如果你也在 怎样代写凸优化Convex Optimization这个学科遇到相关的难题，请随时右上角联系我们的24/7代写客服。
凸优化是数学优化的一个子领域，研究的是凸集上凸函数最小化的问题。许多类凸优化问题都有多项时间算法，而数学优化一般来说是NP困难的。
statistics-lab™ 为您的留学生涯保驾护航 在代写凸优化Convex Optimization方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的统计Statistics代写服务。我们的专家在代写凸优化Convex Optimization代写方面经验极为丰富，各种代写凸优化Convex Optimization相关的作业也就用不着说。
我们提供的凸优化Convex Optimization及其相关学科的代写，服务范围广, 其中包括但不限于:
- Statistical Inference 统计推断
- Statistical Computing 统计计算
- Advanced Probability Theory 高等概率论
- Advanced Mathematical Statistics 高等数理统计学
- (Generalized) Linear Models 广义线性模型
- Statistical Machine Learning 统计机器学习
- Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析
- Foundations of Data Science 数据科学基础
数学代写|凸优化作业代写Convex Optimization代考|Definition and examples
A function $f: \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}$ is said to be quasiconvex if its domain and all its $\alpha$ sublevel sets defined as
$$
S_{a}={\mathbf{x} \mid \mathbf{x} \in \operatorname{dom} f, f(\mathbf{x}) \leq \alpha}
$$
(see Figure $3.8$ ) are convex for every $\alpha$. Moreover,
- $f$ is quasiconvex if $f$ is convex since every sublevel set of convex functions is a convex set (cf. Remark 3.5), but the converse is not necessarily true.
- $f$ is quasiconcave if $-f$ is quasiconvex. It is also true that $f$ is quasiconcave if its domain and all the $\alpha$-superlevel sets defined as
- $$
- \mathcal{S}_{\alpha}={\mathbf{x} \mid \mathbf{x} \in \operatorname{dom} f, f(\mathbf{x}) \geq \alpha}
- $$
- are convex for every $\alpha$.
- $f$ is quasilinear if $f$ is both quasiconvex and quasiconcave.
- The relationships among convex functions, quasiconvex functions, concave functions, and quasiconcave functions are illustrated in Figure 3.9.
数学代写|凸优化作业代写Convex Optimization代考|Modified Jensen’s inequality
A function $f: \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}$ is quasiconvex if and only if
$$
f(\theta \mathbf{x}+(1-\theta) \mathbf{y}) \leq \max {f(\mathbf{x}), f(\mathbf{y})}
$$
for all $\mathbf{x}, \mathbf{y} \in \operatorname{dom} f$, and $0 \leq \theta \leq 1$ (see Figure $3.8$ ).
Proof: Let us prove the necessity followed by sufficiency.
- Necessity: Let $\mathbf{x}, \mathbf{y} \in \operatorname{dom} f$. Choose $\alpha=\max {f(\mathbf{x}), f(\mathbf{y})}$. Then $\mathbf{x}, \mathbf{y} \in S_{\alpha}$. Since $f$ is quasiconvex by assumption, $S_{\alpha}$ is convex, that is, for $\theta \in[0,1]$,
$$
\begin{aligned}
&\theta \mathbf{x}+(1-\theta) \mathbf{y} \in S_{\alpha} \
&\Rightarrow f(\theta \mathbf{x}+(1-\theta) \mathbf{y}) \leq \alpha=\max {f(\mathbf{x}), f(\mathbf{y})}
\end{aligned}
$$ - Sufficiency: For every $\alpha$, pick two points $\mathbf{x}, \mathbf{y} \in S_{\alpha} \Rightarrow f(\mathbf{x}) \leq \alpha, f(\mathbf{y}) \leq \alpha$. Since for $0 \leq \theta \leq 1, f(\theta \mathbf{x}+(1-\theta) \mathbf{y}) \leq \max {f(\mathbf{x}), f(\mathbf{y})} \leq \alpha($ by $(3.106))$, we have
$$
\theta \mathbf{x}+(1-\theta) \mathbf{y} \in S_{\alpha}
$$
Therefore, $S_{\alpha}$ is convex and thus the function $f$ is quasiconvex.
Remark 3.33 $f$ is quasiconcave if and only if
$$
f(\theta \mathbf{x}+(1-\theta) \mathbf{y}) \geq \min {f(\mathbf{x}), f(\mathbf{y})}
$$
for all $\mathbf{x}, \mathbf{y} \in \operatorname{dom} f$, and $0 \leq \theta \leq 1$. This is also the modified Jensen’s inequality for quasiconcave functions. If the inequality (3.106) holds strictly for $0<\theta<1$, then $f$ is strictly quasiconvex. Similarly, if the inequality (3.107) holds strictly for $0<\theta<1$, then $f$ is strictly quasiconcave.
Remark 3.34 Since the rank of a PSD matrix is quasiconcave,
$$
\operatorname{rank}(\mathbf{X}+\mathbf{Y}) \geq \min {\operatorname{rank}(\mathbf{X}), \operatorname{rank}(\mathbf{Y})}, \mathbf{X}, \mathbf{Y} \in \mathbb{S}{+}^{\mathrm{n}} $$ holds true. This can be proved by (3.107), by which we get $$ \operatorname{rank}(\theta \mathbf{X}+(1-\theta) \mathbf{Y}) \geq \min {\operatorname{rank}(\mathbf{X}), \operatorname{rank}(\mathbf{Y})} $$ for all $\mathbf{X} \in \mathbb{S}{+}^{n}, \mathbf{Y} \in \mathbb{S}_{+}^{n}$, and $0 \leq \theta \leq 1$. Then replacing $\mathbf{X}$ by $\mathbf{X} / \theta$ and $\mathbf{Y}$ by $\mathbf{Y} /(1-\theta)$ where $\theta \neq 0$ and $\theta \neq 1$ gives rise to (3.108).
Remark $3.35 \operatorname{card}(\mathbf{x}+\mathbf{y}) \geq \min {\operatorname{card}(\mathbf{x}), \operatorname{card}(\mathbf{y})}, \mathbf{x}, \mathbf{y} \in \mathbb{R}_{+}^{n}$. Similar to the proof of (3.108) in Remark $3.34$, this inequality can be shown to be true by using $(3.107)$ again, since $\operatorname{card}(\mathrm{x})$ is quasiconcave.
数学代写|凸优化作业代写Convex Optimization代考|First-order condition
Suppose that $f$ is differentiable. Then $f$ is quasiconvex if and only if dom $f$ is convex and for all $\mathbf{x}, \mathbf{y} \in \operatorname{dom} f$
$$
f(\mathbf{y}) \leq f(\mathbf{x}) \Rightarrow \nabla f(\mathbf{x})^{T}(\mathbf{y}-\mathbf{x}) \leq 0,
$$
that is, $\nabla f(\mathbf{x})$ defines a supporting hyperplane to the sublevel set
$$
S_{\alpha=f(\mathbf{x})}={\mathbf{y} \mid f(\mathbf{y}) \leq \alpha=f(\mathbf{x})}
$$
at the point $\mathbf{x}$ (see Figure 3.11). Moreover, the first-order condition given by (3.110) means that the first-order term in the Taylor series of $f(\mathbf{y})$ at the point $\mathbf{x}$ is no greater than zero whenever $f(\mathbf{y}) \leq f(\mathbf{x})$.
Proof: Let us prove the necessity followed by the sufficiency.
- Necessity: Suppose $f(\mathbf{x}) \geq f(\mathbf{y})$. Then, by modified Jensen’s inequality, we have
$$
f(t \mathbf{y}+(1-t) \mathbf{x}) \leq f(\mathbf{x}) \text { for all } 0 \leq t \leq 1
$$
Therefore,
$$
\begin{aligned}
\lim {t \rightarrow 0^{+}} \frac{f(\mathbf{x}+t(\mathbf{y}-\mathbf{x}))-f(\mathbf{x})}{t} &=\lim {t \rightarrow 0^{+}} \frac{1}{t}\left(f(\mathbf{x})+t \nabla f(\mathbf{x})^{T}(\mathbf{y}-\mathbf{x})-f(\mathbf{x})\right) \
&=\nabla f(\mathbf{x})^{T}(\mathbf{y}-\mathbf{x}) \leq 0
\end{aligned}
$$
where we have used the first-order Taylor series approximation in the first equality. - Sufficiency: Suppose that $f(\mathbf{x})$ is not quasiconvex. Then there exists a nonconvex sublevel set of $f$,
$$
S_{\alpha}={\mathbf{x} \mid f(\mathbf{x}) \leq \alpha},
$$
and two distinct points $\mathbf{x}{1}, \mathbf{x}{2} \in S_{\alpha}$ such that $\theta \mathbf{x}{1}+(1-\theta) \mathbf{x}{2} \notin$ $S_{\alpha}$, for some $0<\theta<1$, i.e., $$ f\left(\theta \mathbf{x}{1}+(1-\theta) \mathbf{x}{2}\right)>\alpha \text { for some } 0<\theta<1 . $$ Since $f$ is differentiable, hence continuous, (3.112) implies that, as illustrated in Figure 3.12, there exist distinct $\theta_{1}, \theta_{2} \in(0,1)$ such that $$ \begin{aligned} &f\left(\theta \mathbf{x}_{1}+(1-\theta) \mathbf{x}_{2}\right)>\alpha \text { for all } \theta_{1}<\theta<\theta_{2} \ &f\left(\theta_{1} \mathbf{x}{1}+\left(1-\theta{1}\right) \mathbf{x}{2}\right)=f\left(\theta{2} \mathbf{x}{1}+\left(1-\theta{2}\right) \mathbf{x}{2}\right)=\alpha . \end{aligned} $$ Let $\mathbf{x}=\theta{1} \mathbf{x}{1}+\left(1-\theta{1}\right) \mathbf{x}{2}$ and $\mathbf{y}=\theta{2} \mathbf{x}{1}+\left(1-\theta{2}\right) \mathbf{x}_{2}$, and so $$ f(\mathbf{x})=f(\mathbf{y})=\alpha, $$ and $$ g(t)=f(t \mathbf{y}+(1-t) \mathbf{x})>\alpha \text { for all } 0<t<1
$$
is a differentiable function of $t$ and $\partial g(t) / \partial t>0$ for $t \in[0, \varepsilon)$ where $0<\varepsilon \ll 1$, as illustrated in Figure 3.12. Then, it can be inferred that $$ \begin{aligned} (1-t) \frac{\partial g(t)}{\partial t} &=\nabla f(\mathbf{x}+t(\mathbf{y}-\mathbf{x}))^{T}[(1-t)(\mathbf{y}-\mathbf{x})]>0 \text { for all } t \in[0, \varepsilon) \
&=\nabla f(\boldsymbol{x})^{T}(\mathbf{y}-\boldsymbol{x})>0 \text { for all } t \in[0, \varepsilon)
\end{aligned}
$$
where
$$
\begin{aligned}
\boldsymbol{x} &=\mathbf{x}+t(\mathbf{y}-\mathbf{x}), \quad t \in[0, \varepsilon] \
\Rightarrow g(t) &=f(\boldsymbol{x}) \geq f(\mathbf{y})=\alpha(\text { by }(3.113) \text { and }(3.114))
\end{aligned}
$$
Therefore, if $f$ is not quasiconvex, there exist $\boldsymbol{x}, \mathbf{y}$ such that $f(\mathbf{y}) \leq f(\boldsymbol{x})$ and $\nabla f(\boldsymbol{x})^{T}(\mathbf{y}-\boldsymbol{x})>0$, which contradicts with the implication (3.110). Thus we have completed the proof of sufficiency.
凸优化代写
数学代写|凸优化作业代写Convex Optimization代考|Definition and examples
一个函数F:Rn→R如果它的域及其所有一种子级别集定义为
小号一种=X∣X∈domF,F(X)≤一种
（见图3.8) 对每个都是凸的一种. 而且，
- F是拟凸的，如果F是凸的，因为凸函数的每个子级集都是凸集（参见备注 3.5），但反过来不一定成立。
- F是准凹的，如果−F是准凸的。这也是事实F是准凹的，如果它的域和所有一种-superlevel 集定义为
- $$
- \mathcal{S}_{\alpha}={\mathbf{x}\mid \mathbf{x}\in \operatorname{dom}f,f(\mathbf{x})\geq\alpha}
- $$
- 对每个都是凸的一种.
- F是拟线性的，如果F既是拟凸的又是拟凹的。
- 凸函数、拟凸函数、凹函数和拟凹函数之间的关系如图 3.9 所示。
数学代写|凸优化作业代写Convex Optimization代考|Modified Jensen’s inequality
一个函数F:Rn→R是拟凸的当且仅当
F(θX+(1−θ)是)≤最大限度F(X),F(是)
对全部X,是∈domF， 和0≤θ≤1（见图3.8）。
证明：让我们证明必要性，然后证明充分性。
- 必要性：让X,是∈domF. 选择一种=最大限度F(X),F(是). 然后X,是∈小号一种. 自从F通过假设是准凸的，小号一种是凸的，也就是说，对于θ∈[0,1],
θX+(1−θ)是∈小号一种 ⇒F(θX+(1−θ)是)≤一种=最大限度F(X),F(是) - 充足性：对于每个一种, 选取两点X,是∈小号一种⇒F(X)≤一种,F(是)≤一种. 因此0≤θ≤1,F(θX+(1−θ)是)≤最大限度F(X),F(是)≤一种(经过(3.106))， 我们有
θX+(1−θ)是∈小号一种
所以，小号一种是凸的，因此函数F是准凸的。
备注 3.33F是准凹的当且仅当
F(θX+(1−θ)是)≥分钟F(X),F(是)
对全部X,是∈domF， 和0≤θ≤1. 这也是拟凹函数的修正 Jensen 不等式。如果不等式 (3.106) 严格成立0<θ<1， 然后F是严格准凸的。类似地，如果不等式 (3.107) 严格成立0<θ<1， 然后F是严格准凹的。
备注 3.34 由于 PSD 矩阵的秩是拟凹的，
秩(X+是)≥分钟秩(X),秩(是),X,是∈小号+n成立。这可以由 (3.107) 证明，由此我们得到秩(θX+(1−θ)是)≥分钟秩(X),秩(是)对全部X∈小号+n,是∈小号+n， 和0≤θ≤1. 然后更换X经过X/θ和是经过是/(1−θ)在哪里θ≠0和θ≠1产生 (3.108)。
评论3.35卡片(X+是)≥分钟卡片(X),卡片(是),X,是∈R+n. 类似于 Remark 中 (3.108) 的证明3.34, 这个不等式可以通过使用来证明是正确的(3.107)再次，因为卡片(X)是准凹的。
数学代写|凸优化作业代写Convex Optimization代考|First-order condition
假设F是可微的。然后F是拟凸的当且仅当 domF是凸的并且对于所有人X,是∈domF
F(是)≤F(X)⇒∇F(X)吨(是−X)≤0,
那是，∇F(X)为子水平集定义一个支持超平面
小号一种=F(X)=是∣F(是)≤一种=F(X)
在这一点上X（见图 3.11）。此外，由 (3.110) 给出的一阶条件意味着泰勒级数中的一阶项F(是)在这一点上X不大于零F(是)≤F(X).
证明：让我们证明必要性，然后证明充分性。
- 必要性：假设F(X)≥F(是). 然后，通过修正 Jensen 不等式，我们有
F(吨是+(1−吨)X)≤F(X) 对全部 0≤吨≤1
所以，
林吨→0+F(X+吨(是−X))−F(X)吨=林吨→0+1吨(F(X)+吨∇F(X)吨(是−X)−F(X)) =∇F(X)吨(是−X)≤0
我们在第一个等式中使用了一阶泰勒级数近似。 - 充分性：假设F(X)不是准凸的。那么存在一个非凸子水平集F,
小号一种=X∣F(X)≤一种,
和两个不同的点X1,X2∈小号一种这样θX1+(1−θ)X2∉ 小号一种， 对于一些0<θ<1， IE，F(θX1+(1−θ)X2)>一种 对于一些 0<θ<1.自从F是可微的，因此是连续的，(3.112) 意味着，如图 3.12 所示，存在不同的θ1,θ2∈(0,1)这样F(θX1+(1−θ)X2)>一种 对全部 θ1<θ<θ2 F(θ1X1+(1−θ1)X2)=F(θ2X1+(1−θ2)X2)=一种.让X=θ1X1+(1−θ1)X2和是=θ2X1+(1−θ2)X2， 所以F(X)=F(是)=一种,和G(吨)=F(吨是+(1−吨)X)>一种 对全部 0<吨<1
是一个可微函数吨和∂G(吨)/∂吨>0为了吨∈[0,e)在哪里0<e≪1，如图 3.12 所示。那么，可以推断出(1−吨)∂G(吨)∂吨=∇F(X+吨(是−X))吨[(1−吨)(是−X)]>0 对全部 吨∈[0,e) =∇F(X)吨(是−X)>0 对全部 吨∈[0,e)
在哪里
X=X+吨(是−X),吨∈[0,e] ⇒G(吨)=F(X)≥F(是)=一种( 经过 (3.113) 和 (3.114))
因此，如果F不是拟凸的，存在的X,是这样F(是)≤F(X)和∇F(X)吨(是−X)>0，这与蕴涵（3.110）相矛盾。至此，我们完成了充分性证明。
统计代写请认准statistics-lab™. statistics-lab™为您的留学生涯保驾护航。
金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。
非参数统计代写
非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。
有限元方法代写
有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
tatistics-lab作为专业的留学生服务机构，多年来已为美国、英国、加拿大、澳洲等留学热门地的学生提供专业的学术服务，包括但不限于Essay代写，Assignment代写，Dissertation代写，Report代写，小组作业代写，Proposal代写，Paper代写，Presentation代写，计算机作业代写，论文修改和润色，网课代做，exam代考等等。写作范围涵盖高中，本科，研究生等海外留学全阶段，辐射金融，经济学，会计学，审计学，管理学等全球99%专业科目。写作团队既有专业英语母语作者，也有海外名校硕博留学生，每位写作老师都拥有过硬的语言能力，专业的学科背景和学术写作经验。我们承诺100%原创，100%专业，100%准时，100%满意。
随机分析代写
随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。
时间序列分析代写
随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。
回归分析代写
多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。