结构ñ′是通过对系数的限制获得的披. 尤其是，R′本身可以看作是R-模块通过披，我们看到张量积米⊗RR′, 对于任何R-模块米, 作为一个有意义R-模块。很容易看出米⊗RR′甚至可以被视为R′-模块。确实，让一个′∈R′并考虑R- 双线性映射
米×R′⟶米⊗RR′,(X,b′)⟼X⊗一个′b′,
以及诱导R- 线性地图
米⊗RR′⟶米⊗RR′,X⊗b′⟼X⊗一个′b′.
将后者作为乘法一个′∈R′上米⊗RR′，很容易看出加法组米⊗RR′变成一个R′- 这样的模块。我们说米⊗RR′, 被视为R′-module，从米通过关于系数的扩展披. 更一般地，给定任何R′-模块ñ′，我们可以查看张量积米⊗Rñ′作为一个R′-module，只需使用地图
R′×(米⊗Rñ′)⟶米⊗Rñ′,(一个′,X⊗是′)⟼X⊗一个′是′,
作为标量乘法。
数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|Faithfully Flat Descent of Module Properties
对于任何环同态R⟶R′, 过程⋅⊗RR′张紧的R′超过R可以被视为附加到R-模块米这R′-模块米⊗RR′和一个态射R-模块披:米′⟶米的对应态射R′-模块披⊗一世d:米′⊗RR′⟶米⊗RR′. 我们从以下类别中讨论所谓的函子R-modules 的类别R′-模块。正如将在部分中看到的4.6，在某种意义上，下降的一般问题是找到这个过程的逆。作为准备，类别及其函子将在第 4.5 节中更广泛地讨论。在这个地方，我们通过查看几个在来回切换时表现良好的模块属性来开始下降理论R- 和R′-通过张量积扩展系数的模块。
命题 1. 让米豆R-模块和R⟶R′环同态。
(一) 如果米是有限类型的R， 然后米⊗RR′是有限类型的R′.
(ii) 如果米是有限表示的R， 然后米⊗RR′是有限表示的R′.
(iii) 如果米是一个单位R-模块，然后米⊗RR′是一个单位R′-模块。
(iv) 如果米是一个忠实的平面R-模块，然后米⊗RR′是一个忠实的平面R′−模块。
(v) 如果R⟶R′在这个意义上是忠实平坦的R′是一个忠实的平面R-模块通过R⟶R′，那么 (i)-(iv) 的相反含义也成立。
证明。如果
Rn⟶米⟶0
或者
R米⟶Rn⟶米⟶0
是精确的序列R-modules，然后是通过张量获得的序列R′超过R是准确的4.2/1. 利用同构的事实R米⊗RR′≃(R′)米和Rn⊗RR′≃(R′)n由提供4.1/9实际上，是的同构R′-模块，断言（i）和（ii）是明确的。
现在让米做个平R-模块。为了建立 (iii)，我们必须证明R′-模块和′⟶和张量化的地图
和′⊗R′(R′⊗R米)⟶和⊗R′(R′⊗R米)
也是单射的。为此，请查看交换图
和′⊗R′(R′⊗R米)⟶和⊗R′(R′⊗R米)
其中垂直映射是来自的规范同构4.3/2. 自从米是一个单位R-模，下水平同态是单射的，上水平同态也是如此。
数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|Categories and Functors
范畴及其函子的语言是高级代数几何中必不可少的工具。这个概念已经隐含地出现在前面的章节中，主要以“通用属性”的形式出现。但是我们需要更密集地使用它，特别是对于 4.6 节中的模块下降。由于纯范畴论本身并没有什么启发性，所以我们选择在这里只包括基础材料。
定义 1. 一个类别C由一个集合组成2○b(C)所谓的对象，并且对于每对对象X,是∈○b(C), 一组他(X,是)所谓态射（或箭头），以及合成定律
他(是,从)×他(X,是)⟶他(X,从),(G,F)⟼G∘F
对于任何物体X,是,从∈○b(C). 需要以下条件：
(i) 态射的组合是关联的。
(ii) 对所有人X∈○b(C)存在态射一世dX∈他(X,X)这样一世dX∘F=F对所有人F∈他(是,X)和F∘一世dX=F对所有人F∈他(X,是). 注意一世dX是唯一的，称为恒等态射X.
有时我们写他C(X,是)代替他(X,是)，为了指定类别C要考虑其态射。在大多数情况下，对象之间的态射X,是用箭头表示X⟶是，从而诉诸（集合理论）映射的概念。然而，由于只需要上述条件 (i) 和 (ii)，态射可以比映射更一般。态射F:X⟶是两个对象之间C如果存在态射，则称为同构G:是⟶X这样G∘F=一世dX和F∘G=一世d是. 让我们考虑一些例子。
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金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。
非参数统计代写
非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。
有限元方法代写
有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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随机分析代写
随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。
时间序列分析代写
随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。
回归分析代写
多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
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