数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|MATH3033

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交换代数本质上是对代数数论和代数几何中出现的环的研究。在代数数论中,代数整数的环是Dedekind环,因此它构成了一类重要的换元环。

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数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|MATH3033

数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|Polynomials and finitely generated algebras

If, in addition, $\mathfrak{E}=\left{\mathrm{s}{1}, \ldots, \mathrm{s}{n}\right}$ happens to be a finite set, one sets $R[E]=R\left[\mathrm{~s}{1}, \ldots, \mathrm{s}{n}\right]$, a mnemonic déja vu of the polynomial ring in $n$ indeterminates; in this case, $R\left[s_{1}, \ldots\right.$, $\left.s_{n}\right]$ is said to he finitely generated (or of finite type) nver $R$.

The following statement is also adaptable for infinitely generated algebras, but the use in this book is mainly in the finitely generated case.

Proposition 1.2.2. Let $R \subset S$ be an R-algebra of finite type. Then there is an R-isomorphism $R\left[X_{1}, \ldots, X_{n}\right] / I \simeq S$, for a suitable ideal I of the polynomial ring $R\left[X_{1}, \ldots, X_{n}\right]$.
The proof is an immediate consequence of the universal property of the polynomial ring $R\left[X_{1}, \ldots, X_{n}\right]$ and of the first theorem of the homomorphism for rings ( $c f$. Proposition 1.1.2).

A surjective homomorphism as in Proposition 1.2.2 and its kernel are respectively called a polynomial presentation and a presentation ideal of the $R$-algebra $S$. An alternative terminology for the presentation ideal is ideal of relations. It is understood that these notions are not uniquely defined by the algebra itself as they depend on the choice of a set of generators.

A remarkable case is that of an $R$-subalgebra of the polynomial ring $R\left[X_{1}, \ldots, X_{n}\right]$. Even in the case where $R=k$ is a field, the richness of the structure of the $k$-subalgebras is anything but easily understood. At first sight, a finitely generated $k$-subalgebra of $k\left[X_{1}, \ldots, X_{n}\right]$ resembles any other integral domain of finite type over $k$. However, this resemblance is misleading since $e_{x} g_{s}$, there are cases when such an algebra may turn up to be isomorphic to the homogeneous coordinate ring of a so-called unirational projective variety.

数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|The transcendence degree

In this part, one focus on integral domains of finite type over a field $k$. The results of this subsection are independent from the characteristic of the base field $k$. Since no other base ring will come up other than $k$ itself, one will denote a $k$-algebra by the letter $R$ (instead of $S$ ).

One uses freely the following notation, originally conceived by Kronecker and rigorously set by Steinitz ([148]) more than one century ago: if $K \mid k$ is a field extension, i. e., $k$ is a subfield of the field $K$, and $\mathfrak{X} \subset K$ is a subset, then $k(\mathfrak{X})$ denotes the smallest inclusionwise subfield of $K$ containing $k$ and $\mathfrak{X}$. If $\mathfrak{X}$ consists of a single element $x$ one writes $k(x)$ for short.

Recall that such an element $x$ is said to be algebraic over $k$ provided it is a root of a nonzero polynomial in $k[X]$. The extension $K \mid k$ is algebraic if all of its elements are algebraic over $k$.

Given a field extension $K \mid k$, the algebraic closure of $k$ in $K$ is the set of elements of $K$ which are algebraic over $k$. By the elementary theory of algebraic elements in a field extension, one knows that this is an intermediate (“Zwischenkörper” in the terminology of Steinitz) field between $k$ and $K$. For lack of better notation, it is usually denoted by $\bar{k}$ if the ambient field $K$ is fixed in the discussion. This construction has the formal properties of a closure operator; in particular, taking the closure of a closure does not do anything, i. e., $\overline{(\bar{k})}=\bar{k}$. One says that $k$ is algebraically closed in $K$ if $\bar{k}=k$.
In this book, one assumes the elementary theory of algebraic extensions, a topic that is part of a general algebraic training no matter how tricky parts of Galois theory maybe (specially in prime characteristic), whereas the main focus in this part is the transcendental side of field theory in its relation to the underlying ring theoretic aspects.

Thus, let $R$ stand for an integral domain of finite type over $k$. Let $K$ denote the field of fractions of $R$. The resulting inclusion $k \subset K$ makes $K$ into a finitely generated field extension $K \mid k$ : a finite set of generators of $R$ over $k$ will generate $K$ as a field extension of $k$ as well.

Given a field extension $K \mid k$, a finite subset $\mathfrak{X}=\left{x_{1}, \ldots, x_{n}\right} \subset K$ is said to be algebraically independent over $k$ if the surjective $k$-homomorphism $k\left[X_{1}, \ldots, X_{n}\right] \rightarrow k[\mathfrak{X}]$ mapping $X_{i}$ to $x_{i}(1 \leq i \leq n)$ is injective.

Though this definition sounds repetitive, as it asserts that an algebraically independent set is essentially a set of indeterminates, its role will become clear as one progresses in the theory. This notion can be extended to possibly infinite sets by requiring that every finite subset have the property.

The next notion plays for finitely generated field extensions a similar role as a vector basis does for vector spaces-in fact, both are particular cases of a more general matroid theory phenomenon, but one will refrain from bringing it up here. As finitely generated extensions include finite extensions as a special case, one must allow for the new notion to encode this flexibility. The most general statement goes like the following.

数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|Basic properties of the transcendence degree

However difficult recognizing whether a certain set is algebraically independent, there are some basic steps that come to help.

Proposition 1.2.8 (Modding out irreducible polynomials). Let $B=k\left[X_{1}, \ldots, X_{n}\right]$ be $a$ polynomial ring over a field $k$ and let $f \in B$ denote a nonzero irreducible polynomial. Then $\operatorname{trdeg}_{k}(B /(f))=n-1$.

Proof. First, $\operatorname{trdeg}{k}(B)=n$ since $\left{X{1}, \ldots, X_{n}\right}$ is a transcendence basis of $B$ over $k$. Write $f=\sum_{j=0}^{m} f_{j}\left(X_{1}, \ldots, X_{n-1}\right) X_{n}^{j}$. One can assume that $m>0$ and $f_{m}\left(X_{1}, \ldots, X_{n-1}\right) \neq 0$ (how?). Let $x_{i}$ denote the class of $X_{i}$ modulo $(f)$. Then $\sum_{j=0}^{m} f_{j}\left(x_{1}, \ldots, x_{n-1}\right) x_{n}^{j}=0$, showing that $\operatorname{trdeg}{k}(B /(f)) \leq n-1$. On the other hand, $\left{x{1}, \ldots, x_{n-1}\right}$ is algebraically independent over $k$. Indeed, otherwise an equation of algebraic dependence would yield a nonzero polynomial $g \in k\left[X_{1}, \ldots, X_{n-1}\right]$ such that $g \in(f)$, which is absurd since $f$ has a nonzero term involving $X_{n}$.

The preceding proposition has no obvious generalization to arbitrary prime ideals. However, one can state the following weak version.

Proposition 1.2.9 (Going modulo a prime ideal). Let $B$ be a finitely generated domain over a field $k$ and let $P \subset B$ be a prime ideal. Then $\operatorname{trdeg}{k}(B / P) \leq \operatorname{trdeg}{k}(B)$, with equality (if and) only if $P={0}$.

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交换代数代考

数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|Polynomials and finitely generated algebras

如果,此外,\mathfrak{E}=\left{\mathrm{s}{1}, \ldots, \mathrm{s}{n}\right}\mathfrak{E}=\left{\mathrm{s}{1}, \ldots, \mathrm{s}{n}\right}恰好是一个有限集,一个集合R[和]=R[ s1,…,sn],多项式环的助记符似曾相识n不确定;在这种情况下,R[s1,…, sn]据说他是有限生成的(或有限类型的)nverR.

以下语句也适用于无限生成的代数,但本书中的使用主要是在有限生成的情况下。

命题 1.2.2。让R⊂小号是一个有限类型的 R 代数。那么有一个R-同构R[X1,…,Xn]/我≃小号, 对于多项式环的一个合适的理想 IR[X1,…,Xn].
证明是多项式环的普遍性质的直接结果R[X1,…,Xn]和环的同态第一定理 (CF. 命题 1.1.2)。

命题 1.2.2 中的满射同态及其核分别称为多项式表示和R-代数小号. 表示理想的另一种术语是关系理想。可以理解,这些概念并不是由代数本身唯一定义的,因为它们取决于一组生成器的选择。

一个非凡的案例是R-多项式环的子代数R[X1,…,Xn]. 即使在这种情况下R=ķ是一个领域,结构的丰富性ķ-subalgebras 不是很容易理解的。乍一看,一个有限生成ķ- 的子代数ķ[X1,…,Xn]类似于任何其他有限类型的积分域ķ. 然而,这种相似性具有误导性,因为和XGs,在某些情况下,这样的代数可能会与所谓的无理射影簇的齐次坐标环同构。

数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|The transcendence degree

在这一部分中,我们关注域上有限类型的积分域ķ. 本小节的结果与基场的特征无关ķ. 因为除了ķ本身,将表示一个ķ- 字母代数R(代替小号 ).

一个多世纪前,人们可以自由地使用以下最初由克罗内克构思并由斯坦尼茨([148])严格设定的符号:如果ķ∣ķ是一个域扩展,即ķ是字段的子字段ķ, 和X⊂ķ是一个子集,那么ķ(X)表示最小的包含子域ķ包含ķ和X. 如果X由单个元素组成X一个写ķ(X)简而言之。

回想一下这样的元素X据说是代数的ķ假设它是一个非零多项式的根ķ[X]. 扩展名ķ∣ķ是代数的,如果它的所有元素都是代数的ķ.

给定一个字段扩展ķ∣ķ, 的代数闭包ķ在ķ是元素的集合ķ是代数的ķ. 通过域扩展中的代数元素的基本理论,人们知道这是一个中间域(斯坦尼茨术语中的“Zwischenkörper”)ķ和ķ. 由于缺乏更好的符号,它通常表示为ķ¯如果环境场ķ在讨论中是固定的。这种构造具有闭包运算符的形式属性;特别是,关闭一个闭包不会做任何事情,即(ķ¯)¯=ķ¯. 一个人说ķ在代数上是封闭的ķ如果ķ¯=ķ.
在这本书中,我们假设了代数扩展的基本理论,这个话题是一般代数训练的一部分,无论伽罗瓦理论的部分多么棘手(特别是主要特征),而这部分的主要焦点是先验方面场论与基础环论方面的关系。

因此,让R代表有限类型的积分域ķ. 让ķ表示分数的域R. 结果包含ķ⊂ķ使ķ进入一个有限生成的域扩展ķ∣ķ: 一组有限的生成器R超过ķ会产生ķ作为领域的延伸ķ也是。

给定一个字段扩展ķ∣ķ, 一个有限子集\mathfrak{X}=\left{x_{1}, \ldots, x_{n}\right} \subset K\mathfrak{X}=\left{x_{1}, \ldots, x_{n}\right} \subset K据说在代数上是独立的ķ如果是全称ķ-同态ķ[X1,…,Xn]→ķ[X]映射X一世至X一世(1≤一世≤n)是内射的。

尽管这个定义听起来是重复的,因为它断言代数独立集本质上是一组不确定的,但随着理论的发展,它的作用将变得清晰。通过要求每个有限子集都具有该属性,这个概念可以扩展到可能的无限集。

下一个概念对有限生成域扩展的作用与向量基对向量空间的作用相似——事实上,两者都是更一般的拟阵理论现象的特例,但这里不提它。由于有限生成的扩展包括作为一种特殊情况的有限扩展,因此必须允许新概念对这种灵活性进行编码。最一般的说法如下。

数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|Basic properties of the transcendence degree

无论识别某个集合是否是代数独立的,无论多么困难,都有一些基本的步骤可以提供帮助。

命题 1.2.8(修改不可约多项式)。让乙=ķ[X1,…,Xn]是一个域上的多项式环ķ然后让F∈乙表示一个非零不可约多项式。然后trdegķ⁡(乙/(F))=n−1.

证明。第一的,trdeg⁡ķ(乙)=n自从\left{X{1}, \ldots, X_{n}\right}\left{X{1}, \ldots, X_{n}\right}是超越的基础乙超过ķ. 写F=∑j=0米Fj(X1,…,Xn−1)Xnj. 可以假设米>0和F米(X1,…,Xn−1)≠0(如何?)。让X一世表示类X一世模块(F). 然后∑j=0米Fj(X1,…,Xn−1)Xnj=0,表明trdeg⁡ķ(乙/(F))≤n−1. 另一方面,\left{x{1}, \ldots, x_{n-1}\right}\left{x{1}, \ldots, x_{n-1}\right}是代数独立的ķ. 实际上,否则代数相关方程将产生一个非零多项式G∈ķ[X1,…,Xn−1]这样G∈(F),这是荒谬的,因为F有一个非零项涉及Xn.

前面的命题对任意素理想没有明显的推广。但是,可以说明以下弱版本。

命题 1.2.9(取模素理想)。让乙是域上的有限生成域ķ然后让磷⊂乙成为一个首要的理想。然后trdeg⁡ķ(乙/磷)≤trdeg⁡ķ(乙), 只有当磷=0.

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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