数学代写|代数数论代写Algebraic number theory代考|Ideal Class Group and Class Number

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代数数论是数论的一个分支,它使用抽象代数的技术来研究整数、有理数及其泛化。数论问题用代数对象的属性来表达,如代数数域及其整数环、有限域和函数域。这些属性,如一个环是否允许唯一的因式分解,理想的行为,以及场的伽罗瓦群,可以解决数论中最重要的问题,如狄方达方程的解的存在。

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数学代写|代数数论代写Algebraic number theory代考|Ideal Class Group and Class Number

数学代写|代数数论代写Algebraic number theory代考|Ideal Class Group and Class Number

In the last section, we proved that the nonzero fractional ideals of a Dedekind domain $A$ with quotient field $K$, form an Abelian group $I$ under the operation

of multiplication of ideals. The nonzero principal fractional ideals, that is the ideals of the form $\alpha A={\alpha a \mid a \in A}$ with $\alpha \neq 0$ in $K$, form a subgroup $P$ of $I$. The quotient group $I / P$ is called the ideal class group of $K$. The elements of $I / P$ are called the ideal classes. The cardinality of the ideal class group is called the class number of $K$. We will denote the class number of $K$ by $h_{K}$. In this section we shall show that the class number of a number field is finite, in which $A=\mathcal{O}_{K}$.

Recall that for a nonzero ideal $a$ of $\mathcal{O}{K}$, its norm $N(\mathrm{a})$ is the cardinality of the quotient ring $\mathcal{O}{K} / a$. We have seen that this cardinality is finite.

Theorem 3.67. Suppose $(\alpha)=\alpha \mathcal{O}{K}$ is a principal ideal of $\mathcal{O}{K}$. Then we have
$$
N((\alpha))=\left|N_{K / Q}(\alpha)\right|
$$
Proof. If $\alpha=0$ there is nothing to prove, Otherwise, write $\mathcal{O}{K}=\mathbb{Z} \alpha{1} \oplus$ $\cdots \oplus \mathbb{Z} \alpha_{n}$, where $n=[K: \mathbb{Q}]$. By Proposition $3.42$, we can also write $((\alpha))=$ $\mathbb{Z} \beta_{1} \oplus \ldots \oplus \mathbb{Z} \beta_{n}$, where
$$
\beta_{i}=\sum_{j=i}^{n} a_{j i} \alpha_{j}
$$
with $a_{i i}>0$. By Theorem 3.47, $N((\alpha))=a_{11} \ldots a_{n n}$. On the other hand,
$$
(\alpha)=\mathbb{Z} \alpha \alpha_{1} \oplus \cdots \oplus \mathbb{Z} \alpha \alpha_{n}
$$
which shows that $\left{\alpha \alpha_{1}, \ldots, \alpha \alpha_{n}\right}$ is a $\mathbb{Z}$-basis of $(\alpha)$. The transition matrix $U$ from $\left{\beta_{1}, \ldots, \beta_{n}\right}$ to $\left{\alpha \alpha_{1}, \ldots, \alpha \alpha_{n}\right}$ is unimodular. If for $i<j$ we let $a_{i j}=0$ and put $M=\left(a_{i j}\right)$, then
$$
\alpha\left(\begin{array}{c}
\alpha_{1} \
\vdots \
\alpha_{n}
\end{array}\right)=U M\left(\begin{array}{c}
\alpha_{1} \
\vdots \
\alpha_{n}
\end{array}\right)
$$
Therefore,
$$
\left|N_{K / \mathbb{Q}}(\alpha)\right|=|\operatorname{det}(U M)|=|\operatorname{det}(M)|=\left|N\left(\alpha \mathcal{O}_{K}\right)\right|
$$

数学代写|代数数论代写Algebraic number theory代考|Arithmetic in Relative Extensions

Throughout this chapter, $K$ will denote a number field and $k$ a subfield of $K$. The extension $K / k$ will be called a relative extension of number fields. We put $\mathfrak{o}=\mathcal{O}{k}$ and $\mathcal{O}=\mathcal{O}{K}$.

Theorem 4.1. $\mathcal{O}{K}={\alpha \in K \mid f(\alpha)=0$ for a monic polynomial $f(x)$ in o $[x]}$ Proof. We only have to show that any $\alpha$ in $K$ which satisfies a monic polynomial $f(x)$ in $o[x]$ is an algebraic integer. Let $$ f(x)=a{0}+a_{1} x+\cdots+a_{n-1} x^{n-1}+x^{n}
$$
with $a_{j}$ in 0 . Since $a_{j}$ are algebraic integers,
$$
M=\mathbb{Z}\left[a_{0}, a_{1}, \ldots, a_{n-1}\right]
$$
is a finitely generated $\mathbb{Z}$-module, and so is
$$
\mathbb{Z}\left[a_{0}, a_{1}, \ldots, a_{n-1}, \alpha\right]=M+M \alpha+\cdots+M \alpha^{n-1}
$$
Since $\mathbb{Z}[\alpha]$ is a submodule of a finitely generated $\mathbb{Z}$-module, $\mathbb{Z}[\alpha]$ is also a finitely generated ZZ-module, which shows that $\alpha$ is an algebraic integer.

Remark 4.2. This theorem allows us to regard $K / \mathbb{Q}$ as a special case of the relative extension $K / k$ of number fields with $k=\mathbb{Q}$.
EXERCISE
Let $k \subseteq K \subseteq L$ be number fields with $[K: k]=n$ and $[L: K]=m$. Let $\sigma_{1}, \ldots, \sigma_{n}$ be the distinct $k$-isomorphisms of $K$ into $\mathbb{C}$. Show that each $\sigma_{i}$ extends to $m$ distinct $k$-isomorphisms $\sigma_{i j}: L \rightarrow \mathbb{C}$.

Hint: Let $L=K(\theta)$ and $\tau_{1}, \ldots, \tau_{m}$ be the $m$ distinct $K$-isomorphisms of $L$ into $\mathbb{C}$. If we write $\alpha$ in $L$ as
$$
\alpha=a_{0}+a_{1} \theta+\cdots+a_{m-1} \theta^{m-1}
$$
with coefficients in $K$, put
$$
\sigma_{i j}(\alpha)=\sigma_{i}\left(a_{0}\right)+\sigma_{i}\left(a_{1}\right) \tau_{j}(\theta)+\cdots+\sigma_{i}\left(a_{m-1}\right) \tau_{j}\left(\theta^{m-1}\right)
$$
Recall the following.

数学代写|代数数论代写Algebraic number theory代考|Criterion for Ramification

We now start preparing to show that if $K / k$ is an extension of number fields, the number of primes which ramify in $K$ is finite. In fact, we shall point out exactly which primes in $k$ ramify in $K$.
Definition 4.11. The complementary set of $\mathcal{O}$ relative to $o$ is the set
$$
\mathcal{O}^{\prime}=\left{\alpha \in K \mid \operatorname{Tr}_{K / k}(\alpha \mathcal{O}) \subseteq \mathfrak{o}\right}
$$
Theorem 4.12. The complementary set $\mathcal{O}^{\prime}$ is a fractional ideal and contains O.

Proof. It is obvious from the properties of the trace map and definition of $\mathcal{O}^{\prime}$ that $\mathcal{O}^{\prime}$ is an $\mathcal{O}$-module and that $\mathcal{O} \subseteq \mathcal{O}^{\prime}$. All we have to do is to produce a nonzero element $d$ of $\mathfrak{o}$ such that $d \mathcal{O}^{\prime} \subseteq \mathcal{O}$.

Fix a basis $\alpha_{1}, \ldots, \alpha_{n}$ of $K$ over $k$, consisting of elements of $\mathcal{O}$. If $\alpha \in K$, write
$$
\alpha=a_{1} \alpha_{1}+\cdots+a_{n} \alpha_{n} \quad\left(a_{j} \in k\right) .
$$
Then for each $i=1, \ldots, n$,
$$
\operatorname{Tr}{K / k}\left(\alpha \alpha{i}\right)=\sum_{j=1}^{n} a_{j} \operatorname{Tr}{K / k}\left(\alpha{i} \alpha_{j}\right)=b_{i} \in \mathfrak{0}
$$

or in the matrix notation
$$
\left(\operatorname{Tr}{K / k}\left(\alpha{i} \alpha_{j}\right)\right)\left(\begin{array}{c}
a_{1} \
\vdots \
a_{n}
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}
b_{1} \
\vdots \
b_{n}
\end{array}\right)
$$
Since the matrix ( $\left.\operatorname{Tr}{K / k}\left(\alpha{i} \alpha_{j}\right)\right) \in G L(n, o)$, solving by Cramer’s rule, we see that $d a_{j} \in 0$, where $d=\operatorname{det}\left(\operatorname{Tr}{K / k}\left(\alpha{i} \alpha_{j}\right)\right)$ is a nonzero element of $\mathfrak{o}$.
Definition 4.13. The integral ideal
$$
\mathfrak{D}{K / k}=\mathcal{O}^{\prime-1} $$ is called the different of $K / k$. Definition 4.14. The ideal $\mathfrak{d}{K / k}=N_{K / k}\left(\mathfrak{D}{K / k}\right)$ of $\mathfrak{o}$ is called the discriminant of $K / k$. The following is also clear from the proof of Theorem 4.12. Theorem 4.15. The ideal $\mathfrak{o}{K / Q}$ is generated by the discriminant $d_{K}$ of $K$, that is, $\mathfrak{o}{K / Q}=d{K} \mathbb{Z}$.

The rest of the chapter is devoted to prove that a prime $\mathfrak{F}$ of $K$ is ramified if and only if $\mathfrak{P} \mid \mathfrak{D}{K / k}$, and a prime $\mathfrak{p}$ of $k$ is ramified if and only if $\mathfrak{p} \mid d{K / k}$. In particular, there are only finitely many primes of $\mathbb{Q}$ which ramify in a number field $K$. These are exactly the primes which appear in the unique factorization of $d_{K}$.

数学代写|代数数论代写Algebraic number theory代考|Ideal Class Group and Class Number

代数数论代考

数学代写|代数数论代写Algebraic number theory代考|Ideal Class Group and Class Number

在上一节中,我们证明了 Dedekind 域的非零分数理想一个有商场ķ, 形成一个阿贝尔群我在操作下

理想的乘法。非零主分数理想,即理想形式一个一个=一个一个∣一个∈一个和一个≠0在ķ, 形成一个子群磷的我. 商群我/磷被称为理想类群ķ. 的元素我/磷被称为理想类。理想类群的基数称为类数ķ. 我们将表示班级编号ķ经过Hķ. 在本节中,我们将证明数域的类数是有限的,其中一个=○ķ.

回想一下,对于非零理想一个的○ķ, 其范数ñ(一个)是商环的基数○ķ/一个. 我们已经看到这种基数是有限的。

定理 3.67。假设$(\alpha)=\alpha\mathcal {O} {K一世s一个pr一世nC一世p一个l一世d和一个l○F\mathcal{O} {K}.吨H和n在和H一个在和ñ((一个))=|ñķ/问(一个)|磷r○○F.我F\alpha=0吨H和r和一世sn○吨H一世nG吨○pr○在和,○吨H和r在一世s和,在r一世吨和\ mathcal {O} {K} = \ mathbb {Z} \ alpha {1} \ oplus\cdots \oplus \mathbb{Z} \alpha_{n},在H和r和n=[K: \mathbb{Q}].乙是磷r○p○s一世吨一世○n3.42,在和C一个n一个ls○在r一世吨和((\alpha))=\mathbb{Z} \beta_{1} \oplus \ldots \oplus \mathbb{Z} \beta_{n},在H和r和b一世=∑j=一世n一个j一世一个j在一世吨Ha_{ii}>0.乙是吨H和○r和米3.47,N((\alpha))=a_{11} \ldots a_{nn}.○n吨H和○吨H和rH一个nd,(一个)=从一个一个1⊕⋯⊕从一个一个n在H一世CHsH○在s吨H一个吨\left{\alpha \alpha_{1}, \ldots, \alpha \alpha_{n}\right}一世s一个\mathbb {Z}−b一个s一世s○F(\α).吨H和吨r一个ns一世吨一世○n米一个吨r一世X在Fr○米\left{\beta_{1}, \ldots, \beta_{n}\right}吨○\left{\alpha \alpha_{1}, \ldots, \alpha \alpha_{n}\right}一世s在n一世米○d在l一个r.我FF○r我<j在和l和吨a_{ij}=0一个ndp在吨M=\left(a_{ij}\right),吨H和n一个(一个1 ⋮ 一个n)=在米(一个1 ⋮ 一个n)吨H和r和F○r和,|ñķ/问(一个)|=|这⁡(在米)|=|这⁡(米)|=|ñ(一个○ķ)|$

数学代写|代数数论代写Algebraic number theory代考|Arithmetic in Relative Extensions

在这一章中,ķ将表示一个数字字段和ķ的一个子领域ķ. 扩展名ķ/ķ将被称为数字字段的相对扩展。我们把○=○ķ和○=○ķ.

定理 4.1。○ķ=一个∈ķ∣F(一个)=0$F○r一个米○n一世Cp○l是n○米一世一个l$F(X)$一世n○$[X]证明。我们只需要证明任何一个在ķ满足一元多项式F(X)在○[X]是代数整数。让

F(X)=一个0+一个1X+⋯+一个n−1Xn−1+Xn
和一个j在 0 。自从一个j是代数整数,

米=从[一个0,一个1,…,一个n−1]
是一个有限生成的从-module,也是如此

从[一个0,一个1,…,一个n−1,一个]=米+米一个+⋯+米一个n−1
自从从[一个]是一个有限生成的子模从-模块,从[一个]也是一个有限生成的 ZZ 模,这表明一个是代数整数。

备注 4.2。这个定理允许我们考虑ķ/问作为相对扩展的特例ķ/ķ的数字字段ķ=问.
锻炼
让ķ⊆ķ⊆大号是数字字段[ķ:ķ]=n和[大号:ķ]=米. 让σ1,…,σn与众不同ķ- 的同构ķ进入C. 表明每个σ一世延伸至米清楚的ķ-同构σ一世j:大号→C.

提示:让大号=ķ(θ)和τ1,…,τ米成为米清楚的ķ- 的同构大号进入C. 如果我们写一个在大号作为

一个=一个0+一个1θ+⋯+一个米−1θ米−1
系数在ķ, 放

σ一世j(一个)=σ一世(一个0)+σ一世(一个1)τj(θ)+⋯+σ一世(一个米−1)τj(θ米−1)
回想以下内容。

数学代写|代数数论代写Algebraic number theory代考|Criterion for Ramification

我们现在开始准备证明,如果ķ/ķ是数域的扩展,即在ķ是有限的。事实上,我们将准确指出哪些素数在ķ分枝于ķ.
定义 4.11。互补的集合○关系到○是集合

\mathcal{O}^{\prime}=\left{\alpha \in K \mid \operatorname{Tr}_{K / k}(\alpha \mathcal{O}) \subseteq \mathfrak{o}\right }\mathcal{O}^{\prime}=\left{\alpha \in K \mid \operatorname{Tr}_{K / k}(\alpha \mathcal{O}) \subseteq \mathfrak{o}\right }
定理 4.12。互补集○′是一个分数理想并且包含 O。

证明。从迹图的性质和定义可以看出○′那○′是一个○-模块和那个○⊆○′. 我们所要做的就是产生一个非零元素d的○这样d○′⊆○.

确定一个基础一个1,…,一个n的ķ超过ķ,由以下元素组成○. 如果一个∈ķ, 写

一个=一个1一个1+⋯+一个n一个n(一个j∈ķ).
那么对于每个一世=1,…,n,

Tr⁡ķ/ķ(一个一个一世)=∑j=1n一个jTr⁡ķ/ķ(一个一世一个j)=b一世∈0

或在矩阵符号中

(Tr⁡ķ/ķ(一个一世一个j))(一个1 ⋮ 一个n)=(b1 ⋮ bn)
由于矩阵 (Tr⁡ķ/ķ(一个一世一个j))∈G大号(n,○),通过克莱默规则求解,我们看到d一个j∈0, 在哪里d=这⁡(Tr⁡ķ/ķ(一个一世一个j))是一个非零元素○.
定义 4.13。整体理想

Dķ/ķ=○′−1被称为不同的ķ/ķ. 定义 4.14。理想dķ/ķ=ñķ/ķ(Dķ/ķ)的○被称为判别式ķ/ķ. 从定理 4.12 的证明中也可以清楚地看到以下内容。定理 4.15。理想○ķ/问由判别式生成dķ的ķ, 那是,○ķ/问=dķ从.

本章的其余部分致力于证明一个素数F的ķ当且仅当磷∣Dķ/ķ, 和一个素数p的ķ当且仅当p∣dķ/ķ. 特别是,只有有限多个素数问在数字字段中分枝ķ. 这些正是出现在唯一因式分解中的素数dķ.

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

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MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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