数学代写|复变函数作业代写Complex function代考|Math 417

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数学代写|复变函数作业代写Complex function代考|Math 417

数学代写|复变函数作业代写Complex function代考|The Influence of V. E. Katsnelson and D. Z. Arov on the Direction of Our Research Group

While working on generalized matricial Nehari problems (see $[21]$ ), Bernd and I made first contact with the works of V. E. Katsnelson. The problem is stated as follows:
GENERALIZED MATRICIAL NEHARI PROBLEM: Let $p, q \in \mathbb{N}$. Further, let $F_{11}$ and $F_{22}$ be a non-negative Hermitian $p \times p$ and a $q \times q$ measure, respectively, on the Borelian $\sigma$-Algebra $\mathfrak{B}{\mathbb{T}}$ on $\mathbb{T}:={z \in \mathbb{C}:|z|=1}$ and let $\left(\beta{k}\right){k=0}^{\infty}$ be a sequence of complex $p \times q$ matrices. Describe the set $\mathcal{F}\left(F{11}, F_{22},\left(\beta_{k}\right){k=0}^{\infty}\right)$ of all $\sigma$-additive mappings $F{12}$ from $\mathfrak{B}{\mathrm{T}}$ into the set of all complex $p \times q$ matrices fulfilling the conditions $$ \int{\mathbb{T}} z^{-k} F_{12}(\mathrm{~d} z)=\beta_{k}, \quad k=0,1,2, \ldots
and for which
F_{11} & F_{12} \
F_{12}^{} & F_{22} \end{array}\right) $$ is a non-negative Hermitian $(p+q) \times(p+q)$ measure on $\mathfrak{B}{\mathbb{T}}$. In particular, state necessary and sufficient conditions such that the set $\mathcal{F}\left(F{11}, F_{22},\left(\beta_{k}\right){k=0}^{\infty}\right)$ is non-empty. The problem stated above leads one to studying kernels on $\mathbb{N}{0} \times \mathbb{N}{0}$ of so-called mixed Toeplitz-Hankel type. To see this, for all $k \in \mathbb{Z}$, set $$ \alpha{k}:=\int_{\mathbb{T}} z^{-k} F_{11}(\mathrm{~d} z) \quad \text { and } \quad \delta_{k}:=\int_{\mathbb{T}} z^{-k} F_{22}(\mathrm{~d} z)
and, for all $(m, n) \in \mathbb{N}{0} \times \mathbb{N}{0}$, define
K(m, n):=\left(\begin{array}{cc}
\alpha_{m-n} & \beta_{m+n} \
\beta_{m+n}^{} & \delta_{n-m}
The kernel $K$ being non-negative definite turns out to be necessary and sufficient for the set $\mathcal{F}\left(F_{11}, F_{22},\left(\beta_{k}\right)_{k=0}^{\infty}\right)$ to be non-empty.

The just defined kernel $K$ is also important because of the following observation.
GENERALIZED HERGLOTZ-BOCHNER THEOREM: Let $p, q \in \mathbb{N}$ and let $\left(\alpha_{k}\right){k=0}^{\infty},\left(\beta{k}\right){k=0}^{\infty}$, and $\left(\delta{k}\right){k=0}^{\infty}$ be sequences belonging to $\mathbb{C}^{p \times p}, \mathbb{C}^{p \times q}$, and $\mathbb{C}^{q \times q}$, respectively. Then there exists a non-negative Hermitian $(p+q) \times(p+q)$ Borelian measure on T such that for all $m, n \in{0,1,2, \ldots}$ the equation $$ K(m, n)=\int{\mathbb{T}}\left[\operatorname{diag}\left(z^{-m} I_{p}, z^{m} I_{q}\right)\right] F(\mathrm{~d} z)\left[\operatorname{diag}\left(z^{-n} I_{p}, z^{n} I_{q}\right)\right]^{*}
is satisfied if and only if $K$ is non-negative definite.

数学代写|复变函数作业代写Complex function代考|A Preamble

As a mathematician, Victor Katsnelson was raised within a fine school of function theory and functional analysis, which was blossoming in Kharkov starting the second half of 1930s. He studied in the Kharkov State University in 1960-1965. Among his teachers were Naum Akhiezer, Boris Levin, Vladimir Marchenko. That time he became acquainted with Vladimir Matsaev whom Victor often mentions as one of his teachers. In 1965 Katsnelson graduated with the master degree, Boris Levin supervised his master thesis. Since then and till 1990, he teaches at the Department of Mathematics and Mechanics of the Kharkov State University. In 1967 he defends the PhD Thesis “Convergence and Summability of Series in Root Vectors of Some Classes of Non-Selfadjoint Operators” also written under Boris Levin guidance. Until he left Kharkov in the early 1990s, Katsnelson remained an active participant of the Kharkov function theory seminar run on Thursdays by Boris Levin and Iossif Ostrovskii. His talks, remarks and questions were always interesting and witty.

Already in the 1960s Victor established himself among the colleagues as one of the finest Kharkov mathematicians of his generation, if not the finest one. Nevertheless, he was not appointed as a professor and was never allowed to travel abroad.

Most of Katsnelson’s work pertain to the spectral theory of functions and operators. I will touch only a handful of his results, mostly published in 1965-1970,that is, at the very beginning of his mathematical career. A big portion of his works written in Kharkov appeared in the local journal “Function Theory, Functional Analysis and Their Applications” and were never translated in English. Today, this journal is available at http://dspace.univer.kharkov.ua/handle/123456789/43.

In this occasion, let me mention two wonderful books carefully written by Katsnelson $[18,19]$. They exist only as manuscripts, and curiously, both have “Part I” in their titles, though, as far as I know, no continuations appeared. In both books mathematics interlaces with interesting historical comments. Last but not least, let me also mention an extensive survey of Issai Schur’s works in analysis written jointly by Dym and Katsnelson [7].

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数学代写|复变函数作业代写Complex function代考|The Influence of V. E. Katsnelson and D. Z. Arov on the Direction of Our Research Group

在处理广义矩阵 Nehari 问题时(参见 $[21]$ ,Bernd 和我第一次接触了 VE Katsnelson 的作品。问题表述如下:
GENERALIZED MATRICIAL NEHARI PROBLEM: Let $p, q \in \mathbb{N}$. 此外,让 $F_{11}$ 和 $F_{22}$ 是一个非负厄米特 $p \times p$ 和一个 $q \times q$ 分别测量 Borelian $\sigma$-代数 $\mathfrak{B T}$ 上T $:=z \in \mathbb{C}:|z|=1$ 然后让 $(\beta k) k=0^{\infty}$ 是一个昆杂的序列 $p \times q$ 矩阵。描述集合 $\mathcal{F}\left(F 11, F_{22},\left(\beta_{k}\right) k=0^{\infty}\right)$ 其中 $\sigma$ – 加法映射 $F 12$ 从 $\mathfrak{B}$ T 进入所有复数的集合 $p \times q$ 满足条件的矩阵
\int \mathbb{T} z^{-k} F_{12}(\mathrm{~d} z)=\beta_{k}, \quad k=0,1,2, \ldots
F_{11} & F_{12} & F_{12} & F_{22}
是一个非负厄米特 $(p+q) \times(p+q)$ 测量 $\mathfrak{B} \mathbb{T}$. 特别是,陈述必要和充分条件,使得集合
$\mathcal{F}\left(F 11, F_{22},\left(\beta_{k}\right) k=0^{\infty}\right)$ 是非空的。上述问题导致研究内核 $\mathbb{N} 0 \times \mathbb{N} 0$ 所调的混合 Toeplitz-Hankel 类型。看到这 个,给大家 $k \in \mathbb{Z}$ ,放
\alpha k:=\int_{\mathbb{T}} z^{-k} F_{11}(\mathrm{~d} z) \quad \text { and } \quad \delta_{k}:=\int_{\mathbb{T}} z^{-k} F_{22}(\mathrm{~d} z)
并且,对于所有人 $(m, n) \in \mathbb{N} 0 \times \mathbb{N} 0$ , 定义
内核 $K$ 非负定对集合来说是必要和充分的 $\mathcal{F}\left(F_{11}, F_{22},\left(\beta_{k}\right){k=0}^{\infty}\right)$ 为非空。 刚刚定义的内核 $K$ 由于以下观㟯,也很重要。 广义 HERGLOTZ-BOCHNER 定理:让 $p, q \in \mathbb{N}$ 然后让 $\left(\alpha{k}\right) k=0^{\infty},(\beta k) k=0^{\infty} , \quad$ 和 $(\delta k) k=0^{\infty}$ 是属于的序列 $\mathbb{C}^{p \times p}, \mathbb{C}^{p \times q}$ ,和 $\mathbb{C}^{q \times q}$ ,分别。那么存在一个非负厄米特 $(p+q) \times(p+q)$ 在 T 上的 Borelian 测度使得对于所有 $m, n \in 0,1,2, \ldots$ 方程
K(m, n)=\int \mathbb{T}\left[\operatorname{diag}\left(z^{-m} I_{p}, z^{m} I_{q}\right)\right] F(\mathrm{~d} z)\left[\operatorname{diag}\left(z^{-n} I_{p}, z^{n} I_{q}\right)\right]^{*}
当且仅当满足 $K$ 是非负定的。

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作为一名数学家,Victor Katsnelson 在一所优秀的函数理论和泛函分析学校长大,从 1930 年代后半期开始,这所学校在哈尔科夫蓬勃发展。1960-1965年在哈尔科夫国立大学学习。他的老师包括 Naum Akhiezer、Boris Levin、Vladimir Marchenko。那时,他结识了 Victor 经常提到的 Vladimir Matsaev,他是他的老师之一。1965 年 Katsnelson 获得硕士学位,Boris Levin 指导他的硕士论文。此后一直到1990年,他在哈尔科夫国立大学数学与力学系任教。1967 年,他为同样在 Boris Levin 指导下撰写的博士论文“某些类非自联算子的根向量中的级数的收敛性和可和性”进行了辩护。直到他在 1990 年代初离开哈尔科夫,Katsnelson 仍然积极参加每周四由 Boris Levin 和 Iossif Ostrovskii 举办的哈尔科夫函数理论研讨会。他的谈话、评论和问题总是有趣而诙谐。

早在 1960 年代,维克多就已经在同事中确立了自己是他这一代最优秀的哈尔科夫数学家之一,即使不是最优秀的。然而,他没有被任命为教授,也从未被允许出国旅行。

Katsnelson 的大部分工作都与函数和算子的谱理论有关。我将只触及他的一小部分结果,大部分发表于 1965-1970 年,也就是他数学生涯的初期。他用哈尔科夫写的大部分作品出现在当地期刊《泛函理论、泛函分析及其应用》上,从未翻译成英文。今天,该期刊可在 http://dspace.univer.kharkov.ua/handle/123456789/43 获得。

在此之际,让我提两本由 Katsnelson 精心撰写的精彩书籍[18,19]. 它们仅作为手稿存在,奇怪的是,它们的标题中都有“第一部分”,但据我所知,没有出现续集。在这两本书中,数学与有趣的历史评论交织在一起。最后但并非最不重要的一点是,我还要提到由 Dym 和 Katsnelson 联合撰写的对 Issai Schur 分析作品的广泛调查 [7]。

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术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。



有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。





随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。


多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。


MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。



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