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数论（或旧时的算术或高等算术）是纯数学的一个分支，主要致力于研究整数和整数值的函数。
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数学代写|数论代写Number theory代考|EXISTENCE OF TRANSCENDENTAL NUMBERS
The first question we need to address about transcendental numbers is whether or not there are any! It is clear that algebraic numbers exist: for a start, all rational numbers are algebraic, and we have also given a few examples of irrational algebraic numbers. However, it is conceivable that every complex number could be a root of a rational polynomial, in which case transcendental numbers would not exist.
Notice, by the way, that we have so far only seen algebraic numbers of degree up to 4 . It is not at all clear that algebraic numbers of arbitrarily high degree exist. If, for example, we were to consider polynomials with real (rather than rational) coefficients, then there would be no irreducible polynomials of degree greater than 2. The situation in this case would therefore be very simple: all real numbers would be algebraic (over $\mathbb{R}$ ) of degree 1 , and all nonreal complex numbers would be algebraic (over $\mathbb{R}$ ) of degree 2. Among the complex numbers there would be no algebraic numbers of higher degree, and no transcendental numbers.
The existence of transcendental numbers was first proved by Joseph Liouville, who attempted to show that $e$ is not an algebraic number. He failed in this aim but achieved enough to allow him in 1844 (and again, using different techniques, in 1851 ) to give specific examples of transcendental numbers. A completely different proof was given three decades later by Georg Cantor: a proof which is perhaps simpler, though, as it does not provide any specific examples of transcendentals, possibly somehow beside the point as far as number theory is concerned. We shall begin with Cantor’s proof.
Cantor proved the existence of transcendental numbers simply by showing that there are, in a sense, more complex numbers than algebraic numbers. Specifically, the set of complex numbers is uncountable – this follows immediately from the uncountability of the reals, proved by Cantor in 1874 – while, as we shall now show, the set of (complex) algebraic numbers is countable.
数学代写|数论代写Number theory代考|APPROXIMATION OF REAL NUMBERS BY RATIONALS
Liouville’s methods derive from an investigation of
$(1809-1882)$
the problem of approximating real numbers by rationals. Let $\alpha \in \mathbb{R}$; we wish to ask how closely $\alpha$ can be approximated by rational numbers $p / q$. That is, we want to know how small
$$
\left|\alpha-\frac{p}{q}\right|
$$
can be made by a suitable choice of the rational $p / q$. Unfortunately, this problem is too easy to be of any interest: as the rationals are dense in $\mathbb{R}$, the difference (3.4), for any $\alpha$, can be made as small as desired by choosing a large value of $q$ and an appropriate $p$. Specifically, if we want the difference to be smaller than a positive number $\varepsilon$, we choose $q>1 / 2 \varepsilon$ and let $p$ be the closest integer to $q \alpha$. Then
$$
|q \alpha-p| \leq \frac{1}{2} \quad \Rightarrow \quad \alpha-\frac{p}{q} \mid \leq \frac{1}{2 q}<\varepsilon
$$
This observation, though not very interesting in itself, may suggest a more significant approach, namely, to insist that the closeness of approximation should depend on the denominator of the approximating fraction. In other words, we shall be interested in a fairly weak approximation if it is given by a fraction with very small denominator, whereas if the denominator is large we
shall expect the approximation to be exceptionally close. One way to achieve this is to try to solve an inequality such as
$$
\left|\alpha-\frac{p}{q}\right|<\frac{1}{q^{2}},
$$
where $\alpha$ is a given real number and we seek rational $p / q$. In this case, if we are forced to choose a large value of $q$, we do at least know that the approximation is much closer than we had previously with
$$
\left|\alpha-\frac{p}{q}\right| \leq \frac{1}{2 q} .
$$
To obtain worthwhile results we need to note two more points. A single solution of either of the above inequalities is of little importance as it does not give rational numbers arbitrarily close to $\alpha$ : what we really want is that there be infinitely many solutions to such an inequality. Secondly, we would like the right-hand side of the inequality to be uniquely determined by the approximating fraction $p / q$; therefore we shall require that $q$ be the “true” denominator of the fraction, that is, that $p$ and $q$ have no common factor. As a result of these considerations, we introduce the following terminology.
数学代写|数论代写Number theory代考|A SKETCH
We conclude this chapter with a very brief summary of Apéry’s notoriously complex irrationality proof for $\zeta(3)$. Our only aim is to show how the argument is based fundamentally on the approximation ideas introduced in the previous section: specifically, Apéry showed that $\zeta(3)$ is approximable to order (just slightly) greater than 1 , and therefore cannot be rational. The reader should not be deluded into believing that the arguments we have omitted are easy! they most assuredly are not. More details (as well as an engaging account of the circumstances surrounding Apéry’s announcement of his result) may be found in [66]. Another, and possibly simpler, irrationality proof for $\zeta(3)$ was given by Beukers [14]. Although superficially Beukers’ approach appears quite different from Apéry’s, the author acknowledges a close connection between the two.
So, we begin by recalling the definition
$$
\zeta(3)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{3}}=1+\frac{1}{2^{3}}+\frac{1}{3^{3}}+\frac{1}{4^{3}}+\cdots
$$
By intricate but essentially straightforward algebra we may obtain an alternative summation formula
$$
\zeta(3)=\frac{5}{2} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n^{3}\left(\begin{array}{c}
2 n \
n
\end{array}\right)}=\frac{5}{2}\left(\frac{1}{1^{3} \times 2}-\frac{1}{2^{3} \times 6}+\frac{1}{3^{3} \times 20}-\frac{1}{4^{3} \times 70}+\cdots\right) .
$$
The heart of Apéry’s argument consists of defining two “mysterious” sequences $a_{n}$ and $b_{n}$ with the property that the quotients $a_{n} / b_{n}$ form a sequence of very good rational approximations to $\zeta(3)$. Set
$$
a_{0}=0, a_{1}=6, a_{n}=\frac{34 n^{3}-51 n^{2}+27 n-5}{n^{3}} a_{n-1}-\frac{(n-1)^{3}}{n^{3}} a_{n-2}
$$
for $n \geq 2$, and
$$
b_{0}=1, b_{1}=5, b_{n}=\frac{34 n^{3}-51 n^{2}+27 n-5}{n^{3}} b_{n-1}-\frac{(n-1)^{3}}{n^{3}} b_{n-2}
$$
for $n \geq 2$. One observes that $a_{n}$ and $b_{n}$ satisfy the same recurrence, and differ only in their respective initial conditions. Amazingly, despite the fractional coefficients in its recurrence, it can be shown that $b_{n}$ is always an integer! This is not the case for $a_{n}$; however, it turns out that $a_{n}$ is a rational number whose denominator is a factor of $2 L_{n}^{3}$, where $L_{n}$ is the least common multiple of the integers $1,2, \ldots, n$. Apéry also proved that
$$
\lim {n \rightarrow \infty} \frac{a{n}}{b_{n}}=\zeta(3) .
$$
数论代考
数学代写|数论代写Number theory代考|EXISTENCE OF TRANSCENDENTAL NUMBERS
关于超越数，我们需要解决的第一个问题是是否存在超越数！很明显，代数数是存在的：首先，所有有理数都是代数数，我们还给出了一些无理数代数数的例子。但是，可以想象每个复数都可以是有理多项式的根，在这种情况下，超越数将不存在。
顺便说一句，请注意，到目前为止，我们只看到了次数不超过 4 的代数数。是否存在任意高次的代数数是完全不清楚的。例如，如果我们要考虑具有实数（而不是有理数）系数的多项式，那么将不存在次数大于 2 的不可约多项式。因此，这种情况下的情况非常简单：所有实数都是代数 (超过R) 的 1 次，并且所有非实数复数都是代数的（超过R) 2 次。在复数中，没有更高次的代数数，也没有超越数。
超越数的存在首先由约瑟夫·刘维尔证明，他试图证明和不是代数数。他未能实现这一目标，但取得的成就足以让他在 1844 年（并在 1851 年再次使用不同的技术）给出超越数的具体例子。三十年后，乔治·康托尔给出了一个完全不同的证明：一个可能更简单的证明，因为它没有提供任何超越数的具体例子，就数论而言可能有点离题。我们将从康托尔的证明开始。
康托尔证明了超越数的存在，简单地证明了在某种意义上，存在比代数数更复杂的数。具体来说，复数集是不可数的——这直接来自于实数的不可数性，由康托尔在 1874 年证明——而，正如我们现在将展示的，（复数）代数集是可数的。
数学代写|数论代写Number theory代考|APPROXIMATION OF REAL NUMBERS BY RATIONALS
刘维尔的方法源于对
(1809−1882)
用有理数逼近实数的问题。让一个∈R; 我们想问一下一个可以用有理数近似p/q. 也就是说，我们想知道有多小
|一个−pq|
可以通过合理的理性选择来做出p/q. 不幸的是，这个问题太容易引起人们的兴趣：因为有理数在R, 差 (3.4), 对于任何一个，可以通过选择较大的值来尽可能小q和适当的p. 具体来说，如果我们希望差值小于一个正数e， 我们选择q>1/2e然后让p是最接近的整数q一个. 然后
|q一个−p|≤12⇒一个−pq∣≤12q<e
这个观察虽然本身不是很有趣，但可能会提出一种更重要的方法，即坚持近似的接近程度应该取决于近似分数的分母。换句话说，如果它是由分母非常小的分数给出的，我们将对相当弱的近似感兴趣，而如果分母很大，我们
应该期望近似值非常接近。实现这一目标的一种方法是尝试解决不等式，例如
|一个−pq|<1q2,
在哪里一个是给定的实数，我们寻求理性p/q. 在这种情况下，如果我们被迫选择一个较大的值q，我们至少知道这个近似值比我们以前用的更接近
|一个−pq|≤12q.
为了获得有价值的结果，我们还需要注意两点。上述任何一个不等式的单一解决方案并不重要，因为它不会给出任意接近的有理数一个: 我们真正想要的是这种不等式有无限多的解决方案。其次，我们希望不等式的右侧由近似分数唯一确定p/q; 因此我们将要求q是分数的“真”分母，即p和q没有公因数。由于这些考虑，我们引入了以下术语。
数学代写|数论代写Number theory代考|A SKETCH
我们用一个非常简短的总结来结束本章，总结了 Apéry 臭名昭著的复杂的非理性证明G(3). 我们唯一的目的是展示这个论点是如何从根本上基于上一节中介绍的近似思想的：具体来说，Apéry 表明G(3)近似于（略）大于 1 的顺序，因此不能是有理的。读者不应误以为我们省略的论点很容易！他们肯定不是。更多细节（以及关于 Apéry 宣布其结果的情况的引人入胜的描述）可以在 [66] 中找到。另一个可能更简单的非理性证明G(3)由 Beukers [14] 给出。尽管从表面上看，Beukers 的方法与 Apéry 的方法截然不同，但作者承认两者之间存在密切联系。
因此，我们首先回顾一下定义
G(3)=∑n=1∞1n3=1+123+133+143+⋯
通过复杂但本质上简单的代数，我们可以获得另一种求和公式
G(3)=52∑n=1∞(−1)n−1n3(2n n)=52(113×2−123×6+133×20−143×70+⋯).
Apéry 论证的核心在于定义两个“神秘”序列一个n和bn具有商的性质一个n/bn形成一系列非常好的有理逼近G(3). 放
一个0=0,一个1=6,一个n=34n3−51n2+27n−5n3一个n−1−(n−1)3n3一个n−2
为了n≥2， 和
b0=1,b1=5,bn=34n3−51n2+27n−5n3bn−1−(n−1)3n3bn−2
为了n≥2. 有人观察到一个n和bn满足相同的递归，并且仅在它们各自的初始条件上不同。令人惊讶的是，尽管它的递归中有分数系数，但可以证明bn始终是整数！情况并非如此一个n; 然而，事实证明一个n是一个有理数，其分母是2大号n3， 在哪里大号n是整数的最小公倍数1,2,…,n. 阿佩里还证明了
林n→∞一个nbn=G(3).
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金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。
非参数统计代写
非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。
有限元方法代写
有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。
时间序列分析代写
随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。
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