### 数学代写|凸优化作业代写Convex Optimization代考|Quasiconvex functions

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## 数学代写|凸优化作业代写Convex Optimization代考|Definition and examples

A function $f: \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}$ is said to be quasiconvex if its domain and all its $\alpha$ sublevel sets defined as
$$S_{a}={\mathbf{x} \mid \mathbf{x} \in \operatorname{dom} f, f(\mathbf{x}) \leq \alpha}$$
(see Figure $3.8$ ) are convex for every $\alpha$. Moreover,

• $f$ is quasiconvex if $f$ is convex since every sublevel set of convex functions is a convex set (cf. Remark 3.5), but the converse is not necessarily true.
• $f$ is quasiconcave if $-f$ is quasiconvex. It is also true that $f$ is quasiconcave if its domain and all the $\alpha$-superlevel sets defined as
• $$• \mathcal{S}_{\alpha}={\mathbf{x} \mid \mathbf{x} \in \operatorname{dom} f, f(\mathbf{x}) \geq \alpha} •$$
• are convex for every $\alpha$.
• $f$ is quasilinear if $f$ is both quasiconvex and quasiconcave.
• The relationships among convex functions, quasiconvex functions, concave functions, and quasiconcave functions are illustrated in Figure 3.9.

## 数学代写|凸优化作业代写Convex Optimization代考|Modified Jensen’s inequality

A function $f: \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}$ is quasiconvex if and only if
$$f(\theta \mathbf{x}+(1-\theta) \mathbf{y}) \leq \max {f(\mathbf{x}), f(\mathbf{y})}$$
for all $\mathbf{x}, \mathbf{y} \in \operatorname{dom} f$, and $0 \leq \theta \leq 1$ (see Figure $3.8$ ).
Proof: Let us prove the necessity followed by sufficiency.

• Necessity: Let $\mathbf{x}, \mathbf{y} \in \operatorname{dom} f$. Choose $\alpha=\max {f(\mathbf{x}), f(\mathbf{y})}$. Then $\mathbf{x}, \mathbf{y} \in S_{\alpha}$. Since $f$ is quasiconvex by assumption, $S_{\alpha}$ is convex, that is, for $\theta \in[0,1]$,
\begin{aligned} &\theta \mathbf{x}+(1-\theta) \mathbf{y} \in S_{\alpha} \ &\Rightarrow f(\theta \mathbf{x}+(1-\theta) \mathbf{y}) \leq \alpha=\max {f(\mathbf{x}), f(\mathbf{y})} \end{aligned}
• Sufficiency: For every $\alpha$, pick two points $\mathbf{x}, \mathbf{y} \in S_{\alpha} \Rightarrow f(\mathbf{x}) \leq \alpha, f(\mathbf{y}) \leq \alpha$. Since for $0 \leq \theta \leq 1, f(\theta \mathbf{x}+(1-\theta) \mathbf{y}) \leq \max {f(\mathbf{x}), f(\mathbf{y})} \leq \alpha($ by $(3.106))$, we have
$$\theta \mathbf{x}+(1-\theta) \mathbf{y} \in S_{\alpha}$$
Therefore, $S_{\alpha}$ is convex and thus the function $f$ is quasiconvex.
Remark 3.33 $f$ is quasiconcave if and only if
$$f(\theta \mathbf{x}+(1-\theta) \mathbf{y}) \geq \min {f(\mathbf{x}), f(\mathbf{y})}$$
for all $\mathbf{x}, \mathbf{y} \in \operatorname{dom} f$, and $0 \leq \theta \leq 1$. This is also the modified Jensen’s inequality for quasiconcave functions. If the inequality (3.106) holds strictly for $0<\theta<1$, then $f$ is strictly quasiconvex. Similarly, if the inequality (3.107) holds strictly for $0<\theta<1$, then $f$ is strictly quasiconcave.
Remark 3.34 Since the rank of a PSD matrix is quasiconcave,
$$\operatorname{rank}(\mathbf{X}+\mathbf{Y}) \geq \min {\operatorname{rank}(\mathbf{X}), \operatorname{rank}(\mathbf{Y})}, \mathbf{X}, \mathbf{Y} \in \mathbb{S}{+}^{\mathrm{n}}$$ holds true. This can be proved by (3.107), by which we get $$\operatorname{rank}(\theta \mathbf{X}+(1-\theta) \mathbf{Y}) \geq \min {\operatorname{rank}(\mathbf{X}), \operatorname{rank}(\mathbf{Y})}$$ for all $\mathbf{X} \in \mathbb{S}{+}^{n}, \mathbf{Y} \in \mathbb{S}_{+}^{n}$, and $0 \leq \theta \leq 1$. Then replacing $\mathbf{X}$ by $\mathbf{X} / \theta$ and $\mathbf{Y}$ by $\mathbf{Y} /(1-\theta)$ where $\theta \neq 0$ and $\theta \neq 1$ gives rise to (3.108).

Remark $3.35 \operatorname{card}(\mathbf{x}+\mathbf{y}) \geq \min {\operatorname{card}(\mathbf{x}), \operatorname{card}(\mathbf{y})}, \mathbf{x}, \mathbf{y} \in \mathbb{R}_{+}^{n}$. Similar to the proof of (3.108) in Remark $3.34$, this inequality can be shown to be true by using $(3.107)$ again, since $\operatorname{card}(\mathrm{x})$ is quasiconcave.

## 数学代写|凸优化作业代写Convex Optimization代考|First-order condition

Suppose that $f$ is differentiable. Then $f$ is quasiconvex if and only if dom $f$ is convex and for all $\mathbf{x}, \mathbf{y} \in \operatorname{dom} f$
$$f(\mathbf{y}) \leq f(\mathbf{x}) \Rightarrow \nabla f(\mathbf{x})^{T}(\mathbf{y}-\mathbf{x}) \leq 0,$$
that is, $\nabla f(\mathbf{x})$ defines a supporting hyperplane to the sublevel set
$$S_{\alpha=f(\mathbf{x})}={\mathbf{y} \mid f(\mathbf{y}) \leq \alpha=f(\mathbf{x})}$$
at the point $\mathbf{x}$ (see Figure 3.11). Moreover, the first-order condition given by (3.110) means that the first-order term in the Taylor series of $f(\mathbf{y})$ at the point $\mathbf{x}$ is no greater than zero whenever $f(\mathbf{y}) \leq f(\mathbf{x})$.
Proof: Let us prove the necessity followed by the sufficiency.

• Necessity: Suppose $f(\mathbf{x}) \geq f(\mathbf{y})$. Then, by modified Jensen’s inequality, we have
$$f(t \mathbf{y}+(1-t) \mathbf{x}) \leq f(\mathbf{x}) \text { for all } 0 \leq t \leq 1$$
Therefore,
\begin{aligned} \lim {t \rightarrow 0^{+}} \frac{f(\mathbf{x}+t(\mathbf{y}-\mathbf{x}))-f(\mathbf{x})}{t} &=\lim {t \rightarrow 0^{+}} \frac{1}{t}\left(f(\mathbf{x})+t \nabla f(\mathbf{x})^{T}(\mathbf{y}-\mathbf{x})-f(\mathbf{x})\right) \ &=\nabla f(\mathbf{x})^{T}(\mathbf{y}-\mathbf{x}) \leq 0 \end{aligned}
where we have used the first-order Taylor series approximation in the first equality.
• Sufficiency: Suppose that $f(\mathbf{x})$ is not quasiconvex. Then there exists a nonconvex sublevel set of $f$,
$$S_{\alpha}={\mathbf{x} \mid f(\mathbf{x}) \leq \alpha},$$
and two distinct points $\mathbf{x}{1}, \mathbf{x}{2} \in S_{\alpha}$ such that $\theta \mathbf{x}{1}+(1-\theta) \mathbf{x}{2} \notin$ $S_{\alpha}$, for some $0<\theta<1$, i.e., $$f\left(\theta \mathbf{x}{1}+(1-\theta) \mathbf{x}{2}\right)>\alpha \text { for some } 0<\theta<1 .$$ Since $f$ is differentiable, hence continuous, (3.112) implies that, as illustrated in Figure 3.12, there exist distinct $\theta_{1}, \theta_{2} \in(0,1)$ such that \begin{aligned} &f\left(\theta \mathbf{x}_{1}+(1-\theta) \mathbf{x}_{2}\right)>\alpha \text { for all } \theta_{1}<\theta<\theta_{2} \ &f\left(\theta_{1} \mathbf{x}{1}+\left(1-\theta{1}\right) \mathbf{x}{2}\right)=f\left(\theta{2} \mathbf{x}{1}+\left(1-\theta{2}\right) \mathbf{x}{2}\right)=\alpha . \end{aligned} Let $\mathbf{x}=\theta{1} \mathbf{x}{1}+\left(1-\theta{1}\right) \mathbf{x}{2}$ and $\mathbf{y}=\theta{2} \mathbf{x}{1}+\left(1-\theta{2}\right) \mathbf{x}_{2}$, and so $$f(\mathbf{x})=f(\mathbf{y})=\alpha,$$ and $$g(t)=f(t \mathbf{y}+(1-t) \mathbf{x})>\alpha \text { for all } 0<t<1$$

is a differentiable function of $t$ and $\partial g(t) / \partial t>0$ for $t \in[0, \varepsilon)$ where $0<\varepsilon \ll 1$, as illustrated in Figure 3.12. Then, it can be inferred that \begin{aligned} (1-t) \frac{\partial g(t)}{\partial t} &=\nabla f(\mathbf{x}+t(\mathbf{y}-\mathbf{x}))^{T}[(1-t)(\mathbf{y}-\mathbf{x})]>0 \text { for all } t \in[0, \varepsilon) \ &=\nabla f(\boldsymbol{x})^{T}(\mathbf{y}-\boldsymbol{x})>0 \text { for all } t \in[0, \varepsilon) \end{aligned}
where
\begin{aligned} \boldsymbol{x} &=\mathbf{x}+t(\mathbf{y}-\mathbf{x}), \quad t \in[0, \varepsilon] \ \Rightarrow g(t) &=f(\boldsymbol{x}) \geq f(\mathbf{y})=\alpha(\text { by }(3.113) \text { and }(3.114)) \end{aligned}
Therefore, if $f$ is not quasiconvex, there exist $\boldsymbol{x}, \mathbf{y}$ such that $f(\mathbf{y}) \leq f(\boldsymbol{x})$ and $\nabla f(\boldsymbol{x})^{T}(\mathbf{y}-\boldsymbol{x})>0$, which contradicts with the implication (3.110). Thus we have completed the proof of sufficiency.

## 数学代写|凸优化作业代写Convex Optimization代考|Definition and examples

（见图3.8) 对每个都是凸的一种. 而且，

• F是拟凸的，如果F是凸的，因为凸函数的每个子级集都是凸集（参见备注 3.5），但反过来不一定成立。
• F是准凹的，如果−F是准凸的。这也是事实F是准凹的，如果它的域和所有一种-superlevel 集定义为
• $$• \mathcal{S}_{\alpha}={\mathbf{x}\mid \mathbf{x}\in \operatorname{dom}f,f(\mathbf{x})\geq\alpha} •$$
• 对每个都是凸的一种.
• F是拟线性的，如果F既是拟凸的又是拟凹的。
• 凸函数、拟凸函数、凹函数和拟凹函数之间的关系如图 3.9 所示。

## 数学代写|凸优化作业代写Convex Optimization代考|Modified Jensen’s inequality

F(θX+(1−θ)是)≤最大限度F(X),F(是)

• 必要性：让X,是∈dom⁡F. 选择一种=最大限度F(X),F(是). 然后X,是∈小号一种. 自从F通过假设是准凸的，小号一种是凸的，也就是说，对于θ∈[0,1],
θX+(1−θ)是∈小号一种 ⇒F(θX+(1−θ)是)≤一种=最大限度F(X),F(是)
• 充足性：对于每个一种, 选取两点X,是∈小号一种⇒F(X)≤一种,F(是)≤一种. 因此0≤θ≤1,F(θX+(1−θ)是)≤最大限度F(X),F(是)≤一种(经过(3.106))， 我们有
θX+(1−θ)是∈小号一种
所以，小号一种是凸的，因此函数F是准凸的。
备注 3.33F是准凹的当且仅当
F(θX+(1−θ)是)≥分钟F(X),F(是)
对全部X,是∈dom⁡F， 和0≤θ≤1. 这也是拟凹函数的修正 Jensen 不等式。如果不等式 (3.106) 严格成立0<θ<1， 然后F是严格准凸的。类似地，如果不等式 (3.107) 严格成立0<θ<1， 然后F是严格准凹的。
备注 3.34 由于 PSD 矩阵的秩是拟凹的，
秩⁡(X+是)≥分钟秩⁡(X),秩⁡(是),X,是∈小号+n成立。这可以由 (3.107) 证明，由此我们得到秩⁡(θX+(1−θ)是)≥分钟秩⁡(X),秩⁡(是)对全部X∈小号+n,是∈小号+n， 和0≤θ≤1. 然后更换X经过X/θ和是经过是/(1−θ)在哪里θ≠0和θ≠1产生 (3.108)。

## 数学代写|凸优化作业代写Convex Optimization代考|First-order condition

F(是)≤F(X)⇒∇F(X)吨(是−X)≤0,

• 必要性：假设F(X)≥F(是). 然后，通过修正 Jensen 不等式，我们有
F(吨是+(1−吨)X)≤F(X) 对全部 0≤吨≤1
所以，
林吨→0+F(X+吨(是−X))−F(X)吨=林吨→0+1吨(F(X)+吨∇F(X)吨(是−X)−F(X)) =∇F(X)吨(是−X)≤0
我们在第一个等式中使用了一阶泰勒级数近似。
• 充分性：假设F(X)不是准凸的。那么存在一个非凸子水平集F,
小号一种=X∣F(X)≤一种,
和两个不同的点X1,X2∈小号一种这样θX1+(1−θ)X2∉ 小号一种， 对于一些0<θ<1， IE，F(θX1+(1−θ)X2)>一种 对于一些 0<θ<1.自从F是可微的，因此是连续的，(3.112) 意味着，如图 3.12 所示，存在不同的θ1,θ2∈(0,1)这样F(θX1+(1−θ)X2)>一种 对全部 θ1<θ<θ2 F(θ1X1+(1−θ1)X2)=F(θ2X1+(1−θ2)X2)=一种.让X=θ1X1+(1−θ1)X2和是=θ2X1+(1−θ2)X2， 所以F(X)=F(是)=一种,和G(吨)=F(吨是+(1−吨)X)>一种 对全部 0<吨<1

X=X+吨(是−X),吨∈[0,e] ⇒G(吨)=F(X)≥F(是)=一种( 经过 (3.113) 和 (3.114))

## 有限元方法代写

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## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。